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专题14 特殊四边形探究(2021年浙江中考数学一轮复习专项练习)

1、 专题专题 14 特殊四边形探究特殊四边形探究 平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形,是近年中考的热点问题之一,需要掌 握它们的概念,了解它们之间的关系,掌握有关的性质和判定表现方式通常是通过添加适 当的辅助线转化为三角形来解决数学问题和现实问题, 注重考查同学们的观察、 猜想、 推理、 探究等思维活动能力以及对知识的理解能力 突显出要把平行四边形转化为三角形来解决,把复杂的图形分解为线段相等或平行等基 本图形,运用函数、列方程求解 特殊四边形与函数的联系 1如图,菱形 ABCD 的边长是 4 cm,B60,动点 P 以 1 cm/s 的速度自 A 点出发 沿 AB 方向运动至 B 点停

2、止, 动点 Q 以 2 cm/s 的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停 止若点 P,Q 同时出发运动了 t s,记BPQ 的面积为 S cm2,下面图象中能表示 S 与 t 之 间的函数关系的是 D 第1题图 第2题图 2 如图, 在梯形 ABCD 中, ABDC, DEAB 于点 E, CFAB 于点 F, 且 AEEF FB 5,DE 12,动点 P 从点 A 出发,沿折线 ADDCCB 以每秒 1 个单位的速度运 动到点 B 停止设运动时间为 t 秒,ySEPF,则 y 与 t 的函数图象大致是 A 根据特殊四边形的性质,列出关系式,结合选项进行判断 平行四边形探究 3如

3、图所示,抛物线 y1 2 x 2bxc 经过 B,D 两点,与 x 轴的另一个交点为 A, 与 y 轴相交于点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)设点 Q 在 y 轴上,点 P 在抛物线上要使以点 A,B,P,Q 为顶点的四边形是平行 四边形,求所有满足条件的点 P 的坐标 解:(1)把 B(3,0)和 D(2,5 2 )代入抛物线的解析式得 9 23bc0, 22bc5 2, 解得 b1, c3 2, 抛物线的解析式为 y1 2 x 2x3 2 (2)令 y0,得1 2 x 2x3 2 0,解得 x1 或 x3,A(1,0)AB4.设 Q(0, n), 当 AB 为平行四边形的边时, 有

4、 ABPQ, ABPQ, 当 P 点在 Q 点左边时, 则 P(4, n),把 P(4,n)代入 y1 2 x 2x3 2 ,得 n 21 2 ,P(4,21 2 ); 当 AB 为平行四边形的边时,有 ABPQ,ABPQ,当 P 点在 Q 点右边时,则 P(4, n),把 P(4,n)代入 y1 2 x 2x3 2 ,得 n 5 2 ,P(4, 5 2 ); 当 AB 为平行四边形的对角线时, 如图, AB 与 PQ 交于点 E, 则 E(1, 0), PEQE, P(2,n),把 P(2,n)代入 y1 2 x 2x3 2 ,得n 3 2 ,n 3 2 ,P(2, 3 2 ).综 上,满足

5、条件的 P 点坐标为(4,21 2 )或(4,5 2 )或(2, 3 2 ) 4. 如图,抛物线 yax2bxc 与坐标轴交于 A(1,0),B(5,0),C(0,5)三点,顶 点为 D. (1)请直接写出抛物线的表达式及顶点 D 的坐标; (2)连结 BC 与抛物线的对称轴交于点 E,点 P 为线段 BC 上一动点(点 P 不与 B,C 两点 重合),过点 P 作 PFDE 交抛物线于点 F,设点 P 的横坐标为 m. 是否存在点 P, 使四边形 PEDF 为平行四边形?若存在, 求出点 P 的坐标; 若不存在, 请说明理由; 过点 F 作 FHBC 于点 H,求PFH 周长的最大值 解:(

6、1)把 A(1,0),B(5,0),C(0,5)代入 yax2bxc,得 abc0, 25a5bc0, c5, 解得 a1, b4, c5, yx24x5(x2)29, 抛物线的表达式为 yx24x5, 顶点坐标为 D(2,9) (2)易得点 F 的坐标为(m,m24m5),直线 BC 的表达式为 yx5,PFDEy 轴,xPxFm,xExD2.点 E,P 在直线 BC 上,点 P 的坐标为(m,m5),点 E 的坐标为(2, 3), PF(m5)(m24m5)m25m, DE3(9)6.连结 DF, PFDE, 当 PFDE, 即m25m6 时, 四边形 PEDF 为平行四边形解m25m6,

7、 得 m13, m22(不合题意, 舍去), 存在点 P(3, 2), 使四边形 PEDF 为平行四边形 OB OC5, BC5 2 , CBOC105 2 .PFDEy 轴, FPEDECOCB. 又FHBC,FHPBOC90,PFHCBO,C PFH CCBO PF BC ,CPFH 105 2 5 2 (m25m)( 2 1)(m5 2 ) 225 225 4 ,0m5,当 m5 2 时,PFH 的周长最大,最大值为25 225 4 5如图,已知抛物线:y1x22x3 与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧),与 y 轴交于点 C. (1)直接写出点 A,B,C 的坐标; (2

8、)将抛物线 y1经过向右与向下平移, 使得到的抛物线 y2与 x 轴交于 B,B两点(B在 B 的右侧), 顶点 D 的对应点为点 D, 若BDB90, 求点 B的坐标及抛物线 y2的解析式; (3)在(2)的条件下,若点 Q 在 x 轴上,则在抛物线 y1或 y2上是否存在点 P,使以 B,C, Q,P 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有符合条件的点 P 的坐标;如果不 存在,请说明理由 解: (1)对于 y1x22x3, 令 y10, 得到x22x30, 解得 x3 或 1, A( 3,0),B(1,0).令 x0,得到 y13,C(0,3) (2)设平移后的抛物线的解析式为

9、y2(xa)2b, 如图中, 过点 D作 DHOB于点 H,连结 BD.D是抛物线的顶点,DBDB,D(a,b).BDB90,DH BB,BHHB,DHBHHBb,a1b,又y2(xa)2b,经过 B(1, 0),b(1a)2,解得 a2 或 1(不合题意舍弃),b1,B(3,0),y2(x2)21 x24x3 (3)如图中,观察图象可知,当点 P 的纵坐标为 3 或3 时,存在满足条件的平行四边 形对于 y1x22x3,令 y13,x22x0,解得 x0 或2,可得 P1(2,3),令 y1 3,则 x22x60,解得 x1 7 ,可得 P2(1 7 ,3),P3(1 7 , 3), 对于

10、y2x24x3, 令 y23, 方程无解, 令 y23, 则 x24x0, 解得 x0 或 4, 可得 P4(0,3),P5(4,3),综上所述,满足条件的点 P 的坐标为(2,3)或(1 7 , 3)或(1 7 ,3)或(0,3)或(4,3). 利用平行四边形对边平行且相等这一特征, 一般作平行线, 找到平行四边形的顶点位置, 再根据线段相等,转化为方程解决 菱形探究 6如图,RtOAB 的直角边 OA 在 x 轴上,顶点 B(6,8),直线 CD 交 AB 于点 D(6, 3),交 x 轴于点 C(12,0). (1)求直线 CD 的函数表达式; (2)动点 P 在 x 轴上从点(10,0

11、)出发,以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动,过点 P 作直线 lx 轴,设运动时间为 t s当 t 为何值时,在直线 l 上存在点 M,在直线 CD 上存 在点 Q,使得以 OB 为一边,O,B,M,Q 为顶点的四边形为菱形? 解:(1)设直线 CD 的表达式为 ykxb,则有 12kb0, 6kb3, 解得 k1 2, b6, 直线 CD 的表达式为 y1 2 x6 (2)当 OPOB10 时,如图,作 PQOB 交 CD 于点 Q,直线 OB 的表达式为 y 4 3 x,直线 PQ 的表达式为 y 4 3 x 40 3 .由 y 4 3x 40 3 , y1 2x6, 解得 x4

12、, y8, 点 Q 的坐标 为(4,8),PQ 6282 10,PQOB.又PQOB,四边形 OBQP 是平行四边 形又OBOP,四边形 OBQP 是菱形,此时点 M 与点 P 重合,满足条件,t0;当 OQOB 时,如图,设点 Q 的坐标为(m,1 2 m6),则有 m 2(1 2 m6) 2102,解得 m12 4 89 5 , 点 Q 的横坐标为124 89 5 或124 89 5 .设点 M 的横坐标为 a, 则有a0 2 124 89 5 6 2 或a0 2 124 89 5 6 2 ,a424 89 5 或424 89 5 ,满足条件的 t 的值为924 89 5 或924 89

13、5 .当点 Q与 C 重合时,M点的横坐标为 6,此时 t16.综上 所述,满足条件的 t 的值为 0 或 16 或924 89 5 或924 89 5 7如图,在 RtABC 中,C90,AC3,BC4.求作菱形 DEFG,使点 D 在 边 AC 上,点 E,F 在边 AB 上,点 G 在边 BC 上 小明的作法: 如图,在边 AC 上取一点 D,过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G; 以点 D 为圆心,DG 长为半径画弧,交 AB 于点 E; 在 EB 上截取 EFED,连结 FG,则四边形 DEFG 即为所求作的菱形 (1)证明小明所作的四边形 DEFG 是菱形; (2)小明进一步

14、探索, 发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化请你继续 探索,直接写出菱形的个数及对应的 CD 的长的取值范围 解:(1)证明:DEDG,EFDE,DGEF.DGEF,四边形 DEFG 是平行四 边形又DGDE,四边形 DEFG 是菱形 (2)如图,当四边形 DEFG 是正方形时,设正方形的边长为 x,在 RtABC 中,C 90,AC3,BC4,AB 3242 5,则 CD3 5 x,AD 5 4 x, 3 5 x 5 4 x3, x60 37 ,CD 3 5 x 36 37 ; 如图,当四边形 DAEG 是菱形时,设菱形的边长为 m,DGAB,CD CA DG AB , 3m

15、3 m 5 ,解得 m 15 8 ,CD315 8 9 8 ; 如图,当四边形 DEBG 是菱形时,设菱形的边长为 n,DGAB,CG CB DG AB , 4n 4 n 5 ,n 20 9 ,CG420 9 16 9 ,CD(20 9 )2(16 9 )2 4 3 . 观察图象可知,当 0CD36 37 或 4 3 CD3 时,菱形的个数为 0;当 CD 36 37 或 9 8 CD4 3 时,菱形的个数为 1;当 36 37 CD 9 8 时,菱形的个数为 2 利用菱形的四边相等关系,转化为方程解决,也可以转化为等腰三角形问题解决,或者 先作出平行四边形,再利用两邻边相等,转化为方程解决

16、矩形探究 8(2020 牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 的边 OC 在 x 轴上,OA 在 y 轴上O 为坐标原点,ABOC,线段 OA,AB 的长分别是方程 x29x200 的两个根 (OAAB),tan OCB4 3 . (1)求点 B,C 的坐标; (2)P 为 OA 上一点,Q 为 OC 上一点,OQ5,将POQ 翻折,使点 O 落在 AB 上的点 O处,双曲线 yk x 的一个分支过点 O.求 k 的值; (3)在(2)的条件下,M 为坐标轴上一点,在平面内是否存在点 N,使以 O,Q,M,N 为 顶点四边形为矩形?若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说

17、明理由 解:(1)解方程 x29x200,(x4)(x5)0,得 x14,x25,OAAB,OA 4,AB5,如图,过点 B 作 BDOC 于点 D,tan OCB4 3 ,BDOA4,CD 3,ODAB5,OC8,点 B 的坐标为(5,4),点 C 的坐标为(8,0) (2)如图,ABOC,OQAB5,AOQ90,四边形 AOQB 为矩形BQ OA4,由翻折,得 OQOQ5,OB OQ2QB2 5242 3,AO2, O(2,4),k248 (3)存在分四种情况: 如图,M 在 x 轴的正半轴上,四边形 NOMQ 是矩形,此时 N 与 B 重合,则 N(5, 4); 如图,M 在 x 轴的负

18、半轴上,四边形 NMOQ 是矩形,过 O作 ODx 轴于点 D, 过 N 作 NHx 轴于点 H, 四边形 NMOQ 是矩形, MNOQ5, MNOQ, NMO DQO.NHMQDO90,NHMODQ(AAS),NHOD4,DQ MH3,由(2)知:AO2,设 POx,则 OPx,AP4x,在 RtAPO 中,由勾 股定理得:AP2AO2OP2,即 x222(4x)2,解得 x5 2 ,P(0, 5 2 ),设 PO的解析 式为 ykxb, 则 b5 2, 2kb4, 解得 k 3 4, b5 2, PO的解析式为 y3 4 x 5 2 , 当 y0 时, 3 4 x 5 2 0,x 10 3

19、 ,OM10 3 ,OHOMMH10 3 31 3 ,N( 1 3 ,4); 如图,M 在 y 轴的正半轴上,四边形 MNQO是矩形, 由知:M(0,5 2 ),O(2,4),Q(5,0),N(3, 3 2 ); 如图,M 在 y 轴的负半轴上,四边形 MNOQ 是矩形,过 O作 ODx 轴于点 D, MOQQDO,OMQDQO,MOQQDO,OM QD OQ DO ,即 OM 3 5 4 ,OM 15 4 ,M(0,15 4 ),O(2,4),Q(5,0),N(3,1 4 ).综上,点 N 的坐 标为 N(5,4)或(1 3 ,4)或(3, 3 2 )或(3, 1 4 ) 9 如图, 抛物线

20、 yax22 3 xc(a0)过点 O(0, 0)和 A(6, 0).点 B 是抛物线的顶点, 点 D 是 x 轴下方抛物线上的一点,连结 OB,OD. (1)求抛物线的解析式; (2)如图,当BOD30时,求点 D 的坐标; (3)如图,在(2)的条件下,抛物线的对称轴交 x 轴于点 C,交线段 OD 于点 E,点 F 是 线段 OB 上的动点(点 F 不与点 O 和点 B 重合),连结 EF,将BEF 沿 EF 折叠,点 B 的对应 点为点 B,EFB与OBE 的重叠部分为EFG,在坐标平面内是否存在一点 H,使以点 E,F,G,H 为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点 H 的坐标,

21、若不存在,请说明 理由 解:(1)把点 O(0,0)和 A(6,0)代入 yax22 3 xc 中,得到 c0, 36a12 3c0, 解 得 a 3 3 , c0, 抛物线的解析式为 y 3 3 x22 3 x (2)如图中,设抛物线的对称轴交 x 轴于点 M,与 OD 交于点 N.y 3 3 x22 3 x 3 3 (x3)23 3 ,顶点 B(3,3 3 ),M(3,0),OM3.BM3 3 ,tan MOB BM OM 3 ,MOB60.BOD30,MONMOBBOD30, MNOM tan 30 3 ,N(3,3 ),直线 ON 的解析式为 y 3 3 x,由 y 3 3 x, y

22、3 3 x22 3x, 解得 x0, y0 或 x5, y5 3 3 , D(5,5 3 3 ) (3)如图1 中,当EFG90时,点 H 在第一象限,此时 G,B,O 重合,由题 意 OFBF,可得 F(3 2 , 3 3 2 ),E(3, 3 ),利用平移的性质可得 H(3 2 , 3 2 ). 如图2 中, 当EGF90时, 点 H 在对称轴右侧, 由题意, EBFFEB30, EFBF, 可得 F(2, 2 3 ), 利用平移的性质可得 H(7 2 , 3 3 2 ).如图3 中, 当FGE 90时, 点 H 在对称轴左侧, 点 B在对称轴上, 由题意 EFBE, 可得 F(1, 3

23、), G(3 2 , 3 2 ), 利用平移的性质, 可得 H(5 2 , 3 3 2 ).综上所述, 满足条件的点 H 的坐标为(3 2 , 3 2 ) 或(5 2 , 3 3 2 )或(7 2 , 3 3 2 ) 一是转化为直角三角形问题,二是利用矩形的性质巧解题 正方形探究 10如图,已知直线 AB 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,线段 OA 的长是方程 x2 7x180 的一个根,OB1 2 OA.请解答下列问题: (1)求点 A,B 的坐标; (2)直线 EF 交 x 轴负半轴于点 E, 交 y 轴正半轴于点 F,交直线 AB 于点 C.若 C 是 EF 的 中点,OE6

24、,反比例函数 yk x 图象的一支经过点 C,求 k 的值; (3)在(2)的条件下,过点 C 作 CDOE,垂足为 D,点 M 在直线 AB 上,点 N 在直线 CD 上坐标平面内是否存在点 P,使以 D,M,N,P 为顶点的四边形是正方形?若存在,请写 出点 P 的个数,并直接写出其中两个点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 解:(1)线段 OA 的长是方程 x27x180 的一个根,解得 x9 或2(舍),而点 A 在 x 轴正半轴上,A(9,0).OB1 2 OA,B(0, 9 2 ) (2)OE6, E(6, 0), 设直线 AB 的表达式为 ykxb, 将点 A 和 B 的坐标代入

25、, 得 09kb, 9 2b, 解得 k 1 2, b9 2, AB 的表达式为 y1 2 x 9 2 .点 C 是 EF 的中点, 点 C 的横坐标为3,代入 y1 2 x 9 2 中,得 y6,则 C(3,6).反比例函数 y k x 经过点 C,k3618 (3)存在点 P,使以 D,M,N,P 为顶点的四边形是正方形,如图,共有 5 种情况,在四 边形 DM1P1N1中,M1和点 A 重合,M1(9,0),此时 P1(9,12);在四边形 DP3M3N3中,可 知 M3在直线 yx3 上,联立 yx3, y1 2x 9 2, 解得 x1, y4, M3(1,4),P3(1,0),同理

26、可得:P2(9,12),P4(7,4),P5(15,0).故存在点 P 使以 D,M,N,P 为顶点的四边形 是正方形,点 P 的坐标为 P1(9,12),P2(9,12),P3(1,0),P4(7,4),P5(15,0) 11如图,抛物线 yax2bxc 关于直线 x1 对称,与坐标轴交于 A,B,C 三点, 且 AB4,点 D(2,3 2 )在抛物线上 (1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线上是否存在一点 P, 使得点 Q 在 x 轴上, 点 M 在坐标平面内, 四边形 CQPM 是正方形?若存在,请求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由 解: (1)抛物线 yax2bxc 关于直线

27、 x1 对称, AB4, 点 A(1, 0), B(3, 0), ya(x1)(x3).又点 D(2,3 2 )在抛物线上, 3 2 (21)(23)a,a 1 2 ,y 1 2 (x1)(x3) 1 2 x 2x3 2 (2)存在,理由如下:当 Q 点的横坐标小于1 时,则点 P 位于第三象限内,如图, 过点 P 作 PFx 轴于点 F, PQFQPF90.四边形 CQPM 是正方形, CQPQ, CQP90,CQOPQF90,CQOQPF,COQQFP(AAS), OQPF,QFOC3 2 ,PFOFQFOF 3 2 .设点 P 的坐标为(t, 1 2 t 2t3 2 ), 1 2 t 2

28、t3 2 t 3 2 ,t 6 (舍)或 t 6 ,点 P 的横坐标为 6 ; 当 Q 点的横坐标大于 3 时,则点 P 位于第四象限内,如图,同的方法可得点 P 的 横坐标为 2 10 ; 当 Q 点的横坐标在1 到 3 之间(包括1 和 3)时,则点 P 位于第三象限内(如图)或 第一象限内(如图), 当点 P 位于第三象限内时, 同的方法可得点 P 的横坐标为 2 10 ; 当点 P 位于第一象限内时,同的方法可得点 P 的横坐标为 6 . 综上所述,点 P 的横坐标为 6 或 2 10 或 2 10 画出图形,用全等三角形的性质与判定、等腰三角形等的知识来解决注意在分类讨论 时考虑全面,做到不重复不遗漏