1、 专题专题 14 特殊四边形探究特殊四边形探究 平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形，是近年中考的热点问题之一，需要掌 握它们的概念，了解它们之间的关系，掌握有关的性质和判定表现方式通常是通过添加适 当的辅助线转化为三角形来解决数学问题和现实问题， 注重考查同学们的观察、 猜想、 推理、 探究等思维活动能力以及对知识的理解能力 突显出要把平行四边形转化为三角形来解决，把复杂的图形分解为线段相等或平行等基 本图形，运用函数、列方程求解 特殊四边形与函数的联系 1如图，菱形 ABCD 的边长是 4 cm，B60，动点 P 以 1 cm/s 的速度自 A 点出发 沿 AB 方向运动至 B 点停
2、止， 动点 Q 以 2 cm/s 的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停 止若点 P，Q 同时出发运动了 t s，记BPQ 的面积为 S cm2，下面图象中能表示 S 与 t 之 间的函数关系的是 D 第1题图 第2题图 2 如图， 在梯形 ABCD 中， ABDC， DEAB 于点 E， CFAB 于点 F， 且 AEEF FB 5，DE 12，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ADDCCB 以每秒 1 个单位的速度运 动到点 B 停止设运动时间为 t 秒，ySEPF，则 y 与 t 的函数图象大致是 A 根据特殊四边形的性质，列出关系式，结合选项进行判断 平行四边形探究 3如
3、图所示，抛物线 y1 2 x 2bxc 经过 B，D 两点，与 x 轴的另一个交点为 A， 与 y 轴相交于点 C. (1)求抛物线的解析式； (2)设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上要使以点 A，B，P，Q 为顶点的四边形是平行 四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标 解：(1)把 B(3，0)和 D(2，5 2 )代入抛物线的解析式得 9 23bc0， 22bc5 2， 解得 b1， c3 2， 抛物线的解析式为 y1 2 x 2x3 2 (2)令 y0，得1 2 x 2x3 2 0，解得 x1 或 x3，A(1，0)AB4.设 Q(0， n)， 当 AB 为平行四边形的边时， 有
4、 ABPQ， ABPQ， 当 P 点在 Q 点左边时， 则 P(4， n)，把 P(4，n)代入 y1 2 x 2x3 2 ，得 n 21 2 ，P(4，21 2 )； 当 AB 为平行四边形的边时，有 ABPQ，ABPQ，当 P 点在 Q 点右边时，则 P(4， n)，把 P(4，n)代入 y1 2 x 2x3 2 ，得 n 5 2 ，P(4， 5 2 )； 当 AB 为平行四边形的对角线时， 如图， AB 与 PQ 交于点 E， 则 E(1， 0)， PEQE， P(2，n)，把 P(2，n)代入 y1 2 x 2x3 2 ，得n 3 2 ，n 3 2 ，P(2， 3 2 ).综 上，满足
5、条件的 P 点坐标为(4，21 2 )或(4，5 2 )或(2， 3 2 ) 4. 如图，抛物线 yax2bxc 与坐标轴交于 A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)三点，顶 点为 D. (1)请直接写出抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； (2)连结 BC 与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上一动点(点 P 不与 B，C 两点 重合)，过点 P 作 PFDE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m. 是否存在点 P， 使四边形 PEDF 为平行四边形？若存在， 求出点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由； 过点 F 作 FHBC 于点 H，求PFH 周长的最大值 解：(
6、1)把 A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)代入 yax2bxc，得 abc0， 25a5bc0， c5， 解得 a1， b4， c5， yx24x5(x2)29， 抛物线的表达式为 yx24x5, 顶点坐标为 D(2，9) (2)易得点 F 的坐标为(m，m24m5)，直线 BC 的表达式为 yx5，PFDEy 轴，xPxFm，xExD2.点 E，P 在直线 BC 上，点 P 的坐标为(m，m5)，点 E 的坐标为(2， 3)， PF(m5)(m24m5)m25m， DE3(9)6.连结 DF， PFDE， 当 PFDE， 即m25m6 时， 四边形 PEDF 为平行四边形解m25m6，
7、 得 m13， m22(不合题意， 舍去)， 存在点 P(3， 2)， 使四边形 PEDF 为平行四边形 OB OC5， BC5 2 ， CBOC105 2 .PFDEy 轴， FPEDECOCB. 又FHBC，FHPBOC90，PFHCBO，C PFH CCBO PF BC ，CPFH 105 2 5 2 (m25m)( 2 1)(m5 2 ) 225 225 4 ，0m5，当 m5 2 时，PFH 的周长最大，最大值为25 225 4 5如图，已知抛物线：y1x22x3 与 x 轴交于 A，B 两点(A 在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C. (1)直接写出点 A，B，C 的坐标； (2
8、)将抛物线 y1经过向右与向下平移， 使得到的抛物线 y2与 x 轴交于 B，B两点(B在 B 的右侧)， 顶点 D 的对应点为点 D， 若BDB90， 求点 B的坐标及抛物线 y2的解析式； (3)在(2)的条件下，若点 Q 在 x 轴上，则在抛物线 y1或 y2上是否存在点 P，使以 B，C， Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；如果不 存在，请说明理由 解： (1)对于 y1x22x3， 令 y10， 得到x22x30， 解得 x3 或 1， A( 3，0)，B(1，0).令 x0，得到 y13，C(0，3) (2)设平移后的抛物线的解析式为
9、y2(xa)2b， 如图中， 过点 D作 DHOB于点 H，连结 BD.D是抛物线的顶点，DBDB，D(a，b).BDB90，DH BB，BHHB，DHBHHBb，a1b，又y2(xa)2b，经过 B(1， 0)，b(1a)2，解得 a2 或 1(不合题意舍弃)，b1，B(3，0)，y2(x2)21 x24x3 (3)如图中，观察图象可知，当点 P 的纵坐标为 3 或3 时，存在满足条件的平行四边 形对于 y1x22x3，令 y13，x22x0，解得 x0 或2，可得 P1(2，3)，令 y1 3，则 x22x60，解得 x1 7 ，可得 P2(1 7 ，3)，P3(1 7 ， 3)， 对于
10、y2x24x3， 令 y23， 方程无解， 令 y23， 则 x24x0， 解得 x0 或 4， 可得 P4(0，3)，P5(4，3)，综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(2，3)或(1 7 ， 3)或(1 7 ，3)或(0，3)或(4，3). 利用平行四边形对边平行且相等这一特征， 一般作平行线， 找到平行四边形的顶点位置， 再根据线段相等，转化为方程解决 菱形探究 6如图，RtOAB 的直角边 OA 在 x 轴上，顶点 B(6，8)，直线 CD 交 AB 于点 D(6， 3)，交 x 轴于点 C(12，0). (1)求直线 CD 的函数表达式； (2)动点 P 在 x 轴上从点(10，0
11、)出发，以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动，过点 P 作直线 lx 轴，设运动时间为 t s当 t 为何值时，在直线 l 上存在点 M，在直线 CD 上存 在点 Q，使得以 OB 为一边，O，B，M，Q 为顶点的四边形为菱形？ 解：(1)设直线 CD 的表达式为 ykxb，则有 12kb0， 6kb3， 解得 k1 2， b6， 直线 CD 的表达式为 y1 2 x6 (2)当 OPOB10 时，如图，作 PQOB 交 CD 于点 Q，直线 OB 的表达式为 y 4 3 x，直线 PQ 的表达式为 y 4 3 x 40 3 .由 y 4 3x 40 3 ， y1 2x6， 解得 x4
12、， y8， 点 Q 的坐标 为(4，8)，PQ 6282 10，PQOB.又PQOB，四边形 OBQP 是平行四边 形又OBOP，四边形 OBQP 是菱形，此时点 M 与点 P 重合，满足条件，t0；当 OQOB 时，如图，设点 Q 的坐标为(m，1 2 m6)，则有 m 2(1 2 m6) 2102，解得 m12 4 89 5 ， 点 Q 的横坐标为124 89 5 或124 89 5 .设点 M 的横坐标为 a， 则有a0 2 124 89 5 6 2 或a0 2 124 89 5 6 2 ，a424 89 5 或424 89 5 ，满足条件的 t 的值为924 89 5 或924 89
13、5 .当点 Q与 C 重合时，M点的横坐标为 6，此时 t16.综上 所述，满足条件的 t 的值为 0 或 16 或924 89 5 或924 89 5 7如图，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4.求作菱形 DEFG，使点 D 在 边 AC 上，点 E，F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上 小明的作法： 如图，在边 AC 上取一点 D，过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G； 以点 D 为圆心，DG 长为半径画弧，交 AB 于点 E； 在 EB 上截取 EFED，连结 FG，则四边形 DEFG 即为所求作的菱形 (1)证明小明所作的四边形 DEFG 是菱形； (2)小明进一步
14、探索， 发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化请你继续 探索，直接写出菱形的个数及对应的 CD 的长的取值范围 解：(1)证明：DEDG，EFDE，DGEF.DGEF，四边形 DEFG 是平行四 边形又DGDE，四边形 DEFG 是菱形 (2)如图，当四边形 DEFG 是正方形时，设正方形的边长为 x，在 RtABC 中，C 90，AC3，BC4，AB 3242 5，则 CD3 5 x，AD 5 4 x， 3 5 x 5 4 x3， x60 37 ，CD 3 5 x 36 37 ； 如图，当四边形 DAEG 是菱形时，设菱形的边长为 m，DGAB，CD CA DG AB ， 3m
15、3 m 5 ，解得 m 15 8 ，CD315 8 9 8 ； 如图，当四边形 DEBG 是菱形时，设菱形的边长为 n，DGAB，CG CB DG AB ， 4n 4 n 5 ，n 20 9 ，CG420 9 16 9 ，CD（20 9 ）2（16 9 ）2 4 3 . 观察图象可知，当 0CD36 37 或 4 3 CD3 时，菱形的个数为 0；当 CD 36 37 或 9 8 CD4 3 时，菱形的个数为 1；当 36 37 CD 9 8 时，菱形的个数为 2 利用菱形的四边相等关系，转化为方程解决，也可以转化为等腰三角形问题解决，或者 先作出平行四边形，再利用两邻边相等，转化为方程解决
16、矩形探究 8(2020 牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC 在 x 轴上，OA 在 y 轴上O 为坐标原点，ABOC，线段 OA，AB 的长分别是方程 x29x200 的两个根 (OAAB)，tan OCB4 3 . (1)求点 B，C 的坐标； (2)P 为 OA 上一点，Q 为 OC 上一点，OQ5，将POQ 翻折，使点 O 落在 AB 上的点 O处，双曲线 yk x 的一个分支过点 O.求 k 的值； (3)在(2)的条件下，M 为坐标轴上一点，在平面内是否存在点 N，使以 O，Q，M，N 为 顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说
17、明理由 解：(1)解方程 x29x200，(x4)(x5)0，得 x14，x25，OAAB，OA 4，AB5，如图，过点 B 作 BDOC 于点 D，tan OCB4 3 ，BDOA4，CD 3，ODAB5，OC8，点 B 的坐标为(5，4)，点 C 的坐标为(8，0) (2)如图，ABOC，OQAB5，AOQ90，四边形 AOQB 为矩形BQ OA4，由翻折，得 OQOQ5，OB OQ2QB2 5242 3，AO2， O(2，4)，k248 (3)存在分四种情况： 如图，M 在 x 轴的正半轴上，四边形 NOMQ 是矩形，此时 N 与 B 重合，则 N(5， 4)； 如图，M 在 x 轴的负
18、半轴上，四边形 NMOQ 是矩形，过 O作 ODx 轴于点 D， 过 N 作 NHx 轴于点 H， 四边形 NMOQ 是矩形， MNOQ5， MNOQ， NMO DQO.NHMQDO90，NHMODQ(AAS)，NHOD4，DQ MH3，由(2)知：AO2，设 POx，则 OPx，AP4x，在 RtAPO 中，由勾 股定理得：AP2AO2OP2，即 x222(4x)2，解得 x5 2 ，P(0， 5 2 )，设 PO的解析 式为 ykxb， 则 b5 2， 2kb4， 解得 k 3 4， b5 2， PO的解析式为 y3 4 x 5 2 ， 当 y0 时， 3 4 x 5 2 0，x 10 3
19、 ，OM10 3 ，OHOMMH10 3 31 3 ，N( 1 3 ，4)； 如图，M 在 y 轴的正半轴上，四边形 MNQO是矩形， 由知：M(0，5 2 )，O(2，4)，Q(5，0)，N(3， 3 2 )； 如图，M 在 y 轴的负半轴上，四边形 MNOQ 是矩形，过 O作 ODx 轴于点 D， MOQQDO，OMQDQO，MOQQDO，OM QD OQ DO ，即 OM 3 5 4 ，OM 15 4 ，M(0，15 4 )，O(2，4)，Q(5，0)，N(3，1 4 ).综上，点 N 的坐 标为 N(5，4)或(1 3 ，4)或(3， 3 2 )或(3， 1 4 ) 9 如图， 抛物线
20、 yax22 3 xc(a0)过点 O(0， 0)和 A(6， 0).点 B 是抛物线的顶点， 点 D 是 x 轴下方抛物线上的一点，连结 OB，OD. (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当BOD30时，求点 D 的坐标； (3)如图，在(2)的条件下，抛物线的对称轴交 x 轴于点 C，交线段 OD 于点 E，点 F 是 线段 OB 上的动点(点 F 不与点 O 和点 B 重合)，连结 EF，将BEF 沿 EF 折叠，点 B 的对应 点为点 B，EFB与OBE 的重叠部分为EFG，在坐标平面内是否存在一点 H，使以点 E，F，G，H 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 H 的坐标，
21、若不存在，请说明 理由 解：(1)把点 O(0，0)和 A(6，0)代入 yax22 3 xc 中，得到 c0， 36a12 3c0， 解 得 a 3 3 ， c0， 抛物线的解析式为 y 3 3 x22 3 x (2)如图中，设抛物线的对称轴交 x 轴于点 M，与 OD 交于点 N.y 3 3 x22 3 x 3 3 (x3)23 3 ，顶点 B(3，3 3 )，M(3，0)，OM3.BM3 3 ，tan MOB BM OM 3 ，MOB60.BOD30，MONMOBBOD30， MNOM tan 30 3 ，N(3，3 )，直线 ON 的解析式为 y 3 3 x，由 y 3 3 x， y
22、3 3 x22 3x， 解得 x0， y0 或 x5， y5 3 3 ， D(5，5 3 3 ) (3)如图1 中，当EFG90时，点 H 在第一象限，此时 G，B，O 重合，由题 意 OFBF，可得 F(3 2 ， 3 3 2 )，E(3， 3 )，利用平移的性质可得 H(3 2 ， 3 2 ). 如图2 中， 当EGF90时， 点 H 在对称轴右侧， 由题意， EBFFEB30， EFBF， 可得 F(2， 2 3 )， 利用平移的性质可得 H(7 2 ， 3 3 2 ).如图3 中， 当FGE 90时， 点 H 在对称轴左侧， 点 B在对称轴上， 由题意 EFBE， 可得 F(1， 3
23、)， G(3 2 ， 3 2 )， 利用平移的性质， 可得 H(5 2 ， 3 3 2 ).综上所述， 满足条件的点 H 的坐标为(3 2 ， 3 2 ) 或(5 2 ， 3 3 2 )或(7 2 ， 3 3 2 ) 一是转化为直角三角形问题，二是利用矩形的性质巧解题 正方形探究 10如图，已知直线 AB 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，线段 OA 的长是方程 x2 7x180 的一个根，OB1 2 OA.请解答下列问题： (1)求点 A，B 的坐标； (2)直线 EF 交 x 轴负半轴于点 E， 交 y 轴正半轴于点 F，交直线 AB 于点 C.若 C 是 EF 的 中点，OE6
24、，反比例函数 yk x 图象的一支经过点 C，求 k 的值； (3)在(2)的条件下，过点 C 作 CDOE，垂足为 D，点 M 在直线 AB 上，点 N 在直线 CD 上坐标平面内是否存在点 P，使以 D，M，N，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写 出点 P 的个数，并直接写出其中两个点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)线段 OA 的长是方程 x27x180 的一个根，解得 x9 或2(舍)，而点 A 在 x 轴正半轴上，A(9，0).OB1 2 OA，B(0， 9 2 ) (2)OE6， E(6， 0)， 设直线 AB 的表达式为 ykxb， 将点 A 和 B 的坐标代入
25、， 得 09kb， 9 2b， 解得 k 1 2， b9 2， AB 的表达式为 y1 2 x 9 2 .点 C 是 EF 的中点， 点 C 的横坐标为3，代入 y1 2 x 9 2 中，得 y6，则 C(3，6).反比例函数 y k x 经过点 C，k3618 (3)存在点 P，使以 D，M，N，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有 5 种情况，在四 边形 DM1P1N1中，M1和点 A 重合，M1(9，0)，此时 P1(9，12)；在四边形 DP3M3N3中，可 知 M3在直线 yx3 上，联立 yx3， y1 2x 9 2， 解得 x1， y4， M3(1，4)，P3(1，0)，同理
26、可得：P2(9，12)，P4(7，4)，P5(15，0).故存在点 P 使以 D，M，N，P 为顶点的四边形 是正方形，点 P 的坐标为 P1(9，12)，P2(9，12)，P3(1，0)，P4(7，4)，P5(15，0) 11如图，抛物线 yax2bxc 关于直线 x1 对称，与坐标轴交于 A，B，C 三点， 且 AB4，点 D(2，3 2 )在抛物线上 (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在一点 P， 使得点 Q 在 x 轴上， 点 M 在坐标平面内， 四边形 CQPM 是正方形？若存在，请求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)抛物线 yax2bxc 关于直线
27、 x1 对称， AB4， 点 A(1， 0)， B(3， 0)， ya(x1)(x3).又点 D(2，3 2 )在抛物线上， 3 2 (21)(23)a，a 1 2 ，y 1 2 (x1)(x3) 1 2 x 2x3 2 (2)存在，理由如下：当 Q 点的横坐标小于1 时，则点 P 位于第三象限内，如图， 过点 P 作 PFx 轴于点 F， PQFQPF90.四边形 CQPM 是正方形， CQPQ， CQP90，CQOPQF90，CQOQPF，COQQFP(AAS)， OQPF，QFOC3 2 ，PFOFQFOF 3 2 .设点 P 的坐标为(t， 1 2 t 2t3 2 )， 1 2 t 2
28、t3 2 t 3 2 ，t 6 (舍)或 t 6 ，点 P 的横坐标为 6 ； 当 Q 点的横坐标大于 3 时，则点 P 位于第四象限内，如图，同的方法可得点 P 的 横坐标为 2 10 ； 当 Q 点的横坐标在1 到 3 之间(包括1 和 3)时，则点 P 位于第三象限内(如图)或 第一象限内(如图)， 当点 P 位于第三象限内时， 同的方法可得点 P 的横坐标为 2 10 ； 当点 P 位于第一象限内时，同的方法可得点 P 的横坐标为 6 . 综上所述，点 P 的横坐标为 6 或 2 10 或 2 10 画出图形，用全等三角形的性质与判定、等腰三角形等的知识来解决注意在分类讨论 时考虑全面，做到不重复不遗漏