1、2018-2020 年北京中考数学复习各地区模拟试题分类（年北京中考数学复习各地区模拟试题分类（10）四边形）四边形 一选择题（共一选择题（共 2 小题）小题） 1（2020东城区二模） 把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置 则图中阴影部分的面积为 （ ） A1 3 B1 4 C1 5 D1 6 2 （2020房山区二模）如图，在 ABCD 中，延长 AD 至点 E，使 AD2DE，连接 BE 交 CD 于点 F，交 AC 于点 G，则 的值是（ ） A2 3 B1 3 C1 2 D3 4 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 3 （2020朝阳区二模）正方形 ABCD
2、 的边长为 4，点 M，N 在对角线 AC 上（可与点 A，C 重合） ，MN2， 点 P，Q 在正方形的边上下面四个结论中， 存在无数个四边形 PMQN 是平行四边形； 存在无数个四边形 PMQN 是菱形； 存在无数个四边形 PMQN 是矩形； 至少存在一个四边形 PMQN 是正方形 所有正确结论的序号是 4 （2020北京二模）四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，点 M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD， DA 的中点有下列四个推断： 对于任意四边形 ABCD，四边形 MNPQ 都是平行四边形； 若四边形 ABCD 是平行四边形，则 MP 与 NQ 交于点 O； 若四
3、边形 ABCD 是矩形，则四边形 MNPQ 也是矩形； 若四边形 MNPQ 是正方形，则四边形 ABCD 也一定是正方形 所有正确推断的序号是 5 （2020门头沟区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，B（3，0） ，AOB 是等边三角形，动点 P 从 点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 BO 匀速运动，动点 Q 同时从点 A 出发以同样的速度沿 OA 延长 线方向匀速运动，当点 P 到达点 O 时，点 P，Q 同时停止运动过点 P 作 PEAB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D设运动时间为 t 秒，得出下面三个结论， 当 t1 时，OPQ 为直角三角形； 当 t2 时，以
4、AQ，AE 为边的平行四边形的第四个顶点在AOB 的平分线上； 当 t 为任意值时，DE= 1 2AB 所有正确结论的序号是 6 （2020房山区一模） ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是边 AB 上的一个动点（不与 A、B 重 合） ，连接 EO 并延长，交 CD 于点 F，连接 AF，CE，下列四个结论中： 对于动点 E，四边形 AECF 始终是平行四边形； 若ABC90，则至少存在一个点 E，使得四边形 AECF 是矩形； 若 ABAD，则至少存在一个点 E，使得四边形 AECF 是菱形； 若BAC45，则至少存在一个点 E，使得四边形 AECF 是正方形 以上所有正
5、确说法的序号是 7 （2020通州区一模）如图，点 A，B，C 为平面内不在同一直线上的三点点 D 为平面内一个动点线 段 AB，BC，CD，DA 的中点分别为 M，N，P，Q在点 D 的运动过程中，有下列结论： 存在无数个中点四边形 MNPQ 是平行四边形； 存在无数个中点四边形 MNPQ 是菱形； 存在无数个中点四边形 MNPQ 是矩形； 存在两个中点四边形 MNPQ 是正方形 所有正确结论的序号是 8 （2020东城区模拟）在菱形 ABCD 中，MNPQ 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合） 对于任意菱形 ABCD，下面四个结论中， 存在无数个四边形 MNPQ 是平行
6、四边形； 存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； 存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； 存在无数个四边形 MNPQ 是正方形 所有正确结论的序号是 9 （2020海淀区校级模拟）我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，边长为 4 的正 方形 ABCD 的边 AB 在轴 x 上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D处，则点 C 的对应点 C的坐标为 10 （2020密云区二模）如图1、2、3、4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角，若EAB120，则 1+2+3+4 三解答题（共三解答题（共 25 小题）小题） 11
7、 （2020昌平区模拟）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线 的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边 （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称： ， ； （2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0） ，A（3，0） ，B（0，4） ，请你画出以格点为顶点， OA，OB 为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形 OAMB； （3） 如图 2， 将ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60， 得到DBE， 连结 AD， DC， DCB30 写 出线段 DC，AC，BC 的数量关系为 12 （2020西城区
8、校级三模）在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF BE，连接 AF，BF （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF6，tanC= 4 3，DC16，求证：AF 平分DAB 13 （2020昌平区二模） 在平行四边形 ABCD 中， 过点 A 作 AEBC 于点 E， 点 F 在边 AD 上， 且 DFBE， 连接 DE，CF （1）求证：四边形 AECF 是矩形； （2）若 DE 平分ADC，AB5，AD8，求 tanADE 的值 14 （2020石景山区二模）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADDC，DE 平分ADC
9、交 BC 于点 E， 连接 AE （1）求证：四边形 AECD 是菱形； （2）连接 AC 交 DE 于点 F若ABC90，AC23，CE2，求 AB 的长 15 （2020门头沟区二模）如图，在平行四边形 ABCD 中，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于 O，分别交 BC， AD 于 E，F，连接 AE，CF （1）证明：四边形 AECF 是菱形； （2）在（1）的条件下，如果 ACAB，B30，AE2，求四边形 AECF 的面积 16 （2020西城区二模）在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上一点（CEDE） ，AE，BD 交于点 F （1）如图 1，过点 F 作 GHAE，分别交
10、边 AD，BC 于点 G，H 求证：EABGHC； （2）AE 的垂直平分线分别与 AD，AE，BD 交于点 P，M，N，连接 CN 依题意补全图形； 用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系，并证明 17 （2020东城区二模）在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，连接 OE 并延长 到点 F，使 EFEO，连接 AF，BF （1）求证：四边形 AOBF 是矩形； （2）若 AD5，sinAFO= 3 5，求 AC 的长 18 （2020房山区二模）如图，菱形 ABCD 中，分别延长 DC，BC 至点 E，F，使 CECD，CFCB，连 接 DB
11、，BE，EF，FD （1）求证：四边形 DBEF 是矩形； （2）若 AB5，cosABD= 3 5，求 DF 的长 19 （2020丰台区二模）如图，矩形 ABCD，延长 CD 至点 E，使 DECD，连接 AC，AE，过点 C 作 CF AE 交 AD 的延长线于点 F，连接 EF （1）求证：四边形 ACFE 是菱形； （2）连接 BE 交 AD 于点 G当 AB2，ACB30时，求 BG 的长 20 （2020石景山区一模） 如图， 在 ABCD 中， ACB90， 过点 D 作 DEBC 交 BC 的延长线于点 E （1）求证：四边形 ACED 是矩形； （2）连接 AE 交 CD
12、于点 F，连接 BF若ABC60，CE2，求 BF 的长 21 （2020密云区一模）如图，在 RtABC 中，ACB90CDAB，AF 平分CAB，交 CD 于点 E， 交 BC 于点 F过点 F 作 FGAB 交 AB 于点 G，连接 EG （1）求证：四边形 CEGF 是菱形； （2）若B30，AC6，求 CE 的长 22 （2020丰台区一模）如图，在 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，且 AOBO （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）ADB 的角平分线 DE 交 AB 于点 E，当 AD3，tanCAB= 3 4时，求 AE 的长 23 （2020房山区一模）如图，矩形
13、 ABCD，过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E过点 D 作 DHBE 于 H，G 为 AC 中点，连接 GH （1）求证：BEAC （2）判断 GH 与 BE 的数量关系并证明 24 （2020海淀区校级模拟）如图， ABCD 的两条对角线相交于 O 点，过 O 点作 OEAB，垂足为 E，已 知DBADBC，AB5 （1）求证：四边形 ABCD 为菱形； （2）若 sinADB= 4 5，求线段 OE 的长 25 （2020平谷区二模）如图，在ABM 中，ABC90，延长 BM 使 BCBA，线段 CM 绕点 C 顺时 针旋转 90得到线段 CD，连结 DM，AD （1）依据
14、题意补全图形； （2）当BAM15时，AMD 的度数是 ； （3）小聪通过画图、测量发现，当AMB 是一定度数时，AMMD 小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：通过观察图形可以发现，如果把梯形 ABCD 补全成为正方形 ABCE，就易证ABMAED，因 此易得当AMD 是特殊值时，问题得证； 想法 2：要证 AMMD，通过第（2）问，可知只需要证明AMD 是等边三角形，通过构造平行四边形 CDAF，易证 ADCF，通过ABMCBF，易证 AMCF，从而解决问题； 想法 3：通过 BCBA，ABC90，连结 AC，易证ACMACD，易得AMD 是等腰
15、三角形，因 此当AMD 是特殊值时，问题得证 请你参考上面的想法，帮助小聪证明当AMD 是一定度数时，AMMD （一种方法即可） 26 （2020石景山区一模）如图，点 E 是正方形 ABCD 内一动点，满足AEB90且BAE45，过点 D 作 DFBE 交 BE 的延长线于点 F （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段 EF，DF，BE 之间的数量关系，并证明； （3）连接 CE，若 AB25，请直接写出线段 CE 长度的最小值 27 （2020通州区一模）已知线段 AB，过点 A 的射线 lAB在射线 l 上截取线段 ACAB，连接 BC，点 M 为 BC 的中点，点 P 为 AB
16、边上一动点，点 N 为线段 BM 上一动点，以点 P 为旋转中心，将BPN 逆时 针旋转 90得到DPE，B 的对应点为 D，N 的对应点为 E （1）当点 N 与点 M 重合，且点 P 不是 AB 中点时， 据题意在图中补全图形； 证明：以 A，M，E，D 为顶点的四边形是矩形 （2）连接 EM若 AB4，从下列 3 个条件中选择 1 个： BP1，PN1，BN= 2， 当条件 （填入序号）满足时，一定有 EMEA，并证明这个结论 28 （2019延庆区一模）如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E、F 分别是边 BC 上的两点，且 EOF45，将EOF 绕点 O 逆时针旋转，当
17、点 F 与点 C 重合时，停止旋转，已知，BC6，设 BEx， EFy 小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过 程，请补充完整： （1）按照下表中自变量 x 的值进行取点，画图、测量，得到了 y 与 x 的几组对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 3 2.77 2.50 2.55 2.65 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当 EF2BE 时，BE 的长度约为 29 （2018通州区三模）在课外活动
18、中，我们要研究一种四边形“垂直四边形” 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形（如图 1） 小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对垂直四边形进行了研究 下面是小聪的研究过程，请补充完整： 概念理解： （1）根据垂直四边形的定义，在你学过的四边形中，满足垂直四边形的定义的是； （写出一种即可） （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂直四边形吗？请说明理由 性质探索： （3）试探索垂直四边形 ABCD 两组对边 AB，CD 与 BC，AD 之间的数量关系 猜想结论： （要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求
19、证） 30 （2018朝阳区模拟） 如图， 在菱形 ABCD 中， AC 和 BD 相交于点 O， 过点 O 的线段 EF 与一组对边 AB， CD 分别相交于点 E，F （1）求证：AECF； （2）若 AB2，点 E 是 AB 中点，求 EF 的长 31 （2019海淀区校级模拟）已知菱形 ABCD 中，ABC120，E 为边 AB 上一点，连接 ED，ADE ，将线段 DE 绕着点 E 旋转，使得点 D 落在 DB 的延长线上点 F 处，BC 上取一点 G，使得 BGBF，连 接 EG （1）依题意补全图形； 求FED 的角度（用 表示） ； （2）探究 AE，CG，FD 的数量关系，并
20、证明 32 （2019昌平区二模）在正方形 ABCD 中，AC 是一条对角线，点 E 是边 BC 上的一点（不与点 C 重合） ， 连接 AE，将ABE 沿 BC 方向平移，使点 B 与点 C 重合，得到DCF，过点 E 作 EGAC 于点 G，连接 DG，FG （1）如图 1，依题意补全图 1； 判断线段 FG 与 DG 之间的数量关系与位置关系，并证明； （2）已知正方形的边长为 6，当AGD60时，求 BE 的长 33 （2019丰台区二模）如图，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合） ，延长 AE 到 点 F，连接 BF，且AFB45，G 为 DC 边
21、上一点，且 DGBE，连接 DF，点 F 关于直线 AB 的对称点 为 M，连接 AM、BM （1）依据题意，补全图形； （2）求证：DAGMAB； （3）用等式表示线段 BM、DF 与 AD 的数量关系，并证明 34 （2019石景山区二模）如图，P 是矩形 ABCD 内部的一定点，M 是 AB 边上一动点，连接 MP 并延长与 矩形 ABCD 的一边交于点 N，连接 AN已知 AB6cm，设 A，M 两点间的距离为 xcm，M，N 两点间的距 离为 y1cm，A，N 两点间的距离为 y2cm小欣根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化 而变化的规律进行了探究下面是小欣
22、的探究过程，请补充完整； （1）按照如表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值； x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 6.30 5.40 4.22 3.13 3.25 4.52 y2/cm 6.30 6.34 6.43 6.69 5.75 4.81 3.98 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点（x，y1） ，并画出函数 y1的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当AMN 为等腰三角形时，AM 的长度约为 cm 35 （2019怀柔区一模）如图 1，正方形 ABCD 中，AB5，点 E 为 B
23、C 边上一动点，连接 AE，以 AE 为边， 在线段 AE 右侧作正方形 AEFG，连接 CF、DF设 BEx（当点 E 与点 B 重合时，x 的值为 0） ，DFy1， CFy2 小明根据学习函数的经验，对函数 y1、y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探 究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了 x 与 y1、y2的几组对应值； x 0 1 2 3 4 5 y1 5.00 4.12 3.61 4.12 5.00 y2 0 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应
24、的点（x，y1） ， （x，y2） ，并画 出函数 y1，y2的图象； （3）结合函数图象 2，解决问题：当CDF 为等腰三角形时，BE 的长度约为 cm 2018-2020 年北京中考数学复习各地区模拟试题分类（年北京中考数学复习各地区模拟试题分类（10）四边形四边形 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 2 小题）小题） 1 【解答】解：如图，设 BCx，则 CE1x， 两个正方形， ABEF， ABCFEC， = ，即 1 2 = 1， 解得 x= 1 3， 阴影部分面积为：SABC= 1 2 1 3 1= 1 6， 故选：D 2 【解答】解：四边形 ABCD
25、是平行四边形， ABCD，ABCD， DEFABE， = ， AD2DE， = +2 = 1 3， ABCD， = = 1 3， FC2DF， ABCD， GFCGBA， = = 2 3 = 2 3， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 3 【解答】解：如图，作线段 MN 的垂直平分线交 AD 于 P，交 AB 于 Q PQ 垂直平分线段 MN， PMPN，QMQN， 四边形 ABCD 是正方形， PANQAN45， APQAQP45， APAQ， AC 垂直平分线段 PQ， MPMQ， 四边形 PMQN 是菱形， 在 MN 运动过程中，这样的菱形有无数个，当点 M 与 A
26、或 C 重合时，四边形 PMQN 是正方形， 正确， 故答案为 4 【解答】解：如图 1 所示： 点 M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点， MN 是ABC 的中位线，PQ 是ADC 的中位线，MQ 是ABD 的中位线，PN 是BCD 的中位线， MNAC，MN= 1 2AC，PQAC，PQ= 1 2AC，MQ= 1 2BD， MNPQ，MNPQ， 四边形 MNPQ 是平行四边形，正确； 如图 2 所示： 若四边形 ABCD 是平行四边形，点 M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点， 则四边形 MNPQ 是平行四边形，四边形 ABNQ 是平行四边形， MP
27、 与 NQ 互相平分， NQ 的中点就是 AC 的中点， 则 MP 与 NQ 交于点 O，正确； 若四边形 ABCD 是矩形，则 ACBD， MNMQ， 四边形 MNPQ 是菱形，不是矩形；不正确； 四边形 ABCD 中，若 ACBD，ACBD， 则四边形 MNPQ 是正方形， 若四边形 MNPQ 是正方形，则四边形 ABCD 不一定是正方形， 不正确； 故答案为： 5 【解答】解：如图 1 中，取 OQ 的中点 H，连接 PH t1， AQPB1， B（3，0） ， OB3， AOB 是等边三角形， OAOBAB3， OQ4， OHHQ= 1 2AQ2， OHOP2， HOP60， HOP
28、是等边三角形， PHOHHQ， PH= 1 2OQ， OPQ 是直角三角形故正确， 当 t2 时，如图 2 中， 由题意 PBAQ2， PEAB， PEB90， PBE60， BE= 1 2PB1， AEABBE312， AEAQ2， 四边形 AEMQ 是平行四边形，AQAE， 四边形 AEMQ 是菱形， QAE120， MAEMAQ60， MAE 是等边三角形， MAMEBM， 点 M 不在 AB 的垂直平分线上， 点 M 不在AOB 的角平分线上，故错误， 如图 3 中，作 PMOA 交 AB 于 M PMOA， BMPBAO60，BPMAOB60， PMB 是等边三角形， PBPMAQ，
29、 PEBM， EMBM， AQDMPD，ADQMQP，AQPM， ADQMDP（AAS） ， ADDM， DEDM+ME= 1 2AM+ 1 2BM= 1 2（AM+BM）= 1 2AB，故正确， 故答案为 6 【解答】解：如图 1， 四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ABDC，ABDC，OAOC，OBOD， OAEOCF， AOECOF， AOECOF（ASA） ， AECF， 又AECF， 四边形 AECF 为平行四边形， 即 E 在 AB 上任意位置（不与 A、B 重合）时，四边形 AECF 恒为平行四边形， 故选项正确； 如图 22， 当 CEAB
30、时，点 E 不在边 AB 上，故选项错误 如图 3， 当 EFAC 时，四边形 AECF 为菱形，故选项正确 如果 ABAD，就不存在点 E 在边 AB 上，使得四边形 AECF 为正方形，故选项错误 故答案为： 7 【解答】解：当 AC 与 BD 不平行时，中点四边形 MNPQ 是平行四边形； 故存在无数个中点四边形 MNPQ 是平行四边形； 当 AC 与 BD 相等且不平行时，中点四边形 MNPQ 是菱形； 故存在无数个中点四边形 MNPQ 是菱形； 当 AC 与 BD 互相垂直（B，D 不重合）时，中点四边形 MNPQ 是矩形； 故存在无数个中点四边形 MNPQ 是矩形； 如图所示，当
31、AC 与 BD 相等且互相垂直时，中点四边形 MNPQ 是正方形 故存在两个中点四边形 MNPQ 是正方形 故答案为： 8 【解答】解：如图，连接 AC，BD 交于 O， 四边形 ABCD 是菱形，连接 AC，BD 交于 O， 过点 O 直线 MP 和 QN，分别交 AB，BC，CD，AD 于 M，N，P，Q， 则四边形 MNPQ 是平行四边形， 故存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；故正确； 如图，当 PMQN 时，四边形 MNPQ 是矩形，故存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；故正确； 如图，当 PMQN 时，存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；故正确； 当四边形 MNPQ 是正方形
32、时，MQPQ， 则AMQDQP（AAS） ， AMQD，AQPD， PDBM， ABAD， 四边形 ABCD 是正方形， 当四边形 ABCD 为正方形时，四边形 MNPQ 是正方形，故存在无数个四边形 MNPQ 是正方形；故错 误； 故答案为 9 【解答】解：由题意得：ADAD4， AO= 1 2AB2， OD=2 2=42 22=23， CD4，CDAB， C（4，23） ， 故答案为： （4，23） 10 【解答】解：如图， 由题意得，5180EAB60， 又多边形的外角和为 360， 1+2+3+43605300 故答案为：300 三解答题（共三解答题（共 25 小题）小题） 11 【解
33、答】解： （1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形； 故答案为：矩形，正方形； （2）如图， （3）线段 DC，AC，BC 的数量关系为：DC2+BC2AC2 证明：如图 2，连接 CE， 由旋转得：ABCDBE， ACDE，BCBE， 又CBE60， CBE 为等边三角形， BCCE，BCE60， DCB30， DCEDCB+BCE30+6090， DC2+EC2DE2， DC2+BC2AC2 故答案为：DC2+BC2AC2 12 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC， DFBE， 四边形 BFDE 是平行四边形， DEAB， DEB90， 四边形 B
34、FDE 是矩形； （2）证明：四边形 BFDE 是矩形， BFCBFD90， CF6，tanC= 4 3 = ， BF= 4 3CF8， BC=2+ 2=82+ 62=10， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC10， BAFDFA， DC16， DFDCCF16610， ADDF， DAFDFA， BAFDAF， AF 平分DAB 13 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， BEDF， AFEC， 四边形 AECF 是平行四边形， AEBC， AEC90， 四边形 AECF 是矩形； （2）解：如图所示： DE 平分ADC， ADECD
35、E， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC8，ABCD5，ADBC， ADEDEC， DECCDE， CDCE5， BEBCCE853， AEBC，ADBC， AEBEAD90， 由勾股定理得：AE=2 2=52 32=4， tanADE= = 4 8 = 1 2 14 【解答】 （1）证明：ADBC， ADECED DE 平分ADC， CDEADE CEDCDE， ECDC， ADDC， ADEC， 又ADEC， 四边形 AECD 是平行四边形， 四边形 AECD 是菱形 （2）解：如图所示： 四边形 AECD 是菱形， ACDE， = 1 2 = 3 EFC90， 在 RtEFC 中
36、，cosFCE= = 3 2 ， FCE30， ABC90， = 1 2 = 3 15 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， OAFOCE， EF 是线段 AC 的垂直平分线， OAOC，EFAC， 在AOF 和COE 中， = = = ， AOFCOE（ASA） ， AFCE， 四边形 AECF 是平行四边形， 又EFAC， 四边形 AECF 是菱形； （2）解：由（1）得：四边形 AECF 是菱形，EFAC， CEAE2，OAOC，OBOD， ACAB， EFAB， OECB30， OC= 1 2CE1，OE= 3OC= 3 ， AC2OC2，EF2OE23，
37、 四边形 AECF 的面积= 1 2ACEF= 1 2 223 =23 16 【解答】 （1）证明：在正方形 ABCD 中，ADBC，BAD90， AGHGHC GHAE， EABAGH EABGHC （2）补全图形，如图所示 证明：连接 AN，连接 EN 并延长，交 AB 边于点 Q 四边形 ABCD 是正方形， 点 A，点 C 关于 BD 对称 NANC，BANBCN PN 垂直平分 AE， NANE NCNE NECNCE 在正方形 ABCD 中，BACE，BCD90， AQENEC BAN+AQEBCN+NCE90 ANEANQ90 在 RtANE 中， AE= 2CN 17 【解答】
38、解： （1）证明：点 E 为 AB 的中点，EFEO， 四边形 AOBF 是平行四边形， 又四边形 ABCD 是菱形， ACBD， AOB90， 四边形 AOBF 是矩形； （2）四边形 AOBF 是矩形， ABOF，FAO90， 又四边形 ABCD 是菱形， ABAD5， OF5， 在 RtAFO 中，OF5， sinAFO= 3 5， OA3， AC6 18 【解答】证明： （1）CECD，CFCB， 四边形 DBEF 是平行四边形 四边形 ABCD 是菱形， CDCB CECF， BFDE， 四边形 DBEF 是矩形 （2）连接 AC， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，ODOB，O
39、COA， 由（1）得四边形 DBEF 是矩形， DFBD， ACDF， OC= 1 2DF， AB5，cosABD= 3 5， OB3， OAOC4， DF8 19 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADC90， AFCE， CDDE， AEAC，EFCF， EADCAD， AECF， EADAFC， CADCFA， ACCF， AEEFACCF， 四边形 ACFE 是菱形； （2）解：如图，四边形 ABCD 是矩形， ABCBCE90，CDAB， AB2，CDDE， BC23，CE4， BE=2+ 2=27， ABCDDE，BAEEDG90，AGBDGE， ABGDEG（AA
40、S） ， BGEG， BG= 1 2BE= 7 20 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC CADACB90 又ACE90，DEBC， 四边形 ACED 是矩形 （2）解：四边形 ACED 是矩形， ADCE2，AFEF，AECD 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD2，ABCD ABAE 又ABC60， ABE 是等边三角形 BFE90， = 1 2 = 30 在 RtBFE 中， = = 4 3 2 = 23 21 【解答】 （1）证明：FGAB，FCAC，AF 平分CAB， ACFAGF90，CFFG， 在 RtACF 与 RtAGF 中， = = ，
41、RtACFRtAGF（HL） ， AFCAFG， CDAB，FGAB， CDFG， CEFEFG， CEFCFE， CECF， CEFG， CEFG， 四边形 CEGF 是平行四边形， CECF， 平行四边形 CEGF 菱形； （2）解：RtACFRtAGF， AGAC6， B30，ACB90， AB2AC2612， BGABAG1266， 在 RtBGF 中，tanB= = 6 ， tan30= 6 ， FG6tan306 3 3 =23， CEFG23 22 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AC2AO，BD2BO AOBO， ACBD ABCD 为矩形 （2）解：过
42、点 E 作 EGBD 于点 G，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， DAB90， EAAD， DE 为ADB 的角平分线， EGEA AOBO， CABABD AD3，tanCAB= 3 4， tanCABtanABD= 3 4 = AB4 BD=2+ 2=32+ 42=5，sinCABsinABD= = 3 5 设 AEEGx，则 BE4x， 在BEG 中，BGE90， sinABD= 4 = 3 5 解得：x= 3 2， AE= 3 2 23 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD， ACBE， 四边形 ABEC 是平行四边形， BEAC； （2）GH= 1 2BE
43、， 证明：连接 BD， 四边形 ABCD 是矩形，G 为 AC 的中点， G 为 BD 的中点，ACBD， DHBE，即DHB90， GH= 1 2BD， ACBD，ACBE， GH= 1 2BE 24 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ADBDBC， DBADBC， ADBDBA， ADAB， 四边形 ABCD 为菱形； （2）解：四边形 ABCD 为菱形， ACBD，ADAB5，OBOD， sinADB= = 4 5， OA4， OBOD=2 2=3， OEAB，OAB 的面积= 1 2ABOE= 1 2OAOB， OE= = 43 5 = 12 5 25
44、 【解答】解： （1）由题意画出图形如图 1， （2）如图 1， BAM15，ABC90， AMB901575， 线段 CM 绕点 C 顺时针旋转 90得到线段 CD， CMCD，MCD90， CMDMDC45， AMD180AMBDMC180754560 故答案为：60 （3）当AMB75时，AMDM 想法 1 证明：如图 2，过点 A 作 AECD 交 CD 的延长线于点 E， AECCABC90，ABBC， 四边形 ABCE 正方形， ABAE，BCCE， 由（2）可知 CMCD， BMDE， ABMAED（SAS） ， AMAD， 由（2）可知AMD60， AMD 为等边三角形， AM
45、DM 想法 2 证明：如图 3，过点 C 作 CFAD 交 AB 于点 F， AFCD， 四边形 AFCD 为平行四边形， ADCF，AFCD， ABAF+BF，BCBM+CM，ABBC， CD+BFBM+CM， CDCM， BFBM， 又ABBC，FBCMBC90， ABMCBF（SAS） ， AMCF， AMAD， 又AMD60， AMD 为等边三角形， AMDM 想法 3 证明：如图 4，连接 AC， BCAB，ABC90， ACB45， ACD45， 又CMCD，ACAC， ACMACD（SAS） ， AMAD， AMD60， AMD 为等边三角形， AMDM 26 【解答】解： （1
46、）依题意补全图形，如图， （2）线段 EF，DF，BE 的数量关系为：EFDF+BE， 理由如下：如图，过点 A 作 AMFD 交 FD 的延长线于点 M， MFAEF90， 四边形 AEFM 是矩形， DAE+MAD90， 四边形 ABCD 是正方形， BAE+DAE90，ABAD， BAEMAD 又AEBM90， AEBAMD（AAS） BEDM，AEAM， 矩形 AEFM 是正方形， EFMF， MFDF+DM， EFDF+BE； （3）如图，取 AB 中点 O，连接 OC， AB25 OB= 5， OC= 2+ 2 = 5 + 20 =5， AEB90， 点 E 在以 O 为圆心，OB
47、 为半径的圆上， 当点 E 在 OC 上时，CE 有最小值， CE 的最小值为5 5 27 【解答】解： （1）补全图形如下： 证明：如图，连接 AE，AM 由题意可知：D 在 BC 上，ABC 是等腰直角三角形，则 AMBC，AM= 1 2BC， 旋转， DPEBPN， DEBN= 1 2BC，EDPPBD EDBEDP+PDBPBD+PDB90， EDBC， EDAM，且 EDAM， 四边形 AMDE 为平行四边形 又AMBC， AMD90， 四边形 AMDE 是矩形 （2）答：当条件BN= 2满足时，一定有 EMEA 证明：与（1）同理，此时仍有DPEBPN， DEBN= 2，DEBC，
48、 取 AM 的中点 F，连接 FE，如图所示： AB4，则 AM4sin4522， FM= 2 EDFM，且 EDFM， 四边形 FMDE 是平行四边形， 又 FMBC， FMD90， 四边形 FMDE 是矩形 FEAM，且 FAFM= 2， EAEM 故答案为： 28 【解答】解： （1）如图，在 AB 上截取 BMFC6xy，连接 ME，OM 四边形 ABCD 是正方形 BOCOAODO，ABDACB45 且 BMCF BMOCFO（SAS） OMOF，BOMCOF EOF45 BOE+COF45， BOM+BOE45MOE MOEEOF，且 OFOM，OEOE EOFEOM（SAS） MEEF BM2+BE2ME2EF2， x2+（6xy）2y2， y= 2+618 6 （0 x6） 当 x1，y2.6 当 x3，y3 故答案为：2.6，3 （2） （3）EF2BE y2x 2x= 2+618 6 x33 1.26 故答案为：1.26 29 【解答】解解： （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、 正方形， 菱形和正方形一定是垂直四边形， 故答案为：菱形、正方形； （2）四边形 ABCD 是垂直四边形 证明