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2018-2020年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(10)四边形(含答案解析)

1、2018-2020 年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(10)四边形)四边形 一选择题(共一选择题(共 2 小题)小题) 1(2020东城区二模) 把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置 则图中阴影部分的面积为 ( ) A1 3 B1 4 C1 5 D1 6 2 (2020房山区二模)如图,在 ABCD 中,延长 AD 至点 E,使 AD2DE,连接 BE 交 CD 于点 F,交 AC 于点 G,则 的值是( ) A2 3 B1 3 C1 2 D3 4 二填空题(共二填空题(共 8 小题)小题) 3 (2020朝阳区二模)正方形 ABCD

2、 的边长为 4,点 M,N 在对角线 AC 上(可与点 A,C 重合) ,MN2, 点 P,Q 在正方形的边上下面四个结论中, 存在无数个四边形 PMQN 是平行四边形; 存在无数个四边形 PMQN 是菱形; 存在无数个四边形 PMQN 是矩形; 至少存在一个四边形 PMQN 是正方形 所有正确结论的序号是 4 (2020北京二模)四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,点 M,N,P,Q 分别为边 AB,BC,CD, DA 的中点有下列四个推断: 对于任意四边形 ABCD,四边形 MNPQ 都是平行四边形; 若四边形 ABCD 是平行四边形,则 MP 与 NQ 交于点 O; 若四

3、边形 ABCD 是矩形,则四边形 MNPQ 也是矩形; 若四边形 MNPQ 是正方形,则四边形 ABCD 也一定是正方形 所有正确推断的序号是 5 (2020门头沟区一模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,B(3,0) ,AOB 是等边三角形,动点 P 从 点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 BO 匀速运动,动点 Q 同时从点 A 出发以同样的速度沿 OA 延长 线方向匀速运动,当点 P 到达点 O 时,点 P,Q 同时停止运动过点 P 作 PEAB 于 E,连接 PQ 交 AB 于 D设运动时间为 t 秒,得出下面三个结论, 当 t1 时,OPQ 为直角三角形; 当 t2 时,以

4、AQ,AE 为边的平行四边形的第四个顶点在AOB 的平分线上; 当 t 为任意值时,DE= 1 2AB 所有正确结论的序号是 6 (2020房山区一模) ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是边 AB 上的一个动点(不与 A、B 重 合) ,连接 EO 并延长,交 CD 于点 F,连接 AF,CE,下列四个结论中: 对于动点 E,四边形 AECF 始终是平行四边形; 若ABC90,则至少存在一个点 E,使得四边形 AECF 是矩形; 若 ABAD,则至少存在一个点 E,使得四边形 AECF 是菱形; 若BAC45,则至少存在一个点 E,使得四边形 AECF 是正方形 以上所有正

5、确说法的序号是 7 (2020通州区一模)如图,点 A,B,C 为平面内不在同一直线上的三点点 D 为平面内一个动点线 段 AB,BC,CD,DA 的中点分别为 M,N,P,Q在点 D 的运动过程中,有下列结论: 存在无数个中点四边形 MNPQ 是平行四边形; 存在无数个中点四边形 MNPQ 是菱形; 存在无数个中点四边形 MNPQ 是矩形; 存在两个中点四边形 MNPQ 是正方形 所有正确结论的序号是 8 (2020东城区模拟)在菱形 ABCD 中,MNPQ 分别为边 AB,BC,CD,DA 上的点(不与端点重合) 对于任意菱形 ABCD,下面四个结论中, 存在无数个四边形 MNPQ 是平行

6、四边形; 存在无数个四边形 MNPQ 是菱形; 存在无数个四边形 MNPQ 是矩形; 存在无数个四边形 MNPQ 是正方形 所有正确结论的序号是 9 (2020海淀区校级模拟)我们知道:四边形具有不稳定性如图,在平面直角坐标系中,边长为 4 的正 方形 ABCD 的边 AB 在轴 x 上,AB 的中点是坐标原点 O,固定点 A,B,把正方形沿箭头方向推,使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D处,则点 C 的对应点 C的坐标为 10 (2020密云区二模)如图1、2、3、4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角,若EAB120,则 1+2+3+4 三解答题(共三解答题(共 25 小题)小题) 11

7、 (2020昌平区模拟)我们给出如下定义:若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线 的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边 (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称: , ; (2)如图 1,已知格点(小正方形的顶点)O(0,0) ,A(3,0) ,B(0,4) ,请你画出以格点为顶点, OA,OB 为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形 OAMB; (3) 如图 2, 将ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60, 得到DBE, 连结 AD, DC, DCB30 写 出线段 DC,AC,BC 的数量关系为 12 (2020西城区

8、校级三模)在平行四边形 ABCD 中,过点 D 作 DEAB 于点 E,点 F 在边 CD 上,DF BE,连接 AF,BF (1)求证:四边形 BFDE 是矩形; (2)若 CF6,tanC= 4 3,DC16,求证:AF 平分DAB 13 (2020昌平区二模) 在平行四边形 ABCD 中, 过点 A 作 AEBC 于点 E, 点 F 在边 AD 上, 且 DFBE, 连接 DE,CF (1)求证:四边形 AECF 是矩形; (2)若 DE 平分ADC,AB5,AD8,求 tanADE 的值 14 (2020石景山区二模)如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,ADDC,DE 平分ADC

9、交 BC 于点 E, 连接 AE (1)求证:四边形 AECD 是菱形; (2)连接 AC 交 DE 于点 F若ABC90,AC23,CE2,求 AB 的长 15 (2020门头沟区二模)如图,在平行四边形 ABCD 中,线段 AC 的垂直平分线交 AC 于 O,分别交 BC, AD 于 E,F,连接 AE,CF (1)证明:四边形 AECF 是菱形; (2)在(1)的条件下,如果 ACAB,B30,AE2,求四边形 AECF 的面积 16 (2020西城区二模)在正方形 ABCD 中,E 是 CD 边上一点(CEDE) ,AE,BD 交于点 F (1)如图 1,过点 F 作 GHAE,分别交

10、边 AD,BC 于点 G,H 求证:EABGHC; (2)AE 的垂直平分线分别与 AD,AE,BD 交于点 P,M,N,连接 CN 依题意补全图形; 用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系,并证明 17 (2020东城区二模)在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,E 为 AB 的中点,连接 OE 并延长 到点 F,使 EFEO,连接 AF,BF (1)求证:四边形 AOBF 是矩形; (2)若 AD5,sinAFO= 3 5,求 AC 的长 18 (2020房山区二模)如图,菱形 ABCD 中,分别延长 DC,BC 至点 E,F,使 CECD,CFCB,连 接 DB

11、,BE,EF,FD (1)求证:四边形 DBEF 是矩形; (2)若 AB5,cosABD= 3 5,求 DF 的长 19 (2020丰台区二模)如图,矩形 ABCD,延长 CD 至点 E,使 DECD,连接 AC,AE,过点 C 作 CF AE 交 AD 的延长线于点 F,连接 EF (1)求证:四边形 ACFE 是菱形; (2)连接 BE 交 AD 于点 G当 AB2,ACB30时,求 BG 的长 20 (2020石景山区一模) 如图, 在 ABCD 中, ACB90, 过点 D 作 DEBC 交 BC 的延长线于点 E (1)求证:四边形 ACED 是矩形; (2)连接 AE 交 CD

12、于点 F,连接 BF若ABC60,CE2,求 BF 的长 21 (2020密云区一模)如图,在 RtABC 中,ACB90CDAB,AF 平分CAB,交 CD 于点 E, 交 BC 于点 F过点 F 作 FGAB 交 AB 于点 G,连接 EG (1)求证:四边形 CEGF 是菱形; (2)若B30,AC6,求 CE 的长 22 (2020丰台区一模)如图,在 ABCD 中,AC,BD 交于点 O,且 AOBO (1)求证:四边形 ABCD 是矩形; (2)ADB 的角平分线 DE 交 AB 于点 E,当 AD3,tanCAB= 3 4时,求 AE 的长 23 (2020房山区一模)如图,矩形

13、 ABCD,过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E过点 D 作 DHBE 于 H,G 为 AC 中点,连接 GH (1)求证:BEAC (2)判断 GH 与 BE 的数量关系并证明 24 (2020海淀区校级模拟)如图, ABCD 的两条对角线相交于 O 点,过 O 点作 OEAB,垂足为 E,已 知DBADBC,AB5 (1)求证:四边形 ABCD 为菱形; (2)若 sinADB= 4 5,求线段 OE 的长 25 (2020平谷区二模)如图,在ABM 中,ABC90,延长 BM 使 BCBA,线段 CM 绕点 C 顺时 针旋转 90得到线段 CD,连结 DM,AD (1)依据

14、题意补全图形; (2)当BAM15时,AMD 的度数是 ; (3)小聪通过画图、测量发现,当AMB 是一定度数时,AMMD 小聪把这个猜想和同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法 1:通过观察图形可以发现,如果把梯形 ABCD 补全成为正方形 ABCE,就易证ABMAED,因 此易得当AMD 是特殊值时,问题得证; 想法 2:要证 AMMD,通过第(2)问,可知只需要证明AMD 是等边三角形,通过构造平行四边形 CDAF,易证 ADCF,通过ABMCBF,易证 AMCF,从而解决问题; 想法 3:通过 BCBA,ABC90,连结 AC,易证ACMACD,易得AMD 是等腰

15、三角形,因 此当AMD 是特殊值时,问题得证 请你参考上面的想法,帮助小聪证明当AMD 是一定度数时,AMMD (一种方法即可) 26 (2020石景山区一模)如图,点 E 是正方形 ABCD 内一动点,满足AEB90且BAE45,过点 D 作 DFBE 交 BE 的延长线于点 F (1)依题意补全图形; (2)用等式表示线段 EF,DF,BE 之间的数量关系,并证明; (3)连接 CE,若 AB25,请直接写出线段 CE 长度的最小值 27 (2020通州区一模)已知线段 AB,过点 A 的射线 lAB在射线 l 上截取线段 ACAB,连接 BC,点 M 为 BC 的中点,点 P 为 AB

16、边上一动点,点 N 为线段 BM 上一动点,以点 P 为旋转中心,将BPN 逆时 针旋转 90得到DPE,B 的对应点为 D,N 的对应点为 E (1)当点 N 与点 M 重合,且点 P 不是 AB 中点时, 据题意在图中补全图形; 证明:以 A,M,E,D 为顶点的四边形是矩形 (2)连接 EM若 AB4,从下列 3 个条件中选择 1 个: BP1,PN1,BN= 2, 当条件 (填入序号)满足时,一定有 EMEA,并证明这个结论 28 (2019延庆区一模)如图,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,点 E、F 分别是边 BC 上的两点,且 EOF45,将EOF 绕点 O 逆时针旋转,当

17、点 F 与点 C 重合时,停止旋转,已知,BC6,设 BEx, EFy 小明根据学习函数的经验,对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究,下面是小明的探究过 程,请补充完整: (1)按照下表中自变量 x 的值进行取点,画图、测量,得到了 y 与 x 的几组对应值: x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 3 2.77 2.50 2.55 2.65 (说明:补全表格时相关数值保留一位小数) (2)建立平面直角坐标系,描出补全后的表中对应值为坐标的点,画出该函数的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当 EF2BE 时,BE 的长度约为 29 (2018通州区三模)在课外活动

18、中,我们要研究一种四边形“垂直四边形” 定义:我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形(如图 1) 小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验,对垂直四边形进行了研究 下面是小聪的研究过程,请补充完整: 概念理解: (1)根据垂直四边形的定义,在你学过的四边形中,满足垂直四边形的定义的是; (写出一种即可) (2)如图 2,在四边形 ABCD 中,ABAD,CBCD,问四边形 ABCD 是垂直四边形吗?请说明理由 性质探索: (3)试探索垂直四边形 ABCD 两组对边 AB,CD 与 BC,AD 之间的数量关系 猜想结论: (要求用文字语言叙述) 写出证明过程(先画出图形,写出已知、求

19、证) 30 (2018朝阳区模拟) 如图, 在菱形 ABCD 中, AC 和 BD 相交于点 O, 过点 O 的线段 EF 与一组对边 AB, CD 分别相交于点 E,F (1)求证:AECF; (2)若 AB2,点 E 是 AB 中点,求 EF 的长 31 (2019海淀区校级模拟)已知菱形 ABCD 中,ABC120,E 为边 AB 上一点,连接 ED,ADE ,将线段 DE 绕着点 E 旋转,使得点 D 落在 DB 的延长线上点 F 处,BC 上取一点 G,使得 BGBF,连 接 EG (1)依题意补全图形; 求FED 的角度(用 表示) ; (2)探究 AE,CG,FD 的数量关系,并

20、证明 32 (2019昌平区二模)在正方形 ABCD 中,AC 是一条对角线,点 E 是边 BC 上的一点(不与点 C 重合) , 连接 AE,将ABE 沿 BC 方向平移,使点 B 与点 C 重合,得到DCF,过点 E 作 EGAC 于点 G,连接 DG,FG (1)如图 1,依题意补全图 1; 判断线段 FG 与 DG 之间的数量关系与位置关系,并证明; (2)已知正方形的边长为 6,当AGD60时,求 BE 的长 33 (2019丰台区二模)如图,在正方形 ABCD 中,E 为 BC 边上一动点(不与点 B、C 重合) ,延长 AE 到 点 F,连接 BF,且AFB45,G 为 DC 边

21、上一点,且 DGBE,连接 DF,点 F 关于直线 AB 的对称点 为 M,连接 AM、BM (1)依据题意,补全图形; (2)求证:DAGMAB; (3)用等式表示线段 BM、DF 与 AD 的数量关系,并证明 34 (2019石景山区二模)如图,P 是矩形 ABCD 内部的一定点,M 是 AB 边上一动点,连接 MP 并延长与 矩形 ABCD 的一边交于点 N,连接 AN已知 AB6cm,设 A,M 两点间的距离为 xcm,M,N 两点间的距 离为 y1cm,A,N 两点间的距离为 y2cm小欣根据学习函数的经验,分别对函数 y1,y2随自变量 x 的变化 而变化的规律进行了探究下面是小欣

22、的探究过程,请补充完整; (1)按照如表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量,分别得到了 y1,y2与 x 的几组对应值; x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 6.30 5.40 4.22 3.13 3.25 4.52 y2/cm 6.30 6.34 6.43 6.69 5.75 4.81 3.98 (2)在同一平面直角坐标系 xOy 中,描出以补全后的表中各组对应值所对应的点(x,y1) ,并画出函数 y1的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当AMN 为等腰三角形时,AM 的长度约为 cm 35 (2019怀柔区一模)如图 1,正方形 ABCD 中,AB5,点 E 为 B

23、C 边上一动点,连接 AE,以 AE 为边, 在线段 AE 右侧作正方形 AEFG,连接 CF、DF设 BEx(当点 E 与点 B 重合时,x 的值为 0) ,DFy1, CFy2 小明根据学习函数的经验,对函数 y1、y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探 究过程,请补充完整: (1)通过取点、画图、测量、观察、计算,得到了 x 与 y1、y2的几组对应值; x 0 1 2 3 4 5 y1 5.00 4.12 3.61 4.12 5.00 y2 0 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07 (2)在同一平面直角坐标系 xOy 中,描出补全后的表中各组数值所对应

24、的点(x,y1) , (x,y2) ,并画 出函数 y1,y2的图象; (3)结合函数图象 2,解决问题:当CDF 为等腰三角形时,BE 的长度约为 cm 2018-2020 年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(10)四边形四边形 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 2 小题)小题) 1 【解答】解:如图,设 BCx,则 CE1x, 两个正方形, ABEF, ABCFEC, = ,即 1 2 = 1, 解得 x= 1 3, 阴影部分面积为:SABC= 1 2 1 3 1= 1 6, 故选:D 2 【解答】解:四边形 ABCD

25、是平行四边形, ABCD,ABCD, DEFABE, = , AD2DE, = +2 = 1 3, ABCD, = = 1 3, FC2DF, ABCD, GFCGBA, = = 2 3 = 2 3, 故选:A 二填空题(共二填空题(共 8 小题)小题) 3 【解答】解:如图,作线段 MN 的垂直平分线交 AD 于 P,交 AB 于 Q PQ 垂直平分线段 MN, PMPN,QMQN, 四边形 ABCD 是正方形, PANQAN45, APQAQP45, APAQ, AC 垂直平分线段 PQ, MPMQ, 四边形 PMQN 是菱形, 在 MN 运动过程中,这样的菱形有无数个,当点 M 与 A

26、或 C 重合时,四边形 PMQN 是正方形, 正确, 故答案为 4 【解答】解:如图 1 所示: 点 M,N,P,Q 分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点, MN 是ABC 的中位线,PQ 是ADC 的中位线,MQ 是ABD 的中位线,PN 是BCD 的中位线, MNAC,MN= 1 2AC,PQAC,PQ= 1 2AC,MQ= 1 2BD, MNPQ,MNPQ, 四边形 MNPQ 是平行四边形,正确; 如图 2 所示: 若四边形 ABCD 是平行四边形,点 M,N,P,Q 分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点, 则四边形 MNPQ 是平行四边形,四边形 ABNQ 是平行四边形, MP

27、 与 NQ 互相平分, NQ 的中点就是 AC 的中点, 则 MP 与 NQ 交于点 O,正确; 若四边形 ABCD 是矩形,则 ACBD, MNMQ, 四边形 MNPQ 是菱形,不是矩形;不正确; 四边形 ABCD 中,若 ACBD,ACBD, 则四边形 MNPQ 是正方形, 若四边形 MNPQ 是正方形,则四边形 ABCD 不一定是正方形, 不正确; 故答案为: 5 【解答】解:如图 1 中,取 OQ 的中点 H,连接 PH t1, AQPB1, B(3,0) , OB3, AOB 是等边三角形, OAOBAB3, OQ4, OHHQ= 1 2AQ2, OHOP2, HOP60, HOP

28、是等边三角形, PHOHHQ, PH= 1 2OQ, OPQ 是直角三角形故正确, 当 t2 时,如图 2 中, 由题意 PBAQ2, PEAB, PEB90, PBE60, BE= 1 2PB1, AEABBE312, AEAQ2, 四边形 AEMQ 是平行四边形,AQAE, 四边形 AEMQ 是菱形, QAE120, MAEMAQ60, MAE 是等边三角形, MAMEBM, 点 M 不在 AB 的垂直平分线上, 点 M 不在AOB 的角平分线上,故错误, 如图 3 中,作 PMOA 交 AB 于 M PMOA, BMPBAO60,BPMAOB60, PMB 是等边三角形, PBPMAQ,

29、 PEBM, EMBM, AQDMPD,ADQMQP,AQPM, ADQMDP(AAS) , ADDM, DEDM+ME= 1 2AM+ 1 2BM= 1 2(AM+BM)= 1 2AB,故正确, 故答案为 6 【解答】解:如图 1, 四边形 ABCD 为平行四边形,对角线 AC 与 BD 交于点 O, ABDC,ABDC,OAOC,OBOD, OAEOCF, AOECOF, AOECOF(ASA) , AECF, 又AECF, 四边形 AECF 为平行四边形, 即 E 在 AB 上任意位置(不与 A、B 重合)时,四边形 AECF 恒为平行四边形, 故选项正确; 如图 22, 当 CEAB

30、时,点 E 不在边 AB 上,故选项错误 如图 3, 当 EFAC 时,四边形 AECF 为菱形,故选项正确 如果 ABAD,就不存在点 E 在边 AB 上,使得四边形 AECF 为正方形,故选项错误 故答案为: 7 【解答】解:当 AC 与 BD 不平行时,中点四边形 MNPQ 是平行四边形; 故存在无数个中点四边形 MNPQ 是平行四边形; 当 AC 与 BD 相等且不平行时,中点四边形 MNPQ 是菱形; 故存在无数个中点四边形 MNPQ 是菱形; 当 AC 与 BD 互相垂直(B,D 不重合)时,中点四边形 MNPQ 是矩形; 故存在无数个中点四边形 MNPQ 是矩形; 如图所示,当

31、AC 与 BD 相等且互相垂直时,中点四边形 MNPQ 是正方形 故存在两个中点四边形 MNPQ 是正方形 故答案为: 8 【解答】解:如图,连接 AC,BD 交于 O, 四边形 ABCD 是菱形,连接 AC,BD 交于 O, 过点 O 直线 MP 和 QN,分别交 AB,BC,CD,AD 于 M,N,P,Q, 则四边形 MNPQ 是平行四边形, 故存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形;故正确; 如图,当 PMQN 时,四边形 MNPQ 是矩形,故存在无数个四边形 MNPQ 是矩形;故正确; 如图,当 PMQN 时,存在无数个四边形 MNPQ 是菱形;故正确; 当四边形 MNPQ 是正方形

32、时,MQPQ, 则AMQDQP(AAS) , AMQD,AQPD, PDBM, ABAD, 四边形 ABCD 是正方形, 当四边形 ABCD 为正方形时,四边形 MNPQ 是正方形,故存在无数个四边形 MNPQ 是正方形;故错 误; 故答案为 9 【解答】解:由题意得:ADAD4, AO= 1 2AB2, OD=2 2=42 22=23, CD4,CDAB, C(4,23) , 故答案为: (4,23) 10 【解答】解:如图, 由题意得,5180EAB60, 又多边形的外角和为 360, 1+2+3+43605300 故答案为:300 三解答题(共三解答题(共 25 小题)小题) 11 【解

33、答】解: (1)学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形,正方形; 故答案为:矩形,正方形; (2)如图, (3)线段 DC,AC,BC 的数量关系为:DC2+BC2AC2 证明:如图 2,连接 CE, 由旋转得:ABCDBE, ACDE,BCBE, 又CBE60, CBE 为等边三角形, BCCE,BCE60, DCB30, DCEDCB+BCE30+6090, DC2+EC2DE2, DC2+BC2AC2 故答案为:DC2+BC2AC2 12 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ABDC, DFBE, 四边形 BFDE 是平行四边形, DEAB, DEB90, 四边形 B

34、FDE 是矩形; (2)证明:四边形 BFDE 是矩形, BFCBFD90, CF6,tanC= 4 3 = , BF= 4 3CF8, BC=2+ 2=82+ 62=10, 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,ADBC10, BAFDFA, DC16, DFDCCF16610, ADDF, DAFDFA, BAFDAF, AF 平分DAB 13 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC,ADBC, BEDF, AFEC, 四边形 AECF 是平行四边形, AEBC, AEC90, 四边形 AECF 是矩形; (2)解:如图所示: DE 平分ADC, ADECD

35、E, 四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC8,ABCD5,ADBC, ADEDEC, DECCDE, CDCE5, BEBCCE853, AEBC,ADBC, AEBEAD90, 由勾股定理得:AE=2 2=52 32=4, tanADE= = 4 8 = 1 2 14 【解答】 (1)证明:ADBC, ADECED DE 平分ADC, CDEADE CEDCDE, ECDC, ADDC, ADEC, 又ADEC, 四边形 AECD 是平行四边形, 四边形 AECD 是菱形 (2)解:如图所示: 四边形 AECD 是菱形, ACDE, = 1 2 = 3 EFC90, 在 RtEFC 中

36、,cosFCE= = 3 2 , FCE30, ABC90, = 1 2 = 3 15 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC, OAFOCE, EF 是线段 AC 的垂直平分线, OAOC,EFAC, 在AOF 和COE 中, = = = , AOFCOE(ASA) , AFCE, 四边形 AECF 是平行四边形, 又EFAC, 四边形 AECF 是菱形; (2)解:由(1)得:四边形 AECF 是菱形,EFAC, CEAE2,OAOC,OBOD, ACAB, EFAB, OECB30, OC= 1 2CE1,OE= 3OC= 3 , AC2OC2,EF2OE23,

37、 四边形 AECF 的面积= 1 2ACEF= 1 2 223 =23 16 【解答】 (1)证明:在正方形 ABCD 中,ADBC,BAD90, AGHGHC GHAE, EABAGH EABGHC (2)补全图形,如图所示 证明:连接 AN,连接 EN 并延长,交 AB 边于点 Q 四边形 ABCD 是正方形, 点 A,点 C 关于 BD 对称 NANC,BANBCN PN 垂直平分 AE, NANE NCNE NECNCE 在正方形 ABCD 中,BACE,BCD90, AQENEC BAN+AQEBCN+NCE90 ANEANQ90 在 RtANE 中, AE= 2CN 17 【解答】

38、解: (1)证明:点 E 为 AB 的中点,EFEO, 四边形 AOBF 是平行四边形, 又四边形 ABCD 是菱形, ACBD, AOB90, 四边形 AOBF 是矩形; (2)四边形 AOBF 是矩形, ABOF,FAO90, 又四边形 ABCD 是菱形, ABAD5, OF5, 在 RtAFO 中,OF5, sinAFO= 3 5, OA3, AC6 18 【解答】证明: (1)CECD,CFCB, 四边形 DBEF 是平行四边形 四边形 ABCD 是菱形, CDCB CECF, BFDE, 四边形 DBEF 是矩形 (2)连接 AC, 四边形 ABCD 是菱形, ACBD,ODOB,O

39、COA, 由(1)得四边形 DBEF 是矩形, DFBD, ACDF, OC= 1 2DF, AB5,cosABD= 3 5, OB3, OAOC4, DF8 19 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是矩形, ADC90, AFCE, CDDE, AEAC,EFCF, EADCAD, AECF, EADAFC, CADCFA, ACCF, AEEFACCF, 四边形 ACFE 是菱形; (2)解:如图,四边形 ABCD 是矩形, ABCBCE90,CDAB, AB2,CDDE, BC23,CE4, BE=2+ 2=27, ABCDDE,BAEEDG90,AGBDGE, ABGDEG(AA

40、S) , BGEG, BG= 1 2BE= 7 20 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC CADACB90 又ACE90,DEBC, 四边形 ACED 是矩形 (2)解:四边形 ACED 是矩形, ADCE2,AFEF,AECD 四边形 ABCD 是平行四边形, BCAD2,ABCD ABAE 又ABC60, ABE 是等边三角形 BFE90, = 1 2 = 30 在 RtBFE 中, = = 4 3 2 = 23 21 【解答】 (1)证明:FGAB,FCAC,AF 平分CAB, ACFAGF90,CFFG, 在 RtACF 与 RtAGF 中, = = ,

41、RtACFRtAGF(HL) , AFCAFG, CDAB,FGAB, CDFG, CEFEFG, CEFCFE, CECF, CEFG, CEFG, 四边形 CEGF 是平行四边形, CECF, 平行四边形 CEGF 菱形; (2)解:RtACFRtAGF, AGAC6, B30,ACB90, AB2AC2612, BGABAG1266, 在 RtBGF 中,tanB= = 6 , tan30= 6 , FG6tan306 3 3 =23, CEFG23 22 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, AC2AO,BD2BO AOBO, ACBD ABCD 为矩形 (2)解:过

42、点 E 作 EGBD 于点 G,如图所示: 四边形 ABCD 是矩形, DAB90, EAAD, DE 为ADB 的角平分线, EGEA AOBO, CABABD AD3,tanCAB= 3 4, tanCABtanABD= 3 4 = AB4 BD=2+ 2=32+ 42=5,sinCABsinABD= = 3 5 设 AEEGx,则 BE4x, 在BEG 中,BGE90, sinABD= 4 = 3 5 解得:x= 3 2, AE= 3 2 23 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是矩形, ABCD, ACBE, 四边形 ABEC 是平行四边形, BEAC; (2)GH= 1 2BE

43、, 证明:连接 BD, 四边形 ABCD 是矩形,G 为 AC 的中点, G 为 BD 的中点,ACBD, DHBE,即DHB90, GH= 1 2BD, ACBD,ACBE, GH= 1 2BE 24 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC, ADBDBC, DBADBC, ADBDBA, ADAB, 四边形 ABCD 为菱形; (2)解:四边形 ABCD 为菱形, ACBD,ADAB5,OBOD, sinADB= = 4 5, OA4, OBOD=2 2=3, OEAB,OAB 的面积= 1 2ABOE= 1 2OAOB, OE= = 43 5 = 12 5 25

44、 【解答】解: (1)由题意画出图形如图 1, (2)如图 1, BAM15,ABC90, AMB901575, 线段 CM 绕点 C 顺时针旋转 90得到线段 CD, CMCD,MCD90, CMDMDC45, AMD180AMBDMC180754560 故答案为:60 (3)当AMB75时,AMDM 想法 1 证明:如图 2,过点 A 作 AECD 交 CD 的延长线于点 E, AECCABC90,ABBC, 四边形 ABCE 正方形, ABAE,BCCE, 由(2)可知 CMCD, BMDE, ABMAED(SAS) , AMAD, 由(2)可知AMD60, AMD 为等边三角形, AM

45、DM 想法 2 证明:如图 3,过点 C 作 CFAD 交 AB 于点 F, AFCD, 四边形 AFCD 为平行四边形, ADCF,AFCD, ABAF+BF,BCBM+CM,ABBC, CD+BFBM+CM, CDCM, BFBM, 又ABBC,FBCMBC90, ABMCBF(SAS) , AMCF, AMAD, 又AMD60, AMD 为等边三角形, AMDM 想法 3 证明:如图 4,连接 AC, BCAB,ABC90, ACB45, ACD45, 又CMCD,ACAC, ACMACD(SAS) , AMAD, AMD60, AMD 为等边三角形, AMDM 26 【解答】解: (1

46、)依题意补全图形,如图, (2)线段 EF,DF,BE 的数量关系为:EFDF+BE, 理由如下:如图,过点 A 作 AMFD 交 FD 的延长线于点 M, MFAEF90, 四边形 AEFM 是矩形, DAE+MAD90, 四边形 ABCD 是正方形, BAE+DAE90,ABAD, BAEMAD 又AEBM90, AEBAMD(AAS) BEDM,AEAM, 矩形 AEFM 是正方形, EFMF, MFDF+DM, EFDF+BE; (3)如图,取 AB 中点 O,连接 OC, AB25 OB= 5, OC= 2+ 2 = 5 + 20 =5, AEB90, 点 E 在以 O 为圆心,OB

47、 为半径的圆上, 当点 E 在 OC 上时,CE 有最小值, CE 的最小值为5 5 27 【解答】解: (1)补全图形如下: 证明:如图,连接 AE,AM 由题意可知:D 在 BC 上,ABC 是等腰直角三角形,则 AMBC,AM= 1 2BC, 旋转, DPEBPN, DEBN= 1 2BC,EDPPBD EDBEDP+PDBPBD+PDB90, EDBC, EDAM,且 EDAM, 四边形 AMDE 为平行四边形 又AMBC, AMD90, 四边形 AMDE 是矩形 (2)答:当条件BN= 2满足时,一定有 EMEA 证明:与(1)同理,此时仍有DPEBPN, DEBN= 2,DEBC,

48、 取 AM 的中点 F,连接 FE,如图所示: AB4,则 AM4sin4522, FM= 2 EDFM,且 EDFM, 四边形 FMDE 是平行四边形, 又 FMBC, FMD90, 四边形 FMDE 是矩形 FEAM,且 FAFM= 2, EAEM 故答案为: 28 【解答】解: (1)如图,在 AB 上截取 BMFC6xy,连接 ME,OM 四边形 ABCD 是正方形 BOCOAODO,ABDACB45 且 BMCF BMOCFO(SAS) OMOF,BOMCOF EOF45 BOE+COF45, BOM+BOE45MOE MOEEOF,且 OFOM,OEOE EOFEOM(SAS) MEEF BM2+BE2ME2EF2, x2+(6xy)2y2, y= 2+618 6 (0 x6) 当 x1,y2.6 当 x3,y3 故答案为:2.6,3 (2) (3)EF2BE y2x 2x= 2+618 6 x33 1.26 故答案为:1.26 29 【解答】解解: (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中,两条对角线互相垂直的四边形是菱形、 正方形, 菱形和正方形一定是垂直四边形, 故答案为:菱形、正方形; (2)四边形 ABCD 是垂直四边形 证明