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2018-2020年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(8)二次函数(含答案解析)

1、2018-2020 年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(8)二次函数)二次函数 一选择题(共一选择题(共 2 小题)小题) 1 (2020丰台区模拟)使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y(单位:m3)与旋钮的旋转角度 x(单 位:度) (0 x90)近似满足函数关系 yax2+bx+c(a0) 如图记录了某种家用燃气灶烧开同一 壶水的旋钮角度 x 与燃气量 y 的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最 节省燃气的旋钮角度约为( ) A18 B36 C41 D58 2 (2020海淀区校级一模) 黄山市某塑料玩具生产公司, 为

2、了减少空气污染, 国家要求限制塑料玩具生产, 这样有时企业会被迫停产,经过调研预测,它一年中每月获得的利润 y(万元)和月份 n 之间满足函数 关系式 yn2+14n24,则没有盈利的月份为( ) A2 月和 12 月 B2 月至 12 月 C1 月 D1 月、2 月和 12 月 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 3 (2020丰台区一模)已知函数 ykx2+(2k+1)x+1(k 为实数) (1)对于任意实数 k,函数图象一定经过点(2,1)和点 ; (2)对于任意正实数 k,当 xm 时,y 随着 x 的增大而增大,写出一个满足题意的 m 的值为 4 (2020朝阳区校级模拟)如

3、图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(2,2) ,B(0,3) ,C(3,3) , D(4,2) ,y 是关于 x 的二次函数,抛物线 y1经过点 A、B、C,抛物线 y2经过点 B、C、D,抛物线 y3经过点 A、B、D,抛物线 y4经过点 A、C、D下列判断: 四条抛物线的开口方向均向下; 当 x0 时,至少有一条抛物线表达式中的 y 均随 x 的增大而减小; 抛物线 y1的顶点在抛物线 y2顶点的上方; 抛物线 y4与 y 轴的交点在点 B 的上方 所有正确结论的序号为 5 (2019西城区校级模拟)请你写出一个二次函数,其图象满足条件:开口向上:与 y 轴的交点坐标 为(0,2)

4、此二次函数的解析式可以是 6 (2019海淀区校级模拟)请写出一个开口向上,并且对称轴为直线 x1 的抛物线的表达式 y 7(2018西城区二模) 在平面直角坐标系 xOy 中, 将抛物线 y3 (x+2) 21 平移后得到抛物线 y3x2+2 请 你写出一种平移方法答: 三解答题(共三解答题(共 32 小题)小题) 8 (2020昌平区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yx2+mx+3 与 x 轴交于点 A 和点 B(点 A 在 点 B 的左侧) (1)若抛物线的对称轴是直线 x1,求出点 A 和点 B 的坐标,并画出此时函数的图象; (2)当已知点 P(m,2) ,Q(m,2m1

5、) 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点,结合函数图象,求 m 的取值范围 9 (2020密云区二模)有这样一个问题:探究函数 y= 1 2x 34x+1 的图象与性质 文文根据学习函数的经验,对函数 y= 1 2x 34x+1 的图象与性质进行了探究 下面是文文的探究过程,请补充完整: (1)函数 y= 1 2x 34x+1 的自变量 x 的取值范围是 ; (2)如表是 y 与 x 的几组对应值: x 3 2 3 2 1 1 2 0 1 2 1 3 2 2 3 y 1 2 5 85 16 9 2 47 16 1 15 16 m 53 16 3 5 2 则 m 的值为 ; (3)如图,在平面直

6、角坐标系 xOy 中,描出以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点,画出该函 数的图象; (4)请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验,结合图象直接写出方程1 2 34x1 的正数 根约为 (结果精确到 0.1) 10 (2020门头沟区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yx22ax+a2的顶点为 A,直线 yx+3 与 抛物线交于点 B,C(点 B 在点 C 的左侧) (1)求点 A 坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点记线段 BC 及抛物线在 B,C 两点之间的部分围成的封闭区域 (不含边界)记为 W 当 a0 时,结合函数图象,直接写出区域 W 内的整点个数; 如

7、果区域 W 内有 2 个整点,请求出 a 的取值范围 11 (2020朝阳区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax2+a2x+c 与 y 轴交于点(0,2) (1)求 c 的值; (2)当 a2 时,求抛物线顶点的坐标; (3)已知点 A(2,0) ,B(1,0) ,若抛物线 yax2+a2x+c 与线段 AB 有两个公共点,结合函数图象, 求 a 的取值范围 12 (2020顺义区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 ymx23(m1)x+2m1(m0) (1)当 m3 时,求抛物线的顶点坐标; (2)已知点 A(1,2) 试说明抛物线总经过点 A; (3)已知点 B(

8、0,2) ,将点 B 向右平移 3 个单位长度,得到点 C,若抛物线与线段 BC 只有一个公共 点,求 m 的取值范围 13 (2020通州区一模)在平面直角坐标系 xOy 中,存在抛物线 yx2+2x+m+1 以及两点 A(m,m+1)和 B (m,m+3) (1)求该抛物线的顶点坐标; (用含 m 的代数式表示) (2)若该抛物线经过点 A(m,m+1) ,求此抛物线的表达式; (3)若该抛物线与线段 AB 有公共点,结合图象,求 m 的取值范围 14 (2020房山区一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yax2+bx1 交 y 轴于点 P (1)过点 P 作与 x 轴平行的直

9、线,交抛物线于点 Q,PQ4,求 的值; (2)横纵坐标都是整数的点叫做整点在(1)的条件下,记抛物线与 x 轴所围成的封闭区域(不含边 界)为 W若区域 W 内恰有 4 个整点,结合函数图象,求 a 的取值范围 15 (2020密云区一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yax24ax+1(a0) (1)抛物线的对称轴为 ; (2)若当 1x5 时,y 的最小值是1,求当 1x5 时,y 的最大值; (3) 已知直线 yx+3 与抛物线 yax24ax+1 (a0) 存在两个交点, 设左侧的交点为点 P (x1, y1) , 当2x11 时,求 a 的取值范围 16 (2020北京

10、一模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax2+bx3a(a0)经过点 A(1,0) (1)求抛物线的顶点坐标; (用含 a 的式子表示) (2)已知点 B(3,4) ,将点 B 向左平移 3 个单位长度,得到点 C若抛物线与线段 BC 恰有一个公共 点,结合函数的图象,求 a 的取值范围 17(2020西城区校级模拟) 定义: 点 Q 到图形 W 上每一个点的距离的最小值称为点 Q 到图形 W 的距离 例 如,如图,正方形 ABCD 满足 A(1,0) ,B(2,0) ,C(2,1) ,D(1,1) ,那么点 O(0,0)到正方形 ABCD 的距离为 1 (1)如果点 G(0,b) (

11、b0)到抛物线 yx2的距离为 3,请直接写出 b 的值 (2)求点 M(3,0)到直线 yx+3 的距离 (3)如果点 N 在直线 x2 上运动,并且到直线 yx+4 的距离为 4,求 N 的坐标 18 (2020丰台区三模)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A(0,4)和 B (2,2) (1)求 c 的值,并用含 a 的式子表示 b; (2)当2x0 时,若二次函数满足 y 随 x 的增大而减小,求 a 的取值范围; (3)直线 AB 上有一点 C(m,5) ,将点 C 向右平移 4 个单位长度,得到点 D,若抛物线与线段 CD 只 有一个公共点,

12、求 a 的取值范围 19 (2020海淀区校级二模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y= 1 x 22x+1 与 y 轴交于点 A,它的顶点 为点 B (1)点 A 的坐标为 ,点 B 的坐标为 (用 m 表示) ; (2)已知点 M(6,4) ,点 N(3,4) ,若抛物线与线段 MN 恰有一个公共点,结合函数图象,求 m 的取值范围 20 (2020海淀区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的坐标为(x1,y1) ,点 Q 的坐标为(x2,y2) , 且 x1x2,y1y2,若 P,Q 为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直则称该矩形为点 P,Q 的相关矩形

13、“如图为点 P,Q 的“相关矩形”的示意图 (1)已知点 A 的坐标为(1,0) 若点 B 的坐标为(2,5) ,求点 A,B 的“相关矩形”的周长; 点 C 在直线 x3 上,若点 A,C 的“相关矩形”为正方形,已知抛物线 yx2+mx+n 经过点 A 和点 C, 求抛物线 yx2+mx+n 与 y 轴的交点 D 的坐标; (2)O 的半径为 4,点 E 是直线 y3 上的从左向右的一个动点若在O 上存在一点 F,使得点 E, F 的“相关矩形”为正方形,直接写出动点 E 的横坐标的取值范围 21 (2020朝阳区模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中, 二次函数 yax22kx+k2+k

14、图象的对称轴为直线 xk, 且 k0,顶点为 P (1)求 a 的值; (2)求点 P 的坐标(用含 k 的式子表示) ; (3)已知点 A(0,1) ,B(2,1) ,若函数 yax22kx+k2+k(k1xk+1)的图象与线段 AB 恰有一 个公共点,直接写出 k 的取值范围 22 (2020东城区校级模拟)对于平面中给定的一个图形及一点 P,若图形上存在两个点 A、B,使得PAB 是边长为 2 的等边三角形,则称点 P 是该图形的一个“美好点” (1)若将 x 轴记作直线 l,下列函数的图象上存在直线 l 的“美好点”的是 (只填选项) A正比例函数 yx B反比例函数 y= 1 C二次

15、函数 yx2+2 (2)在平面直角坐标系 xOy 中,若点 M(3n,0) ,N(0,n) ,其中 n0,O 的半径为 r 若 r23,O 上恰好存在 2 个直线 MN 的“美好点” ,求 n 的取值范围; 若 n4,线段 MN 上存在O 的“美好点” ,直接写出 r 的取值范围 23 (2020丰台区模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax24ax 与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的 左侧) (1)求点 A,B 的坐标; (2)已知点 C(2,1) ,P(1, 3 2a) ,点 Q 在直线 PC 上,且 Q 点的横坐标为 4 求 Q 点的纵坐标(用含 a 的式子表示) ;

16、 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点,结合函数图象,求 a 的取值范围 24 (2020海淀区校级模拟)如图,RtABC 中,C90,P 是 CB 边上一动点,连接 AP,作 PQAP 交 AB 于 Q已知 AC3cm,BC6cm,设 PC 的长度为 xcm,BQ 的长度为 ycm 小青同学根据学习函数的经验对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小青同学的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量,分别得到了 y 的几组对应值; x/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 y/cm 0 1.5

17、6 2.24 2.51 m 2.45 2.24 1.96 1.63 1.26 0.86 0 (说明:补全表格时,相关数据保留一位小数) m 的值约为 cm; (2)在平面直角坐标系中,描出以补全后的表格中各组数值所对应的点(x,y) ,画出该函数的图象; (3)结合画出的函数图象,解决问题: 当 y2 时,对应的 x 的取值范围约是 ; 若点 P 不与 B,C 两点重合,是否存在点 P,使得 BQBP? (填“存在”或“不存在” ) 25 (2020海淀区校级三模)小明根据学习函数的经验,对函数 yx45x2+4 的图象与性质进行了探究 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)自变量 x 的

18、取值范围是全体实数,x 与 y 的几组对应数值如下表: x 9 4 11 5 2 3 2 5 4 1 1 2 1 4 0 1 4 1 2 1 5 4 3 2 2 11 5 9 4 y 4.3 3.2 0 2.2 1.4 0 2.8 3.7 4 3.7 2.8 0 1.4 2.2 m 3.2 4.3 其中 m ; (2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,描出了以上表中各组对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该 函数的图象; (3)观察函数图象,写出一条该函数的性质 ; (4)进一步探究函数图象发现: 方程 x45x2+40 有 个互不相等的实数根; 有两个点 (x1, y1) 和 (x2, y

19、2) 在此函数图象上, 当 x2x12 时, 比较 y1和 y2的大小关系为: y1 y2 (填“” 、 “”或“” ) ; 若关于 x 的方程 x45x2+4a 有 4 个互不相等的实数根,则 a 的取值范围是 26 (2019海淀区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 ynx22nx+n+2(n0)的顶点为 D (1)求 D 点坐标; (2)已知直线 ykx+b 经过点 D 和点 C(0,1) ,求直线 CD 的解析式; (3)过 T(0,t) (1t1)作 y 轴垂线,交直线 CD 于点 P(x1,y1) ,交抛物线在对称轴右侧的部 分与 Q(x2,y2) ,若存在 t 使得

20、x1+x23 成立,结合图象,求出 n 的取值范围 27 (2019朝阳区校级一模)抛物线 M:yax24ax+a1(a0)与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左 侧) ,抛物线的顶点为 D (1)抛物线 M 的对称轴是直线 ; (2)当 AB2 时,求抛物线 M 的函数表达式以及顶点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,直线 l:ykx+b(k0)经过抛物线的顶点 D,直线 yn 与抛物线 M 有两个公 共点,它们的横坐标分别记为 x1,x2,直线 yn 与直线 l 的交点的横坐标记为 x3(x34) ,若当2n 1 时,总有 x1x3x3x20,请结合函数的图象,直接写出 k

21、 的取值范围 28 (2019朝阳区二模) 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 yax22a2x (a0) 的对称轴与 x 轴交于点 P (1)求点 P 的坐标(用含 a 的代数式表示) ; (2)记函数 = 3 4 + 9 4(1x3)的图象为图形 M,若抛物线与图形 M 恰有一个公共点,结合函 数的图象,求 a 的取值范围 29 (2019顺义区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 ymx2+2mx3(m0)与 x 轴交于 A、B 两 点(点 A 在点 B 左侧) ,与 y 轴交于点 C,该抛物线的顶点 D 的纵坐标是4 (1)求点 A、B 的坐标; (2)设直线与直线 AC 关

22、于该抛物线的对称轴对称,求直线的表达式; (3)平行于 x 轴的直线 b 与抛物线交于点 M(x1,y1) 、N(x2,y2) ,与直线交于点 P(x3,y3) 若 x1 x3x2,结合函数图象,求 x1+x2+x3的取值范围 30 (2019石景山区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yx22mx+m21 (1)求抛物线的对称轴(用含 m 的式子去表示) ; (2)若点(m2,y1) , (m,y2) , (m+3,y3)都在抛物线 yx22mx+m21 上,则 y1、y2、y3的大小 关系为 ; (3)直线 yx+b 与 x 轴交于点 A(3,0) ,与 y 轴交于点 B,过点

23、 B 作垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线 yx22mx+m21 有两个交点,在抛物线对称轴右侧的点记为 P,当OAP 为钝角三角形时,求 m 的取 值范围 31 (2019怀柔区一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yx22ax+a2+2 的顶点 C,过点 B(0,t) 作与 y 轴垂直的直线 l,分别交抛物线于 E,F 两点,设点 E(x1,y1) ,点 F(x2,y2) (x1x2) (1)求抛物线顶点 C 的坐标; (2)当点 C 到直线 l 的距离为 2 时,求线段 EF 的长; (3)若存在实数 m,使得 x1m1 且 x2m+5 成立,直接写出 t 的取值范围 32 (

24、2019海淀区一模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax2+bx+c(a0)经过点 A(0,3)和 B (3,0) (1)求 c 的值及 a、b 满足的关系式; (2)若抛物线在 A、B 两点间从左到右上升,求 a 的取值范围; (3)结合函数图象判断,抛物线能否同时经过点 M(1+m,n) 、N(4m,n)?若能,写出一个符 合要求的抛物线的表达式和 n 的值,若不能,请说明理由 33 (2019房山区模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线 ykx4k+4 与抛物线 y= 1 4x 2x 交于 A、B 两 点 (1)直线总经过定点,请直接写出该定点的坐标; (2)点 P 在抛物线上,当

25、 k= 1 2时,解决下列问题: 在直线 AB 下方的抛物线上求点 P,使得PAB 的面积等于 20; 连接 OA,OB,OP,作 PCx 轴于点 C,若POC 和ABO 相似,请直接写出点 P 的坐标 34 (2019丰台区模拟)已知抛物线 yx2+(5m)x+6m (1)求证:该抛物线与 x 轴总有交点; (2)若该抛物线与 x 轴有一个交点的横坐标大于 3 且小于 5,求 m 的取值范围; (3)设抛物线 yx2+(5m)x+6m 与 y 轴交于点 M,若抛物线与 x 轴的一个交点关于直线 yx 的对称点恰好是点 M,求 m 的值 35 (2019海淀区校级模拟)已知二次函数 yax22

26、ax2(a0) (1)该二次函数图象的对称轴是直线 (2)若该二次函数的图象开口向上,当1x5 时,函数图象的最高点为 M,最低点为 N,点 M 的纵 坐标为11 2 ,求点 M 和点 N 的坐标; (3)对于该二次函数图象上的两点 A(x1,y1)B(x2,y2) ,设 tx1t+1,当 x23 时,具有 y1y2, 请结合图象,直接写出 t 的取值范围 36 (2018石景山区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax2+4x+c(a0)经过点 A(3,4)和 B(0,2) (1)求抛物线的表达式和顶点坐标; (2)将抛物线在 A、B 之间的部分记为图象 M(含 A、B 两点) 将

27、图象 M 沿直线 x3 翻折,得到图象 N若过点 C(9,4)的直线 ykx+b 与图象 M、图象 N 都相交,且只有两个交点,求 b 的取值范围 37 (2018丰台区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yx24x+2m1 与 x 轴交于点 A,B (点 A 在点 B 的左侧) (1)求 m 的取值范围; (2)当 m 取最大整数时,求点 A、点 B 的坐标 38 (2018海淀区一模) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线 yx22ax+b 的顶点在 x 轴上, P (x1, m) , Q(x2,m) (x1x2)是此抛物线上的两点 (1)若 a1, 当 mb 时,求 x

28、1,x2的值; 将抛物线沿 y 轴平移,使得它与 x 轴的两个交点间的距离为 4,试描述出这一变化过程; (2)若存在实数 c,使得 x1c1,且 x2c+7 成立,求 m 的取值范围 39 (2018房山区一模)在平面直角坐标系 xOy 中,当图形 W 上的点 P 的横坐标和纵坐标相等时,则称点 P 为图形 W 的“梦之点” (1)已知O 的半径为 1 在点 E(1,1) ,F( 2 2 , 2 2 ) ,M(2,2)中,O 的“梦之点”为 ; 若点 P 位于O 内部,且为双曲线 y= (k0)的“梦之点” ,求 k 的取值范围 (2)已知点 C 的坐标为(1,t) ,C 的半径为2,若在C

29、 上存在“梦之点”P,直接写出 t 的取值范 围 (3)若二次函数 yax2ax+1 的图象上存在两个“梦之点”A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,且|x1x2|2, 求二次函数图象的顶点坐标 2018-2020 年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(年北京中考数学复习各地区模拟试题分类(8)二次函数二次函数 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 2 小题)小题) 1 【解答】解:由图象可得, 该函数的对称轴 x 18+54 2 且 x54, 36x54, 故选:C 2 【解答】解:yn2+14n24(n2) (n12) ,1n12 且 n 为整数, 当 y0 时

30、,n2 或 n12, 当 y0 时,n1, 故选:D 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 3 【解答】解: (1)ykx2+(2k+1)x+1(k 为实数) 当 x2 时,y4k+(2k+1)(2)+11, 当 x0 时,y0+0+11, 对于任意实数 k,函数图象一定经过点(2,1)和点 (0,1) , 故答案为: (0,1) ; (2)k 为任意正实数, k0, 函数图象开口向上, 函数 ykx2+(2k+1)x+1 的对称轴为 x= 2+1 2 = 1 1 2 1, 在对称轴右侧,y 随 x 的增大而增大, xm 时,y 随 x 的增大而增大, m1 1 2, 故 m0 时符合题

31、意 (答案不唯一,m1 即可) 故答案为:0 4 【解答】解:将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得: 2 = 4 2 + = 3 3 = 9 + 3 + , 解得: = 1 2 = 3 2 = 3 , 故抛物线 y1的表达式为:y1= 1 2x 2+3 2x+3,顶点( 3 2, 33 8 ) ; 同理可得:y2= 5 4x 2+15 4 x+3,顶点坐标为: (3 2, 93 16) ; y3= 5 8x 2+5 4x+3,顶点坐标为(1, 29 8 ) ; y4x2+2x+6,与 y 轴的交点为: (0,6) ; 由函数表达式知,四条抛物线的开口方向均向下,故正确,符合题意; 当 x

32、0 时,y3随 x 的增大而增大,故错误,不符合题意; 由顶点坐标知,抛物线 y1的顶点在抛物线 y2顶点的下方,错误,不符合题意; 抛物线 y4与 y 轴的交点(0,6)在 B 的上方,正确,符合题意 故答案为: 5 【解答】解:yx23x+2,答案不唯一 故答案为:yx23x+2,答案不唯一 6 【解答】解:符合的表达式是 y(x1)2, 故答案为: (x1)2 7 【解答】解:y3x2+23(x+0)2+2, 所以将抛物线 y3 (x+2) 21先向右平移2个单位长度, 再向上平移3个单位长度得到抛物线 y3x2+2 故答案为: 将抛物线 y3 (x+2) 21 先向右平移 2 个单位长

33、度, 再向上平移 3 个单位长度得到抛物线 y 3x2+2 三解答题(共三解答题(共 32 小题)小题) 8 【解答】解: (1)抛物线的对称轴是直线 x1, 2 =1, m2, 抛物线的解析式为 yx2+2x+3, 令 y0,则x2+2x+30, x1 或 x3, A(1,0) ,B(3,0) , 画出图象如图 1 所示; (2)P(m,2) ,Q(m,2m1) , 当 xm 时,ym2+m2+33, 点 P 在抛物线与 x 轴围成的图象的内部, 当 xm 时,ym2m2+32m2+3, 当 m0 时,点 P 在第一象限内, 点 P 在抛物线与 x 轴围成的图象的内部, 线段 PQ 只有和在

34、 xm 左侧的抛物线相交, 抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点, 2m2+32m1, m2 或 m1, m0, m1, 当 m0 时,点 P 在第二象限内, 点 P 在抛物线与 x 轴围成的图象的内部, 线段 PQ 只有和在 xm 右侧的抛物线相交, 抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点, 2m2+32m1, m2 或 m1, m0, m2, 即满足条件的 m 的范围为 m2 或 m1 9 【解答】 (1)x 取任意实数; 故答案为:x 取任意实数; (2)把 x1 代入 y= 1 2x 34x+1 得,y=1 2 4+1= 5 2, 故答案为: 5 2; (3)根据列表、描点、连线得出函数 y

35、= 1 2 3 4x+1 的图象,所画的图象如图所示: (4)通过图象直观得出函数的图象与 x 轴正半轴交点的横坐标 故答案为:0.3 或 2.7 10 【解答】解: (1)yx22ax+a2(xa)2, 顶点 A(a,0) ; (2)当 a0 时,则抛物线 yx2, 如图所示, 观察图形,可知:区域 W 内的整点个数是 4; 如图所示: 当抛物线经过(0,2) ,区域 W 内有 1 个整点; 当抛物线经过(0,1) ,区域 W 内有 3 个整点; 观察图形,可知:如果区域 W 内有 2 个整点,a 的取值范围为2a1 11 【解答】解: (1)抛物线 yax2+a2x+c 与 y 轴交于点(

36、0,2) , c 的值为 2; (2)当 a2 时,抛物线为 y2x2+4x+22(x+1)2, 抛物线顶点的坐标为(1,0) ; (3)当 a0 时, 当 a2 时,如图 1,抛物线与 AB 只有一个交点; 当 a1+2时,如图 2, 抛物线与线段 AB 有两个交点, 结合函数图象可知:2a1+2; 当 a0 时,抛物线与线段 AB 只有一个交点或没有交点, 综上所述,a 的取值范围为 2a1+2 12 【解答】解: (1)把 m3 代入 ymx23(m1)x+2m1 中,得 y3x26x+53(x1)2+2, 抛物线的顶点坐标是(1,2) (2)当 x1 时,ym3(m1)+2m1m3m+

37、3+2m12 点 A(1,2) , 抛物线总经过点 A (3)点 B(0,2) ,由平移得 C(3,2) 当抛物线的顶点是点 A(1,2)时,抛物线与线段 BC 只有一个公共点 由(1)知,此时,m3 当抛物线过点 B(0,2)时, 将点 B(0,2)代入抛物线表达式,得 2m12 m= 3 20 此时抛物线开口向上(如图 1) 当 0m 3 2时,抛物线与线段 BC 只有一个公共点 当抛物线过点 C(3,2)时, 将点 C(3,2)代入抛物线表达式,得 9m9(m1)+2m12 m30 此时抛物线开口向下(如图 2) 当3m0 时,抛物线与线段 BC 只有一个公共点 综上,m 的取值范围是

38、m3 或 0m 3 2或3m0 13 【解答】解: (1)抛物线 yx2+2x+m+1(x+1)2+m, 抛物线的顶点(1,m) , (2)抛物线经过点 A(m,m+1) , m+1m2+2m+m+1, 解得 m0 或2, 抛物线的解析式为 yx2+2x+1 或 yx2+2x1 (3)当 m0 时,如图 1 中, 观察图象可知:m+1m2+2m+m+1m+3, m2+2m0 且 m2+2m20, 解得 0m1+3 当 m0 时,如图 2 中, 观察图象可知:m+1m2+2m+m+1m+3, m2+2m0 且 m2+2m20, 解得13 m2, 综上所述,满足条件的 m 的值为:0m1+3或13

39、 m2 14 【解答】解: (1)抛物线 yax2+bx1 交 y 轴于点 P, 点 P(0,1) , PQ4,PQx 轴, 点 Q(4,1) , (4,1) 当点 Q 为(4,1) , 116a+4b1, = 4, 当点 Q(4,1) 116a4b1, =4; (2)当 a0 时, 当抛物线过点(2,2)时,a= 3 4, 当抛物线过点(2,3)时,a1, 1a 3 4, 当 a0 时, 当抛物线过点(2,2)时,a= 1 4, 当抛物线过点(1,2)时,a= 1 3, 1 4 a 1 3; 综上所述:1 4 a 1 3或1a 3 4 15 【解答】解: (1)抛物线的对称轴为:x2, 故答

40、案为:x2; (2)解:抛物线的对称轴直线为 x2, 顶点在 1x5 范围内, y 的最小值是1, 顶点坐标为(2,1) a0,开口向上, 当 x2 时,y 随 x 的增大而增大, 即 x5 时,y 有最大值, 把顶点(2,1)代入 yax24ax+1, 4a8a+11, 解得 a= 1 2, y= 1 2x 22x+1, 当 x5 时,y= 7 2, 即 y 的最大值是7 2; (3)当 x2 时,P(2,5) , 把 P(2,5)代入 yax24ax+1, 4a+8a+15, 解得 a= 1 3, 当 x11 时,P(1,4) , 把 P(1,4)代入 yax24ax+1, a+4a+14

41、, 解得 a= 3 5, 1 3 a 3 5 16 【解答】解: (1)点 A(1,0)在抛物线 yax2+bx3a(a0)上, ab3a0, 即 b2a, yax22ax3aa(x1)24a, 抛物线的顶点坐标为(1,4a) ; (2)yax22ax3aa(x22x3)a(x+1) (x3) , 抛物线与 x 轴交于点 A(1,0) ,D(3,0) ,与 y 轴交于点 E(0,3a) 由题意得,点 C(0,4) , 又B(3,4) , 如图,当 a0 时,显然,抛物线与线段 BC 无公共点, 当 a0 时, 若抛物线的顶点在线段 BC 上,则顶点坐标为(1,4) , 4a4, a1 若抛物线

42、的顶点不在线段 BC 上,由抛物线与线段 BC 恰有一个公共点, 得3a4, 4 3, 综上,a 的取值范围是 4 3,或 a1 17 【解答】解: (1)当 G 在原点下方时,b3, 当 G 在原点上方时,( 0)2+ (2 )2=3, 整理得:x4+(12b)x2+b290, (12b)24(b29)0, 解得:b= 37 4 (舍去) , 故答案为:3; (2)如图 1,作直线 yx+3 与 x 轴交于点 B(3,0) , 过点 M 作 MNBN 交于点 N,则 MN 的长度为所求值, 则BMN 为等腰直角三角形, 故 MN= 2 2 BM32, 故点 M(3,0)到直线 yx+3 的距

43、离为 32; (3)当点 N 在直线 BH 和 x2 的交点下方时, 如图 2,作直线 yx+4 交 x 轴于点 B,过点 N 作 NHBH 于点 H, 过点 N 作 MNx 轴交直线 BH 于点 M,则 HN4, 由(2)同理可知,HMN 为等腰直角三角形, MN= 2HN42, 故 xM242,yMxM+4642 =yN, 故点 N 的坐标为: (2,642) ; 当点 N 在直线 BH 和 x2 的交点上方时, 同理可得:点 N 的坐标为: (2,6+42) ; 综上,点 N 的坐标为: (2,642)或(2,6+42) 18 【解答】解: (1)把点 A(0,4)和 B(2,2)分别代

44、入 yax2+bx+c中,得 c4,4a2b+c2 b2a3; (2)当 a0 时,依题意抛物线的对称轴需满足 23 2 2, 解得 3 2 a0 当 a0 时,依题意抛物线的对称轴需满足 23 2 0, 解得 0a 3 2 a 的取值范围是 3 2 a0 或 0a 3 2; (3)设直线 AB 的表达式为:ymx+n,则 = 4 2 = 2 + ,解得: = 3 = 4, 故直线 AB 表达式为 y3x4,把 C(m,5)代入得 m3 C(3,5) ,由平移得 D(1,5) 当 a0 时,若抛物线与线段 CD 只有一个公共点(如图 1) , yax2+bx+cax2+(2a3)x4,当 x1

45、 时,y3a7, 则抛物线上的点(1,3a7)在 D 点的下方, a+2a345 解得 a4 0a4; 当 a0 时,若抛物线的顶点在线段 CD 上, 则抛物线与线段只有一个公共点(如图 2) , 4 2 4 = 5即4(4)(23) 2 4 = 5 解得 = 3 + 3 23(舍去)或 = 3 3 23 综上,a 的取值范围是 0a4 或 = 3 3 23 19 【解答】解: (1)当 x0 时,则 y= 1 x 22x+11, A(0,1) , y= 1 x 22x+1=1 ( ) 2 + 1 , B(m,1m) , 故答案为(0,1) ; (m,1m) ; (2)当 m0 时,1m1,

46、抛物线的对称轴在 y 轴右边,顶点在 y4 的下方, 若抛物线与线段 MN 恰有一个公共点,则 1 (6)2 2 (6) + 1 4 1 32 2 3 + 14 , 解得,m1; 当 m0 时,1m1, 若 11m4,即3m0 时,抛物线开口向下,顶点在直线 y4 的下方, 则抛物线与线段 MN 无交点; 若 1m4,即 m3 时,抛物线的顶点在线段 MN 上,此时抛物线与线段 MN 只有一个公共点; 若 1m4,即 m3 时,抛物线的对称轴在直线 x3 的左边,顶点在直线 y4 的上方, 若抛物线与线段 MN 恰有一个公共点,则 1 (6)2 2 (6) + 14 1 32 2 3 + 1

47、4 , 解得,m4, 综上,m4 或 m3 或 m1 20 【解答】解: (1)如图 1, 矩形 ACBD 是点 A,B 的“相关矩形” , ADCB, 点 A(1,0) ,B(2,5) , 点 C(2,0) ,BC5, AC211, 点 A,B 的“相关矩形”的周长为 2(AC+BC)2(1+5)12; 如图 2, 点 C 在直线 x3 上, 点 C 的横坐标为 3, 点 A(1,0) ,C 的“相关矩形”为正方形, BCAD,ABBC, 点 B 的坐标为(3,0) , BCAB312 点 C 的坐标为(3,2)或(3,2) , 抛物线 yx2+mx+n 经过点 A 和点 C, 1 + +

48、= 0 9 + 3 + = 2或 1 + + = 0 9 + 3 + = 2 = 3 = 2 或 = 5 = 4 抛物线的解析式为 yx23x+2 或 yx25x+4, 令 x0,则 y0,或 y4 点 D 的坐标为(0,2)或(0,4) ; (2)如图 3, 当点 F 在 y 轴的右侧时,点 E 在点 M 的右侧时,点 E 的横坐标大,连接 OM,OF, 设 OGm, 点 E,F 的“相关矩形”为正方形, FMME, 点 E 在直线 y3 上, MG3, 在 RtOGF 中,FG=2 2=16 2, 点 E 的横坐标为 OG+MEOG+MFOG+MG+FGOG+3+FG m+16 2+3 ()2+16 2)2216 2+216 2+3 ( 16 2)2+216 2+3 216 2+3(当且仅当 =16 2时,取等号) , 即 m22时,点 E 的横坐标为(OG+ME)最大(m+16 2)最大+342 +3, 点 E 的横坐标最大是 42 +3, 由圆的对称性得,点 E 的横坐标的最小值为(42 +3) , 即点 E 的横坐标的范围是大于等于(42 +3)而小于等于