1、专题专题 13 相似三角形探究相似三角形探究 因动点产生的相似三角形问题，常常出现在综合题中 一是以几何图形为载体， 赋予动点、 动线和动面来探究相似三角形问题， 进而研究面积、 函数最值等问题；二是以动态问题为背景或与函数图象、圆结合探究相似三角形的存在性问 题；三是以相似三角形为背景，经历“问题情境，建立模型，求解，应用”的基本过程，设 置探究性问题问题设置常常具有开放性 相似三角形由于对应边、对应角的不确定，或者是图形的不确定，常常需要进行分类讨 论，解题时根据对应角或对应边来分类要注意确定分类标准，按一个标准进行分类，做到 “不重复，不遗漏” 利用三角形相似判断函数图象 1如图，在边长
2、为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在 CB 的延长线上，连结 ED 交 AB 于点 F，AFx(0.2x0.8)，ECy，则在下面的函数图象中，能大致反映 y 与 x 之间函数关系 的是 C 【解析】通过DFAEDC 的对应边成比例列出比例式1 x y 1 ，从而得到 y 与 x 之间 的函数关系式为 y1 x ，从而推知该函数图象 第1题图 第2题图 2如图，已知矩形 ABCD 的长 AB 为 5，宽 BC 为 4，E 是 BC 边上的一个动点，AE EF，EF 交 CD 于点 F.设 BEx，FCy，则点 E 从点 B 运动到点 C 时，能表示 y 关于 x 的函数关系的大致图象是
3、A 利用相似三角形得出比例式，进而求出函数关系式，根据函数关系式直接判断函数图象 即可 相似三角形中的开放性问题 3如图，在ABC 中，P 为 AB 上一点，在下列四个条件中：ACPB；APC ACB；AC2AP AB；AB CPAC CB，能使ABCACP 的有 D A. B C D 【解析】由图形可得AA，根据相似三角形的判定定理可判断，但 AB CP AC CB 化成CP CB AC AB ，A 并非其中两边的夹角 4图，图是 66 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶 点叫做格点，ABC 的顶点在格点上，点 D，E 在格点上，连结 DE. (1)在图，图中分别找到
4、不同的格点 F，使以 D，E，F 为顶点的三角形与ABC 相 似，并画出DEF(每个网格中只画一个即可)； (2)使DEF 与ABC 相似的格点 F 一共有多少个？ 解：(1)如图所示： (2)使DEF 与ABC 相似的格点 F 一共有 6 个 5(2021 预测)如图，在 RtABC 中，C90 ，翻折C，使点 C 落在斜边 AB 上的 某一点 D 处，折痕为 EF(点 E，F 分别在边 AC，BC 上). (1)若CEF 与ABC 相似 当 ACBC2 时，求 AD 的长； 当 AC3，BC4 时，求 AD 的长； (2)当点 D 是 AB 的中点时，CEF 与ABC 相似吗？请说明理由
5、解：(1)若CEF 与ABC 相似，当 ACBC2 时，ABC 为等腰直角三角形，如 图所示，此时 D 为 AB 边的中点， AD 2 2 AC 2 ；当 AC3，BC4 时，有两 种情况：()若 CECF34，如图所示，则 CECFACBC，CEFCAB， EFAB.又由折叠的性质可知 CDEF，CDAB，即此时 CD 为 AB 边上的高在 Rt ABC 中，AC3，BC4，AB5，cos A3 5 ，ADAC cos A3 3 5 1.8；() 若 CFCE34， 如图所示， 则 CFCEACBC， CEFCBA， CEFB. 由折叠的性质可知CEFECD90.又AB90，AECD，AD
6、CD.同理可得 CDBD，此时 AD1 2 AB 1 2 52.5.综上可知，当 AC3，BC4 时， AD 的长为 1.8 或 2.5 (2)当点 D 是 AB 的中点时，CEF 与ABC 相似理由如下：如图所示，设 CD 与 EF 交于点 Q.CD 是 RtABC 的中线，CDDBAD，DCBB.由折叠的性质可 知CQFDQF90，DCBCFE90.BA90，CFEA. 又ECFBCA，CEFCBA 两个三角形相似，根据不同的对应边或对应角，进行分类讨论 相似三角形的存在性问题 (一)直线上取点 6如图，抛物线 y1 2 x 23 2 x2 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C.
7、 (1)试求 A，B，C 三点的坐标； (2)若线段 AB 的中点为 M，在该抛物线的对称轴上是否存在点 P，使BMP 与BAC 相似？若存在，求所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)当 y1 2 x 23 2 x20 时，解得 x11，x24，则 A(1，0)，B(4，0).当 x 0 时，y2，故 C(0，2) (2)易得 AB5，AC 5 ，BC2 5 ，AC2BC225AB2，ACB90 PMB，当PM BM AC BC 1 2 时，PMBACB，解得 PM1.25，P(1.5，1.25)或(1.5， 1.25)；当PM BM BC AC 2 时，BMPACB，
8、解得 PM5，P(1.5，5)或(1.5，5).综 上所述，点 P 的坐标为(1.5，1.25)，(1.5，1.25)，(1.5，5)，(1.5，5) 7(2021 预测)如图，AOB 的三个顶点 A，O，B 均落在抛物线 F1：y1 3 x 27 3 x 的 图象上，且点 A 的横坐标为4，点 B 的纵坐标为2.(点 A 在点 B 的左侧) (1)求点 A，B 的坐标； (2)将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90得到AOB，抛物线 F2：yax2bx4 经过 A， B两点， 延长 OB交抛物线 F2于点 C， 连结 AC， 在坐标轴上是否存在点 D， 使得以 A， O， D 为顶点的三角形与
9、OAC 相似？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)A(4，4)，B(1，2) (2)在坐标轴上存在点 D，使得以 A，O，D 为顶点的三角形与OAC 相似，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 得到AOB，B(2，1)，A(4，4).将 A(4，4)，B(2， 1)代入抛物线 F2：yax2bx4，可得抛物线 F2的表达式为 y1 4 x 23x4，易得直线 OB的表达式为y1 2 x， 联立方程组 y 1 2x， y1 4x 23x4， 解得 x12， y11， x28， y24， C(8， 4).A(4，4)，ACx 轴，AC4.易得OAC135，AOC45，A
10、CO45，A(4，4)，直线 OA 与 x 轴的夹角为 45，当点 D 在 x 轴负半轴上或 y 轴负半轴上时，AOD45，此时AOD 不可能与OAC 相似，点 D 在 x 轴正半轴 上或 y 轴正半轴上时，且AODOAC135. 当OD AC OA OA 1 时，AODOAC，ODAC4，D(4，0)或(0，4)； 当OD AO OA AC 4 2 4 2 时，DOAOAC，OD 2 OA8，D(8，0) 或(0，8). 综上所述，存在点 D(4，0)，(8，0)，(0，4)或(0，8)，使得以 A，O，D 为顶点的三角形 与OAC 相似 (二)点在抛物线上 8如图，抛物线 y1 2 x 2
11、bxc 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 左边)，与 y 轴交 于点 C.直线 y1 2 x2 经过 B，C 两点 (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 且垂直于 x 轴的直线与直线 BC 及 x 轴分别交于点 D，M.PNBC，垂足为 N.设 M(m，0).当点 P 在直线 BC 下方的抛物线上运动时，是否存在 一点 P，使PNC 与AOC 相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)针对于直线 y1 2 x2，令 x0，则 y2，C(0，2)，令 y0，则 0 1 2 x 2， x4， B(4， 0)， 将点 B， C 坐标
12、代入抛物线 y1 2 x 2bxc 中， 得 c2， 84bc0， b3 2， c2， 抛物线的解析式为 y1 2 x 23 2 x2 (2)由(1)知，抛物线的解析式为 y1 2 x 23 2 x2，令 y0，则 0 1 2 x 23 2 x2，x 1 或 x4，点 A(1，0)，OA1.B(4，0)，C(0，2)，OB4，OC2，OA OC OC OB .AOCCOB90，AOCCOB，OACOCB，ACO OBC.PNC 与AOC 相似，、当PNCAOC，PCNACO，PCN OBC，CPOB，点 P 的纵坐标为2，1 2 m 23 2 m22，m0(舍)或 m 3， P(3， 2)；
13、、 当PNCCOA 时， PCNCAO， OCBPCD.PDOC， OCBCDP，PCDPDC，PCPD，由知，P(m，1 2 m 23 2 m2)，D(m， 1 2 m2)，C(0，2)，PD2m 1 2 m 2 ，PCm2（1 2m 23 2m22） 2 m2（1 2m 23 2m） 2 ，2m1 2 m 2 m2（1 2m 23 2m） 2 ，m3 2 或 m0(舍)， P(3 2 ， 25 8 )，即满足条件的点 P 的坐标为(3，2)或(3 2 ， 25 8 ) 9如图，已知抛物线 yax2bx6 经过两点 A(1，0)，B(3，0)，C 是抛物线与 y 轴 的交点 (1)求抛物线的
14、解析式； (2)点 M 在抛物线上运动， 点 N 在 y 轴上运动， 是否存在点 M、 点 N 使得CMN90， 且CMN 与OBC 相似，如果存在，请求出点 M 和点 N 的坐标 解：(1)将 A(1，0)、B(3，0)代入 yax2bx6，得 ab60， 9a3b60， 解得 a2， b4， 抛物线的解析式为 y2x24x6 (2)存在点 M、点 N 使得CMN90，且CMN 与OBC 相似如图，CMN 90，当点 M 位于点 C 上方，过点 M 作 MDy 轴于点 D， CDMCMN90， DCMNCM， MCDNCM， 若CMN 与OBC 相似，则MCD 与OBC 相似，设 M(a，2
15、a24a6)，C(0，6)，DC2a24a，DM a， 当DM CD OB OC 3 6 1 2 时， COBCDMCMN， a 2a24a 1 2 ， 解得 a1， M(1，8)，此时 ND1 2 DM 1 2 ，N(0， 17 2 )，当CD DM OB OC 1 2 时，COBMDC NMC，2a 24a a 1 2 ，解得 a 7 4 ，M( 7 4 ， 55 8 )，此时 N(0，83 8 ).如图，当点 M 位于点 C 的下方， 过点 M 作 MEy 轴于点 E，设 M(a，2a24a6)，C(0，6)，EC2a24a，EM a，同理可得：2a 24a a 1 2 或 2a24a
16、a 2，CMN 与OBC 相似，解得 a9 4 或 a3， M(9 4 ， 39 8 )或 M(3，0)，此时 N 点坐标为(0，3 8 )或(0， 3 2 ).综合以上得，存在 M(1，8)， N(0，17 2 )或 M(7 4 ， 55 8 )，N(0，83 8 )或 M(9 4 ， 39 8 )，N(0，3 8 )或 M(3，0)，N(0， 3 2 )，使 得CMN90，且CMN 与OBC 相似 (三)圆周上取点 10已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，以 P(1，1)为圆心的P 与 x 轴、y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒
17、1 个单位的速度运动， 连结 PF，过点 P 作 PEPF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒(t0). (1)若点 E 在 y 轴的负半轴上(如图所示)，求证：PEPF； (2)在点 F 运动过程中，设 OEa，OFb，试用含 a 的代数式表示 b； (3)作点 F 关于点 M 的对称点 F， 经过 M， E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q， 连结 QE.在点 F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点 Q，O，E 为顶点的三角形与以点 P，M，F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 【解析】(1)连结 PM，PN，运用PMF
18、PNE 证明，(3)分三种情况：当 0t1 时， 当 1t2 时，当 t2 时，三角形相似时还要分类讨论，根据比例式求出时间 t. 解：(1)证明：连结 PM，PN，P 与 x 轴、y 轴分别相切于点 M 和点 N，PM MF，PNON 且 PMPN，PMFPNE90且NPM90.PEPF，NPE MPF90MPE，在PMF 和PNE 中， MPFNPE， PMPN， PMFPNE， PMF PNE(ASA)，PEPF (2)当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，由(1)得PMFPNE，NEMFt，PM PN1，bOFOMMF1t，aNEONt1，b2a；当 0t1 时， 同(1)可证P
19、MFPNE，bOFOMMF1t，aONNE1t，b2a (3)如图，当 1t2 时，F(1t，0)，F 和 F关于点 M 对称，F(1t，0).经 过 M，E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，Q(11 2 t，0)，OQ1 1 2 t，由(1) 得PMFPNE， NEMFt， OEt1， 当OEQMPF 时， OE MP OQ MF ， t1 1 11 2t t ，解得 t1 17 4 ；当OEQMFP 时，OE MF OQ MP ， t1 t 11 2t 1 ，解得 t 2 .如图，当 t2 时，F(1t，0)，F 和 F关于点 M 对称，F(1t，0).经过 M，E 和 F三
20、点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，Q(11 2 t，0)，OQ 1 2 t1，由(1)得 PMFPNE，NEMFt，OEt1，当OEQMPF 时，OE MP OQ MF ， t1 1 1 2t1 t ，无解；当OEQMFP 时，OE MF OQ MP ， t1 t 1 2t1 1 ，解得 t12 2 ， t22 2 (舍去).当 0t1 时， 同理可求 t2 2 .综上可知， 当 t1 17 4 ， t 2 ， t2 2 ，t2 2 时，使得以点 Q，O，E 为顶点的三角形与以点 P，M，F 为顶点的三 角形相似 解题方法：一是求相似三角形的第三个顶点时，先分析已知三角形的边和角的特点，进 而得出已知三角形是否为特殊三角形，根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边 分类讨论；二是利用已知三角形中的对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对 称、旋转等知识来推导边的大小； 三是若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐 标，进而用函数表达式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解