1、专题专题 11 等腰三角形探究等腰三角形探究 等腰(边)三角形是最常见的特殊三角形在各类测试卷中，常常以它为载体，与其他知 识结合编制成综合性较强的问题， 是中考中必考的一个热点问题，往往在综合题中出现，涉 及函数、方程与几何的综合运用，形式广泛，在中考命题中常考常新 一是将它与图形的轴对称、旋转等变换结合探究数形结合与分类讨论的问题；二是将它 与反比例函数、 二次函数等结合探究函数、 方程思想的应用问题； 三是将它与运动问题结合， 涉及三角形全等、三角形相似、特殊四边形等知识，探究等腰三角形的存在性问题 等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分 类 等腰三
2、角形中体现的分类思想 1已知等腰ABC 的两边长分别是 2 和 5，则ABC 的周长是 C A9 B9 或 12 C12 D7 或 12 2在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40， 求底角B 的大小 解：当 AB 的垂直平分线 MN 与 AC 相交时，如图，AMD90，ADM 40，A904050.ABAC，BC1 2 (180A)65； 当 AB 的垂直平分线 MN 与 CA 的延长线相交时，如图，AMD90，D 40，DAB904050.ABAC，BC1 2 DAB25 3(2020 绍兴)将两条邻边长分别为 2 ，1 的矩形纸片剪成四个等腰三角
3、形纸片(无余纸 片)，各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 _(填序号). 2 ，1， 2 1， 3 2 ， 3 . 4在ABC 中，C 是最小内角若过顶点 B 的一条直线把这个三角形分成两个三角 形， 其中一个为等腰三角形， 另一个为直角三角形， 则称这条直线为ABC 的关于点 B 的“伴 侣分割线”例如：如图，ABC 中，A90，C20，若过顶点 B 的一条直线 BD 交 AC 于点 D，且DBC20，则直线 BD 是ABC 的关于点 B 的“伴侣分割线” (1)如图， ABC 中， C20， ABC110.请在图中画出ABC 关于点 B 的“伴 侣分割线”
4、，并注明角度； (2)ABC 中， 设ABC 的度数为 y， 最小内角C 的度数为 x.试探索 y 与 x 应满足什么 要求时，ABC 存在关于点 B 的“伴侣分割线” 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图 (2)考虑直角顶点，只有点 A，B，D 三种情况当点 A 为直角顶点时，如图，此时 y 90 x；当点 B 为直角顶点时，再分两种情况：若DBC90，如图，此时 y90 1 2 (90 x)135 1 2 x；若ABD90，如图，此时 y90 x；当点 D 为直角 顶点时，又分两种情况： 若ABD 是等腰三角形， 如图， 此时 y45(90 x)135 x；若DBC 是等腰三角形，如图，
5、此时 x45，45y135 由于等腰三角形边或角的不确定性，在没有明确哪两条边是腰、哪两个角是底角时，就 需要分类，一般分类时可以按边分类 几何图形中探究等腰三角形存在 5如图，已知直线 AB 与O 相切于点 A，直线 l 与O 相离，OBl 于点 B，且 OB 5，OB 与O 交于点 P，AP 的延长线交直线 l 于点 C. (1)求证：ABBC； (2)若在O 上存在点 G，使GBC 是以 BC 为底边的等腰三角形，求O 的半径 r 的取 值范围 解：(1)证明：连结 OA，AB 与O 相切，OAB90，OAPBAC90. OBl，BCABPC90.OAOP，OAPOPABPC，BAC B
6、CA，ABBC (2)作BC的垂直平分线MN， 过点O作OEMN于点E， 则OE1 2 BC 1 2 AB 52r2 2 . 由题意可知O 与直线 MN 有交点，OE 52r2 2 r，解得 r 5 .又直线 l 与O 相 离，r5.若在O 上存在点 G，使GBC 是以 BC 为底边的等腰三角形，O 的半径 r 的取值范围为 5 r5 6(2021 预测)如图，在矩形 ABCD 中，AB8，AD10，E 是 CD 边上的一点，连结 AE，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长 线于点 G，连结 DG. (1)求线段 CE 的长
7、； (2)若 M， N 分别是线段 AG， DG 上的动点(与端点不重合)， 且DMNDAM， 设 AM x, 是否存在这样的点 M，使DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在， 请说明理由 题图 答图 解：(1)四边形 ABCD 是矩形，ADBC10，ABCD8，BBCD90. 由翻折可知 ADAF10，DEEF，设 CEx，则 DEEF8x.在 RtABF 中，BF AF2AB2 6，CFBCBF1064，在 RtEFC 中，有(8x)2x242，x 3，CE3 (2)存在，理由如下：由(1)知 DE5，CE3，又ADBG，ADEGCE，AD DE CG CE ， 10 5
8、 CG 3 ，CG6，DGCG2CD2 6282 10AD，AG AB2BG2 82（106）2 85 ，DGADAM DMN.DMNDNM，即 DMDN.当 MNMD 时，MDNGDM，DMN DGM， DMNDGM， DM DG MN GM .又MNDM， DGGM10， xAM AGGM8 5 10；当 MNDN 时，如图，则MDNDMNDGM，MD MG.过点 M 作 MHDG 于点 H，则 DHGH5.易证GHMGBA，GH GB MG AG ， 5 16 MG 8 5 ，MG 5 5 2 ，xAMAGMG8 5 5 5 2 11 5 2 .综上所述，满足 条件的 x 的值为 8 5
9、 10 或11 5 2 画出各种变化中的图形，以边或角进行分类，探究等腰三角形存在的可能 函数背景下探究等腰三角形存在 7如图，抛物线 y2 9 x 2bxc 与 x 轴交于 A(1，0)，B(5，0)两点，顶点为 C， 对称轴交 x 轴于点 D，点 P 为抛物线对称轴 CD 上的一动点(点 P 不与 C，D 重合).过点 C 作 直线 PB 的垂线交 PB 于点 E，交 x 轴于点 F. (1)求抛物线的表达式； (2)当PCF 的面积为 5 时，求点 P 的坐标； (3)PCF 能否为等腰三角形？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 解：(1)y2 9 (x1)(x5) 2 9
10、x 28 9 x 10 9 (2)抛物线的对称轴为直线 x2，顶点 C(2，2).设点 P(2，m)，且 m0，2，则易得 直线 PB 的表达式为 y1 3 mx 5m 3 .CEPE，易得直线 CE 的表达式为 y 3 m x(2 6 m ).当 y 3 m x(2 6 m )0 时，解得 x2 2m 3 ，点 F(22m 3 ，0).当点 P 在点 D 下 方， 即 m0 时， CP2m， DF22m 3 22m 3 ， SPCF1 2 PC DF 1 2 (2m)( 2m 3 ) 5，解得 m15(舍去)，m23，此时点 P(2，3)； 当点 P 在 C，D 两点之间，即 0m2 时，C
11、P2m，DF2(22m 3 )2m 3 ， SPCF1 2 PC DF 1 2 (2m) 2m 3 5，易得此方程无解； 当点 P 在点 C 上方，即 m2 时，CPm2，DF2(22m 3 )2m 3 ，SPCF1 2 PC CF1 2 (m2) 2m 3 5，解得 m15，m23(舍去)，此时点 P(2，5).故点 P(2，3) 或(2，5) (3)能， 理由如下： 由(2)确定的点 F 的坐标得 CP2(2m)2， CF2(2m 3 )24， PF2(2m 3 )2 m2，当 CPCF 时，则(2m)2(2m 3 )24，解得 m10(舍去)，m236 5 ； 当 CPPF 时，则(2m
12、)2(2m 3 )2m2，解得 m193 13 2 ，m293 13 2 ； 当 CFPF 时，则(2m 3 )24(2m 3 )2m2，解得 m12(舍去)，m22. 故点 P(2，36 5 )或(2，2)或(2，93 13 2 )或(2，93 13 2 ) 8如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y4 9 x 2bxc 经过点 A(5，0)和点 B(1， 0). (1)求抛物线的表达式及顶点 C 的坐标； (2)连结 AC，BC，点 M 在线段 AB 上(不与 A，B 重合)，作CMNCBA，射线 MN 交线段 AC 于点 N，是否存在这样的点 M，使得CMN 为等腰三角形？若存在，求出 AN
13、 的 长；若不存在，请说明理由 解：(1)y4 9 (x5)(x1) 4 9 x 216 9 x20 9 ，点 C(2，4) (2)存在，理由如下：CMNCBA，AMNCMNABCBCM， AMNBCM.又BACABC，BCMAMN，AN BM AM BC .而 AB6，AC BC5， 当 MNCM 时，BCMAMN，AMBC5，ANMB1； 当 NMCN 时， NCMNMCABC.又CABBAC， AMCACB， AC AB AM AC ，AC 2AB AM，即 256AM，则 AM25 6 .又AN BM AM BC ，即 AN 625 6 25 6 5 ，AN55 36 ； CNMCAB
14、，而CABCMN，CNMCMN，CNCM.故 AN 1 或55 36 用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离 公式列方程；然后解方程并检验 操作探究等腰三角形 9等腰三角形 ABC 中，ABAC4，BAC45，以 AC 为腰作等腰直角三角形 ACD，CAD 为 90，请画出图形，并直接写出点 B 到 CD 的距离 解：本题有两种情况：如图，过点 A 作 AECD 于点 E，ACD 等腰直角三角形， ACD45，ACDBAC，ABCD，点 B 到 CD 的距离等于点 A 到 CD 的 距离，AEAC sin 454 2 2 2 2 ，点 B 到 CD 的距离
15、为 2 2 ； 如图，AB，CD 交于点 E，ACD 等腰直角三角形，ACDBAC45， AEC90，AEAC sin 454 2 2 2 2 ，BEABAE42 2 .点 B 到 CD 的距离为 42 2 . 综上所述：点 B 到 CD 的距离为 2 2 或 42 2 10如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在小矩形的顶点上， 如果点 P 是某个小矩形的顶点，连结 PA ，PB，画出使ABP 为等腰直角三角形的点 P. 题图 答图 解：如图所示的点 P1，P2，P3均能使ABP 为等腰直角三角形 转化为图形，通过画图，找出存在等腰三角形的所有可能情况 运动探究等腰三
16、角形 11 如图， 在平面直角坐标系中， O 为原点， 四边形 ABCO 是矩形， A(0， 2)和 C(2 3 ， 0)，点 D 是对角线 AC 上一动点(不与 A，C 重合)，连结 BD，作 DEDB，交 x 轴于点 E， 以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF. (1)求点 B 的坐标； (2)是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长度；若不 存在，请说明理由 解：(1)(2 3 ，2) (2)存在，理由如下： tan ACOAO OC 3 3 ， ACO30，ACB60. 如题图中，当点 E 在线段 OC 上时，DEC 是等腰三角形，只有 EDEC
17、，DCE EDC30，CDBBCD60，DBC 是等边三角形，DCBC2.在 Rt AOC 中，ACO30，OA2，AC2AO4，ADACCD2； 如图，当点 E 在线段 OC 的延长线上时，DCE 是等腰三角形，只有 CDCE， DBCDECCDE15，ABDADB75，ADAB2 3 .综上可知， AD 的长度为 2 或 2 3 12(2020 枣庄)如图，抛物线 yax2bx4 交 x 轴于 A(3，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C，连结 AC，BC.M 为线段 OB 上的一个动点，过点 M 作 PMx 轴，交抛物线于 点 P，交 BC 于点 Q. (1)求抛物线的表达式；
18、(2)过点 P 作 PNBC，垂足为 N.设 M 点的坐标为 M(m，0)，请用含 m 的代数式表示线 段 PN 的长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点 M 在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形 是等腰三角形若存在，请求出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)将点 A， B 的坐标代入抛物线表达式中， 得 9a3b40， 16a4b40， 解得 a 1 3， b1 3， 故 抛物线的表达式为 y1 3 x 21 3 x4 (2)由抛物线的表达式知，点 C(0，4)，由点 B，C 的坐标得，直线 BC 的表达
19、式为 y x4；设点 M(m，0)，则点 P(m，1 3 m 21 3 m4)，点 Q(m，m4)， PQ1 3 m 21 3 m4m4 1 3 m 24 3 m.OBOC， 故ABCOCB45， PQNBQM45，PNPQ sin 45 2 2 (1 3 m 24 3 m) 2 6 (m2)2 2 2 3 .0m4，当 m2 时，PN 有最大值为2 2 3 (3)存在，理由：点 A，C 的坐标分别为(3，0)，(0，4)，则 AC5，当 ACCQ 时， 过点 Q 作 QEy 轴于点 E，则 CEQECQ sin 455 2 2 ，故点 Q(5 2 2 ，85 2 2 )； 当 ACAQ 时，
20、则 AQAC5，在 RtAMQ 中，由勾股定理得m(3)2(m4)2 25，解得 m1 或 0(舍去 0)，故点 Q(1，3)；当 CQAQ 时，则 2m2m(3)2(m 4)2，解得 m25 2 (舍去). 综上，点 Q 的坐标为(1，3)或(5 2 2 ，85 2 2 ) 1确定定点、动点、运动方向，即弄清楚三角形中，哪些点是动点，哪些点是定点，动 点在哪条线上运动，运动方向是怎样的 2. 画出动态三角形形成等腰三角形的截图(“动”中取“静”).按照运动时间先后的顺 序，往往存在三种情况 3在函数与数形结合的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程 探究正三角形存在性问题 13
21、如图，已知反比例函数 y2 x 的图象与正比例函数 ykx 的图象交于点 A(m，2). (1)求正比例函数的表达式及两函数图象另一个交点 B 的坐标； (2)试根据图象写出不等式2 x kx 的解集； (3)在反比例函数图象上是否存在点 C，使OAC 为等边三角形？若存在，求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由 【解析】第(3)题需分类讨论，当 C 在第一象限时，OAC 不可能为等边三角形，当 C 在第三象限时，根据 OAOC，求出点 C 的坐标，再看 AC 的值是否构成等边三角形. 解：(1)把 A(m，2)代入 y2 x ，解得 m1，A(1，2)，代入 ykx，解得 k 2，正比例
22、函数表达式为 y2x.又由 2x2 x ，得 x1 或 x1，B(1，2) (2)0 x1 或 x1 (3)不存在，理由：当点 C 在第一象限时，OAC 不可能为等边三角形；当点 C 在 第三象限时，要使OAC 为等边三角形，则 OAOC.设 C(t，2 t )(t0)，A(1，2)， OA 5 ，t24 t2 5，则 t 45t240，t2 或1.当 t1 时，C 与 A 重合，舍去； 当 t2 时，C(2，1)，AC 2 ，ACAO，不存在符合条件的点 C 14如图，抛物线 yax2bxc 经过点 A(2，5)，与 x 轴相交于 B(1，0)，C(3， 0)两点， (1)求抛物线的函数表达
23、式； (2)点D在抛物线的对称轴上， 且位于x轴的上方， 将BCD沿直线BD翻折得到BCD， 若 C恰好落在抛物线的对称轴上，求点 C和点 D 的坐标； (3)点 Q 在抛物线的对称轴上， 在抛物线上对称轴的右侧是否存在一点 P，使得CPQ 为 等边三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)由题意，得 4a2bc5， abc0， 9a3bc0， 解得 a1， b2， c3， 故抛物线的函数表达式为 yx2 2x3 (2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H，则 BH2，由翻折得 CBCB4，CH CB2BH2 4222 2 3 ，点 C(1，2 3 )，tan CB
24、HCH BH 2 3 2 3 ， CBH60，DBH1 2 CBH30，DHBH tan 30 2 3 3 ，点 D 的 坐标为(1，2 3 3 ) (3)存在，理由如下：连结 CC，BCBC，CBC60，CCB 为等边三 角形 当点 P 在 x 轴上方时，点 Q 在 x 轴上方，连结 BQ，CP，如图，PCQ，C CB 为等边三角形，CQCP，BCCC，PCQCCB60，BCQCCP， BCQCCP，BQCP.点 Q 在抛物线的对称轴上，BQCQ，CPCQ CP.又BCBC.BP 垂直平分 CC， 由翻折可知 BD 垂直平分 CC， 点 D 在直线 BP 上 易 得直线 BP 的函数表达式为
25、 y 3 3 x 3 3 ，解方程组 y 3 3 x 3 3 ， yx22x3， 得 x1， y0 或 x3 3 3 ， y4 31 3 ， P(3 3 3 ，4 31 3 )； 当点 P 在 x 轴下方时， 点 Q 在 x 轴下方 如图， QCP， CCB 为等边三角形， CPCQ， BCCC， QCPCCB60.BCPCCQ， BCPCCQ， CBPCCQ.又BCCC，CHBC，CCQ1 2 CCB30，CBP 30.设 BP 与 y 轴相交于点 E，在 RtBOE 中，OEOB tan CBP1 3 3 3 3 ， 点 E 的坐标为(0， 3 3 ).易得直线 BP 的函数表达式为 y 3 3 x 3 3 .解方程组 y 3 3 x 3 3 ， yx22x3， 得 x1， y0 或 x3 3 3 ， y14 3 3 ， P(3 3 3 ，14 3 3 ).综上所述，点 P 的坐标为(3 3 3 ，4 31 3 )或(3 3 3 ，14 3 3 ) 根据等边三角形的性质表示出有关线段的长度、点的坐标等，通常转化为方程解决