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专题8面积问题(2021年浙江省中考数学一轮复习专项练习)

1、专题专题 8 面积问题面积问题 面积问题,常常以一次函数、二次函数以及反比例函数图象为背景,结合常见的平面几 何图形,如三角形、四边形等,一般都可以通过分割,建立面积函数模型,用函数知识解决 问题,具有一定的综合性 其题型一是以各类几何图形为载体,赋予动点、动线和动面,在动态背景下探究面积问 题;二是常常与函数、函数图象联系,探究面积的最值等问题 面积的图象呈现 1(2020 南通)如图,E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点,点 P 从点 B 出发沿折线 BE D 运动到点 D 停止, 点 Q 从点 B 出发沿 BC 运动到点 C 停止, 它们的运动速度都是 1 cm/s. 现 P,Q 两

2、点同时出发,设运动时间为 x(s),BPQ 的面积为 y( cm2),若 y 与 x 的对应关系 如图所示,则矩形 ABCD 的面积是 C A96 cm2 B84 cm2 C72 cm2 D56 cm2 2如图,在 RtABC 中,ACB90,ACBC2 2 ,CDAB 于点 D.点 P 从点 A 出发,沿 ADC 的路径运动,运动到点 C 停止,过点 P 作 PEAC 于点 E,作 PFBC 于点 F.设点 P 运动的路程为 x, 四边形 CEPF 的面积为 y, 则能反映 y 与 x 之间函数关系的图 象是 A A B C D 第2题图 第3题图 3(2020 安徽)如图,ABC 和DEF

3、 都是边长为 2 的等边三角形,它们的边 BC,EF 在同一条直线 l 上,点 C,E 重合现将ABC 沿直线 l 向右移动,直至点 B 与 F 重合时停 止移动在此过程中,设点 C 移动的距离为 x,两个三角形重叠部分的面积为 y,则 y 随 x 变化的函数图象大致为 A A B C D 根据题目提供的条件可以求出函数的表达式,根据表达式判断出函数的图象注意动点 在不同的位置时图象的变化 面积的函数表示 4已知变量 x,y 对应关系如下表已知值呈现的对应规律: x,4,3,2,1,1,2,3,4,y,1 2 , 2 3 ,1,2,2,1, 2 3 , 1 2 ,(1)依据表中给出的对 应关系

4、写出函数表达式,并在给出的坐标系中画出大致图象; (2)在这个函数图象上有一点 P(x,y)(x0),过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的垂线,并延长与 直线 yx2 交于 A,B 两点,若PAB 的面积等于25 2 ,求 P 点的坐标 解:(1)y2 x ,如图所示 (2)易知点 P(x,2 x ),则点 A(x,x2),由题意可知PAB 是等腰直角三角形,SPAB 25 2 ,PAPB5.x0,PAyPyA2 x x25,解得 x12,x21, 点 P(2,1)或(1,2) 5. 如图,直线 y2x 与反比例函数 yk x (k0,x0)的图象交于点 A(1,m),点 B(n, t)是反比

5、例函数图象上的一点,且 n2t. (1)求 k 的值和点 B 的坐标; (2)若点 P 在 x 轴上,使得PAB 的面积为 2,直接写出点 P 的坐标 解:(1)点 A(1,m)是直线 y2x 与双曲线 yk x 的交点,m212,A(1,2), 2k 1 ,解得 k2.点 B 在双曲线 y 2 x 上,t 2 n .又n2t,t 1.点 B 在第一 象限, t1,n2,B(2,1) (2)延长 AB 交 x 轴于点 C,设直线 AB 的表达式为 yaxb,则 2ab, 12ab, 解得 a1, b3, 直线AB 的表达式为 yx3.令 yx30, 解得 x3, C(3, 0).设P(m, 0

6、),SPAB2,SPABSPACSPBC1 2 PC2 1 2 PC1 1 2 PC 1 2 |m3|2,m 1 或 7,点 P 的坐标为(1,0)或(7,0) 有关面积的函数关系式表达,关键是在变化的图形中,在不同的时间段,不同的位置上 利用面积公式求出面积的表达式 面积的最值探究 6如图,在ABC 中,A90,ABAC 2 1,点 D,E 分别在边 AB,AC 上, 且ADAE1, 连结DE.现将ADE绕点A顺时针方向旋转, 旋转角为(0360), 如图,连结 CE,BD,CD. (1)当 00)的图象经过 点 A(4,3 2 ),点 B 在 y 轴的负半轴上,AB 交 x 轴于点 C,C

7、 为线段 AB 的中点 (1)m_6_,点 C 的坐标为_(2,0)_; (2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点,过点 D 作 DEy 轴,交反比例函数图象于点 E, 求ODE 面积的最大值 解:(1)反比例函数 ym x (x0)的图象经过点 A(4, 3 2 ),m4 3 2 6.AB 交 x 轴 于点 C,C 为线段 AB 的中点C(2,0).故答案为 6,(2,0) (2)设直线 AB 的表达式为 ykxb,把 A(4,3 2 ),C(2,0)代入得 4kb3 2, 2kb0, 解得 k 3 4, b3 2, 直线 AB 的表达式为 y3 4 x 3 2 .点 D 为线段 AB 上

8、的一个动点, 设 D(x, 3 4 x 3 2 )(0x4).DEy 轴,E(x, 6 x ),SODE 1 2 x ( 6 x 3 4 x 3 2 ) 3 8 x 23 4 x3 3 8 (x1) 227 8 ,当 x1 时,ODE 的面积的最大,最大值为27 8 表示出面积的函数表达式, 转化为求函数的最值问题. 对动点的位置, 根据题目的要求, 往往需要分类讨论,对分段函数求最值问题,应对每一段函数求最值,最后进行比较 面积的划分探究 8如图,抛物线 yax2bxc(a0)的图象经过 A(1,0),B(3,0),C(0,6)三点 (1)求抛物线的表达式; (2)抛物线的顶点 M 与对称轴

9、 l 上的点 N 关于 x 轴对称, 直线 AN 交抛物线于点 D, 直线 BE 交 AD 于点 E,若直线 BE 将ABD 的面积分为 12 两部分,求点 E 的坐标 解:(1)抛物线 yax2bxc(a0)的图象经过 A(1,0),B(3,0),设抛物线表达式 为 ya(x1)(x3).抛物线 ya(x1)(x3)(a0)的图象经过点 C(0,6),6a(01)(0 3),a2,抛物线的表达式为 y2(x1)(x3)2x28x6 (2)y2x28x62(x2)22,顶点 M 的坐标为(2,2).抛物线的顶点 M 与对 称轴 l 上的点 N 关于 x 轴对称,点 N(2,2).设直线 AN

10、的表达式为 ykxb,由题意可得 0kb, 22kb, 解 得 k2, b2, 直 线 AN 的 表 达 式 为 y 2x 2 , 联 立 方 程 组 得 y2x2, y2x28x6, 解得 x11, y10, x24, y26, 点 D(4, 6), SABD1 2 266, 设点 E(m, 2m2),直线 BE 将ABD 的面积分为 12 两部分,SABE1 3 SABD2 或 SABE 2 3 SABD4,1 2 2(2m2)2 或 1 2 2(2m2)4,m2 或 3,点 E(2,2)或(3, 4) 9(2021 预测)如图,抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A(1,0),B 两

11、点,与 y 轴交 于点 C(0,3),且 OBOC. (1)求抛物线的表达式及其对称轴; (2)若点 D,E 是抛物线对称轴上的两个动点,且 DE1,点 D 在点 E 的上方,求四边形 ACDE 周长的最小值; (3)点 P 为抛物线上一点, 连结 CP, 直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 35 的两部分, 求点 P 的坐标 题图 答图 解:(1)OBOC,C(0,3),点 B(3,0),抛物线的表达式为 ya(x1)(x3)a(x2 2x3)ax22ax3a.将(0,3)代入,得3a3,解得 a1,抛物线的表达式为 y x22x3,抛物线的对称轴为直线 x1 (2)C四边形ACDE

12、ACDECDAE 10 1CDAE,当 CDAE 最小时,四 边形 ACDE 的周长最小如图,易得点 C 关于抛物线的对称轴对称的点 C的坐标为(2,3), 连结 CD,CD,则 CDCD.取点 A(1,1),连结 AC,AD,则 AE 綊 AD,CD AEADDCAC(当且仅当 A,D,C三点共线时取等号),四边形 ACDE 周长的最 小值为 10 1AC 10 1 13 (3)设直线 CP 交 x 轴于点 F,直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 35 的两部分, 点 P 位于 B 点右侧, 且 SPCBSPCA1 2 FB(yCyP) 1 2 AF(yCyP)BFAF35 或 53

13、,则 AF5 2 或 3 2 ,点 F 的坐标为( 3 2 ,0)或( 1 2 ,0),易得直线 CP 的表达式为 y 2x3或y6x3.解方程组 y2x3, yx22x3, 得 x10, y13, x24, y25, P(4, 5); 解方程组 y6x3, yx22x3, 得 x10, y13, x28, y245, P(8,45).综上所述,点 P 的坐标为(4,5)或(8,45) 将面积的比例关系转化为方程解决,注意分类讨论 面积的倍数问题 10如图,已知二次函数 yx24xk 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,其顶点为点 D,且 k0.若 SABD4SABC,则

14、 k 的值为 D A.1 B1 2 C4 3 D4 5 【解析】易得点 C,点 D 的坐标分别为(0,k),(2,4k), SABC1 2 AB OC,SABD 1 2 AB yD,4SABC SABD,4k4k,解得 k4 5 . 11如图,在直角坐标系中,四边形 OABC 是平行四边形,经过 A(2,0),B,C 三点 的抛物线 yax2bx8 3 (a0)与 x 轴的另一个交点为 D,其顶点为 M,对称轴与 x 轴交于点 E. (1)求这条抛物线对应的函数表达式; (2)已知 R 是抛物线上的点, 使得ADR 的面积是OABC 的面积的3 4 , 求点 R 的坐标 解:(1)OA2BC,

15、故函数的对称轴为 x1,则 x b 2a 1,将点 A 的坐标代入 抛物线表达式得04a2b8 3 , 联立并解得 a 1 3, b2 3, 故抛物线的表达式为y1 3 x22 3 x 8 3 (2)y1 3 x 22 3 x 8 3 1 3 (x1) 23,抛物线的顶点 M(1,3),令 y0,可得 x 2 或 4,点 D(4,0).ADR 的面积是OABC 的面积的3 4 , 1 2 AD|yR| 3 4 OAOB,则1 2 6|yR| 3 4 2 8 3 ,解得 yR 4 3 ,联立并解得 x1 5, y4 3 或 x1 13, y4 3, 故点R的坐标为(1 13 , 4 3 )或(1

16、 13 , 4 3 )或(1 5 , 4 3 )或(1 5 , 4 3 ) 12(2021 预测)如图,已知抛物线 ya(x2)2c 经过点 A(2,0)和 C(0,9 4 ),与 x 轴交于另一点 B,顶点为 D. (1)求抛物线的表达式,并写出 D 点的坐标; (2)若点 P 在抛物线上,且 SPBDmSCBD,试确定满足条件的点 P 的个数 解:(1)由题意,得 16ac0, 4ac9 4, 解得 a3 16, c3, 抛物线的表达式为 y 3 16 (x2) 23, 顶点 D 的坐标为(2,3),B(6,0) (2)如图,当点 P 在线段 BD 的上方时,过点 D 作 DHAB 于点 H,连结 PD,PH,PB, 设 P(n, 3 16 (n2) 23),2n0 时,直线 l2与 抛物线均有 2 个交点当 0m1 3 时,直线 l1 与抛物线有 2 个交点,满足条件的点 P 有 4 个;当 m1 3 时,直线 l1与抛物线仅有 1 个交点,满足条件的点 P 有 3 个;当 m 1 3 时, 直线 l1与抛物线无交点,满足条件的点 P 有 2 个 面积的倍数问题,要画出图形,将各面积都表示出来,利用数量关系转化为方程,解出 方程即可解决问题对动点的位置,往往要根据题目的要求分类讨论