1、专题专题 8 面积问题面积问题 面积问题，常常以一次函数、二次函数以及反比例函数图象为背景，结合常见的平面几 何图形，如三角形、四边形等，一般都可以通过分割，建立面积函数模型，用函数知识解决 问题，具有一定的综合性 其题型一是以各类几何图形为载体，赋予动点、动线和动面，在动态背景下探究面积问 题；二是常常与函数、函数图象联系，探究面积的最值等问题 面积的图象呈现 1(2020 南通)如图，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，点 P 从点 B 出发沿折线 BE D 运动到点 D 停止， 点 Q 从点 B 出发沿 BC 运动到点 C 停止， 它们的运动速度都是 1 cm/s. 现 P，Q 两
2、点同时出发，设运动时间为 x(s)，BPQ 的面积为 y( cm2)，若 y 与 x 的对应关系 如图所示，则矩形 ABCD 的面积是 C A96 cm2 B84 cm2 C72 cm2 D56 cm2 2如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC2 2 ，CDAB 于点 D.点 P 从点 A 出发，沿 ADC 的路径运动，运动到点 C 停止，过点 P 作 PEAC 于点 E，作 PFBC 于点 F.设点 P 运动的路程为 x， 四边形 CEPF 的面积为 y， 则能反映 y 与 x 之间函数关系的图 象是 A A B C D 第2题图 第3题图 3(2020 安徽)如图，ABC 和DEF
3、 都是边长为 2 的等边三角形，它们的边 BC，EF 在同一条直线 l 上，点 C，E 重合现将ABC 沿直线 l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停 止移动在此过程中，设点 C 移动的距离为 x，两个三角形重叠部分的面积为 y，则 y 随 x 变化的函数图象大致为 A A B C D 根据题目提供的条件可以求出函数的表达式，根据表达式判断出函数的图象注意动点 在不同的位置时图象的变化 面积的函数表示 4已知变量 x，y 对应关系如下表已知值呈现的对应规律： x,4,3,2,1,1,2,3,4,y,1 2 , 2 3 ,1,2,2,1, 2 3 , 1 2 ,(1)依据表中给出的对 应关系
4、写出函数表达式，并在给出的坐标系中画出大致图象； (2)在这个函数图象上有一点 P(x，y)(x0)，过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，并延长与 直线 yx2 交于 A，B 两点，若PAB 的面积等于25 2 ，求 P 点的坐标 解：(1)y2 x ，如图所示 (2)易知点 P(x，2 x )，则点 A(x，x2)，由题意可知PAB 是等腰直角三角形，SPAB 25 2 ，PAPB5.x0，PAyPyA2 x x25，解得 x12，x21， 点 P(2，1)或(1，2) 5. 如图，直线 y2x 与反比例函数 yk x (k0，x0)的图象交于点 A(1，m)，点 B(n， t)是反比
5、例函数图象上的一点，且 n2t. (1)求 k 的值和点 B 的坐标； (2)若点 P 在 x 轴上，使得PAB 的面积为 2，直接写出点 P 的坐标 解：(1)点 A(1，m)是直线 y2x 与双曲线 yk x 的交点，m212，A(1，2)， 2k 1 ，解得 k2.点 B 在双曲线 y 2 x 上，t 2 n .又n2t，t 1.点 B 在第一 象限， t1，n2，B(2，1) (2)延长 AB 交 x 轴于点 C，设直线 AB 的表达式为 yaxb，则 2ab， 12ab， 解得 a1， b3， 直线AB 的表达式为 yx3.令 yx30， 解得 x3， C(3， 0).设P(m， 0
6、)，SPAB2，SPABSPACSPBC1 2 PC2 1 2 PC1 1 2 PC 1 2 |m3|2，m 1 或 7，点 P 的坐标为(1，0)或(7，0) 有关面积的函数关系式表达，关键是在变化的图形中，在不同的时间段，不同的位置上 利用面积公式求出面积的表达式 面积的最值探究 6如图，在ABC 中，A90，ABAC 2 1，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， 且ADAE1， 连结DE.现将ADE绕点A顺时针方向旋转， 旋转角为(0360)， 如图，连结 CE，BD，CD. (1)当 00)的图象经过 点 A(4，3 2 )，点 B 在 y 轴的负半轴上，AB 交 x 轴于点 C，C
7、 为线段 AB 的中点 (1)m_6_，点 C 的坐标为_(2，0)_； (2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 DEy 轴，交反比例函数图象于点 E， 求ODE 面积的最大值 解：(1)反比例函数 ym x (x0)的图象经过点 A(4， 3 2 )，m4 3 2 6.AB 交 x 轴 于点 C，C 为线段 AB 的中点C(2，0).故答案为 6，(2，0) (2)设直线 AB 的表达式为 ykxb，把 A(4，3 2 )，C(2，0)代入得 4kb3 2， 2kb0， 解得 k 3 4， b3 2， 直线 AB 的表达式为 y3 4 x 3 2 .点 D 为线段 AB 上
8、的一个动点， 设 D(x， 3 4 x 3 2 )(0x4).DEy 轴，E(x， 6 x )，SODE 1 2 x ( 6 x 3 4 x 3 2 ) 3 8 x 23 4 x3 3 8 (x1) 227 8 ，当 x1 时，ODE 的面积的最大，最大值为27 8 表示出面积的函数表达式， 转化为求函数的最值问题. 对动点的位置， 根据题目的要求， 往往需要分类讨论，对分段函数求最值问题，应对每一段函数求最值，最后进行比较 面积的划分探究 8如图，抛物线 yax2bxc(a0)的图象经过 A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三点 (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点 M 与对称轴
9、 l 上的点 N 关于 x 轴对称， 直线 AN 交抛物线于点 D， 直线 BE 交 AD 于点 E，若直线 BE 将ABD 的面积分为 12 两部分，求点 E 的坐标 解：(1)抛物线 yax2bxc(a0)的图象经过 A(1，0)，B(3，0)，设抛物线表达式 为 ya(x1)(x3).抛物线 ya(x1)(x3)(a0)的图象经过点 C(0，6)，6a(01)(0 3)，a2，抛物线的表达式为 y2(x1)(x3)2x28x6 (2)y2x28x62(x2)22，顶点 M 的坐标为(2，2).抛物线的顶点 M 与对 称轴 l 上的点 N 关于 x 轴对称，点 N(2，2).设直线 AN
10、的表达式为 ykxb，由题意可得 0kb， 22kb， 解 得 k2， b2， 直 线 AN 的 表 达 式 为 y 2x 2 ， 联 立 方 程 组 得 y2x2， y2x28x6， 解得 x11， y10， x24， y26， 点 D(4， 6)， SABD1 2 266， 设点 E(m， 2m2)，直线 BE 将ABD 的面积分为 12 两部分，SABE1 3 SABD2 或 SABE 2 3 SABD4，1 2 2(2m2)2 或 1 2 2(2m2)4，m2 或 3，点 E(2，2)或(3， 4) 9(2021 预测)如图，抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A(1，0)，B 两
11、点，与 y 轴交 于点 C(0，3)，且 OBOC. (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)若点 D，E 是抛物线对称轴上的两个动点，且 DE1，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE 周长的最小值； (3)点 P 为抛物线上一点， 连结 CP， 直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 35 的两部分， 求点 P 的坐标 题图 答图 解：(1)OBOC，C(0，3)，点 B(3，0)，抛物线的表达式为 ya(x1)(x3)a(x2 2x3)ax22ax3a.将(0，3)代入，得3a3，解得 a1，抛物线的表达式为 y x22x3，抛物线的对称轴为直线 x1 (2)C四边形ACDE
12、ACDECDAE 10 1CDAE，当 CDAE 最小时，四 边形 ACDE 的周长最小如图，易得点 C 关于抛物线的对称轴对称的点 C的坐标为(2，3)， 连结 CD，CD，则 CDCD.取点 A(1，1)，连结 AC，AD，则 AE 綊 AD，CD AEADDCAC(当且仅当 A，D，C三点共线时取等号)，四边形 ACDE 周长的最 小值为 10 1AC 10 1 13 (3)设直线 CP 交 x 轴于点 F，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 35 的两部分， 点 P 位于 B 点右侧， 且 SPCBSPCA1 2 FB(yCyP) 1 2 AF(yCyP)BFAF35 或 53
13、，则 AF5 2 或 3 2 ，点 F 的坐标为( 3 2 ，0)或( 1 2 ，0)，易得直线 CP 的表达式为 y 2x3或y6x3.解方程组 y2x3， yx22x3， 得 x10， y13， x24， y25， P(4， 5)； 解方程组 y6x3， yx22x3， 得 x10， y13， x28， y245， P(8，45).综上所述，点 P 的坐标为(4，5)或(8，45) 将面积的比例关系转化为方程解决，注意分类讨论 面积的倍数问题 10如图，已知二次函数 yx24xk 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其顶点为点 D，且 k0.若 SABD4SABC，则
14、 k 的值为 D A.1 B1 2 C4 3 D4 5 【解析】易得点 C，点 D 的坐标分别为(0，k)，(2，4k)， SABC1 2 AB OC，SABD 1 2 AB yD，4SABC SABD，4k4k，解得 k4 5 . 11如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形，经过 A(2，0)，B，C 三点 的抛物线 yax2bx8 3 (a0)与 x 轴的另一个交点为 D，其顶点为 M，对称轴与 x 轴交于点 E. (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)已知 R 是抛物线上的点， 使得ADR 的面积是OABC 的面积的3 4 ， 求点 R 的坐标 解：(1)OA2BC，
15、故函数的对称轴为 x1，则 x b 2a 1，将点 A 的坐标代入 抛物线表达式得04a2b8 3 ， 联立并解得 a 1 3， b2 3， 故抛物线的表达式为y1 3 x22 3 x 8 3 (2)y1 3 x 22 3 x 8 3 1 3 (x1) 23，抛物线的顶点 M(1，3)，令 y0，可得 x 2 或 4，点 D(4，0).ADR 的面积是OABC 的面积的3 4 ， 1 2 AD|yR| 3 4 OAOB，则1 2 6|yR| 3 4 2 8 3 ，解得 yR 4 3 ，联立并解得 x1 5， y4 3 或 x1 13， y4 3， 故点R的坐标为(1 13 ， 4 3 )或(1
16、 13 ， 4 3 )或(1 5 ， 4 3 )或(1 5 ， 4 3 ) 12(2021 预测)如图，已知抛物线 ya(x2)2c 经过点 A(2，0)和 C(0，9 4 )，与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D. (1)求抛物线的表达式，并写出 D 点的坐标； (2)若点 P 在抛物线上，且 SPBDmSCBD，试确定满足条件的点 P 的个数 解：(1)由题意，得 16ac0， 4ac9 4， 解得 a3 16， c3， 抛物线的表达式为 y 3 16 (x2) 23， 顶点 D 的坐标为(2，3)，B(6，0) (2)如图，当点 P 在线段 BD 的上方时，过点 D 作 DHAB 于点 H，连结 PD，PH，PB， 设 P(n， 3 16 (n2) 23)，2n0 时，直线 l2与 抛物线均有 2 个交点当 0m1 3 时，直线 l1 与抛物线有 2 个交点，满足条件的点 P 有 4 个；当 m1 3 时，直线 l1与抛物线仅有 1 个交点，满足条件的点 P 有 3 个；当 m 1 3 时， 直线 l1与抛物线无交点，满足条件的点 P 有 2 个 面积的倍数问题，要画出图形，将各面积都表示出来，利用数量关系转化为方程，解出 方程即可解决问题对动点的位置，往往要根据题目的要求分类讨论