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专题7最值问题(2021年浙江省中考数学一轮复习专项练习)

1、专题专题 7 最值问题最值问题 最值问题,也就是最大值和最小值问题,这类问题出现的试题,内容丰富,知识点多, 涉及面广,解法灵活多样,而且具有一定的难度 最值问题一般有三类,一是以几何为背景的最值问题,一般可以看成是运动变化的图形 在特殊位置时,与图形有关的几何量达到最大值或最小值;二是有关函数的最值问题,如一 次函数、反比例函数和二次函数;三是实际背景问题,来求最优化问题 解决最值问题的关键是要结合题意,借助相关的概念、图形的性质,将最值问题化归与 转化为相应的数学模型(函数增减性、线段公理、三角形三边关系等)进行分析与突 破 线段之和最值问题 1(2020 河南)如图,在扇形 BOC 中,

2、BOC60,OD 平分BOC 交 BC 于点 D, 点 E 为半径 OB 上一动点若 OB2,求阴影部分周长的最小值 解:如图,作点 D 关于 OB 的对称点 D,连结 DC 交 OB 于点 E,连结 ED,OD, 此时 ECED 最小,即 ECEDCD,由题意得CODDOBBOD30, COD90,CD OC2OD2 2222 2 2 , CD 的长 l302 180 3 , 阴影部分周长的最小值为 2 2 3 2如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,将ABD 沿射线 BD 平移,得到EGF,连 结 EC,GC.求 ECGC 的最小值 解:如图,连结 DE,作点 D 关于直线 AE 的

3、对称点 T,连结 AT,ET,CT. 四边形 ABCD 是正方形,ABBCCDAD4,ABC90,ADB45. AEBD, EADADB45, D, T 关于 AE 对称, ADAT4, TAEEAD 45, TAD90.BAD90, B, A, T 共线, CT BT2BC2 4 5 .EG CD,EGCD,四边形 EGCD 是平行四边形,GCED,ECGCECEDEC TE.TEECTC,ECGC4 5 ,ECGC 的最小值为 4 5 3. (2020 南京)如图,要在一条笔直的路边 l 上建一个燃气站,向 l 同侧的 A,B 两个城 镇分别铺设管道输送燃气试确定燃气站的位置,使铺设管道的

4、路线最短 (1)如图,作出点 A 关于 l 的对称点 A,线段 AB 与直线 l 的交点 C 的位置即为所求, 即在点 C 处建燃气站,所得路线 ACB 是最短的 为了证明点 C 的位置即为所求,不妨在直线 l 上另外任取一点 C,连结 AC,BC,证 明 ACCBACCB.请完成这个证明; (2)如果在 A,B 两个城镇之间规划一个生态保护区,燃气管道不能穿过该区域请分别 给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由). 生态保护区是正方形区域,位置如图所示; 生态保护区是圆形区域,位置如图所示 解:(1)证明:如图,连结 AC,点 A,点 A关于 l 对称,点 C 在 l 上,CACA,

5、 ACBCACBCAB,同理可得 ACCBACBC,ABACCB, ACBCACCB (2)如图,在点 C 处建燃气站,铺设管道的最短路线是 ACCDDB(其中点 D 是正方 形的顶点); 如图, 在点 C 处建燃气站, 铺设管道的最短路线是 ACCD DE EB, (其中 CD, BE 都与圆相切) 1 线段和的最小值问题是课本著名原题“饮马问题”的变形与应用, 即为同一平面内线 段和最短问题,其基本图形如图,点 A,B 是直线 l 同旁的两个定点如何在直线 l 上确定一 点 P,使 APBP 的值最小方法是作点 A 关于直线 l 的对称点点 A,转化为两点间的距离 问题,即连结 AB 交直

6、线 l 于点 P,则 PAPBAB 的值最小 2不管在什么背景图中,有关线段之和的最短问题,常化归与转化为线段公理“两点之 间线段最短”,而化归与转化的方法都是借助于“轴对称点”. 然后利用线段垂直平分线的 性质和两点之间线段最短的原理, 构造直角三角形, 并运用勾股定理计算最小值来解决问题 线段之差最值问题 4如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y1kxb(k0)的图象与反比例函数 y2m x (m0)的图象相交于第一、三象限内的 A(3,5),B(a,3)两点,与 x 轴交于点 C. (1)求该反比例函数和一次函数的表达式; (2)在 y 轴上找一点 P,使 PBPC 最大,求 PBPC

7、的最大值及点 P 的坐标 解:(1)把 A(3,5)代入 y2m x (m0),得 m3515,反比例函数的表达式为 y2 15 x .把点 B(a,3)代入 y215 x ,可得 a5,B(5,3).把 A(3,5),B(5,3) 代入 y1kxb,得 3kb5, 5kb3, 解得 k1, b2, 一次函数的表达式为 y1x2 (2)令 x0,y1x22,一次函数与 y 轴的交点为(0,2).当点 P 为一次函数与 y 轴 的交点时,PBPCBC 最大,令 y1x20,解得 x2,C(2,0),PBPC 的 最大值为 (52)232 3 2 ,此时 P(0,2) 5(原创题)如图,在平面直角

8、坐标系 xOy 中,点 A,B,C 分别为坐标轴上的三个点, 且 OA1,OB3,OC4. (1)求经过 A,B,C 三点的抛物线的表达式; (2)当点 P 的坐标为(5,3)时,若点 M 为该抛物线上一动点,请求出当|PMAM|取最大 值时点 M 的坐标,并直接写出|PMAM|的最大值 解:(1)设抛物线的表达式为 ya(x4)(x1),将 B(0,3)代入,解得 a3 4 ,y 3 4 (x4)(x1) 3 4 x 29 4 x3 (2)设直线 PA 的表达式为 ymxn(m0),将 A(1,0),P(5,3)代入,解得 m3 4 ,n 3 4 , y 3 4 x 3 4 .当点 M 与点

9、 P, A 不在同一直线上时, 根据三角形的三边关系可知|PM AM|PA, 当点 M 与点 P, A 在同一直线上时, |PMAM|PA, 此时|PMAM|的值最大, 即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点解方程组 y 3 4x 3 4, y3 4x 29 4x3, 得 x11, y10 或 x25, y29 2, 当|PMAM|的值最大时点 M 的坐标为(1,0)或(5,9 2 ),且|PMAM|的 最大值为 5 点 P 为任意一点时,要探究|PAPB|的最大值,可数形结合,将其转化为相关图形(三角 形),三边关系始终满足两边之差小于第三边(|PAPB0)与 x 轴交于 A,B 两点(点

10、A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,顶点为点 D. (1)当 a6 时,直接写出点 A,B,C,D 的坐标: A_(3,0)_,B_(1,0)_,C_(0,18)_, D_(2,6)_; (2)如图,直线 DC 交 x 轴于点 E,若 tan AED4 3 ,求 a 的值和 CE 的长; (3)如图,在(2)的条件下,若点 N 为 OC 的中点,动点 P 在第三象限的抛物线上,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,交 AN 于点 F;过点 F 作 FHDE,垂足为 H.设点 P 的横坐标 为 t,记 fFPFH. 用含 t 的代数式表示 f; 设5tm(m0),求 f 的最大值 解

11、:(1)当 a6 时,抛物线的表达式为 y6x224x18,令 y0,则 x1 或3;当 x0 时,y18,函数的对称轴为 x2,故点 A,B,C,D 的坐标分别为(3,0),(1, 0),(0,18),(2,6);故答案为(3,0),(1,0),(0,18),(2,6) (2)yax24ax4a6,令 x0,则 y4a6,则点 C(0,4a6),函数的对称轴为 x 2,故点 D 的坐标为(2,6),由点 C,D 的坐标得直线 CD 的表达式为 y2ax4a 6,令 y0,则 x3 a 2,故点 E( 3 a 2,0),则 OE 3 a 2,tan AED OC OE 64a 3 a2 4 3

12、 , 解得 a 2 3 , 故点 C, E 的坐标分别为(0, 10 3 ), (5 2 , 0), 则 CE (10 3 )2(5 2) 2 25 6 (3)如图,作 PF 与 ED 的延长线交于点 J, 由(2)知, 抛物线的表达式为 y2 3 x 28 3 x 10 3 , 故点 A, C 的坐标分别为(5, 0), (0, 10 3 ),则点 N(0, 5 3 ),由点 A, N 的坐标得直线 AN 的表达式为 y 1 3 x 5 3 .设点 P(t, 2 3 t 28 3 t 10 3 ),则点 F(t,1 3 t 5 3 ),FP 2 3 t 23t5 3 ,由点 E( 5 2 ,

13、0),C 的坐标得 直线 CE 的表达式为 y4 3 x 10 3 ,则点 J(t,4 3 t 10 3 ),故 FJ5 3 t 5 3 ,FHDE,JF y 轴,FHJEOC90,FJHECO,FJHECO,FH OE FJ CE ,FH OE CE FJt1,fFPFH 2 3 t 23t5 3 (t1) 2 3 t 24t8 3 f2 3 t 24t8 3 2 3 (t3) 226 3 (5tm 且 m0),当5m3 时,fmax 2 3 m 24m8 3 ;当3m0 时,fmax 26 3 有关几何图形面积和线段长的最值问题,关键是要掌握图形面积和线段长的求解,构建 相应的函数关系式,进而根据函数图象的增减性确定其最值,并注意问题的实际意义