1、专题专题 9 动态几何问题动态几何问题 所谓“动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、 动线、 动面， 它们在线段、 射线或弧线上运动的一类开放性题目动态几何问题有两个显著特点：一是“动态”，常以 图形或图象中点、线、面的运动(包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换)为重要的 构图背景；二是“综合”，主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识 的综合 解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动，根据题意画一些不同运动 时刻的图形，想象从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动 过程中的各种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形
2、的瞬间图形，寻找变化 的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决 动点问题 (一)单动点问题 1如图，在矩形 ABCD 中，AB4，DCA30，点 F 是对角线 AC 上的一个动点， 连结 DF，以 DF 为斜边作DFE30的 RtDEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中，求点 E 的运动路径长 题图 答图 解：如图，点 E 的运动路径是线段 EE，AB4，DCA30，AD4 3 3 .当点 F 与点 A 重合时，在 RtADE中，AD4 3 3 ，DAE30，ADE60， DE2 3 3 ，CDE30；当点 F 与点 C 重合
3、时，DCE30，CD4， DE2，EDC60，EDE90，EEDE2DE2 （2 3 3 ）222 4 3 3 .E 的运动路径 EE的长为4 3 3 2(2019 湖州)如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，点 A， C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，连结 AC，OA3，tan OAC 3 3 ，D 是 BC 的中点 (1)求 OC 的长和点 D 的坐标； (2)如图， M 是线段 OC 上的点， OM2 3 OC， 点 P 是线段 OM 上的一个动点， 经过 P， D，B 三点的抛物线交 x 轴的正半轴于点 E，连结 DE 交 AB 于点 F. 将DBF
4、沿 DE 所在的直线翻折，若点 B 恰好落在 AC 上，求此时 BF 的长和点 E 的 坐标； 以线段 DF 为边，在 DF 所在直线的右上方作等边DFG，当动点 P 从点 O 运动到点 M 时，点 G 也随之运动，请直接写出点 G 运动路径的长 解：(1)OA3，tan OACOC OA 3 3 ，OC 3 .四边形 OABC 是矩形，BC OA3.点 D 是 BC 的中点，CD1 2 BC 3 2 ，D( 3 2 ， 3 ) (2)tan OAC 3 3 ，OAC30，ACBOAC30.设将DBF 沿 DE 所在的直线翻折后， 点 B 恰好落在 AC 上的点 B处， 则 DBDBDC， B
5、DFBDF， DBCACB30，BDB60，BDFBDF30，BFBD tan 30 3 2 .又AB 3 ，AFBF 3 2 .又BFDAFE，BFAE90， BFDAFE(ASA)，AEBD3 2 ，OEOAAE 9 2 ，点 E 的坐标为( 9 2 ，0) 当动点 P 在点 O 时，抛物线过点 P(0，0)，D(3 2 ， 3 )，B(3， 3 )，可求得此时 抛物线的表达式为y2 3 9 x2 3 x， E(9 2 ， 0)， 直线DE的表达式为y 3 3 x3 3 2 ， 当 x3 时，y 3 3 33 3 2 3 2 ，F1(3， 3 2 )； 当动点 P 运动到点 M 时，抛物线
6、过点 P(0，2 3 3 )，D(3 2 ， 3 )，B(3， 3 )，可求 得此时抛物线的表达式为 y2 3 27 x2 3 3 x2 3 3 ，E(6，0)，直线 DE 的表达式为 y 2 3 9 x4 3 3 ，当 x3 时，y2 3 9 34 3 3 2 3 3 ，F2(3，2 3 3 )，点 F 的运 动路径 F1F2的长为2 3 3 3 2 3 6 .DFG 为等边三角形，点 G 运动路径的长为 3 6 3 (2019 衢州)如图， 在 RtABC 中， C90， AC6， BAC60， AD 平分BAC 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC 交 AB 于点 E，点 M 是线
7、段 AD 上的动点，连结 BM 并延 长分别交 DE，AC 于点 F，G. (1)求 CD 的长； (2)若点 M 是线段 AD 的中点，求EF DF 的值； (3)请问当 DM 的长满足什么条件时， 在线段 DE 上恰好只有一点 P， 使得CPG60？ 备用图 解：(1)AD 平分BAC，BAC60，DAC1 2 BAC30，DCAC tan 302 3 (2)易得 BC6 3 ，BD4 3 ，由 DEAC，得EDADAC，DFMAGM. 又AMDM，DFMAGM，AGDF.由 DEAC，得BFEBGA，EF AG BE AB BD BC ， EF DF EF AG BD BC 4 3 6
8、3 2 3 (3)CPG60，过 C，P，G 作外接圆，圆心为点 Q，CQG 是顶角为 120的 等腰三角形 当Q 与 DE 相切于点 P 时，如图，过 Q 点作 QHAC 于点 H，设Q 的半径 QP r， 则 QH1 2 r， r 1 2 r2 3 ， 解得 r 4 3 3 ， CG4 3 3 3 4， AG2.DF CG BD BC 2 3 ，DF 8 3 .易知DFMAGM，可得 DM AM DF AG 4 3 ，则 DM AD 4 7 ，DM 16 7 3 ； 当Q 经过点 E 时，如图，延长 CQ 交 AB 于点 K，ACK30，BAC 60，CKA90，CK3 3 ，AK3.AE
9、 AB CD BC 1 3 ，AE 1 3 AB4，EK 1.设Q 的半径 QCQEr，则 QK3 3 r，在 RtEQK 中，12(3 3 r)2r2, 解得 r14 9 3 ，CG14 9 3 3 14 3 ，同可得 DM14 5 3 ； 当Q 经过点 D 时，如图，此时点 M 与点 G 重合，且恰好在点 A 处，可得 DM 4 3 . 综上所述，当 DM16 7 3 或14 5 3 DM4 3 时，满足条件的点 P 只有一个 (二)双动点问题 4 中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6 cm， 点 P， Q 同时分别从 A， D 两点出发， 以 1 cm/s 的速度沿 AF，
10、DC 向终点 F，C 运动，连结 PB，PE，QB，QE，设运动时间为 t(s). (1)求证：四边形 PBQE 为平行四边形； (2)求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比 解：(1)证明：六边形 ABCDEF 是正六边形，ABBCCDDEEFFA，A ABCCDDEFF，点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1 cm/s 速度 沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，APDQt，PFQC6t，在ABP 和DEQ 中， ABDE， AD， APDQ， ABPDEQ(SAS)，BPEQ，同理可证 PEQB，四边形 PBQE 为 平行四边形 (2)连结 BE，OA，则
11、AOB360 6 60，OAOB，AOB 是等边三角形， ABOA6，BE2OB12，当 t0 时，点 P 与 A 重合，Q 与 D 重合，四边形 PBQE 即为 四边形 ABDE，如图所示，则EAFAEF30，BAE1203090， 此时四边形 ABDE 是矩形，即四边形 PBQE 是矩形当 t6 s 时，点 P 与 F 重合，Q 与 C 重 合， 四边形 PBQE 即为四边形 FBCE， 如图所示， 同法可知BFE90， 此时四边形 PBQE 是矩形综上所述，t0 或 6 s 时，四边形 PBQE 是矩形，AE 12262 6 3 ，矩 形 PBQE 的面积矩形 ABDE 的面积ABAE6
12、6 3 36 3 .正六边形 ABCDEF 的 面积6SAOB61 4 S 矩形ABDE61 4 36 3 54 3 ， 矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比2 3 5(2020 苏州)如图，已知MON90，OT 是MON 的平分线，A 是射线 OM 上一 点， OA8 cm.动点 P 从点 A 出发， 以 1 cm/s 的速度沿 AO 水平向左做匀速运动， 与此同时， 动点 Q 从点 O 出发，也以 1 cm/s 的速度沿 ON 竖直向上做匀速运动连结 PQ，交 OT 于点 B.经过 O，P，Q 三点作圆，交 OT 于点 C，连结 PC，QC.设运动时间为 t(s)，其
13、中 0t8. (1)求 OPOQ 的值； (2)是否存在实数 t，使得线段 OB 的长度最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理 由 (3)求四边形 OPCQ 的面积 解：(1)由题意可得，OP8t，OQt，OPOQ8tt8(cm) (2)当t4时， 线段OB的长度最大 如图， 过点B作BDOP， 垂足为D， 则BDOQ.OT 平分MON，BODBOQOBD45，BDOD，OB 2 BD.设线段 BD 的 长为 x，则 BDODx，OB 2 BD 2 x，PD8tx，BDOQ，PD OP BD OQ ， 8tx 8t x t ，x 8tt2 8 .OB 2 8tt2 8 2 8 (t4)
14、22 2 .0t8，当 t 4 时，线段 OB 的长度最大 (3)POQ90，PQ 是圆的直径PCQ90.PQCPOC45， PCQ 是等腰直角三角形 SPCQ1 2 PC QC 1 2 2 2 PQ 2 2 PQ1 4 PQ 2.在 RtPOQ 中， PQ2OP2OQ2(8t)2t2.四边形 OPCQ 的面积 SSPOQSPCQ1 2 OP OQ 1 4 PQ 2 1 2 (8t)t 1 4 (8t) 2t24t1 2 t 21 2 t 2164t16. 四边形 OPCQ 的面积为 16 cm2. 从动点的特殊情形入手，进行推理判断，再对一般情形做出猜想或判断，并加以证明 动线问题 6如图，
15、已知二次函数 y3 4 x 29 4 x3 与 x 轴、y 轴交于点 A，B.在 x 轴上有一动 点 C(m，0)(0m4)，过点 C 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 E，交该二次函数的图象于点 D. (1)求直线 AB 的表达式； (2)过点 D 作 DFAB 于点 F，设ACE，DEF 的面积分别为 S1，S2，若 S14S2，求 m 的值； (3)点 H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点， 点 G 是线段 AB 上的动点， 当四边形 DEGH 是平行四边形，且DEGH 的周长取最大值时，求点 G 的坐标 解：(1)y3 4 x3 (2)易得点 D 的坐标为(m，3 4 m 29
16、4 m3)，点 E 的坐标为(m， 3 4 m3)，AC4 m， DE(3 4 m 29 4 m3)( 3 4 m3) 3 4 m 23m.BCy 轴， AC EC AO OB 4 3 ， AE5 4 AC 5 4 (4m).DFADCA90，FEDCEA，DEFAEC. S14S2 ，AE2DE，5 4 (4m)2( 3 4 m 23m)，解得 m 15 6 ，m24(不合题意，舍 去)，故 m 的值为5 6 (3)过点 G 作 GMDC 于点 M，设 H(n，3 4 n 29 4 n3)，由(2)知 DE 3 4 m 23m， 同理可得 HG3 4 n 23n.当四边形 DEGH 是平行四
17、边形时，则 DEHG，即3 4 m 23m 3 4 n 23n，整理，得(nm)3 4 (nm)30.mn， 3 4 (nm)30，mn4， 即 n4m，MGnm42m.BCy 轴，MEGOBA，MG EM OA OB 4 3 ， EG5 4 MG 5 4 (42m)，C DEGH23 4 m 23m5 4 (42m) 3 2 m 2m10 3 2 (m 1 3 ) 261 6 ， 当 m1 3 时， C DEGH最大， 此时 n41 3 11 3 ， 点 G 的坐标为(11 3 ， 1 4 ).当点 G，E 位置对调时，依然满足条件，则此时点 G 的坐标为( 1 3 ， 11 4 ).点 G
18、 的坐标为 (11 3 ，1 4 )或( 1 3 ， 11 4 ) 7(2021 预测)如图，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC2，边 BC 在其所在的直线上 平移，将通过平移得到的线段记为 PQ，连结 PA，QD，过点 Q 作 QOBD，垂足为 O，连 结 OA，OP. (1)请直接写出线段 BC 在平移过程中四边形 APQD 的形状； (2)请判断 OA，OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)在平移变换过程中，设 ySOPB，BPx(0 x2)，求 y 与 x 之间的函数关系式，并 求出 y 的最大值 解：(1)四边形 APQD 为平行四边形 (2)OAOP，OAOP，
19、证明：四边形 ABCD 是正方形，ABBCPQ，ABO OBQ45，OQBD，PQO45.ABOOBQPQO，OBOQ.又 PQAB，AOBPOQ(SAS)，OAOP，AOBPOQ，AOPBOQ 90，OAOP (3)过点O作OEBC于点E， 如图， 当点P在点B右侧时， 则BQx2， OEx2 2 ， y1 2 BP OE 1 2 x x2 2 1 4 x 21 2 x 1 4 (x1) 21 4 .又0 x2， 当 x2 时，y 有最 大值 2；如图，当点 P 在 B 点左侧时，则 BQ2x，OE2x 2 ，y1 2 BP OE 1 2 x 2x 2 1 2 x 1 4 x 21 4 (x
20、1) 21 4 .又0 x2，当 x1 时，y 有最大值 1 4 .综上所 述，y1 4 x 21 2 x 或 y 1 2 x 1 4 x 2，当 x2 时，y 有最大值 2 8在ABC 中，CACB，ACB.点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点，连 结 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连结 AD，BD，CP. (1)【观察猜想 】如图，当 60时，BD CP 的值是_1_，直线 BD 与直线 CP 相交所 成的较小角的度数是_60_； (2)【类比探究】如图，当90 时，请写出BD CP 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成 的较小角的度数，并就图的情
21、形说明理由； (3)【解决问题】当 90时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上， 请直接写出点 C，P，D 在同一直线上时AD CP 的值 解：(1)延长 CP 交 BD 的延长线于点 E，交 AB 于点 O，PADCAB60， CAPBAD.CABA， PADA， CAPBAD(SAS)， CPBD， ACPABD. 又AOCBOE，BEOCAO60，BD CP 1，线段 BD 与直线 CP 相交所成 的较小角的度数是 60 (2)设 BD 交 AC 于点 Q， BD 交 PC 于点 F， PADCAB45， PACDAB. 又AB AC AD AP 2 ，
22、DABPAC， PCADBA， BD CP AB AC 2 .又FQC AQB， CFQQAB45， 直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45 (3)如图甲，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于点 H，设 AD 交 EF 于点 G，CEEA，CFFB，EFAB，EFCABC45.PAG45， PAGGFH.又PGAFGH，HAPG.APC90，EAEC，PE EAEC， APEEAPBAH， HBAH， BHBA.ADPBDC45， ADB90， BDAH， DBADBC22.5.ADBACB90， A， D， C， B 四点共圆， DACDBC22.
23、5， DCAABD22.5， DACDCA 22.5，DADC.设 DCADa，则 PD 2 2 a，AD CP a a 2 2 a 2 2 ；如图 乙，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证 DADC，设 ADa，则 CDADa，PD 2 2 a， CPa 2 2 a，AD CP a a 2 2 a 2 2 .综上所述，AD CP 的值为 2 2 或 2 2 按线动的位置进行分类，画出各状态图形，利用这些等量关系转化为方程来解决 动面问题 9(2020 河南)如图，在ABC 中，ACB90，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐 标分别为(2，6)和(7，0).将正方形 OCDE 沿 x
24、 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为 B A(3 2 ，2) B(2，2) C( 11 4 ，2) D(4，2) 【解析】如图，设正方形 OCDE是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方形，顶点 A，B 的坐标分别为(2，6)和(7，0)，AC6，OC2，OB7，BC9.四边形 OCDE 是正方形， DEOCOE2， OEOC2.EOBC， BOEBCA 90，EOAC，BOEBCA，EO AC BO BC ， 2 6 BO 9 ，BO 3，OC7232，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为(2，2)，故选 B. 10(2020 嘉兴)在一次数学研究性学
25、习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起， 使点 A 与点 F 重合， 点 C 与点 D 重合(如图)， 其中ACBDFE90， BCEF3 cm，ACDF4 cm，并进行如下研究活动 活动一：将图中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移，连结 AE，BD(如图)，当点 F 与点 C 重合时停止平移 【思考】图中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由； 【发现】当纸片 DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABDE 为矩形(如图).求 AF 的长； 活动二： 在图中， 取AD的中点O， 再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转度(090)， 连结 OB，OE(如图)
26、. 【探究】当 EF 平分AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由 解： 【思考】四边形 ABDE 是平行四边形 证明：ABCDEF，ABDE，BACEDF，ABDE，四边形 ABDE 是平行四边形 【发现】如图，连结 BE 交 AD 于点 O，四边形 ABDE 为矩形，OAODOB OE，设 AFx(cm)，则 OAOE1 2 (x4)，OFOAAF2 1 2 x，在 RtOFE 中， OF2EF2OE2，(21 2 x) 2321 4 (x4) 2，解得 x9 4 ，AF 9 4 cm 【探究】BD2OF，证明：如图，延长 OF 交 AE 于点 H，由旋转的性质知：OAOB
27、 OEOD，OABOBAODEOED，OBDODB，OAEOEA， BDEDEAABDEAB.ABDBDEDEAEAB360， ABD BAE180，AEBD，OHEODB.EF 平分OEH，OEF HEF.EFOEFH90， EFEF， EFOEFH(ASA)， EOEH， FOFH， EHOEOHODBOBD，EOHOBD(AAS)，BDOH2OF 根据题意画一些不同运动时刻的图形，想象从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程 有一个初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后做到动中取静，画出运动过程中各种 情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问 题来解决