1、专题专题 3 规律探究问题规律探究问题 规律探究性问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，题目的情景给出有 限的几项，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中 所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出共同特征，或者发现变化的趋势，在解答过程中需要经历 观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学 知识之间的联系 解题方法和步骤是： 1通过对几个特例的分析，利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等), 从 特殊到一般，寻找规律并且归纳； 2猜想符合规律的一般性结论； 3验证或说明结论是否正确 数字规律探究 1观察下列两行
2、数： 1，3，5，7，9，11，13，15，17， 1，4，7，10，13，16，19，22，25， 探究发现：第 1 个相同的数是 1，第 2 个相同的数是 7，若第 n 个相同的数是 103， 求 n 的值 解：第 1 个相同的数是 1061， 第 2 个相同的数是 7161， 第 3 个相同的数是 13261， 第 4 个相同的数是 19361， ， 第 n 个相同的数是 6(n1)16n5， 所以 6n5103， 解得 n18. 答：第 n 个相同的数是 103，则 n 等于 18 2观察“田”字中各数之间的关系，则 c 的值应是多少？ 解：经过观察可以发现从左到右每个“田”左上角的数
3、字依此是 1，3，5，7 等奇数， 最后一个“田”字此位置上的数字为 2 021，最后一个“田”字应为第 1 011 个图；观察每 个“田”字左下角的数字可以发现规律是 2，22，23，24等，a21 011；同时可以发现每个 “田”字右上角的数字依次比左下角的数字大 0，2，4，6 等，到最后一个“田”字应大 2 020，ca2 02021 0112 020 解答数字规律问题的关键是仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其 中所蕴涵的规律，利用规律解题 数式规律探究 3按一定规律排列的单项式：a，2a，4a，8a，16a，32a，第 n 个单项式是 A A(2)n 1a B(2)
4、na C2n1a D2na 4(2020 安徽)观察以下等式： 第 1 个等式：1 3 (1 2 1 )2 1 1 ， 第 2 个等式：3 4 (1 2 2 )2 1 2 ， 第 3 个等式：5 5 (1 2 3 )2 1 3 ， 第 4 个等式：7 6 (1 2 4 )2 1 4 ， 第 5 个等式：9 7 (1 2 5 )2 1 5 ， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第 6 个等式：_11 8 (12 6 )2 1 6 _； (2)写出你猜想的第 n 个等式：_(用含 n 的等式表示)，并证明 解：(1)第 6 个等式：11 8 (12 6 )2 1 6 (2)猜想的第 n 个等
5、式：2n1 n2 (12 n )2 1 n . 证明：左边2n1 n2 n2 n 2n1 n 21 n 右边，等式成立 5观察下列各式的规律： 1322341；2432891； 354215161. 请按以上规律写出第 4 个算式_465224251_ 用含有字母的式子表示第 n 个算式为_n(n2)(n1)21_ 6(2021 预测)在求 1332333435363738的值时，张红发现：从第二个加 数起每一个加数都是前一个加数的 3 倍，于是她假设：S13323334353637 38 ，然后在式的两边都乘以 3，得 3S33233343536373839， 得 3SS391，即 2S39
6、1，S3 91 2 . 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母 m(m0 且 m1)，则 1mm2 m3m4m2 020的值是_m 2 0211 m1 _ 【解析】设 S1mm2m3m4m2 020，在式的两边都乘以 m，得 mSm m2m3m4m2 020m2 021 ，得 mSSm2 0211，Sm 2 0211 m1 . 解答数式规律问题的常用步骤：将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；按规 律顺序排列这些式子；将发现的规律用代数式或等式表示出来；用题中所给数据验证规 律的正确性 图形特征规律探究 7(2020 德州)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第
7、 10 个这 样的图案需要黑色棋子的个数为 C A148 B152 C174 D202 8(2020 通辽)如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小正 方形，拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形，按这样的方法拼成的第()n1 个正方形比第 n 个正方形多_2n3_个小正方形 9. 如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个菱形，第 2 幅图中有 3 个菱形，第 3 幅图中有 5 个菱形，如果第 n 幅图中有 2 021 个菱形，求 n 的值 解：根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个菱形，第 2 幅图中有 2213(个)菱形， 第 3
8、幅图中有 2315(个)菱形，第 4 幅图中有 2417(个)菱形，可以发现，每 个图形中的菱形都比前一个图形中的菱形多 2 个，第 n 幅图中共有(2n1)个菱形当图中 有 2 021 个菱形时，2n12 021，n1 011 10(2021 预测)如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所 示，小明按图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，求小明用 2 021 个这样 的图形(图)拼出来的图形的总长度(结果用含 a，b 的代数式表示) 解：每个接触部分的相扣长度为 ab，则下方空余部分的长度为 a2(ab)2ba， 3 个拼出来的图形有 1 段空余长度，总长度2a
9、(2ba)a2b；5 个拼出来的图形有 2 段 空余长度，总长度3a2(2ba)a4b；7 个拼出来的图形有 3 段空余长度，总长度4a 3(2ba)a6b；9 个拼出来的图形有 4 段空余长度，总长度5a4(2ba)a8b， 2 021 个拼出来的图形的总长度为2 0211 2 a2 0211 2 (2ba)a2 020b 解决这类问题的关键是仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数量 变化的一般规律 循环规律探究 11如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为：A(2，0)，B(1，2)，C(1， 2).已知 N(1，0)，作点 N 关于点 A 的对称点 N1，点 N
10、1关于点 B 的对称点 N2，点 N2关 于点 C 的对称点 N3，点 N3关于点 A 的对称点 N4，点 N4关于点 B 的对称点 N5，依此类 推，则点 N2 020的坐标为_(1，8)_ 12已知有理数 a1，我们把 1 1a 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 1 12 1， 1 的差倒数是 1 1（1） 1 2 .如果 a12，a2 是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3 的差倒数，依此类推，求 a1a2a100的值 解：a12，a2 1 1（2） 1 3 ，a3 1 11 3 3 2 ，a4 1 13 2 2，这个 数列以2，1 3 ， 3 2 依次循环，且2 1
11、 3 3 2 1 6 .又100 3331，a1a2 a10033(1 6 )2 15 2 13 如图， 边长为4的正六边形的中心与坐标原点O重合， AFx轴， 将正六边形ABCDEF 绕原点O顺时针旋转n次， 每次旋转60， 当n2 020时， 顶点A的坐标为_(2， 2 3 )_ 14. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2 020 次得到正方形 OA2 020B2 020C2 020，若点 A 的坐 标为(1，0)，求点 B2 020的坐标 解： 四边形 OABC 是正方形， 且 OA1，
12、 B(1， 1).连结 OB， 由勾股定理得 OB 2 ， 由旋转得 OBOB1OB2OB3 2 .将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得 到正方形 OA1B1C1， 相当于将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45， 依次得到BOB1B1OB2 45，B1(0， 2 )，B2(1，1)，B3( 2 ，0)，B4(1，1)，发现是 8 次一 循环，2 02082524，点 B2 020的坐标为(1，1) 将所给的一些特殊数据排序，发现循环的规律 数形结合规律探究 15如图，四边形 ABCD 是矩形，延长 DA 到点 E，使 AEDA，连结 EB，点 F1是 CD 的中点，连结 EF1
13、，BF1，得到EF1B；点 F2是 CF1的中点，连结 EF2，BF2，得到EF2B； 点 F3是 CF2的中点，连结 EF3，BF3，得到EF3B；按照此规律继续进行下去，若矩形 ABCD 的面积等于 2，则EFnB 的面积为_2 n1 2n _.(用含正整数 n 的式子表示) 【解析】 AEDA， 点 F1是 CD 的中点， 矩形 ABCD 的面积等于 2， EF1D 和EAB 的面积都等于 1.点 F2是 CF1的中点，EF1F2的面积等于1 2 ，同理可得EFn1Fn的面积 为 1 2n 1 .BCFn的面积为 2 1 2n 2 1 2n ，EFnB 的面积为 211 1 2 1 2n
14、 1 1 2n 2(1 1 2n ) 2n1 2n . 16如图，OA1A2为等腰直角三角形，OA11，以斜边 OA2为直角边作等腰直角三角 形 OA2A3，再以 OA3为直角边作等腰直角三角形 OA3A4，按此规律作下去，则 OAn的 长度为 B A( 2 )n B( 2 )n 1 C( 2 2 )n D( 2 2 )n 1 第16题图 第17题图 17 (2020 徐州)如图， MON30， 在 OM 上截取 OA1 3 .过点 A1作 A1B1OM， 交 ON 于点 B1，以点 B1为圆心，B1O 为半径画弧，交 OM 于点 A2；过点 A2作 A2B2OM， 交 ON 于点 B2， 以
15、点 B2为圆心， B2O 为半径画弧， 交 OM 于点 A3； 按此规律， 所得线段 A20B20 的长等于_219_ 解决这类问题的关键是分析发现图形的变化规律从而得到一般规律 坐标平面内几何规律探究 18(2020 齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形沿 x 轴正半轴滚动 并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形第一次滚动后点 A1(0， 2)变换到点 A2(6，0)，得到等腰直角三角形；第二次滚动后点 A2变换到点 A3(6，0)，得到 等腰直角三角形；第三次滚动后点 A3变换到点 A4(10，4 2 )，得到等腰直角三角形； 第四次滚动后点 A4变换到点
16、 A5(1012 2 ，0)，得到等腰直角三角形；依此规律，求 第 2 020 个等腰直角三角形的面积 解：点 A1(0，2)，第 1 个等腰直角三角形的面积1 2 222.A2(6，0)，第 2 个等腰直角三角形的腰长为62 2 2 2 ，第 2 个等腰直角三角形的面积1 2 2 2 2 2 422.A4(10，4 2 )，第 3 个等腰直角三角形的腰长为 1064，第 3 个等 腰直角三角形的面积1 2 4482 3. 则第 2 020 个等腰直角三角形的面积是 22 020 19 如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 OA1B1C1， A1A2B2C2， A2A3B3C3， 都是菱形，
17、点 A1，A2，A3，都在 x 轴上，点 C1，C2，C3，都在直线 l：y 3 3 x 3 3 上，且C1OA1 C2A1A2C3A2A360，OA11，求点 C7的坐标 解：设直线 l 与 x 轴的交点为点 D，则C1DO30.C1OA160，DC1O C1DO30，OA1OC1OD1；C2A1A260，DC2A1C2DA130， A1A2A1C2A1D112；C3A2A360，DC3A2C3DA230，A2A3 A2C3A2D224；C4A3A460，DC4A3C4DA330，A3A4A3C4 A3D448， ， AnAn1AnCn12n.过点 C7作 C7Hx 轴于点 H， C7HA6
18、C7 sin C7A6A726 3 2 32 3 ，OHOA1A1A2A2A3A5A6A6H1222 25A6C7cos C7A6A763261 2 95， C7(95，32 3 ) 20(2019 衢州)如图，由两个长为 2，宽为 1 的长方形组成“7”字图形 (1)将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形 ABCDEF，其中顶 点 A 位于 x 轴上，顶点 B，D 位于 y 轴上，O 为坐标原点，则OB OA 的值为_ 1 2 _； (2)在(1)的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点 F1, 摆放第三个“7”字图形得顶点 F2, ，依此类推，摆放第 n 个“7
19、”字图形得顶点 Fn1，求顶点 F2 019的坐标 . 解：(1)点拨：依题可得 CD1，CB2, BDCDBC90，OBADBC 90，BDCOBA.又DCBBOA90， DCBBOA， DC CB OB OA 1 2 (2)过点 C 作 CHy 轴于点 H，过点 F 作 FGx 轴于点 G，依题可得 CD1，CB2， BA 1 ， BD 5 ， 由 (1) 知 CD CB OB OA 1 2 ， OB 5 5 ， OA 2 5 5 . 易 得 OABGFAHBC， BH4 5 5 ， CH2 5 5 ， AG3 5 5 ， FG6 5 5 ， OH4 5 5 5 5 5 ，OG3 5 5
20、2 5 5 5 ，C(2 5 5 ， 5 )，F( 5 ， 6 5 5 )，由点 C 到 点 F 横坐标增加了3 5 5 ， 纵坐标增加了 5 5 ， 点 Fn的坐标为( 5 3 5 5 n， 6 5 5 5 5 n)， 点 F2 019的坐标为( 5 3 5 5 2 019，6 5 5 5 5 2 019)，即(6 062 5 5 ，405 5 ) 在解决平面图形的有规律变化问题时关键是要通过观察图形，分析、归纳出其中的变化 规律，并应用发现的规律解决问题 函数规律探究 21如图，OB1A1，A1B2A2，A2B3A3，An1BnAn都是一边在 x 轴上的等边 三角形，点 B1，B2，B3，
21、Bn都在反比例函数 y 3 x (x0)的图象上，点 A1，A2，A3， An都在 x 轴上，求点 An的坐标 解：如图，过点 B1作 B1Cx 轴于点 C，过点 B2作 B2Dx 轴于点 D，过点 B3作 B3E x 轴于点 E，OA1B1为等边三角形，B1OC60，OCA1C，B1C 3 OC， 设 OC 的长度为 t，则 B1的坐标为(t， 3 t)，把 B1(t， 3 t)代入 y 3 x 得 t 3 t 3 ，解 得 t1 或 t1(舍去)，OA12OC2，A1(2，0).设 A1D 的长度为 m，同理得到 B2D 3 m， 则 B2的坐标表示为(2m， 3 m)， 把 B2(2m，
22、 3 m)代入 y 3 x 得(2m) 3 m 3 ，解得 m 2 1 或 m 2 1(舍去)，A1D 2 1，A1A22 2 2，OA2 22 2 22 2 ，A2(2 2 ，0).设 A2E 的长度为 n，同理，B3E 为 3 n，B3的坐标表 示为(2 2 n， 3 n)，把 B3(2 2 n， 3 n)代入 y 3 x 得(2 2 n) 3 n 3 ，解得 n 3 2 或 n 3 2 (舍得)， A2E 3 2 ， A2A32 3 2 2 ， OA32 2 2 3 2 2 2 3 ，A3(2 3 ，0)，综上可得 An(2 n ，0) 22如图，一段抛物线：yx(x3)(0 x3)，记
23、为 C1，它与 x 轴交于点 O，A1；将 C1绕点 A1旋转 180得 C2，交 x 轴于点 A2；将 C2绕点 A2旋转 180得 C3，交 x 轴于点 A3；，如此进行下去，直至得 C13.若 P(37，m)在第 13 段抛物线 C13上，则 m_2_ 23如图，抛物线 yx2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次 为 A1，A2，A3，An，.将抛物线 yx2沿直线 l：yx 向上平移，得一系列抛物线，且 满足下列条件： 抛物线的顶点 M1，M2，M3，Mn，都在直线 l：yx 上； 抛物线依次经过点 A1，A2，A3，An，求顶点 M2 020的坐标 解：设 M1
24、(a1，a1)是抛物线 y1(xa1)2a1的顶点，当 x2(xa1)2a1时，解得 x1 2 (a11)，整点 A1的横坐标为1 2 (a11)1，a11，M1(1，1).设 M2(a2，a2)是抛物线 y2 (xa2)2a2的顶点，当 x2(xa2)2a2时，解得 x1 2 (a21)，整点 A2 的横坐标为1 2 (a2 1)2，a23，M2(3，3).设 M3(a3，a3)是抛物线 y3(xa3)2a3的顶点，当 x2(xa3)2 a3时，解得 x1 2 (a31)，整点 A3 的横坐标为1 2 (a31)3，a35，M3(5，5)， an2n1，Mn(2n1，2n1)，. 2 020214 039，M2 020(4 039，4 039)