1、 专题专题 2 图象信息类问题图象信息类问题 图象信息问题主要考查学生收集信息和处理信息的能力 此类试题的题设条件或结论中包含有图象(表)，如：在数轴上、直角坐标系中，点的坐 标，一次函数、二次函数、反比例函数的图象，实用统计图象及部分几何图形等提供的形状 特征、位置特征、变化趋势等 这种题型应用知识多， 是近几年各地中考的一种新题型， 这类题目的图象(表)信息量大， 大多数条件不是直接告诉，而是以图象(表)形式映射出来 解答这类问题时要把图表信息和相应的数学知识、数学模型相联系，要结合问题提供的 信息，灵活运用数学知识进行联想、探索、发现和综合处理，准确地使用数学模型来解决问 题 考查形式有
2、选择题、填空题、解答题 图文信息题 1. 用 m 根火柴恰好可拼成如图所示的 a 个等边三角形或如图所示的 b 个正六边形， 求b a 的值 解：由图可知一个等边三角形有 3 条边，两个等边三角形有(32)条边，三个等边三 角形有(322)条边，m12a.由图可知一个正六边形有 6 条边，两个正六边形 有(65)条边，三个正六边形有(652)条边，m15b，12a 15b， b a 2 5 2根据图中给出的信息，解答下列问题： 如果要使水面上升到 50 cm，应放入大球、小球各多少个？ 解：设应放入大球 m 个，小球 n 个，由题可知放入一个小球水面升高 2 cm，放入一个大 球水面升高 3
3、cm，则 mn10， 3m2n5026， 解得 m4， n6， 如果要使水面上升到 50 cm，应放 入大球 4 个，小球 6 个 3阅读下面的情境对话，然后解答问题： (1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小君提出的命题“等边三角形一定是奇异三角 形”是真命题还是假命题？ (2)在 RtABC 中，ACB90，ABc，ACb，BCa，且 ba，若 RtABC 是 奇异三角形，求 abc； (3)如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点(不与点 A，B 重合)，D 是半圆ADB 的中 点，C，D 在直径 AB 的两侧，若在O 内存在点 E，使得 AEAD，CECB. 求证：ACE 是奇异三
4、角形； 当ACE 是直角三角形时，求AOC 的度数 解：(1)真命题 (2)在 RtABC 中，a2b2c2，cba0，2c2a2b2，2a2b2c2，若 RtABC 为奇异三角形，一定有 2b2a2c2，2b2a2(a2b2)，b22a2，得 b 2 a.c2b2 a23a2，c 3 a，abc1 2 3 (3)证明：AB 是O 的直径，ACBADB90，在 RtABC 中，AC2 BC2AB2， 在 RtABD 中， AD2BD2AB2.点 D 是半圆ADB 的中点， AD BD ， ADBD，AB2AD2BD22AD2，AC2CB22AD2.又CBCE，AEAD， AC2CE22AE2，
5、ACE 是奇异三角形 由可得 AC2CE22AE2.当ACE 是直角三角形时，由(2)可得 ACAECE1 2 3 或 ACAECE 3 2 1.()当 ACAECE1 2 3 时， ACCB 13 .ACB90，ABC30，AOC2ABC60；()当 ACAECE 3 2 1 时，ACCB 3 1.ACB90，ABC60， AOC2ABC120.AOC 的度数为 60或 120 通过图片辅助于文字来呈现信息，形式新颖、活泼、直观，但其实质还是通过文字来传 递信息解答时认真理解图片含义是解答试题的关键 表格信息题 4. 学校举行图书节义卖活动，某班级售书情况如下表： 售价,3 元,4 元,5
6、元,6 元数目,14 本,11 本,10 本,15 本下列说法正确的是 A A该班级所售图书的总收入是 226 元 B在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是 4 C在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是 15 D在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是 2 5(2020 绍兴)我国传统的计重工具秤的应用，方便了人们的生活如图，可以用 秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水 平距离为 x(厘米)时，秤钩所挂物重为 y(斤)，则 y 是 x 的一次函数下表中为若干次称重时 所记录的一些数据 x(厘米),1,2,4,7,11,12y(斤),0
7、.75,1.00,1.50,2.75,3.25,3.50(1)在上表 x， y 的数据中， 发现有一 对数据记录错误在图中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？ (2)根据(1)的发现， 问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 16 厘米时， 秤钩所挂物重是多少？ 解：(1)观察图象可知：x7，y2.75 这组数据错误 (2)设 ykxb，把 x1，y0.75，x2，y1 代入可得 kb0.75， 2kb1， 解得 k 1 4， b1 2， y1 4 x 1 2 ，当 x16 时，y4.5， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 16 厘米时，秤钩所挂物重是 4.5 斤 6(2021 预测)下表中给出
8、了手机通话的 A，B，C 三种收费方式： 收费 方式,月通话 费/元,包时通话 时间/h,超时费/(元/min)A,30,25,0.1 B,50,50,0.1 C,100,不限时,(1)设月通话时间为 x(h)， 则方案 A， B， C 的收费金额 y1(元)， y2(元)， y3(元) 都是 x(h)的函数，分别求出这三个函数的表达式； (2)填空：若选择方式 A 最省钱，则月通话时间 x(h)的取值范围为_0 x85 3 _； 若选择方式 B 最省钱，则月通话时间 x(h)的取值范围为_85 3 x25）， y2 50（0 x50）， 6x250（x50）， y3100(x0) (3)小王
9、、小张今年 5 月份的通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，小张选 择的是方式 A，小王选择的是方式 B.当 y26x25080，解得 x55，小王该月的通话时 间为 55 h 从表格中读取有用信息，表格呈现的信息量大、文字少，容易归类，解题时应对信息进 行分类，分步求 图象信息题 7甲、乙两地的路程为 290 千米，一辆汽车早上 8：00 从甲地出发，匀速向乙地行驶， 途中休息一段时间后 按原速继续前进， 当离甲地路程为 240 千米时接到通知， 要求中午 12： 00 准时到达乙地 设汽车出发 x 小时后离甲地的路程为 y 千米， 图中折线 OCDE 表示接到通 知前 y 与 x
10、之间的函数关系 (1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为_80_千米/小时； (2)求线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式； (3)接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由 解：(1)由图象可知，休息前汽车行驶的速度为 80 千米/小时；故答案为 80 (2)休息后按原速继续前进行驶的时间为(24080) 802(小时)，点 E 的坐标为(3.5， 240)，设线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 ykxb，则 1.5kb80， 3.5kb240， 解得 k80， b40， 线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 y80 x40(1.5
11、x3.5) (3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为 290 800.54.125(小时)， 4.1254，所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达 8A，B 两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过 C 市，甲车从 A 市到 B 市，乙车 从 C 市到 A 市， 甲车的速度比乙车的速度慢 20 千米/时， 两车距离 C 市的路程 y(单位： 千米) 与行驶的时间 t(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是_60_千米/时，在图中括号内填入正确的数； (2)求图象中线段 MN 所在直线的函数表达式，不需要写出自变量的取值范围； (3)直接
12、写出甲车出发后几小时，两车距 C 市的路程之和是 460 千米 解：(1)由题意，甲的速度为480 8 60(千米/小时).乙的速度为 80 千米/小时，480 80 6(小 时)，4610(小时)，图中括号内的数为 10 (2)设线段 MN 所在直线的表达式为 yktb(k0).把点 M(4，0)，N(10，480)代入 y ktb，得 4kb0， 10kb480， 解得 k80， b320， 线段 MN 所在直线的函数表达式为 y80t 320 (3)(480460)20，20601 3 (小时)，或 60t48080(t4)460，解得 t9，答：甲 车出发1 3 小时或 9 小时时，两
13、车距 C 市的路程之和是 460 千米 9(2020 衢州)2020 年 5 月 16 日， “钱塘江诗路”航道全线开通一艘游轮从杭州出发 前往衢州，线路如图所示当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同 样的线路从杭州出发前往衢州已知游轮的速度为 20 km/h，游轮行驶的时间记为 t(h)，两艘 轮船距离杭州的路程 s(km)关于 t(h)的图象如图所示(游轮在停靠前后的行驶速度不变). (1)写出图中 C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长； (2)若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州问： 货轮出发后几小时追上游轮？ 游轮与货轮何时相距 12 km? 解：(
14、1)C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了 23 h游轮在“七里 扬帆”停靠的时长23(420 20)23212(h) (2)280 2014 h， 点 A(14， 280)， 点 B(16， 280)， 36600.6(h)， 230.622.4， 点 E(22.4，420)，设 BC 的表达式为 s20tb，把 B(16，280)代入 s20tb，可得 b 40，s20t40(16t23)，同理，由 D(14，0)，E(22.4，420)可得 DE 的表达式为 s50t 700(14t22.4)，由题意 20t4050t700，解得 t22.22148(h)，货轮出发后 8
15、小时追上游轮 相遇之前相距 12 km 时，20t40(50t700)12，解得 t21.6.相遇之后相距 12 km 时，50t700(20t40)12，解得 t22.4，21.6 h 或 22.4 h 时游轮与货轮相距 12 km 分段函数相关信息题，需要根据 x 的不同取值范围找出对应的图象求解，根据每一段的 不同位置来获取信息，数形结合，特别是转折点的特殊性，利用函数、方程(组)、不等式(组) 等知识去分析图象以解决问题 动态几何与图象的结合 10如图，在ABC 中，A30，点 P 从点 A 出发以 2 cm/s 的速度沿折线 AC B 运动，点 Q 从点 A 出发以 a(cm/s)的
16、速度沿 AB 运动，P，Q 两点同时出发，当某一点运 动到点 B 时，两点同时停止运动设运动时间为 x(s)，APQ 的面积为 y(cm2)，y 关于 x 的 函数图象由 C1，C2两段组成，如图所示 (1)求 a 的值； (2)求图中图象 C2段的函数表达式； (3)当点 P 运动到线段 BC 上某一段时APQ 的面积大于当点 P 在线段 AC 上任意一点时 APQ 的面积，求 x 的取值范围 【解析】(1)P，Q 两点的运动需分情况讨论经分析知道 P 先到达 B，故而 P 在 AC 上时，看 C1；P 在 CB 上时， 看 C2；(2)图中点(1，1 2 )，点(4， 4 3 )，点(5，
17、0)这几点的含 义要理解清楚 解：(1)当点 P 在边 AC 上时，如图，过点 P 作 PDAB 于点 D，A30，PD 1 2 APx cm， y 1 2 AQ PD 1 2 ax 2， 由图象可知， 当 x1 时， y1 2 ， 1 2 a1 21 2 ， 解得 a1 (2)当点 P 在边 BC 上时，如图，由(1)知点 Q 的速度是 1 cm/s，ACBC2AB，而点 P 的速度是 2 cm/s，点 P 先到达 B 点过点 P 作 PDAB 于点 D，由图象可知，PB52 2x(102x)cm，PDPB sin B(102x)sin B cm，y1 2 AQ PD 1 2 x(102x)
18、 sin B当 x4 时，y4 3 ， 1 2 4(1024)sin B 4 3 ，解得 sin B 1 3 ，y 1 2 x (10 2x)1 3 ，即 y 1 3 x 25 3 x (3)1 2 x 21 3 x 25 3 x， 解得 x10， x22， 由图象可知， 当 x2 时， y 1 2 x 2有最大值， 最大值是1 2 2 22.当 y1 3 x 25 3 x2，解得 x13，x22，当 2x3 时，APQ 的 面积大于当点 P 在线段 AC 上任意一点时APQ 的面积 11(2020 通辽)如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 E 是边 AB 的中 点，点 P 是边
19、BC 上一动点，设 PCx，PAPEy.图是 y 关于 x 的函数图象，其中 H 是 图象上的最低点求 ab 的值 解：如图，将ABC 沿 BC 折叠得到ABC，则四边形 ABAC 为菱形，菱形的对角线 交于点 O，由图知，当点 P 与点 B 重合时，yPAPEABBEAB1 2 AB3 3 ， 解得 AB2 3 ，即菱形的边长为 2 3 ，则该菱形的高为 3 2 AB3，点 A 关于 BC 的对称 点为点 A，连接 AE 交 BC 于点 P，此时 y 最小，ABAC，BAC120，则BAA 60，故AAB 为等边三角形，E 是 AB 的中点，故 AEAB，而 ABAC，故PAC 为直角，ACAB2 3 ，则 PC AC cos BCA 2 3 3 2 4，此时 bPC4，aAE 3(菱形的高)，则 ab347 函数图象与动点问题结合起来，直观地呈现动点运动有关时间、路程、速度以及起始关 系的一系列信息，解题的关键是深刻理解动点的函数图像，了解图像中关键点所代表的实际 意义，理解动点的完整运动过程