1、专题专题 1 实验操作类问题实验操作类问题 实验操作类问题是让学生在实际操作的基础上设计问题，通过动手测量、作图、取值、 计算等实验，猜想获得数学结论并设计有关问题，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结 合的科学研究形式， 需要动手操作、 合理猜想和验证， 涉及折纸与剪纸、 图形的分割与拼合、 几何体的展开与叠合等，要求在动手实践的基础上，进行探索、猜想，得出结论其形式主 要有选择题、填空题和解答题 这类题型一方面考查了学生的实践能力，另一方面考查了学生的探究意识和创新精神， 在中考中越来越受到重视，几乎无处不在 图形的折叠与展开 1把一张长方形纸片按如图，图的方式从右向左连续对折两次后得到图
2、，再在图 中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是 C A B C D 2如图，将矩形纸片 ABCD 按如下顺序折叠：对折、展平，得折痕 EF(如图)；沿 GC 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B处(如图)；展平，得折痕 GC(如图)；沿 GH 折叠，使点 C 落在 DH 上的 C处(如图)；沿 GC折叠(如图)；展平，得折痕 GC，GH(如图). (1)求图中BCB的度数； (2)图中的GCC是正三角形吗？请说明理由 解： (1)连结 BB， 由折叠可知直线 EF 是线段 BC 的中垂线， BBBC.又BCBC， BBC 是等边三角形，BCB60 (2)由折叠可知 GH
3、是线段 CC的中垂线，GCGC.根据题意，得 GC 平分BCB， GCBGCB1 2 BCB30，GCCBCDBCG60，GCC 是等边三角形 3(2019 金华改编)将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，再沿虚线剪去一 个角，展开铺平后得到图，其中，FM，GN 为折痕若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 的 面积相等，求FM GF 的值 解：连结 HF，设直线 MH 与 AD 边的交点为 P，由折叠可知点 P，H，F，M 四点共线， 且 PHMF.设正方形 ABCD 的边长为 2a，则正方形 ABCD 的面积为 4a2.正方形 EFGH 与 五边形 MCNGF 的面积相等， 由折叠
4、可知正方形 EFGH 的面积1 5 正方形 ABCD 的面积 4 5 a 2，正方形 EFGH 的边长 GF 4 5a 2 2 5 5 a，HF 2 GF2 10 5 a，MFPH 2a2 10 5 a 2 5 10 5 a，FM GF 5 10 5 a 2 5a 5 5 2 2 4(2021 预测)动手操作： 第一步：如图，正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 所在的直线折叠，展开铺平再沿过 点 C 的直线折叠，使点 B，D 都落在对角线 AC 上，此时，点 B 与点 D 重合于点 N，且 E， N，F 三点在同一直线上，折痕分别为 CE，CF，如图. 第二步：再沿 AC 所在的直线折叠，A
5、CE 与ACF 重合，得到图. 第三步：在图的基础上继续折叠，使点 C 与点 F 重合，如图，展开铺平，连结 EF， FG，GM，ME，如图，图中的虚线为折痕 问题解决：(1)在图中，BEC 的度数是_67.5_，AE BE 的值是_ 2 _； (2)在图中，请判断四边形 EMGF 的形状，并说明理由； (3)在不增加字母的条件下， 请你以图中的字母表示的点为顶点， 动手画出一个菱形(正 方形除外)，并写出这个菱形：_菱形 FGCH 或菱形 EMCH_ 解：(2)四边形 EMGF 是矩形，理由如下：四边形 ABCD 是正方形，BBCD D90.由折叠可知BCEACEACFDCF，CMCG，BE
6、CNEC NFCDFC67.5，MH，GH 分别垂直平分 EC，FC，MCME，GCGF， MECBCE22.5，GFCFCG22.5，MEFGFE90.又MCG 90，CMCG，CMG45.又BMEBCEMEC45，EMG180 CMGBME90，四边形 EMGF 是矩形 (3)画图略 以折纸为背景考查学生对轴对称等有关知识的掌握，在问题解决过程中，既可以从具体 的动手操作中寻找答案，也可以通过空间想象寻找答案，遇到一些比较复杂或难以正确把握 的折纸与剪纸问题时，可以动手试一试 网格中的操作 5(2020 长春)图、图、图均是 33 的正方形网格，每个小正方形的边长为 1， 每个小正方形的顶
7、点称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的 网格中，按下列要求以 AB 为边画ABC. 要求： (1)在图中画一个钝角三角形，在图中画一个直角三角形，在图中画一个锐角三角 形； (2)三个图中所画的三角形的面积均不相等； (3)点 C 在格点上 解：符合条件的三角形如图所示(答案不唯一) 6(2020 宁波)图，图都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有 3 个小等边三角形已涂上阴影请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个 涂上阴影： (1)使得 4 个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； (2)使得 4 个阴影小等边三角形组成一个中心对
8、称图形 (请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形) 解：(1)轴对称图形如图所示 (2)中心对称图形如图所示 7图，图均为 44 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点在图中已画 出线段 AB，在图中已画出线段 CD，其中 A，B，C，D 均为格点，按下列要求画图： (1)在图中，以 AB 为对角线画一个菱形 AEBF，且 E，F 为格点； (2)在图中，以 CD 为对角线画一个对边不相等的四边形 CGDH，且 G，H 为格点， CGDCHD90. 解：(1)如图所示的菱形 AEBF 即为所求作 (2)如图所示的四边形 CG1DH1，CG1DH3，CG2DH2，CG2D
9、H3，CG3DH1，CG3DH2即为 所求作 网格背景下的操作，需要充分利用网格特点，构造直角三角形、矩形、平行四边形等， 利用勾股定理、三角形等知识来解决 三角板操作 8一副三角板如图放置，将三角板 ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转 (090)， 使得三角板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，求 的度数 解：分情况讨论： 当 DEBC 时，BAD75，90BAD15； 当 ADBC 时，BAD30，即 60. 的度数为 15或 60 9如图，在直角三角板中，ACB90，BC2，BAC30，将ABC 绕顶点 C 按逆时针方向旋转得到ABC，M 是 BC 的中点，P 是 AB的中点，连结
10、 PM，求线段 PM 的最大值 【解析】操作三角板，观察点 P 的运动轨迹，看看什么时候 PM 最大 解： 连结 PC， 在 RtABC 中， A30， BC2， AB4.根据旋转不变性可知 AB AB4， APPBPC1 2 AB2.CMBM1， 又PMPCCM， 即 PM3， PM 的最大值为 3(此时 P，C，M 三点共线) 10 (2019 衢州改编)如图， 一副含 30和 45角的三角板 ABC 和 EDF 拼合在一个平面 上，边 AC 与 EF 重合，AC12 cm.当点 E 从点 A 出发沿 AC 方向滑动时，点 F 同时从点 C 出发沿射线 BC 方向滑动当点 E 从点 A 滑
11、动到点 C 时，求： (1)点 D 运动的路径长； (2)连结 BD，求ABD 面积的最大值 题图 答图 解： (1)AC12 cm， BAC30， DEF45， BC4 3 cm， AB8 3 cm， EDDF6 2 cm.如图，当点 E 沿 AC 方向下滑时，得EDF，过点 D作 DNAC 于 点N， 作DMBC于点M， MDN90.又EDF90， EDNFDM. 又DNEDMF90，EDDF，DNEDMF(AAS)，DN DM.又DNAC，DMCM，CD平分ACM，点 E 沿 AC 方向下滑时，点 D在射线 CD 上移动，当 EDAC 时，DD的值最大，最大值 2 EDCD(12 6 2
12、 ) cm，当点 E 从点 A 滑动到点 C 时，点 D 运动的路径长2(126 2 )(24 12 2 ) cm (2)连结 BD，AD，SADBSABCSADCSBDC，SADB1 2 BC AC 1 2 ACDN1 2 BCDM24 3 1 2 (124 3 )DN，当 EDAC 时，SADB有最大值， SADB最大24 3 1 2 (124 3 )6 2 (24 3 36 2 12 6 ) cm 2 借助三角板等学生熟悉的工具给出操作规则，在操作过程中要求画出图形，将三角板的 问题转化为三角形中的计算问题，或探究发现新结论的问题 尺规作图后的探究 11(2020 盐城)如图，点 O 是
13、正方形 ABCD 的中心 (1)用直尺和圆规在正方形内部作一点 E(异于点 O)，使得 EBEC；(保留作图痕迹，不 写作法) (2)连结 EB，EC，EO，求证：BEOCEO. 解：(1)如图所示，点 E 即为所求 (2)证明：连结 OB，OC，点 O 是正方形 ABCD 的中心，OBOC， OBCOCB.EBEC，EBCECB，EBOECO，OBE OCE(SAS)，BEOCEO 12 (2020 绥化)(1)如图， 已知线段AB和点O， 利用直尺和圆规作ABC， 使点O是ABC 的内心(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在所画的ABC 中， 若C90， AC6， BC8， 则ABC 的内
14、切圆半径是_2_ 解：(1)如图，ABC 即为所求 (2)设内切圆的半径为 r.C90，AC6，BC8， AB AC2BC2 6282 10，1 2 AC BC 1 2 r (ABACBC)， r2，故答案为 2 13(2020 达州)如图，点 O 在ABC 的边 BC 上，以 OB 为半径作O，ABC 的平分 线 BM 交O 于点 D，过点 D 作 DEBA 于点 E. (1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形； (2)判断O 与 DE 交点的个数，并说明理由 解：(1)如图，O，射线 BM，直线 DE 即为所求 (2)直线 DE 与O 相切，交点只有一个 理由：OBOD，ODBO
15、BD. BD 平分ABC，ABMCBM，ODBABD，ODAB.DEAB， DEOD， 直线 DE 是O 的切线， O 与直线 DE 只有一个交点 复杂作图的解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线和角平分线的尺规作图及 全等三角形的判定与性质等知识点 图形的分割、拼接的创新应用 14(2020 衢州)小慧用图中的一副七巧板拼出如图所示的“行礼图”，已知正方形 ABCD 的边长为 4 dm，求图中 h 的值 解：正方形 ABCD 的边长为 4 dm， 的斜边上的高是 2 dm，的高是 1 dm，的斜边上的高是 1 dm，的斜边上的高 是 2 dm，图中 h 的值为(4 2 ) dm. 15
16、(2020 湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地由边长为 2 的正 方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图所示分别用这两副七巧板试拼如 图中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别 是 D A1 和 1 B1 和 2 C2 和 1 D2 和 2 16. (1)如图，在ABC 中，C90，请用直尺和圆规作一条直线，把ABC 分割 成两个等腰三角形；(不写作法，但须保留作图痕迹) (2)已知内角度数的两个三角形如图，图所示，请你判断能否分别画一条直线把它们 分割成两个等腰三角形，若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数 解：(1)如图所示的直线 CM 即为所求作 (2)图能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是 132和 84.图不能分割成两个等腰三角形 图形的分割与拼接是中考中的常见问题一般地，解答时需要发挥空间想象力，借助示 意图进行研究解答，一方面观察图形的特点，即线段的关系、角的关系；另一方面可借助计 算，必要时需要实际操作