1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学 模拟试题 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1已知复数z满足 2 4(1)(1 2 )izi，则|
2、|z （ ） A1 B2 C5 D10 2设集合 2 1,2,5 ,40ABx xxm，若1AB，则B （ ） A1, 3 B1,0 C1,3 D1,5 3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正 方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 （ ） A 51 4 B 51 2 C 51 4 D 51 2 4已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab （0a，0b）的一条渐近线过点3,4，且双曲线的一个焦点与抛物线 2 20yx的焦点重合，则双曲线的方程为（ ） A 22 1 916 xy B
3、22 1 169 xy C 22 1 43 xy D 22 1 34 xy 5某电商对连续 5 个月的广告费和销售额进行了统计，得到如下统计数据： 广告费x(万元) 2 3 4 5 6 销售额y(万元) 29 41 50 59 71 根据表中数据所得的回归方程是 9.2ybx，则当广告费为 8万元时销售额的预测值是（ ） A84.8 B87 C90.8 D95.4 6已知曲线 2 lnf xaxx在1x 处的切线方程为0 xyb，则ab（ ） A3 B5 C6 D8 7记函数 sinf xx (其中0， 2 )的图像为C，已知C的部分图像如图所示，为了得 到函数 sing xx，只要把C上所有
4、的点（ ） A向右平行移动 6 个单位长度 B向左平行移动 6 个单位长度 C向右平行移动 12 个单位长度 D向左平行移动 12 个单位长度 8 26 1 (1) ()xxx x 的展开式中的常数项为（ ） A5 B10 C15 D20 9已知 1 sin3cos 33 ，则sin 2 6 的值为（ ） A 1 3 B 1 3 C 7 9 D 7 9 10在四面体SABC中，SA平面 ,120 ,2,1ABCBACSAACAB，则该四面体的外接球 的表面积为（ ） A10 3 B7 C 40 3 D40 11设点 (3,4)M 在圆 222( 0)xyrr外，若圆O上存在点N，使得 3 OM
5、N ，则实数r的取值范 围是（ ） A 5 ,) 2 B 5 3 ,) 2 C 5 3 ,5) 2 D 5 ,5) 2 12若实数2a，则下列不等式中一定成立的是（ ） A 1 2 log(2) 1 a a a a B 1 log (1) a a a a C 1 log1)log)(2 aa aa D 21 (1)(2) aa aa 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若x，y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy ，则23zxy的最小值为_ 14已知平面向量, a b满足| 2,| 1,1aba b ，则|ab_. 15设双曲线 22 22 10,0
6、xy ab ab 的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若,OPOAOB R， 1 8 ， 则该双曲线的离心率为_. 16 已知l为空间中的一条直线，为空间中的一个平面， 且l ， 垂足为点O.等腰直角三角形ABC中， 2 A ，2AB ，若,Al C，则OB的最大值为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a满足 2 5a ， 59 30aa， n a的前n项和为 n S. （1）求数列 n a的通项公式及前n项和 n
7、 S； （2）令 * 1 n n bnN S ，求数列 n b的前n项和 n T. 18 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，/AD BC， 2 ABC ， 1 2 2 ABBCAD，且 PAa，E，F分别为PC，PB的中点. （1）若2a，求证：PB 平面ADEF； （2）若四棱锥PABCD的体积为 2，求二面角A PD C的余弦值. 19 （本小题满分 12 分） 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时 间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算） 有甲
8、、 乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为 1 4 、 1 6 ；1小时以上且不超过 2小时离开的概率分别为 1 2 、 2 3 ；两人滑雪时间都不会超过3小时 （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列 20 （本小题满分 12 分） 椭圆C： 22 22 1 xy ab (0ab)的左焦点为 2,0 ， 且椭圆C经过点0,1P， 直线21ykxk(0k ) 与C交于A，B两点（异于点P）. （1）求椭圆C的方程； （2）证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值，并求出这个定值. 21 （本小题满分 1
9、2 分） 已知函数 ln x f xx eaxax . （1）若ae，讨论 f x的单调性 （2）若对任意0 x恒有不等式 1f x 成立，求实数a的值. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目 计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 1 t x t t y t （t为参数）.以原点 O为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 cos（ 3 ） 5 4 . （1）求曲线 C 和直线 l的直角坐标方程； （2）若
10、直线 l交曲线 C 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P，求 11 PAPB 的值. 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |2|1|f xxm x. （1）若2m，求不等式( ) 8f x 的解集； （2）若关于 x的不等式( )|3|f xm x 对于任意实数 x恒成立，求实数 m的取值范围. 答案与解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） （13）5 （14） 3 （15）2 （16）15 1.【解析】 2 4(1)2(2) 1 21 2 ii z ii ， 2
11、 2 2 12 i z i ，故选：B. 2.【解析】由1AB可知 2 1403mm ， 当3m时， 2 430 xx，解得：1x 或3x ，即 1,3B .故选：C 3.【解析】如图，设,CDa PEb，则 2 222 4 a POPEOEb ， 由题意 2 1 2 POab，即 2 2 1 42 a bab，化简得 2 4( )210 bb aa ， 解得 15 4 b a （负值舍去）.故选：C. 4.【解析】因为双曲线 C的渐近线 b yx a 过点3,4， 所以双曲线 C 的渐近线为 3 = 4 yx，设双曲线的方程为 22 1 169 xy tt ， 又因为双曲线的一个焦点与抛物线
12、 2 20yx的焦点5,0重合， 所以5169ctt，解得1t ，所以双曲线的方程为 22 1 169 xy . 故选：B 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C B C C A A D C C D 5.【解析】由题意，根据表格中的数据，求得 1 234564 5 x ， 1 (2941 505971)50 5 y ，把(4,50)代入回归直线的方程 9.2ybx， 得到 09 2 54.b ，解得 10.2b ，即回归直线的方程为10.29.2yx， 令8x ，可得10.2 89.8 290y .故选：C. 6.【解析】由 2 lnf xaxx，得 2
13、a fxx x ， 所以 ( )f x在 1x 处的切线斜率 12kfa ， 又 f x在1x 处的切线方程为0 xyb，所以斜率1k ， 所以21a，解得3a， 则 2 3lnf xxx， 11f， 将点(1,1)代入0 xyb，得1 10b ，解得2b ， 所以 326ab .故选：C. 7.【解析】由图象可知周期 7 4() 123 T ，所以 22 2 T ， 又图象上一个最低点为 7 (, 1) 12 ，所以 7 sin 21 12 ， 所以 73 22 122 k ，kZ，即2 3 k ，kZ， 因为 2 ，所以 3 ，所以 sin 2 3 fxx sin 2 6 x ， 所以为了
14、得到函数 sin2g xx，只要把C上所有的点向右平行移动 6 个单位长度. 故选：A 8.【解析】因为 6 1 ()x x 的通项公式为 66 2 166 1 ()( 1) k k kkkkk TCCx x x ， 所以要求常数项，则令620k或621k 或6 22k， 解得3k 或 7 2 k （舍）或4k ， 当3k 时， 3 46 20TC ，当4k 时， 42 56 15TCx， 所以常数项为20 1 15 15 ，故选：A. 9.【解析】因为 1313 sin3cossincos3cossincos 32222 1 sinsincos 32663 ， 所以sin 2 sin2cos
15、 2 6233 2 2 17 2cos121 639 ，故选：D 10.【解析】如图所示，该四面体的外接球的球心O必经过ABC外接圆的圆心 O 且垂直于平面ABC的 直线上，且到,A S的距离相等. 在ABC中，由余弦定理得1 42 1 21207BCcos ， 再由正弦定理得 120 7 2O si A n ，解得 21 3 O A ， 又因为 1 1 2 OOSA ，根据球的截面性质，可得 2130 1 93 OA， 即四面体外接球的半径为 30 3 r ，故其表面积为 2 3040 4 33 . 故选：C. 11.【解析】如图所示： 222( 0)xyrr上存在点N使得 3 OMN ，
16、则OMN的最大值大于或者等于 3 时，一定存在点N使得 3 OMN ， 当MN与圆相切时，OMN取得最大值，此时，5OM ， 3 sin 52 ONON OMN OM ，解得： 5 3 2 ON ，即 5 3 2 r ， 又(3,4)M在圆外， 222 34r，解得：5r ，综上所述： 5 5 5 2 r . 故选：C. 12.【解析】A.设 ln x fx x ，则 2 1 ln x fx x ，当0 xe时， 0fx ，当xe时， 0fx ， 所以 f x在0,e上递减，在, e 上递增；而21aae ，所以 ln2ln1 21 aa aa ，则 ln22 ln11 aa aa ，由换底公
17、式得 1 2 log(2) 1 a a a a ，故错误； B. 因为 22 log 9log 8， 所以 2 2log 33， 即 2 2 1 log2 1 2 ， 所以2a时， 不等式 1 log (1) a a a a 不成立，故错误； C.因为 2 2 12aaa ，所以 2 2 lg1lg2aaa， 所以 lglg2 lg1lglg2 2 aa aaa ，所以 2lglg2 lg1lglg2 2 aa aaa ，所 以 lg1lg2 lglg1 aa aa ， 1 log1log2 aa aa 故错误； D. 设 ln x fx x ，则 2 1 ln x fx x ，当0 xe时，
18、 0fx ，当xe时， 0fx ，所以 f x 在0,e上递减，在, e 上递增；而21aae ，所以 ln2ln1 21 aa aa ，则 2 ln11 ln2aaaa， 即 21 ln1ln2 aa aa ， 所以 21 12 aa aa ， 故正确； 故选：D 13.【解析】由x，y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy 作出可行域,如图 由 21 21 xy xy ，解得1,1A 由 21 0 xy xy ，解得 1 1 , 3 3 C 由 210 0 xy xy ，解得 11 , 33 B 将目标函数23zxy化为 21 33 yxz， 则z表示直线 21 33 yxz在y轴
19、上的截距的 1 3 倍. 要求z的最小值，则需求直线 21 33 yxz在y轴上的截距的最大值. 由图可知，当目标函数过点1,1A 时，直线 21 33 yxz在y轴上的截距的最大值. 此时z的最小值为213 15z 故答案为：5 14.【解析】因为| 2,| 1,1aba b ， 所以 2 |abab 22 2aa bb 2 22113 15.【解析】双曲线的渐近线为： b yx a ， 设焦点,0F c，因为过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交 点为P，则, bc A c a ，, bc B c a ， 2 , b c a P ， 因为OPOAOB，所
20、以 2 , , bc c a b c a ， 所以1， b c ，解得： 2 cb c ， 2 cb c ，又由 1 8 ，得： 22 2 1 48 cb c ，即 222 2 1 48 cca c ，则 2 2 1 2 a c ，所以 2 2e ，则2e . 16.【解析】作出等腰直角三角形ABC所在的平面的示意图，如下图所示，过点 B作BM于M，过 点 A 作ANBM于N，连接OB， 因为, 2 ABACBAC ，所以BANOAC，又 2 BNAAOC ， 所以BANCAO，所以,AOAN BNOC，设0 2 ACO ， 则2sin ,2cosAOCO，所以2sin ,2cosANOMBN
21、，所以 22 222 +2sin+ 2cos2sin6+2 5sin 2OBBMOM 1 tan 2 ，因为 02 2 ，所以，当2 2 时， 2 OB取得最大值6+2 5，所以OB的最大 值为15 17.【解析】（1）设公差为d，由 59 30aa得： 7 230a ，所以 7 15a ， 则 72 155 2 55 aa d ，所以 2 221 n aandn， 1 3a ，所以 1 2 2 n n n aa Sn n ， （2） 11 11 222 n b n nnn ， 11111111 1 2324112 n T nnnn 1111323 1 22124212 n nnnn 18.【
22、解析】（1）当2a时，APAB，点F是BP的中点， AFBP， 又AP 平面ABCD，ADAP， 且A DA B，APABA，AD平面PAB， BP 平面PAB，ADBP， 又AFAAD ，BP平面ADEF； （2） 111 2422 332 P ABCDABCD VSAPAP ，解得：1AP ， 如图，以A为原点，,AB AD AP，为 , ,x y z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 0,0,0A，0,0,1P，2,2,0C，0,4,0D，2,2, 1PC ，0,4, 1PD ， 设平面PCD的法向量, ,mx y z， 则 0 0 m PC m PD ，即 220 40 xyz yz ，
23、令1y ，则1,4xz，1,1,4m， 显然AB 平面PAD，设平面PAD的法向量1,0,0n ， 2 12 cos, 6 1 1 4 m n m n m n ，二面角A PD C是锐二面角， 二面角A PD C 的余弦值是 2 6 . 19.【解析】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0、40、80元， 两人都付0元的概率为 1 111 4624 P ； 两人都付40元的概率为 2 121 233 P ； 两人都付80元的概率为 3 11121 11 426324 P . 则两人所付费用相同的概率为 123 1115 2432412 PPPP； （2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0
24、、40、80、120、160， 则 111 0 4624 P， 12111 40 43624 P， 1112115 80 46236412 P， 11211 120 26344 P， 111 160 4624 P. 所以，随机变量的分布列为： 0 40 80 120 160 P 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 20.【解析】（1）由题意得：2,1cb， 则 222 3abc，椭圆方程为 2 2 1 3 x y； （2）解法一（常规方法)：设 1122 ,A x yB x y， 联立 2 2 21 1 3 ykxk x y ，化简可得： 22 316211210kxkkxk k ，
25、 直线 1)20(ykxkk 与椭圆C交于AB、两点，0, 即 2 2 1231214810kkk k ，解得：01k， 由韦达定理 1212 22 621121 , 3 () 311 kkk k xxx x kk 12 122112 12 11 PAPB yy kkx yx yxx xx 1212 12 222kx xkxx x x 2 2 66211212 1 1211212 kkkkk k kkk 直线PA PB 、得斜率和为定值1 解法二（构造齐次式)：由题直线 1)20(ykxkk 恒过定点2, 1， 当直线AB不过原点时，设直线AB为 11 *mxn y 则221mxn，即 1 2
26、 mn 有 1 2 mn ， 由 2 2 1 3 x y有 2 2 31610yxy， 则 2 2 316110 xyymxn y ， 整理成关于 ,1x y 的齐次式： 2 2 36161 0nymx yx， 进而两边同时除以 2 x，则 2 1 3661 1 0 y m x n y x ， 令 1y k x ，则 12 12 1 6 1162 1 3636 PAPB n yym kk xxnn ， 当直线AB过原点时，设直线AB的方程为 0000 1 , 2 yx A x yBxy 000 000 1121 21 2 PAPB yyy kk xxx 综合直线PA与直线PB的斜率之和为定值1
27、 21.【解析】（1） 1 11 xxxx xaa fxexeaexxe xx a x 当ae时， 1 x e fxxe x 0 x 当1x 时 x e e x ，0 x e e x 可得 0fx， f x单调递增， 当01x时， x e e x ，0 x e e x ，可得 0fx， f x单调递减， 综上所述： f x在0,1上单调递减，在 1,上单调递增； （2）由（1）知 1 x a fxxe x ， 当0a 时， 10 x a fxxe x 恒成立，此时 f x单调递增， f x的值域为R，不符合题意； 当0a时，则 1 2 11 1 22 fe ，也不符合题意. 当0a时，令 10
28、 x a fxxe x 可得0 x a e x ，即 0 x exa ， 令 x g xex，则 10 xxx gxexeex ， 所以 x g xex在0,单调递增， 设存在 0 0 x ,使得 0 0 x exa，两边同时取对数可得 00 lnlnxxa 则 0 0 xx时， x exa ， 0fx ， 当 0 xx时， x exa ， 0fx ，所以当 0 xx时， 0 000 in 0 m 0 lnlnln x f xxeaxaxaaxaaxaaa， 故只需1aalna即可，令 lnh aaaa0a ， 1 1 lnlnh aaaa a ， 由 0h a 可得01a，由 0h a 可得
29、1a ， 因此 h a在0,1上单调递增，在(1,)上单调递减， 从而 11 01 max h ah ，所以 1h aaalna， 又因为 1h aaalna，所以 1h aaalna， 由以上证明可知 11h，所以1a ，故满足条件的实数a的值为1. 22.【解析】（1）曲线 C的参数方程为 2 2 2 1 1 1 t x t t y t （t为参数） ， 转化为直角坐标方程为 x24y2=1（1x） 直线 l的极坐标方程为 cos（ 3 ） 5 4 .转化为直角坐标方程为： 135 224 xy . （2）由于直线与 x轴的交点坐标为（ 5 0 2 ，） ，所以直线的参数方程为 53 22
30、 1 2 xt yt （t为参数） ， 代入 x24y2=1得到： 2 2 1510tt ，所以： 12 2 15tt，t1t2=-1， 则： 2 12121 2 1 21 2 ()411ttttt t PAPBt tt t 8. 23.【解析】（1）当2m时， 34,2, ( ), 21, 34,1, xx f xxx xx 当2x 时，34 8x ，解得4x ； 当21x 时，不等式无解； 当1x时，34 8x ，解得 4 3 x. 综上，不等式的解集为 4 (, 4, 3 . （2）由题意知，|2|(|1|3|)xm xx， 所以 |2| |1|3| x m xx .记 |2| ( ) |1|3| x g x xx ， 则 1 ,(, 3 1,), 2 ( ) 2 ,( 3, 1), 2 x g x x x ， 当31x 时， 2 21 2 2 32 2 x x g x x x ， 则 1 2 g x ， 又当2x时， min0g x，所以 1 ( )0, 2 g x ， 所以 1 2 m，所以实数 m 的取值范围为 1 , 2 .