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2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学模拟试题(含答案解析)

1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)理科数学 模拟试题 本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的) 1已知复数z满足 2 4(1)(1 2 )izi,则|

2、|z ( ) A1 B2 C5 D10 2设集合 2 1,2,5 ,40ABx xxm,若1AB,则B ( ) A1, 3 B1,0 C1,3 D1,5 3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正 方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( ) A 51 4 B 51 2 C 51 4 D 51 2 4已知双曲线 C: 22 22 1 xy ab (0a,0b)的一条渐近线过点3,4,且双曲线的一个焦点与抛物线 2 20yx的焦点重合,则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B

3、22 1 169 xy C 22 1 43 xy D 22 1 34 xy 5某电商对连续 5 个月的广告费和销售额进行了统计,得到如下统计数据: 广告费x(万元) 2 3 4 5 6 销售额y(万元) 29 41 50 59 71 根据表中数据所得的回归方程是 9.2ybx,则当广告费为 8万元时销售额的预测值是( ) A84.8 B87 C90.8 D95.4 6已知曲线 2 lnf xaxx在1x 处的切线方程为0 xyb,则ab( ) A3 B5 C6 D8 7记函数 sinf xx (其中0, 2 )的图像为C,已知C的部分图像如图所示,为了得 到函数 sing xx,只要把C上所有

4、的点( ) A向右平行移动 6 个单位长度 B向左平行移动 6 个单位长度 C向右平行移动 12 个单位长度 D向左平行移动 12 个单位长度 8 26 1 (1) ()xxx x 的展开式中的常数项为( ) A5 B10 C15 D20 9已知 1 sin3cos 33 ,则sin 2 6 的值为( ) A 1 3 B 1 3 C 7 9 D 7 9 10在四面体SABC中,SA平面 ,120 ,2,1ABCBACSAACAB,则该四面体的外接球 的表面积为( ) A10 3 B7 C 40 3 D40 11设点 (3,4)M 在圆 222( 0)xyrr外,若圆O上存在点N,使得 3 OM

5、N ,则实数r的取值范 围是( ) A 5 ,) 2 B 5 3 ,) 2 C 5 3 ,5) 2 D 5 ,5) 2 12若实数2a,则下列不等式中一定成立的是( ) A 1 2 log(2) 1 a a a a B 1 log (1) a a a a C 1 log1)log)(2 aa aa D 21 (1)(2) aa aa 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13若x,y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy ,则23zxy的最小值为_ 14已知平面向量, a b满足| 2,| 1,1aba b ,则|ab_. 15设双曲线 22 22 10,0

6、xy ab ab 的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若,OPOAOB R, 1 8 , 则该双曲线的离心率为_. 16 已知l为空间中的一条直线,为空间中的一个平面, 且l , 垂足为点O.等腰直角三角形ABC中, 2 A ,2AB ,若,Al C,则OB的最大值为_ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 n a满足 2 5a , 59 30aa, n a的前n项和为 n S. (1)求数列 n a的通项公式及前n项和 n

7、 S; (2)令 * 1 n n bnN S ,求数列 n b的前n项和 n T. 18 (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥PABCD中,PA 底面ABCD,/AD BC, 2 ABC , 1 2 2 ABBCAD,且 PAa,E,F分别为PC,PB的中点. (1)若2a,求证:PB 平面ADEF; (2)若四棱锥PABCD的体积为 2,求二面角A PD C的余弦值. 19 (本小题满分 12 分) 为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是:滑雪时 间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算) 有甲

8、、 乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为 1 4 、 1 6 ;1小时以上且不超过 2小时离开的概率分别为 1 2 、 2 3 ;两人滑雪时间都不会超过3小时 (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量,求的分布列 20 (本小题满分 12 分) 椭圆C: 22 22 1 xy ab (0ab)的左焦点为 2,0 , 且椭圆C经过点0,1P, 直线21ykxk(0k ) 与C交于A,B两点(异于点P). (1)求椭圆C的方程; (2)证明:直线PA与直线PB的斜率之和为定值,并求出这个定值. 21 (本小题满分 1

9、2 分) 已知函数 ln x f xx eaxax . (1)若ae,讨论 f x的单调性 (2)若对任意0 x恒有不等式 1f x 成立,求实数a的值. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做的第一个题目 计分 22 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 1 t x t t y t (t为参数).以原点 O为极点,x轴正半轴 为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 cos( 3 ) 5 4 . (1)求曲线 C 和直线 l的直角坐标方程; (2)若

10、直线 l交曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于点 P,求 11 PAPB 的值. 23 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数( ) |2|1|f xxm x. (1)若2m,求不等式( ) 8f x 的解集; (2)若关于 x的不等式( )|3|f xm x 对于任意实数 x恒成立,求实数 m的取值范围. 答案与解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (13)5 (14) 3 (15)2 (16)15 1.【解析】 2 4(1)2(2) 1 21 2 ii z ii , 2

11、 2 2 12 i z i ,故选:B. 2.【解析】由1AB可知 2 1403mm , 当3m时, 2 430 xx,解得:1x 或3x ,即 1,3B .故选:C 3.【解析】如图,设,CDa PEb,则 2 222 4 a POPEOEb , 由题意 2 1 2 POab,即 2 2 1 42 a bab,化简得 2 4( )210 bb aa , 解得 15 4 b a (负值舍去).故选:C. 4.【解析】因为双曲线 C的渐近线 b yx a 过点3,4, 所以双曲线 C 的渐近线为 3 = 4 yx,设双曲线的方程为 22 1 169 xy tt , 又因为双曲线的一个焦点与抛物线

12、 2 20yx的焦点5,0重合, 所以5169ctt,解得1t ,所以双曲线的方程为 22 1 169 xy . 故选:B 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C B C C A A D C C D 5.【解析】由题意,根据表格中的数据,求得 1 234564 5 x , 1 (2941 505971)50 5 y ,把(4,50)代入回归直线的方程 9.2ybx, 得到 09 2 54.b ,解得 10.2b ,即回归直线的方程为10.29.2yx, 令8x ,可得10.2 89.8 290y .故选:C. 6.【解析】由 2 lnf xaxx,得 2

13、a fxx x , 所以 ( )f x在 1x 处的切线斜率 12kfa , 又 f x在1x 处的切线方程为0 xyb,所以斜率1k , 所以21a,解得3a, 则 2 3lnf xxx, 11f, 将点(1,1)代入0 xyb,得1 10b ,解得2b , 所以 326ab .故选:C. 7.【解析】由图象可知周期 7 4() 123 T ,所以 22 2 T , 又图象上一个最低点为 7 (, 1) 12 ,所以 7 sin 21 12 , 所以 73 22 122 k ,kZ,即2 3 k ,kZ, 因为 2 ,所以 3 ,所以 sin 2 3 fxx sin 2 6 x , 所以为了

14、得到函数 sin2g xx,只要把C上所有的点向右平行移动 6 个单位长度. 故选:A 8.【解析】因为 6 1 ()x x 的通项公式为 66 2 166 1 ()( 1) k k kkkkk TCCx x x , 所以要求常数项,则令620k或621k 或6 22k, 解得3k 或 7 2 k (舍)或4k , 当3k 时, 3 46 20TC ,当4k 时, 42 56 15TCx, 所以常数项为20 1 15 15 ,故选:A. 9.【解析】因为 1313 sin3cossincos3cossincos 32222 1 sinsincos 32663 , 所以sin 2 sin2cos

15、 2 6233 2 2 17 2cos121 639 ,故选:D 10.【解析】如图所示,该四面体的外接球的球心O必经过ABC外接圆的圆心 O 且垂直于平面ABC的 直线上,且到,A S的距离相等. 在ABC中,由余弦定理得1 42 1 21207BCcos , 再由正弦定理得 120 7 2O si A n ,解得 21 3 O A , 又因为 1 1 2 OOSA ,根据球的截面性质,可得 2130 1 93 OA, 即四面体外接球的半径为 30 3 r ,故其表面积为 2 3040 4 33 . 故选:C. 11.【解析】如图所示: 222( 0)xyrr上存在点N使得 3 OMN ,

16、则OMN的最大值大于或者等于 3 时,一定存在点N使得 3 OMN , 当MN与圆相切时,OMN取得最大值,此时,5OM , 3 sin 52 ONON OMN OM ,解得: 5 3 2 ON ,即 5 3 2 r , 又(3,4)M在圆外, 222 34r,解得:5r ,综上所述: 5 5 5 2 r . 故选:C. 12.【解析】A.设 ln x fx x ,则 2 1 ln x fx x ,当0 xe时, 0fx ,当xe时, 0fx , 所以 f x在0,e上递减,在, e 上递增;而21aae ,所以 ln2ln1 21 aa aa ,则 ln22 ln11 aa aa ,由换底公

17、式得 1 2 log(2) 1 a a a a ,故错误; B. 因为 22 log 9log 8, 所以 2 2log 33, 即 2 2 1 log2 1 2 , 所以2a时, 不等式 1 log (1) a a a a 不成立,故错误; C.因为 2 2 12aaa ,所以 2 2 lg1lg2aaa, 所以 lglg2 lg1lglg2 2 aa aaa ,所以 2lglg2 lg1lglg2 2 aa aaa ,所 以 lg1lg2 lglg1 aa aa , 1 log1log2 aa aa 故错误; D. 设 ln x fx x ,则 2 1 ln x fx x ,当0 xe时,

18、 0fx ,当xe时, 0fx ,所以 f x 在0,e上递减,在, e 上递增;而21aae ,所以 ln2ln1 21 aa aa ,则 2 ln11 ln2aaaa, 即 21 ln1ln2 aa aa , 所以 21 12 aa aa , 故正确; 故选:D 13.【解析】由x,y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy 作出可行域,如图 由 21 21 xy xy ,解得1,1A 由 21 0 xy xy ,解得 1 1 , 3 3 C 由 210 0 xy xy ,解得 11 , 33 B 将目标函数23zxy化为 21 33 yxz, 则z表示直线 21 33 yxz在y轴

19、上的截距的 1 3 倍. 要求z的最小值,则需求直线 21 33 yxz在y轴上的截距的最大值. 由图可知,当目标函数过点1,1A 时,直线 21 33 yxz在y轴上的截距的最大值. 此时z的最小值为213 15z 故答案为:5 14.【解析】因为| 2,| 1,1aba b , 所以 2 |abab 22 2aa bb 2 22113 15.【解析】双曲线的渐近线为: b yx a , 设焦点,0F c,因为过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点,且与双曲线在第一象限的交 点为P,则, bc A c a ,, bc B c a , 2 , b c a P , 因为OPOAOB,所

20、以 2 , , bc c a b c a , 所以1, b c ,解得: 2 cb c , 2 cb c ,又由 1 8 ,得: 22 2 1 48 cb c ,即 222 2 1 48 cca c ,则 2 2 1 2 a c ,所以 2 2e ,则2e . 16.【解析】作出等腰直角三角形ABC所在的平面的示意图,如下图所示,过点 B作BM于M,过 点 A 作ANBM于N,连接OB, 因为, 2 ABACBAC ,所以BANOAC,又 2 BNAAOC , 所以BANCAO,所以,AOAN BNOC,设0 2 ACO , 则2sin ,2cosAOCO,所以2sin ,2cosANOMBN

21、,所以 22 222 +2sin+ 2cos2sin6+2 5sin 2OBBMOM 1 tan 2 ,因为 02 2 ,所以,当2 2 时, 2 OB取得最大值6+2 5,所以OB的最大 值为15 17.【解析】(1)设公差为d,由 59 30aa得: 7 230a ,所以 7 15a , 则 72 155 2 55 aa d ,所以 2 221 n aandn, 1 3a ,所以 1 2 2 n n n aa Sn n , (2) 11 11 222 n b n nnn , 11111111 1 2324112 n T nnnn 1111323 1 22124212 n nnnn 18.【

22、解析】(1)当2a时,APAB,点F是BP的中点, AFBP, 又AP 平面ABCD,ADAP, 且A DA B,APABA,AD平面PAB, BP 平面PAB,ADBP, 又AFAAD ,BP平面ADEF; (2) 111 2422 332 P ABCDABCD VSAPAP ,解得:1AP , 如图,以A为原点,,AB AD AP,为 , ,x y z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 0,0,0A,0,0,1P,2,2,0C,0,4,0D,2,2, 1PC ,0,4, 1PD , 设平面PCD的法向量, ,mx y z, 则 0 0 m PC m PD ,即 220 40 xyz yz ,

23、令1y ,则1,4xz,1,1,4m, 显然AB 平面PAD,设平面PAD的法向量1,0,0n , 2 12 cos, 6 1 1 4 m n m n m n ,二面角A PD C是锐二面角, 二面角A PD C 的余弦值是 2 6 . 19.【解析】(1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0、40、80元, 两人都付0元的概率为 1 111 4624 P ; 两人都付40元的概率为 2 121 233 P ; 两人都付80元的概率为 3 11121 11 426324 P . 则两人所付费用相同的概率为 123 1115 2432412 PPPP; (2)设甲、乙所付费用之和为,可能取值为0

24、、40、80、120、160, 则 111 0 4624 P, 12111 40 43624 P, 1112115 80 46236412 P, 11211 120 26344 P, 111 160 4624 P. 所以,随机变量的分布列为: 0 40 80 120 160 P 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 20.【解析】(1)由题意得:2,1cb, 则 222 3abc,椭圆方程为 2 2 1 3 x y; (2)解法一(常规方法):设 1122 ,A x yB x y, 联立 2 2 21 1 3 ykxk x y ,化简可得: 22 316211210kxkkxk k ,

25、 直线 1)20(ykxkk 与椭圆C交于AB、两点,0, 即 2 2 1231214810kkk k ,解得:01k, 由韦达定理 1212 22 621121 , 3 () 311 kkk k xxx x kk 12 122112 12 11 PAPB yy kkx yx yxx xx 1212 12 222kx xkxx x x 2 2 66211212 1 1211212 kkkkk k kkk 直线PA PB 、得斜率和为定值1 解法二(构造齐次式):由题直线 1)20(ykxkk 恒过定点2, 1, 当直线AB不过原点时,设直线AB为 11 *mxn y 则221mxn,即 1 2

26、 mn 有 1 2 mn , 由 2 2 1 3 x y有 2 2 31610yxy, 则 2 2 316110 xyymxn y , 整理成关于 ,1x y 的齐次式: 2 2 36161 0nymx yx, 进而两边同时除以 2 x,则 2 1 3661 1 0 y m x n y x , 令 1y k x ,则 12 12 1 6 1162 1 3636 PAPB n yym kk xxnn , 当直线AB过原点时,设直线AB的方程为 0000 1 , 2 yx A x yBxy 000 000 1121 21 2 PAPB yyy kk xxx 综合直线PA与直线PB的斜率之和为定值1

27、 21.【解析】(1) 1 11 xxxx xaa fxexeaexxe xx a x 当ae时, 1 x e fxxe x 0 x 当1x 时 x e e x ,0 x e e x 可得 0fx, f x单调递增, 当01x时, x e e x ,0 x e e x ,可得 0fx, f x单调递减, 综上所述: f x在0,1上单调递减,在 1,上单调递增; (2)由(1)知 1 x a fxxe x , 当0a 时, 10 x a fxxe x 恒成立,此时 f x单调递增, f x的值域为R,不符合题意; 当0a时,则 1 2 11 1 22 fe ,也不符合题意. 当0a时,令 10

28、 x a fxxe x 可得0 x a e x ,即 0 x exa , 令 x g xex,则 10 xxx gxexeex , 所以 x g xex在0,单调递增, 设存在 0 0 x ,使得 0 0 x exa,两边同时取对数可得 00 lnlnxxa 则 0 0 xx时, x exa , 0fx , 当 0 xx时, x exa , 0fx ,所以当 0 xx时, 0 000 in 0 m 0 lnlnln x f xxeaxaxaaxaaxaaa, 故只需1aalna即可,令 lnh aaaa0a , 1 1 lnlnh aaaa a , 由 0h a 可得01a,由 0h a 可得

29、1a , 因此 h a在0,1上单调递增,在(1,)上单调递减, 从而 11 01 max h ah ,所以 1h aaalna, 又因为 1h aaalna,所以 1h aaalna, 由以上证明可知 11h,所以1a ,故满足条件的实数a的值为1. 22.【解析】(1)曲线 C的参数方程为 2 2 2 1 1 1 t x t t y t (t为参数) , 转化为直角坐标方程为 x24y2=1(1x) 直线 l的极坐标方程为 cos( 3 ) 5 4 .转化为直角坐标方程为: 135 224 xy . (2)由于直线与 x轴的交点坐标为( 5 0 2 ,) ,所以直线的参数方程为 53 22

30、 1 2 xt yt (t为参数) , 代入 x24y2=1得到: 2 2 1510tt ,所以: 12 2 15tt,t1t2=-1, 则: 2 12121 2 1 21 2 ()411ttttt t PAPBt tt t 8. 23.【解析】(1)当2m时, 34,2, ( ), 21, 34,1, xx f xxx xx 当2x 时,34 8x ,解得4x ; 当21x 时,不等式无解; 当1x时,34 8x ,解得 4 3 x. 综上,不等式的解集为 4 (, 4, 3 . (2)由题意知,|2|(|1|3|)xm xx, 所以 |2| |1|3| x m xx .记 |2| ( ) |1|3| x g x xx , 则 1 ,(, 3 1,), 2 ( ) 2 ,( 3, 1), 2 x g x x x , 当31x 时, 2 21 2 2 32 2 x x g x x x , 则 1 2 g x , 又当2x时, min0g x,所以 1 ( )0, 2 g x , 所以 1 2 m,所以实数 m 的取值范围为 1 , 2 .