1、北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 1 页（共 9 页） 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 2021.1 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。 第一部分（选择题 共 50 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 （1）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2,1)，则复数z （A）2i （B）12i （C）2i （D）12i （2）在()nab的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n
2、（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （3）椭圆 22 1 178 xy 的焦点坐标为 （A）(5,0)，( 5,0) （B）(3,0)，( 3,0) （C）(0,5)，(0, 5) （D）(0,3)，(0, 3) （4）已知直线 1: 10laxy ， 2: (2)10laxay 若 12 ll，则实数a （A）1或1 （B）0或1 （C）1或2 （D）3或2 （5）已知平面平面，l下列结论中正确的是 （A）若直线m 平面，则/m （B）若平面平面，则/ （C）若直线m 直线l，则m （D）若平面直线l，则 （6）将4张座位编号分别为1, 2, 3, 4的电影票全部分给3人，每人至少1张如
3、果分给 同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （A）24 （B）18 （C）12 （D）6 （7）已知双曲线 22 2 :1 16 xy C a 的两个焦点是 12 ,F F，点P在双曲线C上若C的离心率 为 5 3 ，且 1 | 10PF ，则 2 |PF （A）4或16 （B）7或13 （C）7或16 （D）4或13 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 2 页（共 9 页） （8）在正三棱锥PABC中，3AB ，2PA，则直线PA与平面ABC所成角的大小为 （A）30 （B）45 （C）60 （D）75 （9）已知圆 1 O的方程为 22
4、 ()()4xayb，圆 2 O的方程为 22 (1)1xyb ，其中 , a bR那么这两个圆的位置关系不可能为 （A）外离 （B）外切 （C）内含 （D）内切 （10）点M在直线:2l x 上，若椭圆 2 2 :1 4 y C x 上存在两点, A B，使得MAB是等 腰三角形，则称椭圆C具有性质P下列结论中正确的是 （A）对于直线l上的所有点，椭圆C都不具有性质P （B）直线l上仅有有限个点，使椭圆C具有性质P （C）直线l上有无穷多个点（但不是所有的点） ，使椭圆C具有性质P （D）对于直线l上的所有点，椭圆C都具有性质P 第二部分（非选择题 共 100 分） 二、填空题共 6 小题，
5、每小题 4 分，共 24 分。 （11）已知复数i (1 i)z ，则| z _ （12）若双曲线 2 2 2 :1(0) y C xb b 的焦距为2 5，则b _；C的渐近线方程为_ （13）设 4432 43210 (2)xa xa xa xa xa，则 1234 aaaa_ （14）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点(1,0,0), (0,2,0), (0,0,2),(0,0,1)ABCD，则直线AD与BC所成角的 大小是_ （15）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQl于点Q若PQF是锐角三 角形，则点P的横坐标的取值范围是_ （16） 如图， 正方体 1
6、111 ABCDABC D的棱长为1，,E F分别为 1111 ,BC C D的中点，P是底面 1111 A BC D上一点 若 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 3 页（共 9 页） /AP平面BEF，则AP长度的最小值是_；最大值是_ 三、解答题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17） （本小题 10 分） 生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长各1名，组员10名现从该小组选派3名同学参加生物学 科知识竞赛 （）如果正、副组长2人中有且只有1人入选，共有多少种不同的选派方法？ （）如果正、副组长2人中至少有1人入选
7、，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？ （18） （本小题 12 分） 已知圆C过原点O和点(1,3)A，圆心在直线1y 上 （）求圆C的方程； （）直线l经过点O，且l被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程 （19） （本小题 13 分） 如图，在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 ABAA，, ,D E F分别是 11 ,BC BB AA的中点 （）求证：/CF平面ADE； （）求证： 1 BC 平面ADE 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 4 页（共 9 页） （20） （本小题 13 分） 如图，设点, A B在x轴上，且关于原点O对称点P
8、满足 1 tan2,tan 2 PABPBA，且PAB的面 积为20 （）求点P的坐标； （） 以, A B为焦点， 且过点P的椭圆记为C 设 00 (,)M xy是C上一点， 且 0 13x ， 求 0 y的取值范围 （21） （本小题 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方 形，且二面角PBEC的余弦值为 6 6 （）求PD的长； （）求点C到平面PEB的距离 （22） （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点为( 1,0)F ， 1( ,0)Aa， 2( ,0) A a，且 2
9、 |3A F （）求椭圆C的方程； （）过点F的直线交椭圆C于点,M N记 1 AMN和 2 A MN的面积分别为 1 S和 2 S 当 21 12 2 7 SS时，求直线MN的方程 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 5 页（共 9 页） 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学参考答案 2021.1 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） （1）A （2）C （3）B （4）C （5）D （6）B （7）A （8）A （9）C （10）D 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） （11）2 （1
10、2）2 2yx （13）15 （14）60 （15）(1,) （16） 3 2 4 5 2 注： （12） 、 （16）题每空 2 分。 三、解答题（共 6 小题，共 76 分） （17） （共 10 分） 解： （）正、副组长 2 人中有且只有 1 人入选， 选派方法数为 12 210 CC90 3 分 （）正、副组长 2 人都入选，且组员甲没有入选， 选派方法数为 21 29 C C9 6 分 正、副组长 2 人中有且只有 1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为 12 29 C C72 9 分 所以正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为 97281 10 分 （1
11、8） （共 12 分） 解： （）设圆C的圆心坐标为( ,1)a 1 分 依题意，有 2222 1(1)2aa， 3 分 解得2a 4 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 6 页（共 9 页） 从而圆C的半径为 22 15ra， 5 分 所以圆C的方程为 22 (2)(1)5xy 6 分 （）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为2 7 分 显然直线0 x 符合题意 8 分 当直线l的斜率存在时，设其方程为ykx，即0kxy 9 分 所以 2 |21| 2 1 k k ， 10 分 解得 3 4 k 11 分 所以直线l的方程为 3 4 yx 12 分 综上，
12、直线l的方程为0 x 或340 xy （19） （共 13 分） 解： （）设AEBFO，连接OD 因为 111 ABCABC为正三棱柱，且 1 ABAA， 所以侧面 11 A ABB为正方形 1 分 因为,E F分别是 11 ,BB AA的中点， 所以O是BF的中点 2 分 又因为D是BC的中点， 所以/OD CF 4 分 因为OD 平面ADE，CF 平面ADE， 5 分 所以/CF平面ADE 6 分 （）因为ABC为正三角形， 所以ADBC 7 分 又 1 CC 平面ABC， 所以 1 ADCC 8 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 7 页（共 9
13、页） 所以AD 平面 11 B BCC 9 分 所以 1 BCAD 10 分 连接 1 B C 因为侧面 11 B BCC为正方形， 所以 11 BCBC 11 分 所以 1 BCDE 12 分 所以 1 BC 平面ADE 13 分 （20） （共 13 分） 解： （）设(,0), ( ,0)AcB c 则直线PA的方程为2()yxc，直线PB的方程为 1 () 2 yxc 2 分 由 2(), 1 (), 2 yxc yxc 解得 3 , 5 4 . 5 c x c y 所以 34 (,) 55 cc P 3 分 故PAB的面积 2 14 | | 25 P SAByc 4 分 所以 2 4
14、 20 5 c ， 解得5c 5 分 所以点P的坐标为( 3,4) 6 分 （）由（）得( 5,0), (5,0)AB 所以 22 |( 35)42 5PA ， 22 |( 3 5)44 5PB 8 分 设以, A B为焦点且过点P的椭圆方程为 22 22 :1 xy C ab 则 1 (|)3 5 2 aPAPB，又 222 20bac， 10 分 所以椭圆C的方程为 22 1 4520 xy 11 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 8 页（共 9 页） 所以 22 00 1 4520 xy ， 即 2 20 0 20(1) 45 x y 因为 0 1
15、3x ，所以 2 0 09x 所以 2 0 1620y 12 分 所以 0 y的取值范围是 2 5, 4)(4,2 5 13 分 （21） （共 14 分） 解： （）依题意，,DA DC DP两两互相垂直，如图 建立空间直角坐标系Dxyz 1 分 设(0)PDh h 由题意得(1,0,0)E，(2,2,0)B，(0,0, )Ph 所以(1,0,)PEh，(1,2,0)EB 设平面PEB的法向量为 000 (,)xy zn， 则 0, 0, PE EB n n 即 00 00 0, 20. xz h xy 4 分 令 0 2x ，则 0 1y ， 0 2 z h 于是 2 (2, 1, ) h
16、 n 6 分 又因为PD 平面ABCD， 所以平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)m 7 分 依题意，有 222 2 6 cos, |62 21( ) h h m n m n mn ， 9 分 解得2h ， 所以2PD 10 分 （）由（）得，平面PEB的法向量为(2, 1,1)n 11 分 又(0,2,0)C， 所以( 2,0,0)BC 12 分 所以点C到平面PEB的距离为 |2 6 3 BC n |n| 14 分 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 9 页（共 9 页） （22） （共 14 分） 解： （）依题意，椭圆C的半焦距1c ， 1 分 所
17、以 2 |3A Fac 解得2a 2 分 所以 222 3bac 3 分 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 （）当直线MN的斜率不存在时，其方程为1x 此时 33 ( 1, ),( 1,) 22 MN ，或 33 ( 1,),( 1, ) 22 MN 所以 1 3 2 S ， 2 9 2 S ，即 21 3SS，不合题意 5 分 当直线MN的斜率存在时，设其方程为(1) (0)yk xk 由 22 (1), 3412 yk x xy 得 2222 (34)84120kxk xk 6 分 设 1122 (,),(,)M x yN xy，则 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 412 34 k x x k 8 分 因为 1112 1 |(|) 2 SAFyy， 2212 1 |(|) 2 SA Fyy， 所以 211212 1 2(|)| 2 SSyyyy 12 | ()|k xx 10 分 2 121 2 |()4kxxx x 2 2 12|1 34 kk k 12 分 令 2 2 12|112 2 347 kk k ， 解得1k 13 分 所以直线MN的方程为10 xy ，或10 xy 14 分