1、大连市大连市 20202021 学年度学年度高二高二第一学期期末考试第一学期期末考试数学数学试卷试卷 注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第卷选择题和第卷非选择题两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟. 第第卷（选择题）卷（选择题） 一一、单项选择题、单项选择题 1抛物线 2 8yx的焦点到准线的距离为（ ） A8 B6 C4 D2 2若直线 1 l， 2 l的方向向量分别为1,2, 2a ，2,3,2b ，则（ ） A 12 ll B 12 ll C 1 l， 2 l相交但不垂直 D不能确定 3 已知G是正方形ABCD的中心， 点P为正方形ABCD所在平面
2、外一点， 则PAPBPCPD（ ） APG B2PG C3PG D4PG 4 5 2xy的展开式中 23 x y的系数为（ ） A80 B-80 C40 D-40 5已知直线l的方程为34xyb，圆C的方程为 22 2210 xyxy ，则“2b”是“l与C相 切”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6某校开设A类选修课 2 门，B类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程各至少选一门，则 不同的选法共有（ ） A3 种 B6 种 C9 种 D18 种 7已知双曲线 22 22 :1 xy C ab （0a ，0b）的左、右焦点分别为
3、1 ,0Fc， 2 ,0F c（其中0c ） ， 过焦点 1 F向双曲线的一条渐近线作垂线，交双曲线C的右支于点P，若 12 2 PFF ，则双曲线C的渐近 线方程为（ ） A0 xy B20 xy C20 xy D30 xy 8在直三棱柱 111 ABCABC中，ACBC， 1 2ACBCAA，设点M是棱 11 AC的中点，点P在 底面ABC所在平面内，若平面 1 B MP分别与平面 11 AACC和平面ABC所成的锐二面角相等，则点P到点 B的最短距离是（ ） A 2 5 5 B 2 2 C1 D 6 3 二、多项选择题二、多项选择题 9方程 22 1 104 xy mm 表示的曲线可能是
4、（ ） A圆 B椭圆 C抛物线 D双曲线 10已知抛物线 2 4yx焦点为F，点1,3A，点P在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） APAPF的最小值为 3 BPAPF的最大值为 7 CPAPF的最小值为-2 DPAPF的最大值为 3 11关于 2020 (1)x 及其展开式，下列说法正确的有（ ） A该二项展开式中第六项为 61007 2020 Cx B该二项展开式中非常数项的系数和为-1 C该二项展开式中不含有理项 D 2020 9除以 100 的余数是 1 12如图所示，已知平面四边形ABCD，3ABBC，1AD ，5CD ， 2 ADC 沿直线AC 将ABC翻折成ABC，下列说法正确的
5、是（ ） A2BD AC B1BC AD C直线AC与B D成角余弦的最大值为 6 6 D点C到平面ABD的距离的最大值为 210 7 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填空题三、填空题 13 024 444 CCC_ 14 在四棱锥PABCD中，4, 2,4AB ，4,1,0AD ，6,2, 8AP ， 则这个四棱锥的高h _ 15中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、 马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作 为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、兔、马和羊，丙同学这十二个吉祥物都
6、喜欢，如果让三位同 学都能选到自己喜欢的礼物，那么不同的选法有_种 16已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1 xy C ab （0a ，0b）的左、右焦点，过 1 F的直线l与双曲线C的左 支交于点A，与右支交于点B，若 1 2AFa， 12 2 3 F AF ，则 2 2 1 AFF ABF S S _，双曲线C的离心率 为_ 四、解答题四、解答题 17已知圆 2 2 :19Cxy内有一点 2,2P，过点P作直线l交圆C于A、B两点 （）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （）求弦长AB的最小值，以及此时直线l的方程 18在4OA OB ，3 MA MB ，以AB为直径的圆与准线
7、相切，这三个条件中任选一个，补充到 下面的问题中，求出直线l的一般方程. 问题： 已知抛物线 2 :4C yx， 过x轴正半轴上一点M， 倾斜角为 3 的直线l交抛物线C于A，B两点， _，求直线l的一般方程. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 3AAABBC，2AC ，D是AC的中点 （）求证： 1 BC平面 1 ABD； （）求直线 11 AB与平面 1 ABD成角的正弦值 20在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知 0,0 A x， 0 0By,两点分别在x轴和y轴上运动， 且1AB ，若动点,P x y满足52OPOA
8、OB （）求动点P的轨迹C的方程； （）已知点0,2D，斜率为k的直线l交曲线C于M，N两点如果DMN的重心恰好在x轴上， 求k的取值范围 21如图，正方形ABCD边长为 1，ED 平面ABCD，FB 平面ABCD，且1EDFB（E，F在 平面ABCD同侧） ，G为线段EC上的动点. （）求证：AGDF； （）求 22 AGBG的最小值，并求取得最小值时二面角BAGC的余弦值 22 已知椭圆 22 22 :1 xy E ab （0ab） 的左、 右焦点为 1 F， 2 F， 且 12 2FF ， 左、 右顶点为M，N （）若椭圆E的离心率 1 2 e ，设点4,Pn（0n ） ，直线PN交椭圆
9、E于点Q且直线MP，MQ 的斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 1 2 k k为定值； （）斜率为k的直线l过 2 F，且与曲线E交于A，B两点，当k变化时， 1 ABF的内切圆面积有最大 值，求椭圆E的离心率e的取值范围 20202021 学年第一学期期末考试试卷学年第一学期期末考试试卷 高二数学参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视 影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解
10、答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较 严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一一、单项选择题：、单项选择题： 1C，2B，3D，4D，5A，6C，7B，8A 二、多项选择题：二、多项选择题： 9ABD，10ACD，11BD，12AC 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填空题三、填空题 138；142；1570；16 1 2 ，7 四、解答题四、解答题 17解： （）圆 2 2 :19Cxy的圆心C坐标为 1,0， 又直线过点2,2P，所以直线的斜率 20 2 21 k ， 所以直线方程为021yx
11、，即220 xy （）设圆心C到直线l的距离为d，则 2 2 9 2 AB d 所以d越大，弦长AB越小，故当d取得最大值时，弦长AB取得最小值 而过点2,2P的直线l，当其与直线CP垂直时，d取得最大值，此时弦长AB取得最小值 直线CP的斜率为： 20 2 21 ，故直线l的斜率为 1 2 ， 所以直线l的方程为 1 22 2 yx ，即260 xy 18解：若选 设,0M m（0m） ，则直线:3l yxm，设 11 ,A x y， 22 ,B x y 则由 2 4 3 yx yxm 可得 2 3 30 4 yym， 有 12 12 3 1430 4 4 3 4 m yy y ym 因为
12、2 212 121212 44 16 y y OA OBx xy yy ymm ， 即 2 20m ，所以2m，满足题意 所以，直线:32l yx，其一般方程为32 30 xy 若选 设,0M m（0m） ，则直线:3l yxm，设 11 ,A x y， 22 ,B x y 则由 2 4 3 yx yxm 可得 2 3 30 4 yym， 有 12 12 3 1430 4 4 3 4 m yy y ym 因为3 MA MB ，结合题意，有3AMMB，即 1122 ,3,mxyxm y， 则有 12 3yy ，又因为 12 4 3 yy，所以有 1 2 6 3 2 3 y y ， 所以 62 4
13、 33 m ，即1m 满足题意 所以，直线:31l yx，其一般方程为330 xy 若选 设 11 ,A x y， 22 ,B x y 由题可知，抛物线 2 :4C yx的焦点1,0F，因为以AB为直径的圆与准线相切，所以 12 12 212 2 xx ABxx ， 又因为 1 1AFx， 2 1BFx，所以ABAFBF，可得直线l过焦点1,0F，所以，直线 :31l yx，其一般方程为330 xy 19 （）证明：连接 1 AB交 1 AB于E，连接DE 四边形 11 ABB A是矩形，E是 1 AB的中点， 又D是AC的中点， 1 DEBC，又 1 BC 平面 1 ABD， DE 平面 1
14、 ABD， 1 BC平面 1 ABD （）解： （法一）取 11 AC中点 1 D，连接 1 DD 又D为AC中点， 11 D DAA 在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC， 1 DD 平面ABC 在ABC中，ABBC，ADDC，BDAC 以D为坐标原点，以DC，DB， 1 DD的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系. 0,0,0D， 0,2 2,0B， 1 0,2 2,3B， 1 1,0,3A ， 11 1,2 2,0AB ， 1 1, 3 , 0DA ， , 00 ,2 2DB 设平面 1 ABD的一个法向量为nx y z, , 所以 30 2 20 xz
15、y ，0y ，令1z ，则3x ， 则平面 1 ABD的一个法向量为301n ,， 设直线 11 AB与平面 1 ABD成角为， 则 11 11 11 310 sincos, 10310 AB n AB n AB n ， 所以，直线 11 AB与平面 1 ABD成角的正弦值为 10 10 （法二）在平面 11 ACC A内作 1 AHAD于H，连接BH 11 ABAB，所以AB与平面 1 ABD成角即为 11 AB与平面 1 ABD成角 1 A A平面ABC，BD 平面ABC， 1 AABD， 在ABC中，ABBC，D是AC的中点，BDAC， 1 A A，AC 平面 11 ACC A， 1 A
16、AACA，BD 平面 11 ACC A AH 平面 11 ACC A，AHBD，又 1 AHAD， 1 BDADD， 1 AD 平面 1 ABD，BD 平面 1 ABD， AH 平面 1 ABD，直线AB与平面 1 ABD成角为ABH 在 1 A AD中，1AD ， 1 3AA ， 1 90A AD，由等面积法，可得 3 10 10 AH ， 在RtABH中， 10 sin 10 A A H AB BH 所以，直线 11 AB与平面 1 ABD成角的正弦值为 10 10 20解： （）由动点,P x y满足52OPOAOB，得 00 ,5,02 0,x yxy, 即 0 0 5 5 1 2 x
17、x yy ， 又 22 00 1xy，所以 22 1 54 xy （） （法一）设 11 ,M x y， 22 ,N xy，直线l的斜率为k， 则 22 11 22 22 1 54 1 4 xy xy s -得 2222 1212 11 0 54 xxyy 整理得： 12 12 4 5 xx k yy ， 设DMN的重心坐标为 3,0 x，有 12 3 12 0 3 2 0 3 xx x yy ，即 123 12 3 2 xxx yy ， 所以 3 6 5 kx，又弦MN中点 3 3 1 2 , x 一定在椭圆内部， 所以 2 3 2 3 1 2 1 54 x ，即 3 1515 33 x，
18、所以 2 152 15 55 k （法二）设直线l的方程为ykxm，联立方程 22 1 54 ykxm xy 得 222 45105200kxkmxm，有 22 80 540km ， 即 22 540km 12 2 10 45 km xx k ， 2 12 2 520 45 m x x k 所以 2 121212 2 10 222 45 k m yykxmkxmk xxmm k 即 2 45 4 k m ，又 22 540km， 所以 2 2 2 54 540 4 k k ，即 42 2540480kk， 所以 2 12 5 k ，即 2 152 15 55 k 21 （法一） （） 证明：
19、分别作AM 平面ABCD，CN 平面ABCD， 取1A MC N， 顺次连接E， M，F，N，如图可知， 几何体ABCDMFNE为正方体，连接BD，BDAC， FB 平面ABCD，AC 平面ABCD， FBAC，又FBBDB， FB 平面BDEF，BD 平面BDEF， AC 平面BDEF，又DF 平面BDEF，ACDF，同理可证AEDF， 又ACAEA，AC 平面ACE，AE 平面ACE， DF 平面ACE，AG平面ACE，AGDF （）ED 平面ABCD，ADCD，故以D为原点，DA，DC，DE的方向为x轴，y轴，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，由题意得， 各点坐标为0,0,0D，1,0,
20、0A，1,1,0B，0,1,0C，0,0,1E，1,1,1F， G在CE上，设CGCE（01） ，则有 1,1,00, 1,11,1,AGACCGACCE ， 1,0,00, 1,11,BGBCCGBCCE ， 22 2 22222 111AGBGAGBG 2 2 111 4234 44 当且仅当 1 4 时， 22 AGBG取得最小值 11 4 ， 此时在平面ACG中，1,1,0AC ，0, 1,1CE ， 设平面ACG的一个法向量为 111 ,mx y z，则有 0 0 m AC m CE ，即 11 11 0 0 xy yz ， 设 1 1x ，得 1 1y ， 1 1z ，1,1,1m
21、 ， 此时在平面ABG中，0,1,0AB ， 3 1 1, 4 4 AG ， 设平面ABG的一个法向量为 222 ,nxy z，则有 0 0 n AB n AG ， 即 2 222 0 31 0 44 y xyz ， 设 2 1x ，得 2 0y ， 2 4z ，1,0,4n ， 设二面角BAGC大小为， 则 1045 51 cos 511 1 1 1 16 n n m m ， 由题意可知，为锐角，所以 5 51 cos 51 （法二） （） ED 平面ABCD，ADCD， 故以D为原点，DA，DC，DE的方向为x轴，y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得， 各点坐标为0,0,0D，
22、1,0,0A，1,1,0B，0,1,0C，0,0,1E，1,1,1F， G在CE上，设CGCE（01） ，则有 1,1,00, 1,11,1,AGACCGACCE ， 1,1,1DF ， 1,1,1,1,11 10AG DF ， AGDF （）由（）得： 1,0,00, 1,11,BGBCCGBCCE ， 22 2 22222 111AGBGAGBG 2 2 111 4234 44 当且仅当 1 4 时， 22 AGBG取得最小值 11 4 ， 此时在平面ACG中，1,1,0AC ，0, 1,1CE ， 设平面ACG的一个法向量为 111 ,mx y z，则有 0 0 m AC m CE ，即
23、 11 11 0 0 xy yz ， 设 1 1x ，得 1 1y ， 1 1z ，1,1,1m ， 此时在平面ABG中，0,1,0AB ， 3 1 1, 4 4 AG ， 设平面ABG的一个法向量为 222 ,nxy z，则有 0 0 n AB n AG ， 即 2 222 0 31 0 44 y xyz ， 设 2 1x ，得 2 0y ， 2 4z ，1,0,4n ， 设二面角BAGC大小为， 则 1045 51 cos 511 1 1 1 16 n n m m ， 由题意可知，为锐角，所以 5 51 cos 51 22解： （） 12 2FF ， 1 2 e ，1c ，2a ， 22
24、3bac， 所以椭圆方程为 22 1 43 xy ， 所以2,0M ，2,0N， 设点 00 ,Q x y，直线PN方程为：2 6 n yx ， 与椭圆E方程联立： 22 1 43 2 6 xy n yx ，得 2222 27441080nxn xn， 点N在E上，2 是方程的一个根， 2 0 2 254 27 n x n ， 2 0 22 25418 2 62727 nnn y nn ， 直线MP，MQ的斜率分别为 1 422 nn k ， 2 22 2 18 9 27 2542 2 27 n n k nn n ， 故 1 2 99 2 24 n k k n ； （） 如图可知， 1 ABF
25、的周长为4a， 故当斜率k变化时， 1 ABF的内切圆面积有最大值， 只需 1 ABF 的面积有最大值， 直线l的斜率为k，且过点 2 F， l的方程为1yk x，0k ，设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 联立 22 22 1 1 xy ab yk x ，得 2222222222 20ba kxa ka kaxb， 有0 ， 22 12 222 2a k xx ba k ， 2222 12 222 a ka b x x ba k ， 1 2 2222 22 121212 222222 4 12 2 ABF a ka b a k SFFyyk xxk ba kba k 2422222 22 222 222 222222 4111 22 11 a bkkkkk kabab ba kbbkbkk 22 2242 2 2 22 11 22 221 2 1 ababab bbbk k b kk ， 当且仅当 42 2 22 1 1 bk k kk ，等号成立，若面积有最大值， 只需 2 2 2 2 1 1 1 1 k b k k 成立， 2 0k ， 2 01b， 故离心率 2 222 12 ,1 12 cc e abcb