1、高二数学 期末检测试卷 1 / 10 房山区房山区 20202020- -20212021 学年度第学年度第高二高二一学期期末检测一学期期末检测数学数学试卷试卷 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分第一部分（选择题 共 50 分） 一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知点(1, 1),(2,5)MN，则线段MN的
2、中点坐标为 （A A）(3,4) （B B） 3 ( ,2) 2 （C C）(1,6) （D D） 1 ( ,3) 2 （2）圆心为( 1,2)，半径为5的圆的方程为 （A A） 22 (1)(2)5xy （B B） 22 (1)(2)5xy （C C） 22 (1)(2)25xy （D D） 22 ( +1)(2)25xy （3）已知直线 1: 70lxay和 2:( 2)310laxy 互相平行，则 （A A）3a （B B）1a （C C）1a或3a （D D）1a 或3a （4）下列双曲线中以xy2为渐近线的是 （A A） 2 2 1 4 y x （B B） 2 2 1 2 y x （
3、C C） 2 2 1 4 x y （D D） 2 2 1 2 x y （5）在 5 (2)x的展开式中， 4 x的系数为 （A A）5 （B B）5 （C C）10 （D D）10 （6）已知某种药物对某种疾病的治愈率为 3 4 ，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者 是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为 高二数学 期末检测试卷 2 / 10 （A A） 27 64 （B B） 9 64 （C C） 3 64 （D D） 3 4 （7）已知双曲线 2 2 2 1(0) x ya a 与椭圆 22 1 83 xy 有相同的焦点，则a （A A）6 （B B）2 3 （
4、C C）2 （D D）4 （8）已知圆 22 :4O xy，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的 中点P的轨迹方程为 （A A） 2 2 1 4 x y （B B） 2 2+ 1 4 y x （C C） 22 1 164 xy （D D） 22 1 416 xy （9）已知直线01kykxl：和圆C： 22 40 xyx，则直线l与圆C的位置关系为 （A A）相交 （B B）相切 （C C）相离 （D D）不能确定 （10）如图，在正方体 1111 DCBAABCD中，点,E F分别是棱 1111 ,DADC上的动点 给出下面四个命题： 直线EF与直线AC平行； 若直线A
5、F与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交； 直线EF到平面ABCD的距离为定值； 直线AF与直线CE所成角的最大值是 3 其中，真命题的个数是 （A A）1 （B B）2 （C C）3 （D D）4 第二部分第二部分（非选择题 共 100 分） 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 （11）电影夺冠要在 4 所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有_种. （用数字作答） 高二数学 期末检测试卷 3 / 10 （12）设随机变量的分布列为： 0 1 2 p 2 1 3 1 m 则m_；随机变量的数学期望E_. （13
6、）某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示. 男生 女生 有参加滑雪运动打算 8 10 无参加滑雪运动打算 10 12 从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为_； 若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为_. （14）设抛物线 2 8xy的焦点为F，点 0 (,3)M x在抛物线上. 则抛物线的准线方程为_； MF _. （15）已知曲线 22 :1(0) xy Cmn mn .给出下列四个命题： 曲线C过坐标原点； 若0mn，则C是圆，其半径为m； 若0mn，则C是椭圆，其焦点在x轴上； 若0mn，则C是双曲线，其渐近线方
7、程为 n yx m . 其中所有真命题的序号是 三、解答题三、解答题共共 6 6 小题，共小题，共 7575 分分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 12 分） 已知直线l过点(0,3)，再从下列条件、条件、条件这三个条件中任意选择一个作为已知，求直 线l的方程. 条件：直线l经过直线 1: 10lxy 与 2:2 40lxy的交点； 条件：直线l与圆 22 3xy相切； 高二数学 期末检测试卷 4 / 10 条件：直线l与坐标轴围成的三角形的面积为3 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （17） （本小题 12
8、分） 已知点(1, 2)A在抛物线 2 2(0)ypx p上，过点A且斜率为2的直线与抛物线的另一个交点为B. （）求p的值和抛物线的焦点坐标； （）求弦长AB. （18） （本小题 12 分） 袋中有 10 个大小、材质都相同的小球，其中红球 3 个，白球 7 个.每次从袋中随机摸出 1 个球，摸出 的球不再放回.求： （）第一次摸到红球的概率； （）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （）第二次摸到红球的概率. （19） （本小题 13 分） 某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类 APP.某机构为调查顾客对该软件的使用情况， 在某地区随机抽取了 100 人，调查
9、结果整理如下： （）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在30,50)且未使用这款 APP 的概率； （）从被抽取的年龄在50,70且使用这款 APP 的顾客中，随机抽取 2 人进一步了解情况，用X表示这 2 顾客年龄 20 岁以下 20,30) 30,40) 40,50) 50,60) 60,70 70 岁以上 使用人数 5 10 18 8 4 2 0 未使用人数 0 0 2 12 36 3 0 高二数学 期末检测试卷 5 / 10 人中年龄在50,60)的人数,求随机变量X的分布列及数学期望； （）为鼓励居民使用，该机构拟对使用这款 APP 的居民赠送 1 张 5 元的代金劵.若某区预
10、计有 6000 人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券. （20） （本小题 13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD为正方形，2PAAB， E为PD中点. （）求证：BD 平面PAC； （）求二面角PACE的余弦值； （21） （本小题 13 分） 已知椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 2 3 ,且经过点)0 , 2(A. （）求椭圆C的方程； （）不过点A的直线l与椭圆交于QP,两点，以线段PQ为直径的圆经过点A，证明：直线l过定点. 房山区房山区 20202020- -20212021 学年度第一学期期末检测参
11、考答案学年度第一学期期末检测参考答案 高二年级高二年级 数学学科数学学科 一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分。 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 B B D D C C A A D D B B C C A A A A B B 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 （第一空 3 分，第二空 2 分） （11）24 （12） 12 , 63 ； （13） 14 , 59 ； 高二数学 期末检测试卷 6 / 10 （14）2,
12、5y （15） （错选 错选 0 分，漏选分，漏选 3 分分） 三、解答题三、解答题共共 6 6 小题，共小题，共 7575 分分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 12 分） 选择条件： 解方程组 10 240 xy xy ， 得 1 2. x y ， 4 则直线l的斜率为 32 5 0 1 k ， 8 所以直线l的方程为53yx ，即530 xy .12 选择条件： 设直线l的方程为3ykx（显然直线l的斜率存在） ，即30kxy. 圆 22 3xy的圆心为(0,0)，半径为3. 4 因为 直线l与圆 22 3xy相切,
13、所以 2 3 3 1k . 解得 2k . 8 所以直线l的方程为23yx ，即230 xy. 12 选择条件： 设直线l的方程为3ykx（显然直线l不与坐标轴平行） ，1 令0y 得 3 x k . 则 13 33 2 S k . 4 解得 3 2 k . 8 所以直线l的方程为 3 3 2 yx ，即， 3 30 2 xy.12 （17）（本小题 12 分） （）由点(1, 2)A在抛物线 2 2(0)ypx p上，得2p .2 高二数学 期末检测试卷 7 / 10 所以抛物线的方程为 2 4yx，焦点坐标为(1,0). 5 （）直线AB的方程为 22(1)yx ，即24yx， 7 解方程
14、组 2 4 24 yx yx ， 得 1 2. x y ， 或 4 4. x y ， 9 所以点B的坐标为(4,4) . 所以 22 (1 4)( 2 4)3 5AB . 12 （18）（本小题 12 分） 设事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到红球， 则事件A：第一次摸到白球. （）第一次从 10 个球中摸一个共 10 种不同的结果，其中是红球的结果共 3 种, 所以 3 ( ) 10 P A . 4 （）第一次摸到红球的条件下,剩下的 9 个球中有 2 个红球，7 个白球，第二次从这 9 个球中摸一个共 9 种不同的结果，其中是红球的结果共 2 种. 所以 2 (|) 9 P B A
15、 . 8 （） 32733 ( )( ) (|)( ) (|) 10910910 P BP A P B AP A P B A.12 所以第二次摸到红球的概率 3 ( ) 10 P B . （19）（本小题 13 分） （）在随机抽取的 100 名顾客中，年龄在30, 50)且未使用这款 APPAPP 的共有 2+12=14 人， 所以，随机抽取 1 名顾客，估计该顾客年龄在30, 50)且未使用这款 APPAPP 的概率为 50 7 100 14 P 2 （）X的所有可能取值为 0，1，2，则 2 2 2 6 1 (0) 15 C P X C , 11 42 2 6 8 (1) 15 C C
16、P X C , 2 4 2 6 6 (2) 15 C P X C .8 高二数学 期末检测试卷 8 / 10 所以X的分布列为 9 故X的数学期望为 1864 012 1515153 EX 11 （）在随机抽取的 100 名顾客中，使用自助结算机的共有4724818105人， 所以该机构 至少应准备张代金券的张数估计为:28206000 100 47 张. 13 （20） （本小题 13 分） （）因为 PA 平面ABCD，,AB AD 平面ABCD， 所以 ,PAAB PAAD. 因为底面ABCD为正方形，所以 ABAD. 如图，以A为原点，分别以,AB AD AP为, ,x y z轴建立空
17、间直角坐标系 1 则(0,0,0), (2,0,0),(2,2,0),(0,2,0), (0,0,2)ABCDP (0,0,2),(2,2,0),( 2,2,0)APACBD . 因为(0,0,2) ( 2,2,0)0(2,2,0) ( 2,2,0)0AP BDAC BD ， 所以,APBD ACBD. 2 又=APAC A， 3 所以BD 平面PAC. 4 （）因为 E为PD中点， 所以(0,1,1)E，(0,1,1)AE . 设平面EAC的法向量为( , , )nx y z， X 0 1 2 P 1 15 8 15 6 15 高二数学 期末检测试卷 9 / 10 则 0 0 AC n AE
18、 n ， ， 即 220 0. xy yz ， 令1y ，则( 1,1, 1)n .8 由（）知，BD为平面PAC的法向量, 10 所以 46 cos, 33 2 2 n BD n BD n BD . 12 由题知，二面角PACE为锐角，所以其余弦值为 6 3 .13 （21）.（本小题 13 分） （）由椭圆离心率为 2 3 ,且经过点)0 , 2(A ,可知 3 ,2 2 c ea a .2 所以 3c . 所以 222 431bac. 3 所以椭圆C的方程为1 4 2 2 y x . 4 （）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm， 由 2 2 1 4 x y ykxm ， 得
19、222 (1 4)8440kxkmxm.6 222 =(8)4(1 4)(44)0kmkm. 设 1122 ( ,),(,)P x yQ xy ， 则 2 1212 22 844 +=,= 1 41 4 kmm xxx x kk .8 因为以线段PQ为直径的圆经过点A ， 所以AQAP . 所以 0AP AQ. 9 1122 (2,)(2,)APxyAQxy 高二数学 期末检测试卷 10 / 10 1212 1212 22 12121212 22 1212 2 22 22 (2)(2) (2)(2)()() 2()4() (1)(2)()4 448 (1)(2)4 1414 AP AQxxy
20、y xxkxm kxm x xxxk x xkm xxm kx xkmxxm mkm kkmm kk 由 0AP AQ，整理得 22 516120mkmk. 解得 6 5 mk 或 2mk （都满足 0 ）. 所以 6 () 5 yk x 或 (2)yk x. 10 因为直线l不过点)0 , 2(A， 所以直线l过定点 6 (0) 5 ， . 11 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为 00 ( 22)xxx ， 则 0000 (,),(,)P xyQ xy ， 4 1 2 0 2 0 x y. 2 000 2 2 0 00 2 00 (2)(2) 44(1) 4 5 430 4 AP AQxxy x xx xx 解得 0 6 5 x 或 0 2x （舍）. 综上 直线l过定点 6 (0) 5 ， . 13 备注：解答题只提供一种解法，其他解法请仿此标准给分。备注：解答题只提供一种解法，其他解法请仿此标准给分。