1、昌平区昌平区 20202021 学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷 本试卷共本试卷共 5 页，共页，共 150 分分考试时长考试时长 120 分钟分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效答无效考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项 1已知集合1,2,3,
2、5,2,3AB，那么AB（ ） A2,3 B1,5 C1,2,3,5 D3 2复数 2 1 i i （ ） A1 i B1 i Ci D2 3下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)上单调递增的是（ ） Asinyx B 3 yx C2 x y Dln|yx 4 4 (2)x的展开式中常数项是（ ） A8 B16 C24 D32 5已知抛物线 2 4yx上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，那么点 P 到 y 轴的距离是（ ） A2 B3 C4 D5 6函数 1 ( )ln(1)f xx x 的一个零点所在的区间是（ ） A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 7某三棱锥的三视图
3、如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为（ ） A4 B5 C4 2 D41 8已知aR，则“1a ”是“函数 22 ( )cossinf xaxax的最小正周期为”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知直线1ykx与圆 22 40 xxy相交于MN，两点，且|2 3MN ，那么实数 k 的取值范围 是（ ） A 1 4 3 k剟 B 4 0 3 k剟 C0k或 4 3 k D 4 0 3 k剟 10斐波那契数列又称“黄金分割数列” ，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为 “兔子数列” 此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领
4、域都有着广泛的应用斐波那契数列 n a可以用 如下方法定义： * 1212 3,1 nnn aaannaa N若此数列各项除以 4 的余数依次构成一个新 数列 n b，则 2021 b（ ） A1 B2 C3 D5 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11已知 n a是等差数列，若 17 1,13aa，则 4 a _ 12已知向量(2,),(1,2)amb，且ab，则实数m_ 13已知双曲线 22 2 1(0) 9 xy a a 的离心率是 5 4 ，则双曲线的右焦点坐标为_ 14已
5、知函数( )sin(2) 2 f xx ，那么函数( )f x的最小正周期是_：若函数( )f x在 5 , 26 上具有单调性，且 5 26 ff ，则_ 15高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这 6 个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等 要素，任选 3 个科目构成“选考科目组合”参加高考已知某班 37 名学生关于选考科目的统计结果如下： 选考科目名称 物理 化学 生物 历史 地理 政治 选考该科人数 24 28 14 15 a b 下面给出关于该班学生选考科目的四个结论： 若19a ，则11b； 选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过 9 人； 在选考化学的所有学
6、生中，最多出现 10 种不同的选考科目组合； 选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的其中所有正确 结论的序号是_ 三三、解答题共、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16 （本小题满分 13 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PD 平面/ABCD ABCD ADCD， 且22ADCDPDAB （I）求证：AB 平面PAD； （）求二面角PBCA的余弦值 17 （本小题满分 13 分） 在ABC中，7,5bc，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： （）B的值；
7、 （）ABC的面积 条件：sin2sinBB；条件：cos2cosBB 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本小题满分 14 分） 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测调查发现，使用水银体 温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差对同一人而言， 如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确” ；否则，我们认为智能体 温计“测温失误” 现在某社区随机抽取了 20 人用两种体温计进行体温检测，数据如下： 序号 智能体温计 测温（C ） 水银体温计 测温（C ） 序号 智能体温计 测
8、温（C ） 水银体银计 测温（C ） 01 36.6 36.6 11 36.3 36.2 02 36.6 36.5 12 36.7 36.7 03 36.5 36.7 13 36.2 36.2 04 36.5 36.5 14 35.4 35.4 05 36.5 36.4 15 35.2 35.3 06 36.4 36.4 16 35.6 35.6 07 36.2 36.2 17 37.2 37.0 08 36.3 36.4 18 36.8 36.8 09 36.5 36.5 19 36.6 36.6 10 36.3 36.4 20 36.7 36.7 （）试估计用智能体温计测量该社区 1 人“
9、测温准确”的概率； （）从该社区中任意抽查 3 人用智能体温计测量体温，设随机变量 X 为使用智能体温计“测温准确”的 人数，求 X 的分布列与数学期望； （）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3 C 且不高于38 C 时处于“低热”状态该社区某一天用 智能体温计测温的结果显示，有 3 人的体温都是37.3 C ，能否由上表中的数据来认定这 3 个人中至少有 1 人处于“低热”状态？说明理由 19 （本小题满分 15 分） 已知函数 2 1 ( )ln(1)1 2 f xaxxax （I）当0a时，求曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程； （）若函数( )f x在1x 处取得极
10、小值，求实数 a 的取值范围 20.（本小题满分 15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 4，且离心率为 1 2 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点(1,0)F且斜率为 k 的直线l与椭圆 C 交于A B，两点，线段AB的垂直平分线交 x 轴于点 D， 判断 | | AB DF 是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由 21 （本小题满分 15 分） 已知数列 n a，从中选取第 1 i项、第 2 i项、 、第 m i项 12m iii，若 12m iii aaa，则称新 数列 12 , m iii a aa为 n a的长度为 m
11、的递增子列规定：数列 n a的任意一项都是 n a的长度为 1 的递 增子列 （）写出数列9,2,6,7,3,5,8的一个长度为 4 的递增子列； （） 设数列 114 nn aann， 剟 若数列 n a的长度为 p 的递增子列中， 任意三项均不构成等差数列， 求 p 的最大值； （） 设数列 n a为等比数列， 公比为 q， 项数为(3)N N 判定数列 n a是否存在长度为 3 的递增子列： 1,16,81？若存在，求出 N 的最小值；若不存在，说明理由 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1
12、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C B C A D A 二、二、填空题共填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 117 121 13(5,0) 14； 3 15 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 13 分） 解： （）因为PD 平面ABCD AB，平面ABCD， 所以PDAB 2 分 因为/ABCD ADCD， 所以ADAB 4 分 因为PDADD， 5 分 所以AB 平面PAD 6 分 （）因为PD 平面ABCD
13、 ADCD， 7 分 所以以 D 为原点，分别以DA DCDP，为xyz， ，轴建立空间直角坐标系Dxyz 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)DABCP， 8 分 所以(2,1, 2),( 2,1,0)PBBC 设平面PBC的法向量为( , , )nx y z， 因为 0 0 n PB n BC ， ， 即 220 20. xyz xy ， 所以 2 , 2 . zx yx 令1x ，于是(1,2,2)n 10 分 因为PD 平面ABCD， 所以平面ABC的法向量为(0,0,1)m ， 11 分 所以 2 cos,m | |3 n m n nm 1
14、2 分 由题知二面角PBCA为锐角，所以其余弦值是 2 3 13 分 17 （本小题满分 13 分） 解：选择条件： （）因为sin2sinBB， 所以sin(2cos1)0BB， 3 分 因为0B，所以sin0B 4 分 所以 1 cos 2 B 5 分 所以 3 B 6 分 （）由余弦定理 222 2cosbacacB， 7 分 得 222 7525 cos 3 aa ， 所以 2 5240aa 9 分 解得8a 或3a（舍负） 所以8a 10 分 所以ABC的面积 1 sin10 3 2 SacB 13 分 选择条件： （）因为cos2cosBB， 所以 2 2coscos10BB ，
15、3 分 解得cos1B或 1 cos 2 B 4 分 因为0B， 所以 1 cos 2 B 5 分 所以 2 3 B 6 分 （）由余弦定理 222 2cosbacacB， 7 分 得 222 2 7525 cos 3 aa ， 所以 2 5240aa， 9 分 解得3a 或8a（舍负） 所以3a 10 分 所以ABC的面积 115 sin3 24 SacB 13 分 18 （本小题满分 14 分） 解： （）表中 20 人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是 01,04 06,07,09,12,13,14,16,18,19,20，共有 12 种情况 2 分 由此估计所求
16、概率为 123 205 4 分 （）随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2,3X 5 分 由（）可知，用智能体温计测量该社区 1 人“测温准确”的概率为 3 5 所以 03 0 3 338 (0)1 55125 P XC ； 6 分 12 1 3 3336 (1)1 55125 P XC ； 7 分 21 2 3 3354 (2)1 55125 P XC ； 8 分 30 3 3 3327 (3)1 55125 P XC ； 9 分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 10 分 故 X 的数学期望 83654272259 ()0
17、123 1251251251251255 E X 11 分 （）设这 3 人中至少有 1 人处于“低热”状态为事件 N 表中 20 人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02,05,1117，共计 4 种情 况，由此估计从社区任意抽査 1 人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为 1 5 由此估计，这 3 人中至少有 1 人处于“低热”状态的概率为 111124 ()1 555125 P N 12 分 结论 1：因为 124 () 125 P N ，接近于 1，由此可以认定这 3 人中至少有 1 人处于“低热”状态 14 分 结论 2：因为 124 ()1 12
18、5 P N ，所以有可能这 3 人都不处于“低热”状态 14 分 19 （本小题满分 15 分） 解： （I）当0a时， 2 1 ( )1 2 f xxx 1 分 所以( )1fxx ， 3 分 所以(2)1kf ， 4 分 因为 2 1 (2)22 11 2 f 5 分 所以切线方程为1yx 6 分 （）函数( )f x的定义域为(0,) 因为 2 1 ( )ln(1)1 2 f xaxxax 7 分 所以 2 (1) ( )1 axaxa fxxa xx 9 分 令( )0fx ，即 2 (1)0 xaxa，解得1x 或xa 10 分 （1）当0a时，当 x 变化时，( ),( )fxf
19、x 的变化状态如下表： x (0,1) 1 (1,) ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以当1x 时，( )f x取得极小值 所以0a成立 11 分 （2）当01a时，当 x 变化时，( ),( )fxf x 的变化状态如下表： x (0, )a a ( ,1)a 1 (1,) ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 所以当1x 时，( )f x取得极小值 所以01a成立 12 分 （3）当1a 时，( ) 0fx 在(0,)上恒成立， 所以函数( )f x在(0,)上单调递增，没有板小值，不成立 13 分 （4）当1a 时，当 x 变化时，( ),( )fxf x 的变化状态
20、如下表： x (0,1) 1 (1, )a a ( ,)a ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 所以当1x 时，( )f x取得极大值 所以1a 不成立 14 分 综上所述，1a 15 分 20.（本小题满分 15 分） 解： （）依题意得 222 24, , . 1 2 a c a abc 解得 22 4,3ab 4 分 故椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy 5 分 （II） | | AB DF 是定值 6 分 由已知得直线:(1)l yk x 7 分 由 22 (1) 34120 yk x xy ， 消去 y 得 2222 4384120kxk xk 8 分 所以 2
21、2222 84 434121441440kkkk 9 分 设 1122 ,A x yB x y，则 22 1212 22 8412 , 4343 kk xxx x kk 10 分 所以 222 22 2121121 2 |14ABxxyykxxx x 2 2 22 2 2 222 4 41212 1 8 1 434343 kk k k kkk 所以 2 2 12 1 | 43 k AB k 11 分 因为 2 1212 22 86 22 4343 kk yyk xxk kk ， 所以线段AB的中点为 2 22 43 , 43 43 kk kk 12 分 （1）当0k 时，| 4,| 1ABDF
22、所以 | 4 | AB DF 13 分 （2）当0k 时，线段AB的垂直平分线方程为 2 22 314 4343 kk yx kkk ， 令0y ，得 2 2 43 k x k ，即 2 2 ,0 43 k D k 所以 2 2 22 31 |1 4343 k k DF kk 14 分 所以 2 2 2 2 12 1 | 43 4 |3 1 43 k AB k DFk k 综上所述， | | AB DF 为定值 4 15 分 21 （本小题满分 15 分） 解： （）长度为 4 的一个递增子列为：2,6,7,8（或2,3,5,8） 4 分 （）设数列 n a的长度为 P 的递增子列为 12 1
23、2 , p iiip a aaiii 因为数列 :1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 n a，各项均为正整数 所以 31 3 ii aa （若 31 2 ii aa，则 123 , iii aaa成等差数列） 6 分 同理 53 3 ii aa，且 5331 iiii aaaa， 7 分 所以 51 7 ii aa 同理 95 7 ii aa， 8 分 又因为 9551 iiii aaaa， 9 分 所以 91 15 ii aa与已知条件矛盾 所以8 p i 10 分 构造数列 n a的递增子列：1,2,4,5,10,11,13,14，其中任意三项均不构成等差数列
24、，所以 p 的最大值为 8 11 分 （）不存在理由如下： 由题意，假设数列 n a存在长度为 3 的递增子列：1,16,81， 则存在 123 1 iiiN剟，使 123 1,16,81 iii aaa 所以 21 21 ii ii aa q ，得 21 16 ii q 同理 31 31 ii ii aa q ，得 31 81 ii q 所以 312 2 212 log 81 log 3(*) log 16 ii ii 13 分 下面证明 2 log 3为无理数： 假设 2 log 3 k m 为有理数， * , kmN，且km，互质， 所以23 km 因为2k是偶数，3m是奇数， 所以23 km ，与事实矛盾，故假设不成立 所以 2 log 3为无理数 又因为 * 31 2131 21 , ii ii ii ii N为有理数， 所以(*)式不成立 所以数列 n a不存在长度为 3 的递增子列：1,16,81 15 分