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辽宁省辽阳市2021届高三上期末考试数学试卷(含答案)

1、 辽阳市辽阳市 2021 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试数学试卷数学试卷 考生注意:考生注意: 1本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容:高考全部内容 第卷第卷 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合0Ax x, 2 log1Bxx,则AB A 02xx B 02xx C 01xxD 01xx 2已知复数

2、 2 22 12 i z ii ,则 z 的共轭复数z A2i B2i C2i D2i 3已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab的一条渐近线的斜率为 4 3 ,则双曲线 C 的离心率是 A 3 2 B 5 4 C 5 3 D2 4 “养国子以道,乃教之六艺”出自周礼保氏 ,其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数,是我国周朝 时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能,而一般商贾之家,因受当时的生产力、经济 等各方面条件制约,在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养已知某商贾觉得“君子不学礼无以 立” ,而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣,商贾依据自己能力,只能为每个孩童

3、择四艺进行培养若 令商贾和两个孩童都满意,其余两艺随机选取,那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为 A 1 2 B 3 4 C 5 9 D 4 5 5 “( 1 , 4 )a”是“直线0 xya与圆 22 :(1)(2)2Cxy相交”的 A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6在三棱锥ABCD中,AB 平面 BCD,2AB ,4BC ,3CD ,5BD ,点 E 在棱 AD 上, 且2AEED,则异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 A 6 4 B 3 5 C 3 17 17 D 3 26 26 7已知函数( )f x的定义域为R,(4)f x 是偶函

4、数,(6)3f,( )f x在(,4上单调递减,则不等 式(24)3fx 的解集为 A(4,6) B(,4)(6,) C(,3)(5,) D(3,5) 8已知函数( ) x f xa(0a ,且1a )的图象在(0,1)处的切线方程为21yx,若( )f xmxx恒 成立,则 m 的取值范围为 A 1,2e1 B(,2e1 C 1,e1 D(,e1 二、选择题:本大题共二、选择题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3

5、 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9已知1x ,则 25 1 x x 的值可以为 A9 B10 C11 D12 10下列函数中是奇函数,且值域为R的有 A 3 ( )f xx B 1 ( )f xx x C( )sinf xxx D 5 ( )f xx 11已知函数 2 ( )3sin22cos1f xxx,则 A( )f x图象的一条对称轴方程为 2 3 x B( )f x图象的一个对称中心为,0 12 C将曲线2sin 6 yx 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变) ,再向下平移 2 个单位长 度,可得到( )yf x的图象 D将( )f x的图象向右平移 6 个单位

6、长度,得到的曲线关于 y 轴对称 12 设椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的左、 右焦点分别为 1 F, 2 F, 点 P 在椭圆上, 且 112 PFFF, 1 4 3 PF , 2 14 3 PF 过点( 2,1)M 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,则下列结论正确的 有 A椭圆的方程为 22 1 94 xy B椭圆的焦距为5 C椭圆上存在 4 个点 Q,使得 12 0QF QF D直线 l 的方程为89250 xy 第卷第卷 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡中的横

7、线上分把答案填在答题卡中的横线上 13已知向量( ,3)am,(1, 2)b ,且()abb,则m_ 14在 6 (2)x 的展开式中,含 4 x项的系数为_ 15函数( )sincos2f xxx的最大值是_ 16已知底面为矩形的四棱锥PABCD的每个顶点都在球 O 的球面上,PAAD,PAAB, 2PBAB,且2 2BC 若球 O 的体积为 32 3 ,则AB _,棱 PB 的中点到平面 PCD 的距离为_ (本题第一空 2 分,第二空 3 分) 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演

8、算步骤 17 (10 分) 在递增的等比数列 n a中, 3 9a , 24 30aa (1)求数列 n a的通项公式; (2)若 32 log nn ba,求数列 n b的前 n 项和 n S 18 (12 分) 在(cossin)cAAb,sincos2cBbCb,sintancos2sinBCBA这三个条件 中任选一个,补充在下面的问题中,并作答 问题: 在ABC中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 3 cos 5 B ,ABC的面积是 56, 且_, 求ABC的周长 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 19 (12 分) 为了解生猪市场与当地居民人

9、均收人水平的关系,农业农村部随机对 160 个城镇当月的猪肉价格(元/ 千克)与居民人均收人(元/月)进行了调研,得到如下表格: 猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月) (0,40 (40,50 (50,60 (0,3000 6 15 0 (3000,4000 2 27 5 (4000,5000 9 45 16 (5000,6000 0 16 19 (1)估计全国各地猪肉价格在(50,60(元/千克)内的概率; (2)估计这 160 个城镇的居民人均收入(元/月)的中位数(计算结果保留整数) ; (3)根据所给数据,完成下面的列联表,并根据列联表,判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价

10、格与当地居民人均收入水平有关 附: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ,其中nabcd 2 P Kk 0.05 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月) (0,50 (50,60 合计 (0,4000 (4000,6000 合计 20如图,已知四边形 ABCD 为菱形,对角线 AC 与 BD 相交于 O,60BAD,点 E 不在平面 ABCD 内,平面ADEF 平面BCEFEF,OF 平面 ABCD,22BCCEDEEF (1)证明:EFAD (2)求平面 ADEF 与平面 BCEF 所成锐二

11、面角的余弦值 21 (12 分) 已知函数 22 31 ( )ln 22 f xaxxax,其中0a (1) 若函数( )f x的图象在点(2,(2)f处的切线与直线340 xy垂直, 求函数( )f x的单调区间; (2)设函数( )f x的最小值为( )g a,求函数( )g a的最大值 22 (12 分) 已知 11 ,A x y, 22 ,B xy是抛物线 2 :4C yx上两个不同的点,C 的焦点为 F (1)若直线 AB 过焦点 F,且 22 12 32yy,求AB的值; (2) 已知点( 2,2)P , 记直线 PA, PB 的斜率分别为 PA k, PB k, 且1 P AP

12、B kk , 当直线 AB 过定点, 且定点在 x 轴上时,点 D 在直线 AB 上,满足0PD AB,求点 D 的轨迹方程 高三考试数学试卷参考答案高三考试数学试卷参考答案 1A 2 log1 02Bxxxx, 02ABxx 2B 2( 2)(12 )5 2222 12(12 )(12 )5 iiii zi iii ,则2zi 3C 因为 4 3 b a ,所以 C 的离心率 2 5 1 3 b e a 4B 依题意可知, “礼” “数”为必选,因此两个孩童都不选“御”的概率为 22 33 22 44 1 4 C C C C , 故两个孩童至少有一个选到“御”的概率为 13 1 44 5A

13、由 |12| 2 2 a ,得(1,5)a, 因为(1,4)(1,5),所以选 A 6D 建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz, 得(0,0,2)A,(0,0,0)B,(0,4,0)C,( 3,4,0)D , 由2AEED,得 284 2, , 333 AEAD , 所以 8 2 2, , 3 3 BEBAAE ,( 3,0,0)CD 设异面直线 CD 与 BE 所成角为, 所以 63 26 cos 26|68 34 9 BE CD BE CD 7D 因为(4)f x 是偶函数,所以函数( )f x的图象关于直线4x 对称, 则(6)(2)3ff 因为( )f x在(,4上单调递减,所以( )

14、f x在4,)上单调递增, 故(24)3fx 等价于2246x, 解得35x 8A 因为( ) x f xa,所以( )ln x fxaa, 又函数( )f x的图象在(0,1)处的切线方程为21yx, 所以 0 (0)ln2faa, 解得 2 ea ,所以 2 ( )e x f x , 因为( )f xmxx恒成立,所以 2 e x mxx恒成立 当0 x 时, 0 e0成立 当0 x 时,令 2 e ( )1 x g x x ,则 2 2 e (21) ( ) x x g x x 当 1 (,0)0, 2 x 时,( )0g x, ( )g x在(,0)和 1 0, 2 上单调递减 当 1

15、 , 2 x 时,( )0g x,( )g x单调递增, 当0 x 时, e 1 x m x 恒成立, 所以 2 min e1 12e1 2 x mg x ; 当0 x 时, 2 e 1 x m x 恒成立, 而 2 e ( )11 x g x x ,所以1m 综上,12e 1m一,所以 m 的取值范围为 1,2e1 9CD 因为1x ,所以10 x ,所以 2525 112 25111 11 xx xx , 当且仅当 25 1 1 x x ,即6x 时,等号成立,故 25 11 1 x x 10AC 由题意可得 3 ( )f xx和( )sinf xxx都是奇函数,且值域为R, 1 ( )f

16、 xx x 是奇函数,但值域为(, 22,) , 5 ( )f xx是奇函数,但值域为(,0)(0,) 11CD 2 ( )3sin22cos12sin 22 6 f xxxx , 令2 62 xk ,kZ,则 32 k x ,kZ,故 A 错误; 令2 6 xk ,kZ,则 122 k x ,kZ, 所以( )f x图象的对称中心为, 2 122 k ,kZ故 B 错误; 将曲线2sin 6 yx 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不变) , 得到曲线2sin 2 6 yx 的图象, 再向下平移 2 个单位长度得到曲线( )yf x的图象,故 C 正确; 将( )f x的图象向右平

17、移 6 个单位长度, 得到的曲线方程为2sin 222cos22 66 yxx ,其为偶函数,故 D 正确 12ACD 由椭圆的定义知 12 26aPFPF,故3a 因为 112 PFFF,所以 22 1221 2 52FFPFPFc, 故5c ,2b,可知椭圆的方程为 22 1 94 xy , 椭圆的焦距为22 5c ,故 A 对,B 错; 由 12 0QF QF知 12 90FQF, 故点 Q 在以线段 12 FF为直径的圆上, 由cb知圆与椭圆有 4 个交点,故 C 对; 依题意知点( 2,1)M 为弦 AB 的中点, 设 11 ,A x y, 22 ,B xy,则 22 11 1 94

18、 xy , 22 22 1 94 xy , 两式相减得 12121212 0 94 xxxxyyyy 因为 12 4xx , 12 2yy, 所以 12 12 2 94 xxyy ,故 12 12 8 9 AB yy k xx , 故 8 :1(2) 9 l yx ,即89250 xy,故 D 对 131 由题意可得(1,1)abm 因为()abb,所以1 20m ,解得1m 1460 6 (2)x 的展开式的通项为 66 166 C( 2)( 2) C rrrrrr r Txx 令64r,解得2r , 则 2244 36 ( 2)60TC xx 15 9 8 2 ( )sincos22sin

19、sin1f xxxxx 设sin 1,1tx , 则 2 2 199 212 488 yttt 162, 6 3 PAAB,2PBAB,PAAB, 又PAAD,ADABA, PA 平面 ABCD 底面 ABCD 为矩形,侧棱 PC 为球 O 的直径 设球 O 的半径为 R,则 3 432 33 R ,即2R , 又 2222 82 22 ABADAPAB R ,解得2AB 过 A 作AGPD于 G,取棱 PA 的中点 F,PB 的中点 E,连接 EF 易证CD平面 APD,则CDAG,从而AG 平面 PCD 由等面积法可得 22 22 6 32 3 AG , 则 F 到平面 PCD 的距离为

20、16 23 AG , EFABCD,EFCD, 则 E 到平面 PCD 的距离等于 F 到平面 PCD 的距离, 故棱 PB 的中点到平面 PCD 的距离为 6 3 17解: (1)由题意可得 2 31 3 2411 9, 30, 1, aa q aaa qa q q 解得 1 1a ,3q 故 11 1 3 nn n aa q (2)由(1)可得 21 2 3 n n a ,则 32 log21 nn ban, 故 2 (121) 13521 2 n nn Snn 18解:若选, 因为(cossin)cAAb,所以sin(cossin)sinCAAB, 又ABC,所以sinsin()BAC,

21、 所以sincossinsinsincoscossinCACAACAC, 即sinsinsincosCAAC 因为sin0A,所以sincosCC,即tan1C , 因为0C,所以 4 C 因为 3 cos 5 B ,所以 4 sin 5 B , 所以 42327 2 sinsin() 525210 ABC, 所以: :sin:sin:sin7:4 2:5a b cABC, 不妨设7at,4 2bt,5ct, 则ABC的面积为 12 74 256 22 tt,解得2t , 从而14a ,8 2b ,10c 故ABC的周长为148 210248 2abc 若选, 因为sincos2cBbCb,

22、所以sinsinsincos2sinCBBCB, 因为0B,所以sin0B ,所以sincos2CC, 所以2sin2 4 C ,即sin1 4 C 因为0C,所以 5 444 C ,所以 4 C 以下步骤同 若选, 因为sintancos2sinBCBA, 所以sincossincos2sincosBCCBAC, 所以sin()2sincosBCAC 因为ABC,所以BCA, 所以sin()sin2sincosBCAAC 因为0A,所以sin0A,所以 2 cos 2 C 因为0C,所以 4 C 以下步骤同 19解: (1)因为这 160 个城镇的猪肉价格在(50,60(元/千克)内的频率为

23、 516191 1604 , 所以据此得全国各地猪肉价格在(50,60(元/千克)内的概率约为 1 4 (2)因为居民人均收入(元/月)在(0,4000的频率为 6152275111 160322 , 居民人均收入(元/月)在(0,5000的频率为 5594516251 160322 , 所以居民人均收入(元/月)的中位数在(4000,5000之间 因为 111 30500 232 400010004357 2511 7 3232 , 所以中位数约为 4357 (3)列联表如下 猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月) (0,50 (50,60 合计 (0,4000 50 5 55 (4000

24、,6000 70 35 105 合计 120 40 160 因为 2 2 160(503570 5)1120 11.3137.879 55 105 1204099 K , 所以有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关 20 (1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形,所以ADBC, 因为AD平面 BCEF,BC 平面 BCEF, 所以AD平面 BCEF 因为ADEF 平面BCEFEF,AD 平面 ADEF, 所以EFAD (2)解:因为四边形 ABCD 为菱形,所以ACBD 因为OF 平面 ABCD,所以以 O 为坐标原点, 直线 OA,OB,OF 分别为 x,y,z 轴建

25、立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 取 CD 的中点 M,连接 EM,OM, 因为60BAD,2BC , 所以3OAOC,1OBOD 因为2BCCDCEDE, 所以CDE为正三角形,3EM 因为OMBC, 1 2 OMBC,EFBC, 1 2 EFBC, 所以EFOM,EFOM,所以OFEM,OFEM 从而( 3,0,0)A,(0,1,0)B,(3,0,0)C ,(0, 1,0)D, 31 , 3 22 E , (3, 1,0)AD , 31 ,3 22 ED ,(3, 1,0)BC , 3 1 ,3 22 EC 设平面 ADEF 一个法向量为( , , )mx y z, 所以 0, 0,

26、m AD m ED 所以 30, 31 30, 22 xy xyz 令1x ,所以3y ,1z ,(1,3,1)m 设平面 BCEF 一个法向量为( , , )na b c, 所以 0, 0, n BC n EC 所以 30, 31 30, 22 ab abc 令1a ,所以3b ,1c ,(1,3, 1)n , 所以 3 cos, 5 m n m n m n 因此平面 ADEF 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 3 5 21解: (1)依题意得( )f x的定义域为(0,), 且 2 3(2)(2 ) ( ) 22 axaxa fxax xx 因为( )f x的图象在点(2,(2)f

27、处的切线与直线340 xy垂直, 所以 2 3 (2)32 22 a fa , 即 2 3100aa,解得5a 或2a , 又因为0a ,所以5a , 此时 (25)(10) ( ) 2 xx fx x , 令( )0fx,得 5 2 x ;令( )0fx,得 5 0 2 x 所以函数( )f x的单调递增区间为 5 , 2 ,单调递减区间为 5 0, 2 (2)由(1)知 (2)(2 ) ( ) 2 xaxa fx x , 令( )0fx,得 2 a x ;令( )0fx,得0 2 a x 所以( )f x在0, 2 a 上单调递减,在, 2 a 上单调递增, 所以 22 min 7 ( )

28、ln 282 aa f xfaa , 所以 22 7 ( )ln 82 a g aaa, 又 3 ( )2ln 42 a g aa ,令( )0g a,得 3 8 2ea 所以( )g a在 3 8 0,2e 上单调递增,在 3 8 2e , 上单调递减, 所以当 3 8 2ea 时, 33 84 max ( )2e2eg ag 22解: (1)由抛物线的定义可知(1,0)F,准线方程为1x 因为 2 1 1 11 4 y AFx , 2 2 2 11 4 y BFx , 所以 22 12 210 4 yy ABAFBF (也可以先求直线 AB 的斜率,再求出ABAFBF的值) (2)依题意可

29、设直线:AB xtym, 2 2 4 , 440, , yx ytym xtym 则 2 16160tm , 12 4yyt, 12 4y ym 因为 1212 1212 2222 1 2222 PAPB yyyy kk xxtymtym , 所以 121212 22 1212 2(2)24(2) 1 (2)(2) ty ymyyt yym t y yt myym 由化简整理可得 2 8440tmm, 则有(24 )(2)0mt m,即2m或42mt 当42mt时, 22 16643216(2)960ttt , 解得26t 或26t , 此时:42AB xtyt过定点( 2, 4),不符合题意; 当2m时, 2 16320t 对于t R恒成立, 所以2m,直线:2AB xty过定点(2,0)E 因为0PD AB,所以PDAB,且 A,B,D,E 四点共线, 所以PDDE,点 D 的轨迹是以 PE 为直径的圆 设( , )D x y,PE 的中点坐标为(0,1),2 5PE , 则 D 点的轨迹方程为 22 (1)5xy 验证,当 D 的坐标为( 2,0)时, 因为PDAB,AB 的方程为0y ,不符合题意, 所以点 D 的轨迹方程为 22 (1)5xy(除掉点( 2,0)