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2019-2020学年湖北省武汉市汉阳区七年级上期末数学试卷(含答案详解)

1、2019-2020 学年湖北省武汉市汉阳区七年级(上)期末数学试卷学年湖北省武汉市汉阳区七年级(上)期末数学试卷 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1 (3 分)在实数2、1、0、1 中,最小的实数是( ) A2 B1 C0 D1 2 (3 分)若5x2ym与 xny 是同类项,则 m+n 的值为( ) A1 B2 C3 D4 3 (3 分)苹果的单价为 a 元/千克,香蕉的单价为 b 元/千克,买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需( ) A (a+b)元 B (3a+2b)元 C (2a+3b)元 D5(a+b)元 4 (3 分)已知关于 x 的方程 2

2、x+a50 的解是 x2,则 a 的值为( ) A1 B1 C9 D9 5 (3 分)如图,O 是直线 AB 上的一点,AOD120,AOC90,OE 平分BOD,则图中COE 的大小是( ) A30 B45 C60 D75 6 (3 分)下列两个生产生活中的现象: 植树时,只要定出两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线 把弯曲的公路改直,就能缩短路程 其中可用公理“两点之间,线段最短”来解释的现象有( ) A只有 B只有 C D无 7 (3 分)如图是正方体的一个平面展开图,则原正方体上与“周”相对的面上的字是( ) A七 B十 C华 D诞 8 (3 分)某校学生种植一批树苗,如果每人种

3、10 棵,则剩下 6 棵树苗未种;如果每人种 12 棵,则缺 6 棵 树苗,若设参与种树的有 x 人,则可列方程为( ) A10 x612x+6 B10 x+612x6 C10 x+612x+6 D10 x612x6 9 (3 分)某市出租车起步价是 5 元(3 公里及 3 公里以内为起步价) ,以后每公里收费是 1.6 元,不足 1 公 里按 1 公里收费, 小明乘出租车到达目的地时计价器显示为 11.4 元, 则此出租车行驶的路程可能为 ( ) A5.5 公里 B6.9 公里 C7.5 公里 D8.1 公里 10 (3 分)如图,线段 CD 在线段 AB 上,且 CD3,若线段 AB 的长

4、度是一个正整数,则图中以 A,B,C, D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是( ) A28 B29 C30 D31 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 11 (3 分)数2020 的绝对值是 12 (3 分)计算 3a(b3a)的结果是 13 (3 分)如图,某海域有三个小岛 A,B,O,在小岛 O 处观测到小岛 A 在它北偏东 60的方向上,观 测到小岛 B 在它南偏东 40的方向上,则AOB 的度数大小是 14 (3 分)若一个角的补角比它的余角的 4 倍少 15,则这个角的度数为 15 (3 分)在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全

5、中,有一首数学名诗叫“宝塔装灯” 内容 为“远望巍魈塔七层,红灯点点倍加增:共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?” ,大致意思是有一座七层 高塔,从底层开始,每层安装的灯的数目都是上一层的 2 倍,请你算出塔的顶层有 盏灯 16 (3 分) 将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上, 每个长方形卡片长为 2, 宽为 1, 依此类推, 摆放 2019 个时,实线部分长为 三、解答题(共三、解答题(共 8 题,共题,共 72 分)分) 17 (8 分)计算: (1)12(18)+(7)+(15) ; (2) (1)72+(3)29 18 (8 分)解方程: (1)5(x5)+2x4; (2) 19

6、 (8 分)先化简再求值:5x22xy3(xy5)+6x2其中 x2,y 20 (8 分)下面表格是某次篮球联赛部分球队不完整的积分表: 队名 比赛场数 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 m n 22 卫星 14 4 10 a 钢铁 14 0 14 14 请根据表格提供的信息: (1)求出 a 的值; (2)请直接写出 m ,n 21 (8 分)如图 1 是边长为 20cm 的正方形薄铁片,小明将其四角各剪去一个相同的小正方形(图中阴影 部分) 后, 发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子, 图 2 为盒子的示意图 (铁片的厚度忽略不计) (

7、1)设剪去的小正方形的边长为 x(cm) ,折成的长方体盒子的容积为 V(cm3) ,用只含字母 x 的式子 表示这个盒子的高为 cm,底面积为 cm2,盒子的容积 V 为 cm3; (2)为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长 x 之间的关系,小明列表分析: x(cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 V(cm3) 324 588 576 500 252 128 请将表中数据补充完整,并根据表格中的数据写出当 x 的值逐渐增大时,V 的值如何变化? 22 (10 分)如图所示,把一根细线绳对折成两条重合的线段 AB,点 P 在线段 AB 上,且 AP:BP2:3 (1)若细线绳的长度是 10

8、0cm,求图中线段 AP 的长; (2)从点 P 处把细线绳剪断后展开,细线绳变成三段,若三段中最长的一段为 60cm,求原来细线绳的 长 23 (10 分)某超市对 A,B 两种商品开展春节促销活动,活动方案有如下两种: 商品 A B 标价(单元:元) 120 150 方案一 每件商品出售价格 按标价打 7 折 按标价打 a 折 方案二 若所购商品超过 10 件(不同商品可累计)时,每件商品均按标价打 8 折后出售 (同一种商品不可同时参与两种活动) (1)某单位购买 A 商品 5 件,B 商品 4 件,共花费 960 元,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,若某单位购买 A 商品 x

9、件(x 为正整数) ,购买 B 商品的件数比 A 商品件数的 2 倍还多一件,请问该单位该如何选择才能获得最大优惠?请说明理由 24 (12 分) 【理解新知】 如图,已知AOB,在AOB 内部画射线 OC,得三个角,分别为AOC、BOC、AOB若这三 个角中有一个角是另外一个角的 2 倍,则称射线 OC 为AOB 的“2 倍角线” (1)角的平分线 这个角的“2 倍角线” ; (填“是”或“不是” ) (2)若AOB90,射线 OC 为AOB 的”2 倍角线” ,则AOC 【解决问题】 如图,已知AOB60,射线 OP 从 OA 出发,以每秒 20的速度绕 O 点逆时针旋转;射线 OQ 从

10、OB 出发,以每秒 10的速度绕 O 点顺时针旋转,射线 OP、OQ 同时出发,当一条射线回到出发位置的 时候,整个运动随停止,设运动的时间为 t(s) (3)当射线 OP、OQ 旋转到同一条直线上时,求 t 的值; (4)若 OA、OP、OQ 三条射线中,一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2 倍角线” ,直接写出 所有可能的值 (本题中所研究的角都是小于等于 180的角 ) 2019-2020 学年湖北省武汉市汉阳区七年级(上)期末数学试卷学年湖北省武汉市汉阳区七年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30

11、分)分) 1 (3 分)在实数2、1、0、1 中,最小的实数是( ) A2 B1 C0 D1 【分析】正实数都大于 0,负实数都小于 0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,由 此可得出答案 【解答】解:2、1、0、1 中,最小的实数是2 故选:A 【点评】本题考查了实数的大小比较,属于基础题,掌握实数的大小比较法则是关键 2 (3 分)若5x2ym与 xny 是同类项,则 m+n 的值为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】根据同类项的定义(所含字母相同,相同字母的指数相同)列出方程等式,求出 n,m 的值, 再相加即可 【解答】解:5x2ym和 xny 是同类项, n2,m

12、1,m+n2+13, 故选:C 【点评】本题考查同类项的知识,注意掌握同类项定义中的两个“相同” :同类项定义中的两个“相同” : (1)所含字母相同; (2)相同字母的指数相同,是易混点,因此成了中考的常考点 3 (3 分)苹果的单价为 a 元/千克,香蕉的单价为 b 元/千克,买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需( ) A (a+b)元 B (3a+2b)元 C (2a+3b)元 D5(a+b)元 【分析】根据题意列出代数式即可 【解答】解:根据题意得:买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需(2a+3b)元, 故选:C 【点评】此题考查了列代数式,弄清题意是解本题的关键 4 (3 分)已知关

13、于 x 的方程 2x+a50 的解是 x2,则 a 的值为( ) A1 B1 C9 D9 【分析】把 x2 代入方程计算即可求出 a 的值 【解答】解:把 x2 代入方程得:4+a50, 解得:a1, 故选:A 【点评】此题考查了一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值 5 (3 分)如图,O 是直线 AB 上的一点,AOD120,AOC90,OE 平分BOD,则图中COE 的大小是( ) A30 B45 C60 D75 【分析】 根据补角的定义可得BOD180AOD60, 再根据角平分线的定义可得BOE30, 由AOC90可得COE90BOE60 【解答】解:BOD18

14、0AOD60, OE 平分BOD, BOE30, COE90BOE60 故选:C 【点评】本题考查了角的加减、角平分线、平角的定义,结合图形正确理清相关角的关系是解答本题的 关键 6 (3 分)下列两个生产生活中的现象: 植树时,只要定出两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线 把弯曲的公路改直,就能缩短路程 其中可用公理“两点之间,线段最短”来解释的现象有( ) A只有 B只有 C D无 【分析】由题意,认真分析题干,运用线段的性质直接做出判断即可 【解答】解:现象可以用两点可以确定一条直线来解释; 现象可以用两点之间,线段最短来解释 故选:B 【点评】本题主要考查两点之间线段最短和两点确定

15、一条直线的性质,应注意理解区分 7 (3 分)如图是正方体的一个平面展开图,则原正方体上与“周”相对的面上的字是( ) A七 B十 C华 D诞 【分析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答 【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形, “十”与“年”是相对面, “七”与“诞”是相对面, “周”与“华”是相对面 故原正方体上与“周”相对的面上的字是华 故选:C 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及 解答问题 8 (3 分)某校学生种植一批树苗,如果每人种 10 棵,则剩下 6 棵树苗未种;如

16、果每人种 12 棵,则缺 6 棵 树苗,若设参与种树的有 x 人,则可列方程为( ) A10 x612x+6 B10 x+612x6 C10 x+612x+6 D10 x612x6 【分析】直接表示出总的树苗数量即可得出等式求出答案 【解答】解:设参与种树的有 x 人, 则可列方程为:10 x+612x6 故选:B 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确表示数树苗数量是解题关键 9 (3 分)某市出租车起步价是 5 元(3 公里及 3 公里以内为起步价) ,以后每公里收费是 1.6 元,不足 1 公 里按 1 公里收费, 小明乘出租车到达目的地时计价器显示为 11.4 元,

17、则此出租车行驶的路程可能为 ( ) A5.5 公里 B6.9 公里 C7.5 公里 D8.1 公里 【分析】设人坐车可行驶的路程最远是 xkm,根据起步价 5 元,到达目的地后共支付车费 11 元得出等式 求出即可 【解答】解:设人坐车可行驶的路程最远是 xkm,根据题意得: 5+1.6(x3)11.4, 解得:x7 观察选项,只有 B 选项符合题意 故选:B 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用,根据总费用得出等式是解题关键 10 (3 分)如图,线段 CD 在线段 AB 上,且 CD3,若线段 AB 的长度是一个正整数,则图中以 A,B,C, D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之

18、和可能是( ) A28 B29 C30 D31 【分析】写出所有线段之和为 AC+AD+AB+CD+CB+BDAC+AC+3+AC+3+BD+3+3+BD+BD12+3(AB CD)3(AB+1) ,从而确定这个结果是 3 的倍数,即可求解 【解答】解:所有线段之和AC+AD+AB+CD+CB+BD, CD3, 所有线段之和AC+AC+3+AC+3+BD+3+3+BD+BD12+3(AC+BD)12+3(ABCD)12+3(AB 3)3AB+33(AB+1) , AB 是正整数, 所有线段之和是 3 的倍数, 故选:C 【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法,以及线段的中点的特征和应用,要熟

19、练掌握 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 11 (3 分)数2020 的绝对值是 2020 【分析】当 a 是负有理数时,a 的绝对值是它的相反数a,据此求解即可 【解答】解:数2020 的绝对值是 2020 故答案为:2020 【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:当 a 是正有 理数时,a 的绝对值是它本身 a;当 a 是负有理数时,a 的绝对值是它的相反数a;当 a 是零时, a 的绝对值是零 12 (3 分)计算 3a(b3a)的结果是 6ab 【分析】先去括号,然后合并同类项 【解答】解:3a(b3a) 3

20、ab+3a 6ab 故答案为:6ab 【点评】考查了整式的加减,整式的加减步骤及注意问题:1整式的加减的实质就是去括号、合并同类 项一般步骤是:先去括号,然后合并同类项2去括号时,要注意两个方面:一是括号外的数字因数 要乘括号内的每一项;二是当括号外是“”时,去括号后括号内的各项都要改变符号 13 (3 分)如图,某海域有三个小岛 A,B,O,在小岛 O 处观测到小岛 A 在它北偏东 60的方向上,观 测到小岛 B 在它南偏东 40的方向上,则AOB 的度数大小是 80 【分析】根据方位角的意义,互为余角的意义求出AOE、BOE 即可 【解答】解:由题意得,AOC60,BOD40, AOE90

21、AOC906030, BOE90BOD904050, AOBAOE+BOE30+5080, 故答案为:80 【点评】考查方位角、互为余角的意义,理解方位角和互余的意义是正确解答的关键 14 (3 分)若一个角的补角比它的余角的 4 倍少 15,则这个角的度数为 55 【分析】根据补角和余角的定义,利用这个角的补角的度数它的余角的度数415 作为相等关系列 方程,解方程即可 【解答】解:设这个角为 x,则它的补角为(180 x) ,余角为(90 x) ,由题意得: 180 x4(90 x)15, 解得 x55 即这个角为 55 故答案为 55 【点评】本题主要考查了余角、补角的定义以及一元一次方

22、程的应用解题的关键是能准确地从题中找 出各个量之间的数量关系,列出方程,从而计算出结果互为余角的两角的和为 90,互为补角的两角 的和为 180 15 (3 分)在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中,有一首数学名诗叫“宝塔装灯” 内容 为“远望巍魈塔七层,红灯点点倍加增:共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?” ,大致意思是有一座七层 高塔,从底层开始,每层安装的灯的数目都是上一层的 2 倍,请你算出塔的顶层有 3 盏灯 【分析】根据题意,设顶层的红灯有 x 盏,则第二层有 2x 盏,依次第三层有 4x 盏,第四层有 8x 盏,第 五层有 16x 盏,第六层有 32x 盏,第七层有 64x

23、盏,总共 381 盏,列出等式,解方程,即可得解 【解答】解:设顶层的红灯有 x 盏,由题意得: x+2x+4x+8x+16x+32x+64x381, 127x381, x3; 答:塔的顶层是 3 盏灯 故答案为:3 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程 16 (3 分) 将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上, 每个长方形卡片长为 2, 宽为 1, 依此类推, 摆放 2019 个时,实线部分长为 5048 【分析】根据图形,可以写出前几个图形中实线部分的长,从而可以发现实线长度的变化规律,进而可 以得到摆放 2019 个时,实线部分的

24、长 【解答】解:由图可知, 摆放第一个时实线部分长为:3, 摆放第二个时实线部分长为:3+25, 摆放第三个时实线部分长为:5+38, 摆放第四个时实线部分长为:8+210, , 即第偶数个长方形实现部分在前一个的基础上加 2,第奇数个长方形实现部分在前一个的基础上加 3, 201921009+1, 摆放 2019 个时,实线部分长相当于在第一个的基础上加了 1009 个 2,加 1009 个 3, 摆放 2019 个时,实线部分长为:3+10092+100935048, 故答案为:5048 【点评】本题考查图形的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现实线长度的变化规律,利用数形结 合的思想解

25、答 三、解答题(共三、解答题(共 8 题,共题,共 72 分)分) 17 (8 分)计算: (1)12(18)+(7)+(15) ; (2) (1)72+(3)29 【分析】 (1)根据有理数的加减法可以解答本题; (2)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加法可以解答本题 【解答】解: (1)12(18)+(7)+(15) 12+18+(7)+(15) 8; (2) (1)72+(3)29 (1)2+99 2+1 1 【点评】本题考查有理数的混合运算,解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法 18 (8 分)解方程: (1)5(x5)+2x4; (2) 【分析】 (1)方程去括号,移项合并

26、,把 x 系数化为 1,即可求出解; (2)方程去分母,去括号,移项合并,把 x 系数化为 1,即可求出解 【解答】解: (1)去括号得:5x25+2x4, 移项合并得:7x21, 解得:x3; (2)去分母得:6x+442x1, 移项合并得:4x1, 解得:x 【点评】此题考查了解一元一次方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键 19 (8 分)先化简再求值:5x22xy3(xy5)+6x2其中 x2,y 【分析】根据去括号、合并同类项法则把原式化简,代入计算得到答案 【解答】解:5x22xy3(xy5)+6x2 5x22xy+3(xy5)6x2 5x22xy+xy156x2 x2xy15, 当

27、 x2,y时,原式(2)2(2)1518 【点评】本题考查的是整式的化简求值,掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键 20 (8 分)下面表格是某次篮球联赛部分球队不完整的积分表: 队名 比赛场数 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 m n 22 卫星 14 4 10 a 钢铁 14 0 14 14 请根据表格提供的信息: (1)求出 a 的值; (2)请直接写出 m 8 ,n 6 【分析】 (1)根据表格中钢铁队的积分,可以得到负一场积几分,再根据前进队的积分,可以得到胜一 场积几分,然后即可计算出 a 的值; (2)根据(1)中得到胜场积分和

28、负场积分,可以得到相应的二元一次方程,再根据 m+n14,可以转 化为一元一次方程,从而可以得到 m 和 n 的值 【解答】解: (1)由钢铁队可知,负一场积 14141(分) , 由前进队可知,胜一场积(2441)102(分) , 则 a42+10118, 即 a 的值是 18; (2)2m+n22, 则 n222m, 又m+n14, n14m, 222m14m, 解得,m8, n6, 故答案为:8,6 【点评】本题考查二元一次方程的应用、一元一次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,找出等量 关系,列出相应的方程 21 (8 分)如图 1 是边长为 20cm 的正方形薄铁片,小明将其四角各

29、剪去一个相同的小正方形(图中阴影 部分) 后, 发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子, 图 2 为盒子的示意图 (铁片的厚度忽略不计) (1)设剪去的小正方形的边长为 x(cm) ,折成的长方体盒子的容积为 V(cm3) ,用只含字母 x 的式子 表示这个盒子的高为 x cm,底面积为 (202x)2 cm2,盒子的容积 V 为 x(202x)2 cm3; (2)为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长 x 之间的关系,小明列表分析: x(cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 V(cm3) 324 512 588 576 500 384 252 128 请将表中数据补充完整,并根据表格中的

30、数据写出当 x 的值逐渐增大时,V 的值如何变化? 【分析】 (1)根据正方体底面积、体积,即可解答; (2)代入体积公式,即可解答 【解答】解: (1)设剪去的小正方形的边长为 x(cm) ,折成的长方体盒子的容积为 V(cm3) ,用只含字 母 x 的式子表示这个盒子的高为 xcm,底面积为(202x)2cm2,盒子的容积 V 为 x(202x)2cm3; 故答案为:x, (202x)2,x(202x)2 (2)当 x2 时,V2(2022)2512, 当 x6 时,V6(2026)2384, 故答案为:512,384, 当 x 的值逐渐增大时,V 的值先增大后减小 【点评】本题考查了列代

31、数式,解决本题的关键是读懂题意 22 (10 分)如图所示,把一根细线绳对折成两条重合的线段 AB,点 P 在线段 AB 上,且 AP:BP2:3 (1)若细线绳的长度是 100cm,求图中线段 AP 的长; (2)从点 P 处把细线绳剪断后展开,细线绳变成三段,若三段中最长的一段为 60cm,求原来细线绳的 长 【分析】 (1)根据线段的倍分关系即可得到结论; (2)利用 AP:BP2:3 可设 AP2x,BP3x,讨论:若一根绳子沿 B 点对折成线段 AB,则剪断后的 三段绳子中分别为 2x,2x,6x,接着利用 6x60 计算出 x,然后计算 10 x 得到绳子的原长;若一根绳子 沿 A

32、 点对折成线段 AB,则剪断后的三段绳子中分别为 4x,3x,3x,接着利用 4x60 求出 x,然后计算 10 x 得到绳子的原长 【解答】解: (1)AB10050,AP:BP2:3, AP20; (2)AP:BP2:3, 设 AP2x,BP3x, 若一根绳子沿 B 点对折成线段 AB,则剪断后的三段绳子中分别为 2x,2x,6x, 6x60,解得 x10, 绳子的原长2x+2x+6x10 x100(cm) ; 若一根绳子沿 A 点对折成线段 AB,则剪断后的三段绳子中分别为 4x,3x,3x, 4x60,解得 x15, 绳子的原长4x+3x+3x10 x150(cm) ; 综上所述,绳子

33、的原长为 100cm 或 150cm 故答案为 100cm 或 150cm 【点评】本题考查了两点间的距离:连接两点间的线段的长度叫两点间的距离平面上任意两点间都有 一定距离,它指的是连接这两点的线段的长度也考查了分类讨论思想的应用 23 (10 分)某超市对 A,B 两种商品开展春节促销活动,活动方案有如下两种: 商品 A B 标价(单元:元) 120 150 方案一 每件商品出售价格 按标价打 7 折 按标价打 a 折 方案二 若所购商品超过 10 件(不同商品可累计)时,每件商品均按标价打 8 折后出售 (同一种商品不可同时参与两种活动) (1)某单位购买 A 商品 5 件,B 商品 4

34、 件,共花费 960 元,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,若某单位购买 A 商品 x 件(x 为正整数) ,购买 B 商品的件数比 A 商品件数的 2 倍还多一件,请问该单位该如何选择才能获得最大优惠?请说明理由 【分析】 (1)根据题意列出方程即可求出 a 的值 (2)分别计算两种方案的付款金额,然后进行比较即可求出答案 【解答】解: (1)由题意可知:51200.7+150a0.14960, 解得:a9, 答:a9 (2)购买 B 商品的件数为 2x+1, 当 x+2x+110 时, 即 x3,只能按照方案一付款, 当 x+2x+110 且 2x+110 时, 即 3x时, 按照方

35、案一付款为:0.7120 x+0.9150(2x+1)354x+135, 按照方案二付款为:0.8120 x+150(2x+1)336x+120, 354x+135336x12018x+150, 购买总数超过 10 件时选择方案二较为便宜 当 x时, 此时 2x+110, B 商品可按方案二付款,A 商品可按方案一付款,此时总费用最便宜 共需要付款 0.8150(2x+1)+0.7120 x(324x+120)元 【点评】本题考查一元一次方程,解题的关键是正确找出题中的等量关系,本题属于基础题型 24 (12 分) 【理解新知】 如图,已知AOB,在AOB 内部画射线 OC,得三个角,分别为A

36、OC、BOC、AOB若这三 个角中有一个角是另外一个角的 2 倍,则称射线 OC 为AOB 的“2 倍角线” (1)角的平分线 是 这个角的“2 倍角线” ; (填“是”或“不是” ) (2)若AOB90,射线 OC 为AOB 的”2 倍角线” ,则AOC 30或 45或 60 【解决问题】 如图,已知AOB60,射线 OP 从 OA 出发,以每秒 20的速度绕 O 点逆时针旋转;射线 OQ 从 OB 出发,以每秒 10的速度绕 O 点顺时针旋转,射线 OP、OQ 同时出发,当一条射线回到出发位置的 时候,整个运动随停止,设运动的时间为 t(s) (3)当射线 OP、OQ 旋转到同一条直线上时

37、,求 t 的值; (4)若 OA、OP、OQ 三条射线中,一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2 倍角线” ,直接写出 所有可能的值 (本题中所研究的角都是小于等于 180的角 ) 【分析】 (1)由角平分线的定义和 2 倍角线的定义可得; (2)分三种情况讨论,由“2 倍角线”的定义,列出方程可求 t 的值; (3)分三种情况讨论,列出方程可求 t 的值; (4)分六种情况讨论,由“2 倍角线”的定义,列出方程可求 t 的值 【解答】解: (1)一个角的平分线平分这个角,且这个角是所分两个角的 2 倍, 一个角的角平分线是这个角的“2 倍角线” ; 故答案为:是; (2)有三种情况:若B

38、OC2AOC 时,且AOC+BOC90, AOC30; 若AOB2AOC2BOC 时,且AOC+BOC90, AOC45; 若AOC2BOC 时,且AOC+BOC90, AOC60 故答案为:30或 45或 60; (3)由题意得,运动时间范围为:0t18,则有 60+20t+10t180,解得 t4 60+20t+10t360,解得 t10 60+20t+10t180+360,解得,t16 综上,t 的值为 4 或 10 或 16; (4)在整个过程,有如下几个临界点: 当 OP、OQ 共线时,由(3)知,t4 或 10 或 16, 当 OP 为 OA 的反向延长线时,t9, 当 OQ 为

39、OA 的反向延长线时,t12, 故一共分成 6 种情况, 当 0t4 时,如图 1, AOP20t,AOQ60+10t, 若AOQ2AOP 时,AOPAOQ,即 20t60+10t,解得 t6(舍去) ; 若AOP2AOQ,则 20t120+20t,无解; 若 2AOPAOQ,则 40t60+10t,解得 t2, 当 4t9 时,如图 2,没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内; 当 9t10 时,如图 3, QOP3606020t10t30030t,则AOQ60+10t, 若POA2AOQ 时,QOPAOQ,则 30030t60+10t,解得 t6; 若QOP2AOQ 时,则 30030t

40、120+20t,解得 t3.6(舍去) ; 若 2QOPAOQ 时,则 60060t60+10t,解得 t(舍去) ; 当 10t12 时,如图 4, 则QOP(20+10) (t10)30t300,AOP36020t, 若AOQ2AOP 时,QOPAOP,则 30t30036020t,解得 t13.2(舍去) ; 若QOP2AOP 时,则 30t30072040t,解得 t14(舍去) ; 若 2QOPAOP 时,则 60t60036020t,解得 t12; 当 12t16 时,如图 5,没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内; 当 16t18 时,如图 6, 则QOA30010t,AOP36020t, 若QOP2AOP 时,QOAAOP,则 30010t36020t,解得 t6(舍去) ; 若QOA2AOP 时,则 30010t72040t,解得 t14(舍去) ; 若 2QOAAOP 时,则 60020t36020t,无解; 综上,t2 或 12 【点评】本题考查一元一次方程的应用,角平分线的性质,找等量关系列出方程是解决问题的关键,属 于中考常考题型