1、2019-2020 学年湖北省武汉市汉阳区七年级（上）期末数学试卷学年湖北省武汉市汉阳区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）在实数2、1、0、1 中，最小的实数是（ ） A2 B1 C0 D1 2 （3 分）若5x2ym与 xny 是同类项，则 m+n 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 3 （3 分）苹果的单价为 a 元/千克，香蕉的单价为 b 元/千克，买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需（ ） A （a+b）元 B （3a+2b）元 C （2a+3b）元 D5（a+b）元 4 （3 分）已知关于 x 的方程 2
2、x+a50 的解是 x2，则 a 的值为（ ） A1 B1 C9 D9 5 （3 分）如图，O 是直线 AB 上的一点，AOD120，AOC90，OE 平分BOD，则图中COE 的大小是（ ） A30 B45 C60 D75 6 （3 分）下列两个生产生活中的现象： 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ） A只有 B只有 C D无 7 （3 分）如图是正方体的一个平面展开图，则原正方体上与“周”相对的面上的字是（ ） A七 B十 C华 D诞 8 （3 分）某校学生种植一批树苗，如果每人种
3、10 棵，则剩下 6 棵树苗未种；如果每人种 12 棵，则缺 6 棵 树苗，若设参与种树的有 x 人，则可列方程为（ ） A10 x612x+6 B10 x+612x6 C10 x+612x+6 D10 x612x6 9 （3 分）某市出租车起步价是 5 元（3 公里及 3 公里以内为起步价） ，以后每公里收费是 1.6 元，不足 1 公 里按 1 公里收费， 小明乘出租车到达目的地时计价器显示为 11.4 元， 则此出租车行驶的路程可能为 （ ） A5.5 公里 B6.9 公里 C7.5 公里 D8.1 公里 10 （3 分）如图，线段 CD 在线段 AB 上，且 CD3，若线段 AB 的长
4、度是一个正整数，则图中以 A，B，C， D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（ ） A28 B29 C30 D31 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）数2020 的绝对值是 12 （3 分）计算 3a（b3a）的结果是 13 （3 分）如图，某海域有三个小岛 A，B，O，在小岛 O 处观测到小岛 A 在它北偏东 60的方向上，观 测到小岛 B 在它南偏东 40的方向上，则AOB 的度数大小是 14 （3 分）若一个角的补角比它的余角的 4 倍少 15，则这个角的度数为 15 （3 分）在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全
5、中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯” 内容 为“远望巍魈塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？” ，大致意思是有一座七层 高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的 2 倍，请你算出塔的顶层有 盏灯 16 （3 分） 将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上， 每个长方形卡片长为 2， 宽为 1， 依此类推， 摆放 2019 个时，实线部分长为 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算： （1）12（18）+（7）+（15） ； （2） （1）72+（3）29 18 （8 分）解方程： （1）5（x5）+2x4； （2） 19
6、 （8 分）先化简再求值：5x22xy3（xy5）+6x2其中 x2，y 20 （8 分）下面表格是某次篮球联赛部分球队不完整的积分表： 队名 比赛场数 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 m n 22 卫星 14 4 10 a 钢铁 14 0 14 14 请根据表格提供的信息： （1）求出 a 的值； （2）请直接写出 m ，n 21 （8 分）如图 1 是边长为 20cm 的正方形薄铁片，小明将其四角各剪去一个相同的小正方形（图中阴影 部分） 后， 发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子， 图 2 为盒子的示意图 （铁片的厚度忽略不计） （
7、1）设剪去的小正方形的边长为 x（cm） ，折成的长方体盒子的容积为 V（cm3） ，用只含字母 x 的式子 表示这个盒子的高为 cm，底面积为 cm2，盒子的容积 V 为 cm3； （2）为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长 x 之间的关系，小明列表分析： x（cm） 1 2 3 4 5 6 7 8 V（cm3） 324 588 576 500 252 128 请将表中数据补充完整，并根据表格中的数据写出当 x 的值逐渐增大时，V 的值如何变化？ 22 （10 分）如图所示，把一根细线绳对折成两条重合的线段 AB，点 P 在线段 AB 上，且 AP：BP2：3 （1）若细线绳的长度是 10
8、0cm，求图中线段 AP 的长； （2）从点 P 处把细线绳剪断后展开，细线绳变成三段，若三段中最长的一段为 60cm，求原来细线绳的 长 23 （10 分）某超市对 A，B 两种商品开展春节促销活动，活动方案有如下两种： 商品 A B 标价（单元：元） 120 150 方案一 每件商品出售价格 按标价打 7 折 按标价打 a 折 方案二 若所购商品超过 10 件（不同商品可累计）时，每件商品均按标价打 8 折后出售 （同一种商品不可同时参与两种活动） （1）某单位购买 A 商品 5 件，B 商品 4 件，共花费 960 元，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，若某单位购买 A 商品 x
9、件（x 为正整数） ，购买 B 商品的件数比 A 商品件数的 2 倍还多一件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由 24 （12 分） 【理解新知】 如图，已知AOB，在AOB 内部画射线 OC，得三个角，分别为AOC、BOC、AOB若这三 个角中有一个角是另外一个角的 2 倍，则称射线 OC 为AOB 的“2 倍角线” （1）角的平分线 这个角的“2 倍角线” ； （填“是”或“不是” ） （2）若AOB90，射线 OC 为AOB 的”2 倍角线” ，则AOC 【解决问题】 如图，已知AOB60，射线 OP 从 OA 出发，以每秒 20的速度绕 O 点逆时针旋转；射线 OQ 从
10、OB 出发，以每秒 10的速度绕 O 点顺时针旋转，射线 OP、OQ 同时出发，当一条射线回到出发位置的 时候，整个运动随停止，设运动的时间为 t（s） （3）当射线 OP、OQ 旋转到同一条直线上时，求 t 的值； （4）若 OA、OP、OQ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2 倍角线” ，直接写出 所有可能的值 （本题中所研究的角都是小于等于 180的角 ） 2019-2020 学年湖北省武汉市汉阳区七年级（上）期末数学试卷学年湖北省武汉市汉阳区七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30
11、分）分） 1 （3 分）在实数2、1、0、1 中，最小的实数是（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，由 此可得出答案 【解答】解：2、1、0、1 中，最小的实数是2 故选：A 【点评】本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键 2 （3 分）若5x2ym与 xny 是同类项，则 m+n 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程等式，求出 n，m 的值， 再相加即可 【解答】解：5x2ym和 xny 是同类项， n2，m
12、1，m+n2+13， 故选：C 【点评】本题考查同类项的知识，注意掌握同类项定义中的两个“相同” ：同类项定义中的两个“相同” ： （1）所含字母相同； （2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点 3 （3 分）苹果的单价为 a 元/千克，香蕉的单价为 b 元/千克，买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需（ ） A （a+b）元 B （3a+2b）元 C （2a+3b）元 D5（a+b）元 【分析】根据题意列出代数式即可 【解答】解：根据题意得：买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需（2a+3b）元， 故选：C 【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键 4 （3 分）已知关
13、于 x 的方程 2x+a50 的解是 x2，则 a 的值为（ ） A1 B1 C9 D9 【分析】把 x2 代入方程计算即可求出 a 的值 【解答】解：把 x2 代入方程得：4+a50， 解得：a1， 故选：A 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值 5 （3 分）如图，O 是直线 AB 上的一点，AOD120，AOC90，OE 平分BOD，则图中COE 的大小是（ ） A30 B45 C60 D75 【分析】 根据补角的定义可得BOD180AOD60， 再根据角平分线的定义可得BOE30， 由AOC90可得COE90BOE60 【解答】解：BOD18
14、0AOD60， OE 平分BOD， BOE30， COE90BOE60 故选：C 【点评】本题考查了角的加减、角平分线、平角的定义，结合图形正确理清相关角的关系是解答本题的 关键 6 （3 分）下列两个生产生活中的现象： 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ） A只有 B只有 C D无 【分析】由题意，认真分析题干，运用线段的性质直接做出判断即可 【解答】解：现象可以用两点可以确定一条直线来解释； 现象可以用两点之间，线段最短来解释 故选：B 【点评】本题主要考查两点之间线段最短和两点确定
15、一条直线的性质，应注意理解区分 7 （3 分）如图是正方体的一个平面展开图，则原正方体上与“周”相对的面上的字是（ ） A七 B十 C华 D诞 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “十”与“年”是相对面， “七”与“诞”是相对面， “周”与“华”是相对面 故原正方体上与“周”相对的面上的字是华 故选：C 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及 解答问题 8 （3 分）某校学生种植一批树苗，如果每人种 10 棵，则剩下 6 棵树苗未种；如
16、果每人种 12 棵，则缺 6 棵 树苗，若设参与种树的有 x 人，则可列方程为（ ） A10 x612x+6 B10 x+612x6 C10 x+612x+6 D10 x612x6 【分析】直接表示出总的树苗数量即可得出等式求出答案 【解答】解：设参与种树的有 x 人， 则可列方程为：10 x+612x6 故选：B 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示数树苗数量是解题关键 9 （3 分）某市出租车起步价是 5 元（3 公里及 3 公里以内为起步价） ，以后每公里收费是 1.6 元，不足 1 公 里按 1 公里收费， 小明乘出租车到达目的地时计价器显示为 11.4 元，
17、则此出租车行驶的路程可能为 （ ） A5.5 公里 B6.9 公里 C7.5 公里 D8.1 公里 【分析】设人坐车可行驶的路程最远是 xkm，根据起步价 5 元，到达目的地后共支付车费 11 元得出等式 求出即可 【解答】解：设人坐车可行驶的路程最远是 xkm，根据题意得： 5+1.6（x3）11.4， 解得：x7 观察选项，只有 B 选项符合题意 故选：B 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据总费用得出等式是解题关键 10 （3 分）如图，线段 CD 在线段 AB 上，且 CD3，若线段 AB 的长度是一个正整数，则图中以 A，B，C， D 这四点中任意两点为端点的所有线段长度之
18、和可能是（ ） A28 B29 C30 D31 【分析】写出所有线段之和为 AC+AD+AB+CD+CB+BDAC+AC+3+AC+3+BD+3+3+BD+BD12+3（AB CD）3（AB+1） ，从而确定这个结果是 3 的倍数，即可求解 【解答】解：所有线段之和AC+AD+AB+CD+CB+BD， CD3， 所有线段之和AC+AC+3+AC+3+BD+3+3+BD+BD12+3（AC+BD）12+3（ABCD）12+3（AB 3）3AB+33（AB+1） ， AB 是正整数， 所有线段之和是 3 的倍数， 故选：C 【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟
19、练掌握 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）数2020 的绝对值是 2020 【分析】当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数a，据此求解即可 【解答】解：数2020 的绝对值是 2020 故答案为：2020 【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当 a 是正有 理数时，a 的绝对值是它本身 a；当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数a；当 a 是零时， a 的绝对值是零 12 （3 分）计算 3a（b3a）的结果是 6ab 【分析】先去括号，然后合并同类项 【解答】解：3a（b3a） 3
20、ab+3a 6ab 故答案为：6ab 【点评】考查了整式的加减，整式的加减步骤及注意问题：1整式的加减的实质就是去括号、合并同类 项一般步骤是：先去括号，然后合并同类项2去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数 要乘括号内的每一项；二是当括号外是“”时，去括号后括号内的各项都要改变符号 13 （3 分）如图，某海域有三个小岛 A，B，O，在小岛 O 处观测到小岛 A 在它北偏东 60的方向上，观 测到小岛 B 在它南偏东 40的方向上，则AOB 的度数大小是 80 【分析】根据方位角的意义，互为余角的意义求出AOE、BOE 即可 【解答】解：由题意得，AOC60，BOD40， AOE90
21、AOC906030， BOE90BOD904050， AOBAOE+BOE30+5080， 故答案为：80 【点评】考查方位角、互为余角的意义，理解方位角和互余的意义是正确解答的关键 14 （3 分）若一个角的补角比它的余角的 4 倍少 15，则这个角的度数为 55 【分析】根据补角和余角的定义，利用这个角的补角的度数它的余角的度数415 作为相等关系列 方程，解方程即可 【解答】解：设这个角为 x，则它的补角为（180 x） ，余角为（90 x） ，由题意得： 180 x4（90 x）15， 解得 x55 即这个角为 55 故答案为 55 【点评】本题主要考查了余角、补角的定义以及一元一次方
22、程的应用解题的关键是能准确地从题中找 出各个量之间的数量关系，列出方程，从而计算出结果互为余角的两角的和为 90，互为补角的两角 的和为 180 15 （3 分）在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯” 内容 为“远望巍魈塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？” ，大致意思是有一座七层 高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的 2 倍，请你算出塔的顶层有 3 盏灯 【分析】根据题意，设顶层的红灯有 x 盏，则第二层有 2x 盏，依次第三层有 4x 盏，第四层有 8x 盏，第 五层有 16x 盏，第六层有 32x 盏，第七层有 64x
23、盏，总共 381 盏，列出等式，解方程，即可得解 【解答】解：设顶层的红灯有 x 盏，由题意得： x+2x+4x+8x+16x+32x+64x381， 127x381， x3； 答：塔的顶层是 3 盏灯 故答案为：3 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程 16 （3 分） 将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上， 每个长方形卡片长为 2， 宽为 1， 依此类推， 摆放 2019 个时，实线部分长为 5048 【分析】根据图形，可以写出前几个图形中实线部分的长，从而可以发现实线长度的变化规律，进而可 以得到摆放 2019 个时，实线部分的
24、长 【解答】解：由图可知， 摆放第一个时实线部分长为：3， 摆放第二个时实线部分长为：3+25， 摆放第三个时实线部分长为：5+38， 摆放第四个时实线部分长为：8+210， ， 即第偶数个长方形实现部分在前一个的基础上加 2，第奇数个长方形实现部分在前一个的基础上加 3， 201921009+1， 摆放 2019 个时，实线部分长相当于在第一个的基础上加了 1009 个 2，加 1009 个 3， 摆放 2019 个时，实线部分长为：3+10092+100935048， 故答案为：5048 【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现实线长度的变化规律，利用数形结 合的思想解
25、答 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算： （1）12（18）+（7）+（15） ； （2） （1）72+（3）29 【分析】 （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加法可以解答本题 【解答】解： （1）12（18）+（7）+（15） 12+18+（7）+（15） 8； （2） （1）72+（3）29 （1）2+99 2+1 1 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法 18 （8 分）解方程： （1）5（x5）+2x4； （2） 【分析】 （1）方程去括号，移项合并
26、，把 x 系数化为 1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解 【解答】解： （1）去括号得：5x25+2x4， 移项合并得：7x21， 解得：x3； （2）去分母得：6x+442x1， 移项合并得：4x1， 解得：x 【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19 （8 分）先化简再求值：5x22xy3（xy5）+6x2其中 x2，y 【分析】根据去括号、合并同类项法则把原式化简，代入计算得到答案 【解答】解：5x22xy3（xy5）+6x2 5x22xy+3（xy5）6x2 5x22xy+xy156x2 x2xy15， 当
27、 x2，y时，原式（2）2（2）1518 【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键 20 （8 分）下面表格是某次篮球联赛部分球队不完整的积分表： 队名 比赛场数 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 m n 22 卫星 14 4 10 a 钢铁 14 0 14 14 请根据表格提供的信息： （1）求出 a 的值； （2）请直接写出 m 8 ，n 6 【分析】 （1）根据表格中钢铁队的积分，可以得到负一场积几分，再根据前进队的积分，可以得到胜一 场积几分，然后即可计算出 a 的值； （2）根据（1）中得到胜场积分和
28、负场积分，可以得到相应的二元一次方程，再根据 m+n14，可以转 化为一元一次方程，从而可以得到 m 和 n 的值 【解答】解： （1）由钢铁队可知，负一场积 14141（分） ， 由前进队可知，胜一场积（2441）102（分） ， 则 a42+10118， 即 a 的值是 18； （2）2m+n22， 则 n222m， 又m+n14， n14m， 222m14m， 解得，m8， n6， 故答案为：8，6 【点评】本题考查二元一次方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量 关系，列出相应的方程 21 （8 分）如图 1 是边长为 20cm 的正方形薄铁片，小明将其四角各
29、剪去一个相同的小正方形（图中阴影 部分） 后， 发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子， 图 2 为盒子的示意图 （铁片的厚度忽略不计） （1）设剪去的小正方形的边长为 x（cm） ，折成的长方体盒子的容积为 V（cm3） ，用只含字母 x 的式子 表示这个盒子的高为 x cm，底面积为 （202x）2 cm2，盒子的容积 V 为 x（202x）2 cm3； （2）为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长 x 之间的关系，小明列表分析： x（cm） 1 2 3 4 5 6 7 8 V（cm3） 324 512 588 576 500 384 252 128 请将表中数据补充完整，并根据表格中的
30、数据写出当 x 的值逐渐增大时，V 的值如何变化？ 【分析】 （1）根据正方体底面积、体积，即可解答； （2）代入体积公式，即可解答 【解答】解： （1）设剪去的小正方形的边长为 x（cm） ，折成的长方体盒子的容积为 V（cm3） ，用只含字 母 x 的式子表示这个盒子的高为 xcm，底面积为（202x）2cm2，盒子的容积 V 为 x（202x）2cm3； 故答案为：x， （202x）2，x（202x）2 （2）当 x2 时，V2（2022）2512， 当 x6 时，V6（2026）2384， 故答案为：512，384， 当 x 的值逐渐增大时，V 的值先增大后减小 【点评】本题考查了列代
31、数式，解决本题的关键是读懂题意 22 （10 分）如图所示，把一根细线绳对折成两条重合的线段 AB，点 P 在线段 AB 上，且 AP：BP2：3 （1）若细线绳的长度是 100cm，求图中线段 AP 的长； （2）从点 P 处把细线绳剪断后展开，细线绳变成三段，若三段中最长的一段为 60cm，求原来细线绳的 长 【分析】 （1）根据线段的倍分关系即可得到结论； （2）利用 AP：BP2：3 可设 AP2x，BP3x，讨论：若一根绳子沿 B 点对折成线段 AB，则剪断后的 三段绳子中分别为 2x，2x，6x，接着利用 6x60 计算出 x，然后计算 10 x 得到绳子的原长；若一根绳子 沿 A
32、 点对折成线段 AB，则剪断后的三段绳子中分别为 4x，3x，3x，接着利用 4x60 求出 x，然后计算 10 x 得到绳子的原长 【解答】解： （1）AB10050，AP：BP2：3， AP20； （2）AP：BP2：3， 设 AP2x，BP3x， 若一根绳子沿 B 点对折成线段 AB，则剪断后的三段绳子中分别为 2x，2x，6x， 6x60，解得 x10， 绳子的原长2x+2x+6x10 x100（cm） ； 若一根绳子沿 A 点对折成线段 AB，则剪断后的三段绳子中分别为 4x，3x，3x， 4x60，解得 x15， 绳子的原长4x+3x+3x10 x150（cm） ； 综上所述，绳子
33、的原长为 100cm 或 150cm 故答案为 100cm 或 150cm 【点评】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离平面上任意两点间都有 一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度也考查了分类讨论思想的应用 23 （10 分）某超市对 A，B 两种商品开展春节促销活动，活动方案有如下两种： 商品 A B 标价（单元：元） 120 150 方案一 每件商品出售价格 按标价打 7 折 按标价打 a 折 方案二 若所购商品超过 10 件（不同商品可累计）时，每件商品均按标价打 8 折后出售 （同一种商品不可同时参与两种活动） （1）某单位购买 A 商品 5 件，B 商品 4
34、 件，共花费 960 元，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，若某单位购买 A 商品 x 件（x 为正整数） ，购买 B 商品的件数比 A 商品件数的 2 倍还多一件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由 【分析】 （1）根据题意列出方程即可求出 a 的值 （2）分别计算两种方案的付款金额，然后进行比较即可求出答案 【解答】解： （1）由题意可知：51200.7+150a0.14960， 解得：a9， 答：a9 （2）购买 B 商品的件数为 2x+1， 当 x+2x+110 时， 即 x3，只能按照方案一付款， 当 x+2x+110 且 2x+110 时， 即 3x时， 按照方
35、案一付款为：0.7120 x+0.9150（2x+1）354x+135， 按照方案二付款为：0.8120 x+150（2x+1）336x+120， 354x+135336x12018x+150， 购买总数超过 10 件时选择方案二较为便宜 当 x时， 此时 2x+110， B 商品可按方案二付款，A 商品可按方案一付款，此时总费用最便宜 共需要付款 0.8150（2x+1）+0.7120 x（324x+120）元 【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型 24 （12 分） 【理解新知】 如图，已知AOB，在AOB 内部画射线 OC，得三个角，分别为A
36、OC、BOC、AOB若这三 个角中有一个角是另外一个角的 2 倍，则称射线 OC 为AOB 的“2 倍角线” （1）角的平分线 是 这个角的“2 倍角线” ； （填“是”或“不是” ） （2）若AOB90，射线 OC 为AOB 的”2 倍角线” ，则AOC 30或 45或 60 【解决问题】 如图，已知AOB60，射线 OP 从 OA 出发，以每秒 20的速度绕 O 点逆时针旋转；射线 OQ 从 OB 出发，以每秒 10的速度绕 O 点顺时针旋转，射线 OP、OQ 同时出发，当一条射线回到出发位置的 时候，整个运动随停止，设运动的时间为 t（s） （3）当射线 OP、OQ 旋转到同一条直线上时
37、，求 t 的值； （4）若 OA、OP、OQ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2 倍角线” ，直接写出 所有可能的值 （本题中所研究的角都是小于等于 180的角 ） 【分析】 （1）由角平分线的定义和 2 倍角线的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“2 倍角线”的定义，列出方程可求 t 的值； （3）分三种情况讨论，列出方程可求 t 的值； （4）分六种情况讨论，由“2 倍角线”的定义，列出方程可求 t 的值 【解答】解： （1）一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的 2 倍， 一个角的角平分线是这个角的“2 倍角线” ； 故答案为：是； （2）有三种情况：若B
38、OC2AOC 时，且AOC+BOC90， AOC30； 若AOB2AOC2BOC 时，且AOC+BOC90， AOC45； 若AOC2BOC 时，且AOC+BOC90， AOC60 故答案为：30或 45或 60； （3）由题意得，运动时间范围为：0t18，则有 60+20t+10t180，解得 t4 60+20t+10t360，解得 t10 60+20t+10t180+360，解得，t16 综上，t 的值为 4 或 10 或 16； （4）在整个过程，有如下几个临界点： 当 OP、OQ 共线时，由（3）知，t4 或 10 或 16， 当 OP 为 OA 的反向延长线时，t9， 当 OQ 为
39、OA 的反向延长线时，t12， 故一共分成 6 种情况， 当 0t4 时，如图 1， AOP20t，AOQ60+10t， 若AOQ2AOP 时，AOPAOQ，即 20t60+10t，解得 t6（舍去） ； 若AOP2AOQ，则 20t120+20t，无解； 若 2AOPAOQ，则 40t60+10t，解得 t2， 当 4t9 时，如图 2，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内； 当 9t10 时，如图 3， QOP3606020t10t30030t，则AOQ60+10t， 若POA2AOQ 时，QOPAOQ，则 30030t60+10t，解得 t6； 若QOP2AOQ 时，则 30030t
40、120+20t，解得 t3.6（舍去） ； 若 2QOPAOQ 时，则 60060t60+10t，解得 t（舍去） ； 当 10t12 时，如图 4， 则QOP（20+10） （t10）30t300，AOP36020t， 若AOQ2AOP 时，QOPAOP，则 30t30036020t，解得 t13.2（舍去） ； 若QOP2AOP 时，则 30t30072040t，解得 t14（舍去） ； 若 2QOPAOP 时，则 60t60036020t，解得 t12； 当 12t16 时，如图 5，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内； 当 16t18 时，如图 6， 则QOA30010t，AOP36020t， 若QOP2AOP 时，QOAAOP，则 30010t36020t，解得 t6（舍去） ； 若QOA2AOP 时，则 30010t72040t，解得 t14（舍去） ； 若 2QOAAOP 时，则 60020t36020t，无解； 综上，t2 或 12 【点评】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属 于中考常考题型