1、2020-2021 学年吉林省长春市二道区八年级学年吉林省长春市二道区八年级上上期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题 1（3 分）下列各数中，属于无理数的是（ ） A B1.414 C D 2（3 分）下列算式中，正确的是（ ） Aa4 a42a4 Ba6a3a2 Ca2b a3b2a5b2 D（3a2b）29a4b2 3（3 分）一次数学测试后，某班 40 名学生的成绩被分为 5 组，第 14 组的频数分别为 12、10、6、4， 则第 5 组的频率是（ ） A0.1 B0.2 C0.3 D0.4 4（3 分）（mx+8）（23x）展开后不含 x 的一次项，则 m 为（ ） A3 B0 C1
2、2 D24 5（3 分）等腰三角形的周长为 20cm，一边长为 8cm，那么腰长为（ ） A8cm B10cm C6cm 或 8cm D12cm 或 8cm 6（3 分）如图所示，ABC 的顶点 A、B、C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BDAC 于点 D，则 BD 的长为（ ） A3 B2 C4 D 7（3 分）如图，在ABC 中，B80，C30若ABCADE，DAC35，则EAC 的 度数为（ ） A40 B35 C30 D25 8（3 分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC6cm，BC8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折 叠，使它落在斜边 AB 上且与 AE 重合，则
3、 CD 等于（ ） A2cm B3cm C4cm D5cm 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9（3 分）分解因式：a2bab 10（3 分）用反证法证明“若|a|2，则 a24”是真命题，第一步应先假设 11（3 分）已知 am3，an2，则 a2mn的值为 12（3 分）计算：2019202120202 13 （3 分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作 k若 k2，则该等腰三角形的顶角为 度 14（3 分）如图，在ABC 中，C90，CAB50按以下步骤作图：以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径画弧， 分别交
4、AB、 AC 于点 E、 F； 分别以点 E、 F 为圆心， 大于EF 的长为半径画弧， 两弧相交于点 G；作射线 AG 交 BC 边于点 D则ADC 的度数为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15（6 分）计算：+|1| 16（6 分）先化简，再求值：（y+2）（y5）（y3）2，其中 y3 17（6 分）图、图均是 65 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C 均在格点 上，在给定的网格中按要求画图 要求：（1）在图中画一个BCD 使它与ABC 全等 （2）在图中画一个ACE 使它与ABC 全等 18（6 分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，
5、已知 AD12m，CD9m，ADC90， AB39m，BC36m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积 19 （7 分）如图，在ABC 中，ACB90，B30，AD 平分CAB，延长 AC 至 E，使 CEAC， 连接 DE 求证：BADEAD 20（8 分）如图，在等边ABC 中，ABC 与ACB 的角平分线相交于点 O，点 E、F 分别在边 AB，BC 上，连接 EO、FO，使EOF60，连接 EF （1）求BOC 的度数 （2）求证：CFBE+EF 21（8 分）班长小李对他所在班级（八年级 2 班）全体同学的业余兴趣爱好进行了一次调查，据采集到的 数据绘制了下面的
6、统计图表，根据调查他想写一个调查报告交给学校，建议学校根据学生的个人兴趣爱 好，适当的安排一些特长培养或合理安排学生在校期间的课余活动，请你根据图中提供的信息，帮助小 李完成信息采集 （1）该班共有学生 人； （2）在图 1 中，请将条形统计图补充完整； （3）在图 2 中，在扇形统计图中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数 度； （4）求爱好“书画”的人数占该班学生数的百分数 22（9 分）【教材呈现】如图是华东师大版八年级上册数学教材第 69 页的部分内容 请根据教材内容，结合图，写出完整证明过程 【解决问题】如图，ABC 中，BAC90，AD 是边 BC 上的中线，请写出线段 AB，AC，
7、AD 之 间的数量关系，并说明理由 【结论应用】如图，在ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，点 E 是 AD 上一点，BEAC，BE 的延长线 交 AC 于点 F，若BFC120，则AEF 的度数为 23（10 分）【阅读材料】把形如 ax2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的 方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用 a20 求代数式最值等问题中都有广泛应用 例如：利用配方法将 x26x+8 变形为 a（x+m）2+n 的形式，并把二次三项式分解因式 配方：x26x+8 x26x+3232 +8 （x3）21 分解因式：x26x+8 （x3）21 （
8、x3+1）（x31） （x2）（x4） 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式 x24x5 化成 a（x+m）2+n 的形式 （2）利用配方法把二次三项式 x22x35 分解因式 （3）若 a、b、c 分别是ABC 的三边，且 a2+2b2+3c22ab2b6c+40，试判断ABC 的形状，并说 明理由 （4）求证：无论 x，y 取任何实数，代数式 x2+y2+4x6y+15 的值恒为正数 24（12 分）在ABC 中，AB10，BC12，点 D 为边 AB 的中点，动点 P 以 2 个单位的速度从点 B 出 发在射线 BC 上运动，点 Q 在边 AC 上，设点 P
9、 运动时间为 t 秒（t0） （1）用含 t 的代数式表示线段 CP 的长 （2）当 ABAC，点 P 在线段 BC 上 若BPD 和CQP 全等，则 t 的值为 连结 AP，设ACP 的面积为 S当 S12 时，求 t 的值 （3）当ACB50，CPQ 为等腰三角形时，请直接写出CPQ 的度数为 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1（3 分）下列各数中，属于无理数的是（ ） A B1.414 C D 解：属于无理数的是 故选：C 2（3 分）下列算式中，正确的是（ ） Aa4 a42a4 Ba6a3a2 Ca2b a3b2a5b2 D（3a2b
10、）29a4b2 解：A、a4 a4a4+4a8，本选项计算错误； B、a6a3a63a3，本选项计算错误； C、a2b a3b2a5b3，本选项计算错误； D、（3a2b）29a4b2，本选项计算正确； 故选：D 3（3 分）一次数学测试后，某班 40 名学生的成绩被分为 5 组，第 14 组的频数分别为 12、10、6、4， 则第 5 组的频率是（ ） A0.1 B0.2 C0.3 D0.4 解：根据题意得：40（12+10+6+4）40328， 则第 5 组的频率为 8400.2 故选：B 4（3 分）（mx+8）（23x）展开后不含 x 的一次项，则 m 为（ ） A3 B0 C12 D
11、24 解：（mx+8）（23x） 2mx3mx2+1624x 3mx2+（2m24）x+16， （mx+8）（23x）展开后不含 x 的一次项， 2m240， m12 故选：C 5（3 分）等腰三角形的周长为 20cm，一边长为 8cm，那么腰长为（ ） A8cm B10cm C6cm 或 8cm D12cm 或 8cm 解：等腰三角形的周长为 20cm， 当腰长6cm 时，底边20884cm， 当底边6cm 时，腰长6cm， 腰长为 6cm 或 8cm， 故选：C 6（3 分）如图所示，ABC 的顶点 A、B、C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BDAC 于点 D，则 BD 的长为（ ）
12、 A3 B2 C4 D 解：BC5，AC5， SABC 53ACBD， BD3， 解法二：过 A 点做 AEBC 交于点 E，则易证三角形 AEC 全等三角形 BDC，所以 BD 等于 AE3 故选：A 7（3 分）如图，在ABC 中，B80，C30若ABCADE，DAC35，则EAC 的 度数为（ ） A40 B35 C30 D25 解：B80，C30， BAC180803070， ABCADE， BACDAE， BACDACDAEDAC， EACBAD703535， 故选：B 8（3 分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC6cm，BC8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折 叠，
13、使它落在斜边 AB 上且与 AE 重合，则 CD 等于（ ） A2cm B3cm C4cm D5cm 解：在 RTABC 中，AC6，BC8， AB10， ADE 是由ACD 翻折， ACAE6，EBABAE1064， 设 CDDEx， 在 RTDEB 中，DE2+EB2DB2， x2+42（8x）2 x3， CD3 故选：B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9（3 分）分解因式：a2bab ab（a1） 解：原式ab（a1） 故答案为：ab（a1） 10（3 分）用反证法证明“若|a|2，则 a24”是真命题，第一步应先假设 a24 解：用反证法证明“若|a|
14、2，则 a24”是真命题时，第一步应先假设：a24 故答案为：a24 11（3 分）已知 am3，an2，则 a2mn的值为 4.5 解：am3， a2m329， a2mn 4.5 故答案为：4.5 12（3 分）计算：2019202120202 1 解：2019202120202 （20001）（2000+1）20202 20202120202 1 故答案为：1 13 （3 分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作 k若 k2，则该等腰三角形的顶角为 90 度 解：k2， 设顶角2，则底角， +2180， 45， 该等腰三角形的顶角为 90， 故答案
15、为：90 14（3 分）如图，在ABC 中，C90，CAB50按以下步骤作图：以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径画弧， 分别交 AB、 AC 于点 E、 F； 分别以点 E、 F 为圆心， 大于EF 的长为半径画弧， 两弧相交于点 G；作射线 AG 交 BC 边于点 D则ADC 的度数为 65 解：解法一：连接 EF 点 E、F 是以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径画弧，分别与 AB、AC 的交点， AFAE； AEF 是等腰三角形； 又分别以点 E、F 为圆心，大于EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G； AG 是线段 EF 的垂直平分线， AG 平分CAB， CAB50， CA
16、D25； 在ADC 中，C90，CAD25， ADC65（直角三角形中的两个锐角互余）； 解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG 是CAB 的平分线，CAB50， CAD25； 在ADC 中，C90，CAD25， ADC65（直角三角形中的两个锐角互余）； 故答案是：65 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15（6 分）计算：+|1| 解：+|1| 2+（2）+1 1 16（6 分）先化简，再求值：（y+2）（y5）（y3）2，其中 y3 解：原式y25y+2y10（y26y+9） y25y+2y10y2+6y9 3y19， 当 y3 时， 原式3319 919 10 17（
17、6 分）图、图均是 65 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C 均在格点 上，在给定的网格中按要求画图 要求：（1）在图中画一个BCD 使它与ABC 全等 （2）在图中画一个ACE 使它与ABC 全等 解：（1）如图，BCD 即为所求； （2）如图，ACE 即为所求 18（6 分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知 AD12m，CD9m，ADC90， AB39m，BC36m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积 解：连结 AC，如图所示： 在 RtACD 中，ADC90，AD12m，CD9m， 由勾股定理得：AC15（m）， AC2+BC
18、2152+3621521，AB23921521， AC2+BC2AB2， ACB90， 铺满草坪的面积 SSACBSADC1536129216（平方米） 19 （7 分）如图，在ABC 中，ACB90，B30，AD 平分CAB，延长 AC 至 E，使 CEAC， 连接 DE 求证：BADEAD 【解答】证明：在ABC 中，ACB90，B30， CAB60，AB2AC， AD 平分CAB，ACCE， CADDAB30，AEAB， 在BAD 和EAD 中 EADBAD（SAS） 20（8 分）如图，在等边ABC 中，ABC 与ACB 的角平分线相交于点 O，点 E、F 分别在边 AB，BC 上，连
19、接 EO、FO，使EOF60，连接 EF （1）求BOC 的度数 （2）求证：CFBE+EF 解：（1）ABC 是等边三角形， ABCACB60， ABC 与ACB 的角平分线相交于点 O， OBCOCB30， BOC180OBCOCB120； （2）以点 O 为顶点，OF 为一边，作FOG60，交 BC 于点 G， BOC120， BOF+COG60， EOF60， EOB+BOF60， COGEOB， ABOABC30， EBOOCG， 在BOE 与COG 中， ， BOECOG（ASA）， OGOE，BECG， 在OEF 与OGF 中， ， OEFOGF（SAS）， EFFG， CFFG
20、+CG， CFEF+BE 21（8 分）班长小李对他所在班级（八年级 2 班）全体同学的业余兴趣爱好进行了一次调查，据采集到的 数据绘制了下面的统计图表，根据调查他想写一个调查报告交给学校，建议学校根据学生的个人兴趣爱 好，适当的安排一些特长培养或合理安排学生在校期间的课余活动，请你根据图中提供的信息，帮助小 李完成信息采集 （1）该班共有学生 40 人； （2）在图 1 中，请将条形统计图补充完整； （3）在图 2 中，在扇形统计图中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数 108 度； （4）求爱好“书画”的人数占该班学生数的百分数 解：（1）该班共有学生 1435%40（人） 故答案为：40；
21、 （2）选择书画的人数为：40（14+12+4）10（人），补全条形统计图如图所示： （3）在图 2 中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数为， 故答案为：108； （4）爱好“书画”的人数占本班学生数的百分比是： 22（9 分）【教材呈现】如图是华东师大版八年级上册数学教材第 69 页的部分内容 请根据教材内容，结合图，写出完整证明过程 【解决问题】如图，ABC 中，BAC90，AD 是边 BC 上的中线，请写出线段 AB，AC，AD 之 间的数量关系，并说明理由 【结论应用】如图，在ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，点 E 是 AD 上一点，BEAC，BE 的延长线 交 AC 于点 F
22、，若BFC120，则AEF 的度数为 60 【解答】【教材呈现】证明：D 是边 BC 的中点， BDCD， CEAB， BDCE，BADE， ABDECD（AAS）， ADED； 【解决问题】解：AB2+AC24AD2，理由如下： 过 B 作 BEAC 交 AD 的延长线于 E，如图所示： 则CDBE，CADE， 同得：BDECDA（AAS）， EBAC，EDAD， AE2AD， ECAD，ABC90， E+BAEBAE+CADBAC90， ABE90， AB2+BE2AE2， AB2+AC24AD2 【结论应用】解：过 B 作 BGAC 交 AD 的延长线于 G，如图所示： 由得：CADG，
23、ACDGBD， ACBG， BEAC， BEBG， GBEG， BEGAEF， AEFCAD， 即AEFEAF， BFCAEF+EAF120， AEFBFC60， 故答案为：60 23（10 分）【阅读材料】把形如 ax2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的 方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用 a20 求代数式最值等问题中都有广泛应用 例如：利用配方法将 x26x+8 变形为 a（x+m）2+n 的形式，并把二次三项式分解因式 配方：x26x+8 x26x+3232 +8 （x3）21 分解因式：x26x+8 （x3）21 （x3+1）（x31） （
24、x2）（x4） 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式 x24x5 化成 a（x+m）2+n 的形式 （2）利用配方法把二次三项式 x22x35 分解因式 （3）若 a、b、c 分别是ABC 的三边，且 a2+2b2+3c22ab2b6c+40，试判断ABC 的形状，并说 明理由 （4）求证：无论 x，y 取任何实数，代数式 x2+y2+4x6y+15 的值恒为正数 解：（1）x24x5 x24x+22225 （x2）29 （2）x22x35 x22x+1135 （x1）262 （x1+6）（x6） （x+5）（x7） （3）ABC 为等边三角形，理由如下： a2+
25、2b2+3c22ab2b6c+40， （a22ab+b2）+（b22b+1）+3（c22c+1）0， （ab）2+（b1）2+3（c1）20， （ab）20，（b1）20，3（c1）20， ab0，b10，c10， ab，b1，c1， abc， ABC 为等边三角形 （4）证明：x2+y2+4x6y+15 x2+4x+4+y26y+9+2 （x+2）2+（y3）2+2， （x+2）20，（y3）20， （x+2）2+（y3）2+22， 代数式 x2+y2+4x6y+15 的值恒为正数 24（12 分）在ABC 中，AB10，BC12，点 D 为边 AB 的中点，动点 P 以 2 个单位的速度从
26、点 B 出 发在射线 BC 上运动，点 Q 在边 AC 上，设点 P 运动时间为 t 秒（t0） （1）用含 t 的代数式表示线段 CP 的长 （2）当 ABAC，点 P 在线段 BC 上 若BPD 和CQP 全等，则 t 的值为 3 或 3.5 连结 AP，设ACP 的面积为 S当 S12 时，求 t 的值 （3）当ACB50，CPQ 为等腰三角形时，请直接写出CPQ 的度数为 65或 80或 50 解：（1）设点 P 运动时间为 t 秒，BP2t， CPBCBP122t， （2）ABAC， BC， 当BPD 和CQP 全等时，BPPC，BDCQ， 可得：2t122t， 解得：t3， 当BP
27、D 和CQP 全等时，BPCQ，BDPC， 可得：5122t， 解得：t3.5， 综上所述，若BPD 和CQP 全等，则 t 的值为 3 或 3.5； 故答案为：3 或 3.5； 连结 AP， ABAC10，BC12， ABC 的边 BC 上的高， 设ACP 的面积为 S当 S12 时， 可得：12， 解得：t4.5； （3）当ACB50，CPQ 为等腰三角形时， 当 CPCQ 时，CPQ， 当 PCPQ 时，CPQ1802ACB18025080， 当 QPQC 时，CPQPCQ50， 综上所述，当ACB50，CPQ 为等腰三角形时，CPQ 的度数为 65或 80或 50， 故答案为：65或 80或 50