1、1 / 14 八年级知识点总结八年级知识点总结 第一章三角形的初步知识第一章三角形的初步知识 三角形 1、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三 角形。 注：三角形具有稳定性。 2、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180。 推论： 直角三角
2、形的两个锐角互余。 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 3、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 4、三角形的面积 三角形的面积= 2 1 底高 注：同底等高的三角形面积相等。 三角形中的主要线段 1、三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。 2、这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须 2 / 14 明确三点： （1）三角
3、形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。 （2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线 在当ABC 是锐角三角形时， 三条高都是在三角形内部， 钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上， 这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 （3） 在画三角形的三条角平分线、 中线、 高时可发现它们都交于一点。 在以后我们可以给出具体证明。 今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的 交点叫做三角形的垂心。 全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形
4、叫做全等三角形。 。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS” ） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA” ） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS” ） 。 （4） 角角边定理： 有两个角和其中一个角的对应边相等的两个三角形全等 （可简写成 “角角边” 或 “AAS” ） 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理） ：有斜边和一条直角边 对应相等
5、的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ） 3、全等变换 只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 4.线段中垂线和角平分线的性质，基本尺规作图：作角的平分线，线段的中垂线，作一个角等于已知 角，按给定条件作三角形。 第二章第二章 特殊三角形特殊三角形 特殊三角形的定义、性质及判定 3 / 14 三角形类型 定义 性质 判定 等
6、腰三角形 有两条边相等的三角形是 等腰三角形，其中相等的 两条边分别叫做腰，另一 条边叫做底边，两腰的夹 角叫顶角，腰和底边的夹 角为底角 1、 等腰三角形是对称图 形，顶角平分线所在直 线为它的对称轴 2、 等腰三角形两底角相 等，即在同一个等腰三 角形中，等边对等角 3、 等腰三角形的顶角平 分线，底边上的中线和 高线互相重合，简称等 腰三角形的三线合一 1、 （定义法）有两条边相等 的三角形是等腰三角形 2、如果一个三角形有两个 角相等，那么这个三角形是 等腰三角形，即，在同一个 三角形中，等角对等边 等边三角形 三条边都相等的三角形是 等边三角形，它是特殊的 等腰三角形，也叫正三角 形
7、 1、 等边三角形的内角都 相等，且为 60 2、 等边三角形是轴对称 图形，且有三条对称轴 3、 等边三角形每条边上 的中线，高线和所对角 的角平分线三线合一， 他们所在的直线都是 等边三角形的对称轴 1、 三条边都相等的三角形 是等边三角形 2、 三个内角都等于 60的 三角形是等边三角形 3、 有一个角是 60的等腰 三角形是等边三角形 直角三角形 有一个角是直角的三角形 是直角三角形，即“Rt” 1、 直角三角形的两锐角 互余 2、 直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半 3、 直角三角形中 30角 所对的直角边等于斜 边的一半 4、 直角三角形中两条直 角边的平方和等于斜 边的平方（
8、勾股定理） 1、 有一个角是直角的三角 形是直角三角形 2、 有两个角互余的三角形 是直角三角形 3、 如果一个三角形中两条 边的平方和等于第三条 边的平方，那么这个三 角形是直角三角形（勾 股定理逆定理） 等腰三角形等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊 的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都
9、相等，并且每一个角都等于 60。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 6. 含 30角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4 / 14 等边三角形等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是 60 ； 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称 图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴. （3）等边三角形的判
10、定 三条边都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形； 有两个角都等于 60 的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 在直角三角形中，如果一个锐角是 30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于 30 . 两个重要结论的数学解释： 已知：如图 4，在ABC 中，C90 ，则： 如果 AB2BC，那么A30 ； 如果A30 ，那么 AB2BC. 直角三角形直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形
11、中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通 常用符号“Rt”表示“直角三角形” ，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直 角边。 如果ABC 是直角三角形， 习惯于把以 C 为顶点的角当成直角。 用三角 A、 B、 C 对应的小写字母 a、 b、c 分别表示三个角的对边。 如果 ABAC 且A90，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角 三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说 理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角
12、形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5 在直角三角形中如果一个锐角是 30，则它所对的直角边等于斜边的一半” 。 难点： 1 在直角三角形中如何正确添加辅助线 通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。 5 / 14 勾股定理及逆定理 （一）勾股定理及其证明 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：在ABC 中，C=90（已知） 222 cba 证明：进行图形拼接用面积法证明. 制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股 定理. ab b b ba a a cc cc （二）勾股定理的应用： （1）已知两边（或两
13、边关系）求第三边； （2）已知一边求另两边关系； （3）证明线段的平方关系； （4）作长为n的线段. （三）勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 222 cba那么这个三角形是直角三角形. 1勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成； 2勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证 明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到. 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 1先找出最大边（如 c） ； 2计算 2 c与 22 ba，并验证是否相等. 若 222 bac，则ABC 是直角三角形.
14、若 222 bac，则ABC 不是直角三角形. 注意： （1）ABC 中，若 222 cba，则C=90；而 222 acb时，则A= 90； 222 bca时，则B=90. （2）若 222 cba，则C 为钝角，则ABC 为钝角三角形. 若 222 cba，则C 为锐角，但ABC 不一定为锐角三角形. （四）勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数） ，如 3、4、5；6、 8、10；5、12、13；8、15、17 等. 6 / 14 第三章第三章 一元一次不等式一元一次不等式 一：不等式的概念 1. 不等式： 用“”(或“”)，“”(或“”)等不等号表示大小
15、关系的式子，叫做不等式.用“”表示不 等关系的式子也是不等式. 要点诠释： (1) 不等号的类型: “”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； “”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大； “”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小； “”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数； “”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数； (2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不 等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。 (3) 要正确用不等式表示两
16、个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、 “不小于”等数学术语的含义。 2不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 要点诠释： 由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就 是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将 此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。 3不等式的解集： 一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解 不等式。如：不等式 x41 的解集是 x5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是
17、能使不等式成立的 未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括 解,所有的解组成了解集。 要点诠释： 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。 二：不等式的基本性质 基本性质 1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，那么。 基本性质 2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 7 / 14 符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。 基本性质 3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向
18、改变。 符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。 要点诠释： (1)不等式的基本性质 1 的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握； (2)要理解不等式的基本性质 1 中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多 项式； (3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“”，那么变化后仍是“”；如果原来是“”， 那么变化后仍是“”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“”，那么变化后将成为 “”；如 果原来是“”，那么变化后将成为“”； (4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质 3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这 个数是正数还是负数，如果是负数，要记
19、住不等号的方向一定要改变。 三：一元一次不等式的概念三：一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1，系数不为 0.这样的不等式，叫 做一元一次不等式。 要点诠释： (1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解： 左右两边都是整式(单项式或多项多)； 只含有一个未知数； 未知数的最高次数为 1。 (2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是 1，左右两边都是整式； 不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“”、“”、“”、“”连接)，一元一次方程 表示相等关系(用“”连接)。 四：一元一次不等式
20、的解法四：一元一次不等式的解法 1.解不等式： 求不等式解的过程叫做解不等式。 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分 母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1. 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用。 （2）解不等式应注意：去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；移项时不要忘 记变号；去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；在不等式两边都乘(或除以)同一 8 / 14 个负数时，不等号的方向要改变。 3.不等式
21、的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确 定一元一次不等式组的解集有很大帮助。 要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左。 规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结） 1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质 2、3 要倍加小心） 2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成 立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。 3、 解一元一次不等式是一个有目的
22、、 有根据、 有步骤的不等式变形， 最终目的是将原不等式变为 或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项； （5）化未知数的系数为 1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去 分母或化未知数的系数为 1 时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等 号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。 解一元一次不等式的一般步骤及注意事项解一元一次不等式的一般步骤及注意事项 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边同乘以分母的最小公倍数 （1）不含分母的项不能漏乘 （2）注意分数线有括号作用，去掉分 母后，如分子
23、是多项式，要加括号 （3） 不等式两边同乘以的数是个负数， 不等号方向改变。 去括号 根据题意， 由内而外或由外而内去括号均可 （1）运用分配律去括号时，不要漏乘 括号内的项 （2）如果括号前是“”号，去括号 时，括号内的各项要变号 移项 把含未知数的项都移到不等式的一边 （通常 是左边），不含未知数的项移到不等式的另 一边 移项（过桥）变号 合并同类项 把不等式两边的同类项分别合并， 把不等式 化为或的形式 合并同类项只是将同类项的系数相加， 字母及字母的指数不变。 系数化 1 在不等式两边同除以未知数的系数，若 且，则不等式的解集为 ；若且，则不等式的解 集为；若且，则不等式 （1）分子、
24、分母不能颠倒 （2）不等号改不改变由系数的正负 性决定。 （3）计算顺序：先算数值后定符号 9 / 14 的解集为；若且，则不 等式的解集为； 4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三 定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。 5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解 集，最后解决实际问题。 第四章第四章 图形与坐标图形与坐标 一、确定位置的方法：一、确定位置的方法： 确定物体在平面上的位置有两种常用的方法: 1、有序数对法：用一对有序实数确定物体的位置。这种确定方法要注意有序，要规定将
25、什么写在前， 什么写在后。 2、方向、距离法：用方向和距离确定物体的位置（或称方位） 。这种确定方法要注意参照物的选择， 语言表达要准确、清楚。 二、平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数 轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。 三、点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的 横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。 四、在直角坐标系中如何根据点的坐标：找出这个点，方法是由P（a、b） ， 在x轴上找到坐标为a的点A， 过A作x轴的垂线，再在y轴上找
26、到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点。 五、如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？ 根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便， 一般地没有明确的方法， 但有以下几条常用的方法： 1、以某已知点为原点，使它坐标为（0,0） ； 2、以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴） ； 3、以已知线段中点为原点； 4、以两直线交点为原点； 5、利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。 六、各象限上及 x 轴，y 轴上点的坐标的特点： 10 / 14 第一象限（+，+） ；第二象限（，+） ；第三象限（，） ；第四象限（+，） x 轴上的点纵坐标为 0，表示为（x，0） ；y 轴上的
27、点横坐标为 0，表示为（0，y） 七、图形“纵横向伸缩”的变化规律: 1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在 横向：当n1时，伸长为原来的n倍；当0n1时， 伸长为原来的n倍；当0n0）或向左(a0）或向下(b0） ，所得的图形与原图形相比，形状不变；当n1 时，对应线段大小扩大到原来的n倍；当0n0 时，直线 y=kx 经过第一、三象限（正奇） ，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大。 当 k0 时，向上平移；当 b0 时，直线 y=kx+b 从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大。 当 k0，撇 一三象限 从左到右上升 Y
28、 随 x 的增大而增大 X Y X Y K0，撇 b0， 与 y 轴交点在 x 轴上方 一二三象限 从左到右上升 Y 随 x 的增大而增大 13 / 14 5.画一次函数图像的最简单方法： （1）先选取两点，通常选出点（0，b）与点（- b k ，0） ； （2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k） ； （3）过点（0，b）与点（- b k ，0）做一条直线 这条直线就是正比例函数 y=kx（k0）的图象 6. 待定系数法确定一次函数解析式：根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐标。步 骤： 1 写出函数解析式的一般形式， 其中包括未知的系数 （需要确定这些系数， 因此叫
29、做待定系数） 2 把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）即 x、y 的值代入函数解析式中， 得到关于待定系数的方程或方程组 （有几个待定系数，就要有几个方程）3 解方程或方程组，求出待定 系数的值，从而写出所求函数的解析式 k0，撇 b0， 与 y 轴交点在 x 轴下方 一三四象限 从左到右上升 Y 随 x 的增大而增大 K0，与 y 轴交点在 x 轴上 方 一二四象限 从左到右下降 Y 随 x 的增大而减小 K0，捺 b0 或 ax+b()0 的部分，然后判断这部分线的 x 的取值范围。 六、一次函数与二元一次方程（组） 1.解二元一次方程组 358 21 xy xy 可以看作求两个一次函数 y=- 3 5 x+ 8 5 与 y=2x-1 图象的交点坐标。 2.求两条直线的交点的方法：将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的 x、y 的值即为两直线交点坐 标。