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特殊三角形(一)讲义+同步练习(学生版+教师版)

1、特殊特殊三角形三角形(一)(一)讲义讲义 例题讲解一 1、下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( ) A B C D 【变式 1】下列图形中,对称轴最少的对称图形是 ( ) 【变式 2】在直线、角、线段、等边三角形四个图形中,对称轴最多的是 ,它有 条对称轴;最少 的是 ,它有 条对称轴 2、观察图形并判断照此规律从左到右第四个图形是( ) A . B. C . D. 【变式】将一张矩形的纸对折,然后用笔尖在上面扎出“B” ,再把它铺平,你可见到( ) A B C D 3、如图,将矩形纸片 ABCD (图)按如下步骤操作: (1)以过点 A 的直线为折痕折叠纸片,使点 B 恰 好落在 AD

2、边上,折痕与 BC 边交于点 E (如图) ; (2)以过点 E 的直线为折痕折叠纸片,使点 A 落 在 BC 边上,折痕 EF 交 AD 边于点 F (如图) ; (3)将纸片收展平,那么AEF 的度数为( ) A60 B67.5 C72 D75 【变式 1】如图,ABC 中,ABBC,ABC 沿 DE 折叠后,点 A 落在 BC 边上的 A 处,若点 D 为 AB 边的中点, A70,求BD A 的度数 【变式 2】将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,得到如图所示图形. 若CED56,则AED 的大小是_. 4、如图,点 P 在AOB 内,M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点,M

3、N 分别交 AO,BO 于点 E、F, 若 PEF 的周长等于 20cm,求 MN 的长 例题讲解二 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30,则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或 150 D60或 120 【变式 1】已知等腰三角形的周长为 13,一边长为 3,求其余各边 【变式 2】等腰三角形有一个外角是 100,这个等腰三角形的底角是 【答案】50或 80 2、 我们把过三角形的一个顶点, 且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为 该三角形的“等腰线段” 例如:如右图,RtABC,取 AB 边的中点 D,线段 CD 就是ABC 的等腰线段 (1)请分别画出下列三角

4、形的等腰线段; D C A B (2)例如,在EFG 中,G=2F,若EFG 有等腰线段,请直接写出F 的度数的取值范围 【变式】直角三角形纸片 ABC 中,ACB90,ACBC,如图,将纸片沿某条直线折叠, 使点 A 落在直角边 BC 上,记落点为 D,设折痕与 AB、AC 边分别交于点 E、F, 探究:如果折叠后的CDF 与BDE 均为等腰三角形,那么纸片中的B 的度数是多少?写出你的计算过程,并 画出符合条件的折叠后的图形 3、如图,在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BEAC,延长 BE 交 AC 于 F. 求证:AFEF. 【变式】如图,已知 AD 是

5、ABC 的中线,BE 交 AC 于 E,交 AD 于 F,且 AEEF 求证:ACBF 4、 如图, ACBC, ACB90, A 的平分线 AD 交 BC 于点 D, 过点 B 作 BEAD 于点 E.求证: BEAD. 【变式】如图 1,在ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AD 上 (1)求证:BE=CE; (2)如图 2,若 BE 的延长线交 AC 于点 F,且 BFAC,垂足为 F,BAC=45,原题设其它条件 不变求证:AEFBCF 5、如图,ABC 是等边三角形,D 是 AB 边上的一点,以 CD 为边作等边三角形 CDE,使点 E、 A 在直线 DC

6、的同侧,连接 AE 求证:AEBC 1 2 例题讲解三 1、如图, ABC 中,ACB=90,CDAB 于 D,AE 平分BAC 交 CD 于 F,交 BC 于 E,试说明 CEF 是等腰三角形 2、如图,已知AOB=x(0 x180) ,OC 平分AOB,点 N 为 OB 上一个定点通过画图 可以知道:当AOB=45时,在射线 OC 上存在点 P,使ONP 成为等腰三角形,且符合条件的点 有三个,即 P1(顶点为 P2) ,P2(顶点为 0)P3(顶点为 N). 试问:当AOB分别为锐角、直角、钝角时,在射线OC上使ONP成为等腰三角形的点P是否 仍然存在三个?请分别画出简图并加以说明 【变

7、式】如图,有甲,乙两个三角形,请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形,并标出每个三角 形各角的度数 3、ABC 是等边三角形,D 是三角形外一动点,满足ADB=60 (1)如图,当 D 点在 AC 的垂直平分线上时,求证:DA+DC=DB; (2)如图,当 D 点不在 AC 的垂直平分线上时, (1)中的结论是否仍然成立?请说明理由 【变式】求证:有两条中线相等的三角形是等腰三角形 已知:BD、CE 是ABC 的两条中线(如图) ,BD=CE 求证:AB=AC 4、已知命题“等腰三角形两腰上的高相等” (1)写出逆命题; (2)逆命题是真命题还是假命题?如果是真命题,请画出“图形”,写

8、出“已知”, “求证”,再进行“证明”;如果是假命题,请举反例说明 5、课题:两个重叠的正多形,其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题 实验与论证: 设旋转角A1A0B1=(A1A0A2),3、4、5、6所表示的角如图所示 (1)用含的式子表示:3=_,4=_,5=_; (2)图 1-图 4 中,连接 A0H 时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线 A0H 垂直且被它 平分的线段?若存在,请选择其中的一个图给出证明;若不存在,请说明理由; 归纳与猜想: 设正 n 边形 A0A1A2An-1与正 n 边形 A0B1B2Bn-1重合(其中,A1与 B1重合),现将正边形 A0B1B2 B

9、n-1绕顶点 A0逆时针旋转(0 180 n ); (3)设n与上述“3、4、”的意义一样,请直接写出n的度数; (4)试猜想在正 n 边形的情形下,是否存在与直线 A0H 垂直且被它平分的线段?若存在,请将这 条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在,请说明理由 【变式】如图,已知:E 是AOB 的平分线上一点,ECOB,EDOA,C,D 是 垂足,连接 CD,与AOB 的平分线交于点 F 求证:OE 是 CD 的垂直平分线; 特殊三角形特殊三角形(一)参考答案(一)参考答案 例题讲解一 1、 (2016邵阳)下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( ) A B C D 【思路

10、点拨】【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折,看看图形的两边能否重合,若重合则是轴对称图形, 否则就不是. 【答案】【答案】D; 【解析解析】轴对称图形即能找到对称轴,使对称轴两边的图形重合. 【总结升华总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察,做到不重复、不遗漏. 举一反三:举一反三: 【变式 1】下列图形中,对称轴最少的对称图形是 ( ) 【答案】【答案】A; 提示:A 一条对称轴,B 四条对称轴,C 五条对称轴,D 三条对称轴. 【变式 2】在直线、角、线段、等边三角形四个图形中,对称轴最多的是 ,它有 条对称轴;最少 的是 ,它有 条对称轴 【答案】【答案】直线、无数、角、

11、1 【高清课堂【高清课堂389298 轴对称轴对称 例例 2 2】 2、观察图形并判断照此规律从左到右第四个图形是( ) A . B. C . D. 【思路点拨】【思路点拨】根据题意分析图形涂黑规律,求得结果,采用排除法判定正确选项 【答案】【答案】D; 【总结升华总结升华】本题考查学生根据图形,归纳、发现并运用规律的能力注意结合图形解题的思想 举一反三:举一反三: 【变式】将一张矩形的纸对折,然后用笔尖在上面扎出“B” ,再把它铺平,你可见到( ) A B C D 【答案】【答案】C. 类型二、轴对称或轴对称图形的应用类型二、轴对称或轴对称图形的应用 3、如图,将矩形纸片 ABCD (图)按

12、如下步骤操作: (1)以过点 A 的直线为折痕折叠纸片,使点 B 恰 好落在 AD 边上,折痕与 BC 边交于点 E (如图) ; (2)以过点 E 的直线为折痕折叠纸片,使点 A 落 在 BC 边上,折痕 EF 交 AD 边于点 F (如图) ; (3)将纸片收展平,那么AEF 的度数为( ) A60 B67.5 C72 D75 【答案】【答案】B; 【解析解析】AEF(18045)267.5. 【总结升华总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形,对应角相等. 举一反三:举一反三: 【变式 1】如图,ABC 中,ABBC,ABC 沿 DE 折叠后,点 A 落在 BC 边上的 A 处,若点 D

13、为 AB 边的中点, A70,求BD A 的度数 【答案】【答案】100; ABBC, AC70,B40 又ABC 沿 DE 折叠后,点 A 落在 BC 边上的 A 处,点 D 为 AB 边的中点, BDD A ,BD A B40, BD A 1804040100. 【变式 2】将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,得到如图所示图形. 若CED56,则AED 的大小是_. 【答案】【答案】62; 4、如图,点 P 在AOB 内,M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点,MN 分别交 AO,BO 于点 E、F, 若 PEF 的周长等于 20cm,求 MN 的长 【思路点拨】【思路点拨】根据轴

14、对称的性质可得 ME=PE,NF=PF,然后求出 MN= PEF 的周长 【答案与解析】【答案与解析】 解:M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点, ME=PE,NF=PF, MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF= PEF 的周长, PEF 的周长等于 20cm, MN=20cm 【总结升华总结升华】本题考查轴对称的性质,对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对 称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相等 例题讲解二 1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30,则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或 150

15、 D60或 120 【答案】D; 【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知,等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角,然而 题目没说是什么三角形,所以分类讨论,画出图形再作答 (1)顶角为锐角如图,按题意顶角的度数为 60; (2)顶角为直角,一腰上的高是另一腰,夹角为 0不符合题意; (3)顶角为钝角如图,则顶角度数为 120,故此题应选 D 【总结升华】 此题主要考查了等腰三角形的性质, 熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键, 本题易出现的错误是忽视了顶角为 120这种情况,把三角形简单的认为是锐角三角形 举一反三:举一反三: 【变式 1】已知等腰三角形的周长为 1

16、3,一边长为 3,求其余各边 【答案】 解:(1)3 为腰长时,则另一腰长也为 3,底边长13337; (2)3 为底边长时,则两个腰长的和13310,则一腰长 这样得两组:3,3,7 5,5,3 而由构成三角形的条件:两边之和大于第三边可知:337,故不能组成三角形,应舍去 等腰三角形的周长为 13,一边长为 3,其余各边长为 5,5 【变式 2】等腰三角形有一个外角是 100,这个等腰三角形的底角是 【答案】50或 80 解:若 100的外角是此等腰三角形的顶角的邻角, 则此顶角为:180100=80, 则其底角为: (18080)2=50; 若 100的外角是此等腰三角形的底角的邻角,

17、则此底角为:180100=80; 故这个等腰三角形的底角为:50或 80 故答案为:50或 80 类型二、等腰三角形的操作题类型二、等腰三角形的操作题 2、 (2016顺义一模)我们把过三角形的一个顶点,且能将这个三角形分割成两个等腰 三角形的线段称为该三角形的“等腰线段” 例如:如右图,RtABC,取 AB 边的中点 D,线段 CD 就是ABC 的等腰线段 (3)请分别画出下列三角形的等腰线段; (4)例如,在EFG 中,G=2F,若EFG 有等腰线段,请直接写出F 的度数的取值范围 【思路点拨】 (1)利用三角形的等腰线段的定义画图; (2)分类讨论等腰线段,从而求得F 的度数. 【答案与

18、解析】解: (1)三角形的等腰线段如图所示, 1 105 2 D C A B (2)设F=x,则G=2x, 如图 2,线段 EM 是等腰线段, EMG 是等腰三角形, EM=EG,ME=MF, F=MEF=x,EMG=G=2x, 2x90 , x45 ; 如图 3,GN 为等腰线段, NF=NG,GN=GE, F=NGF=x,E=ENG, EGN=x,ENG=2x, E=2x, x+2x+2x=180 , x=36 , F 的度数的取值范围为 0 x45 【总结升华】本题考查了作图复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何 图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是

19、熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复 杂作图拆解成基本作图也考查了等腰三角形的性质 举一反三:举一反三: 【变式】直角三角形纸片 ABC 中,ACB90,ACBC,如图,将纸片沿某条直线折叠, 使点 A 落在直角边 BC 上,记落点为 D,设折痕与 AB、AC 边分别交于点 E、F, 探究:如果折叠后的CDF 与BDE 均为等腰三角形,那么纸片中的B 的度数是多少?写出你的计算过程,并 画出符合条件的折叠后的图形 【答案】【答案】 解:若CDF 是等腰三角形,则一定是等腰直角三角形. 设B 为度 145,2A90 当 BDBE 时 3 , 4590180, 30 . 经计算 ED

20、EB 不成立. 当 DEDB 时 31802 45901802180, xx 180 2 x x 180 2 x x x xx 45. 综上所述,B30或 45. 类型三、等腰三角形性质的综合应用类型三、等腰三角形性质的综合应用 3、如图,在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BEAC,延长 BE 交 AC 于 F. 求证:AFEF. 【思路点拨】根据点 D 是 BC 的中点,延长 AD 到点 H,得到ADCHDB,利用全等三角形的对应角 相等,对应边相等进行等量代换,得到AEF 中的两个角相等,然后用等角对等边证明 AE=EF 【答案与解析】 证明:延长 AD

21、到 H 使 DHAD,连接 BH. AD 是 BC 边上的中线, BDCD 在ADC 和HDB 中, , ADCHDB, 1H,BHAC BEAC, BEBH, 3H, 13 又23, 12, AFEF 【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等,而它们所在的三角形不全等,可以利用辅助线将它们转 移到同一个三角形中,然后通过等腰三角形来证明. 举一反三:举一反三: x BDD BDHCDA ADHD C 【变式】如图,已知 AD 是ABC 的中线,BE 交 AC 于 E,交 AD 于 F,且 AEEF 求证:ACBF 【答案】【答案】 证明:延长 AD 至点 G,使 DGAD,连接 BG.

22、 4、 如图, ACBC, ACB90, A 的平分线 AD 交 BC 于点 D, 过点 B 作 BEAD 于点 E.求证: BEAD. 【答案与解析】 证明:如图,延长 BE、AC 交于点 F. 12,AEAE,AEBAEF90, AEBAEF(ASA). . , , , (). AD BDCD ACDGBD ADDG ADCGDB CDBD ACDGBD SAS 为中线, 在和中, ,. , . , . . BGACGCAD AEEF CADAFE BFDAFE GBFD BFBGAC 又 1 2 A B C D E F G BEFEBF. 390F2,BCAC, BCFACD(ASA)

23、BFAD,BEAD. 【总结升华】 在几何解题的过程中, 当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换, 可保留原有图形的性质, 且使原来分散的条件相对集中,以利于问题的解决 举一反三:举一反三: 【变式】如图 1,在ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AD 上 (1)求证:BE=CE; (2)如图 2,若 BE 的延长线交 AC 于点 F,且 BFAC,垂足为 F,BAC=45,原题设其它条件 不变求证:AEFBCF 【答案】【答案】 证明:(1)AB=AC,D 是 BC 的中点, BAE=EAC, 在ABE 和ACE 中, , ABEACE(SAS), BE=CE;

24、 (2)BAC=45,BFAF, ABF 为等腰直角三角形, AF=BF, AB=AC,点 D 是 BC 的中点, ADBC, EAF+C=90, BFAC, CBF+C=90, 1 2 RtRt 1 2 ABAC BAEEAC AEAE EAF=CBF, 在AEF 和BCF 中, AEFBCF(ASA) 5、如图,ABC 是等边三角形,D 是 AB 边上的一点,以 CD 为边作等边三角形 CDE,使点 E、 A 在直线 DC 的同侧,连接 AE 求证:AEBC 【思路点拨】 根据等边三角形性质推出 BC=AC, CD=CE, ABC=BCA=ECD=60, 求出BCD=ACE, 根据 SAS

25、 证ACEBCD,推出EAC=DBC=ACB,根据平行线的判定推出即可 【答案与解析】 证明:ABC 和DEC 是等边三角形, BC=AC,CD=CE,ABC=BCA=ECD=60, BCA-DCA=ECD-DCA, 即BCD=ACE, 在ACE 和BCD 中 , ACEBCD(SAS), EAC=B=60=ACB, AEBC 【思路点拨】本题考查了等边三角形性质,全等三角形的判定和性质,平行线的判定,关键是求 出ACEBCD,主要考查学生的推理能力. 90 EAFCBF AFBF AFEBFC ACBC ACEBCD CDCE 例题讲解三 1、如图, ABC 中,ACB=90,CDAB 于

26、D,AE 平分BAC 交 CD 于 F,交 BC 于 E,试说明 CEF 是等腰三角形 【思路点拨】首先根据条件ACB=90 ,CD 是 AB 边上的高,可证出B+BAC=90 ,CAD+ACD=90 , 再根据同角的补角相等可得到ACD=B,再利用三角形的外角与内角的关系可得到CFE=CEF,最后利 用等角对等边即可得出答案. 【答案与解析】解:ACB=90, B+BAC=90, CDAB, CAD+ACD=90, ACD=B, AE 是BAC 的平分线, CAE=EAB, EAB+B=CEF,CAE+ACD=CFE, CFE=CEF, CF=CE, CEF 是等腰三角形 【总结升华】 本题

27、主要考查了直角三角形的性质, 三角形外角的性质, 角平分线的定义以及等腰三角形的判定, 解题的关键是根据条件理清角之间的关系,得出CFE=CEF 2、如图,已知AOB=x(0 x180) ,OC 平分AOB,点 N 为 OB 上一个定点通过画图 可以知道:当AOB=45时,在射线 OC 上存在点 P,使ONP 成为等腰三角形,且符合条件的点 有三个,即 P1(顶点为 P2) ,P2(顶点为 0)P3(顶点为 N). 试问:当AOB分别为锐角、直角、钝角时,在射线OC上使ONP成为等腰三角形的点P是否 仍然存在三个?请分别画出简图并加以说明 【思路点拨】当AOB为锐角时,当AOB=90,时,当A

28、OB为不等于120 的钝角时,根据等腰三角形的判定,分为三种情况:ON=DN,OE=ON,ON=NF, 画出即可;当AOB为120的钝角时,这样的点只有一个 【答案与解析】解:当AOB为锐角时,这样的点有三个:,如图1: 当AOB=90时,这样的点有三个,如图2: 当AOB为不等于120的钝角时,这样的点有三个,如图3: 当AOB为120的钝角时,这样的点只有一个,如图4: 在射线OC上找一点P,使ONP为等腰三角形, PON=60,此时ONP必为等边三角形, 这样的点只有一个; 综合上述:当AOB120时,这样的点都有三个;当AOB=120时,这样的点只有一个 【总结升华】本题考查了作图,等

29、腰三角形的判定的应用,主要考查了作图能力, 题目较好,但是一道比较容易出错的题目,注意要分类讨论 举一反三 【变式】如图,有甲,乙两个三角形,请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形,并标出每个三角 形各角的度数 【答案】解:如图 1:直线把 75的角分成 25的角和 50的角, 则分成的两个三角形都是等腰三角形; 如图 2,直线把 120的角分成 80和 40的角, 则分成的两个三角形都是等腰三角形 3、 (2016 秋孟津县期中)ABC 是等边三角形,D 是三角形外一动点,满足ADB=60 (1)如图,当 D 点在 AC 的垂直平分线上时,求证:DA+DC=DB; (2)如图,当 D

30、 点不在 AC 的垂直平分线上时, (1)中的结论是否仍然成立?请说明理由 【思路点拨】 (1)由 D 点在 AC 的垂直平分线上,可得 AD=CD,又由ADB=60 ,ABC 是等边三角形,可 得ABD 是含 30 角的直角三角形,继而证得结论; (2)首先在 DB 上截取 DE=AD,可证得ADE 是等边三角形,又由ABC 是等边三角形,易证得BAE CAD(SAS) ,继而证得结论 【答案与解析】 证明: (1)D 点在 AC 的垂直平分线上, AD=CD, DAC=DCA,ADB=CDB=60 , DAC=30 , ABC 是等边三角形, BAC=60 , BAD=90 , ABD=9

31、0 ADB=30 , BD=2AD=AD+CD; (2)成立 理由:在 DB 上截取 DE=AD, ADB=60 , ADE 是等边三角形, AE=AD,EAD=60 , ABC 是等边三角形, AB=AC,BAC=60 , BAE=CAD, 在BAE 和CAD 中, , BAECAD(SAS) , BE=CD, BD=DE+BE=AD+CD 【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质此 题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用 举一反三 【变式】求证:有两条中线相等的三角形是等腰三角形 已知:BD、CE 是ABC 的两条中

32、线(如图) ,BD=CE 求证:AB=AC 【答案】 证明:如图,将 EC 沿 ED 平移得 DF,连接 ED、CF,根据平移的特征, DF=EC, 而 EC=BD, BD=DF DBF=DFB,DFB=ECB, DBF=DFB=ECB, 在ECB 与DBC 中, BDCE DBFECB BCCB , ECBDBC(SAS) , ABC=ACB, AB=AC 类型二、类型二、命题与逆命题,定理与逆定理命题与逆命题,定理与逆定理 4、已知命题“等腰三角形两腰上的高相等” (1)写出逆命题; (2)逆命题是真命题还是假命题?如果是真命题,请画出“图形”,写出“已知”, “求证”,再进行“证明”;如

33、果是假命题,请举反例说明 【思路点拨】(1)把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题; (2)判断逆命题是真命题,画出图形判断即可 【答案与解析】解:(1)逆命题:两边上的高相等的三角形是等腰三角形 (2)真命题 已知:一个三角形ABC的两边AB、AC上的高BD、CE相等, 求证:这个三角形ABC是等腰三角形 证明:BD、CE是ABC的高, CEAB,BDAD, A=A, BD=CE, RtADBRtAEC, AB=AC, 三角形ABC是等腰三角形 【总结升华】本题主要考查命题与定理的知识点,两个命题中,如果第一个命题 的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么

34、这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题 类型三、线段垂直平分线定理的逆定理类型三、线段垂直平分线定理的逆定理 5、课题:两个重叠的正多形,其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题 实验与论证: 设旋转角A1A0B1=(A1A0A2),3、4、5、6所表示的角如图所示 (1)用含的式子表示:3=_,4=_,5=_; (2)图 1-图 4 中,连接 A0H 时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线 A0H 垂直且被它 平分的线段?若存在,请选择其中的一个图给出证明;若不存在,请说明理由; 归纳与猜想: 设正 n 边形 A0A1A2An-1与正 n 边形 A0B1B2Bn-1

35、重合(其中,A1与 B1重合),现将正边形 A0B1B2 Bn-1绕顶点 A0逆时针旋转(0 180 n ); (3)设n与上述“3、4、”的意义一样,请直接写出n的度数; (4)试猜想在正 n 边形的情形下,是否存在与直线 A0H 垂直且被它平分的线段?若存在,请将这 条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在,请说明理由 【思路点拨】(1)由正三角形的性质得+3=60,再由正方形的性质得4=45-(45-)= ,最后由正五边形的性质得5=108-36-36-=36-; (2)存在,如在图 1 中直线 A0H 垂直且平分的线段 A2B1,A0A1A2A0B1B2,推得 A2H=B

36、1H, 则点 H 在线段 A2B1的垂直平分线上;由 A0A2=A0B1,则点 A0 在线段 A2B1的垂直平分线上,从而得出 直线 A0H 垂直且平分的线段 A2B1 (3)当 n 为奇数时,n= 180 n -; 当 n 为偶数时,n= (4)多写几个总结规律: 当 n 为奇数时,直线 A0H 垂直平分 11 22 nn AB , 当 n 为偶数时,直线 A0H 垂直平分 22 nn A B. 【答案与解析】解:(1)60-,36- (2)存在下面就所选图形的不同分别给出证明: 选图 1,图中有直线 A0H 垂直平分 A2B1,证明如下: 方法一: 证明:A0A1A2与A0B1B2是全等的

37、等边三角形 A0A2=A0B1 A0A2B1=A0B1A2 又A0A2H=A0B1H=60 HA2B1=HB1A2 A2H=B1H,点 H 在线段 A2B1的垂直平分线上 又A0A2=A0B1,点 A0 在线段 A2B1的垂直平分线上 直线 A0H 垂直平分 A2B1 方法二: 证明:A0A1A2与A0B1B2是全等的等边三角形 A0A2=A0B2 A0A2B1=A0B1A2 又A0A2H=A0B1H=60 HA2B1=HB1A2 A2H=B1H, 在A0A2H 与A0B1H 中 A0A2=A0B1, HA2=HB1,A0A2H=A0B1H A0A2HA0B1H A0A2H=B1A2H A0H

38、 是等腰三角形 A0A2B1的角平分线, 直线 A0H 垂直平分 A2B1选图如,图中有直线 A0H 垂直平分 A2B2,证明如下: A0B2=A0A2A0B2A2=A0A2B2 又A0B2B1=A0A2A3 HB2A2=HA2B2 HB2=HA2 点 H 在线段 A2B2的垂直平分线上 又A0B2=A0A2,点 A0在线段 A2B2的垂直平分线上 直线 A0H 垂直平分 A2B2 (3)当 n 为奇数时,n= 180 n -; 当 n 为偶数时,n= (4)存在 当 n 为奇数时,直线 A0H 垂直平分 11 22 nn AB , 当 n 为偶数时,直线 A0H 垂直平分 22 nn A B

39、. 【总结升华】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平 分线上的点到线段的两个端点的距离相等 举一反三 【变式】如图,已知:E 是AOB 的平分线上一点,ECOB,EDOA,C,D 是 垂足,连接 CD,与AOB 的平分线交于点 F 求证:OE 是 CD 的垂直平分线; 【答案】 证明:E 是AOB 的平分线上一点,ECOB,EDOA,C,D 是垂足, DE=CE 在EDO 与ECO 中, ODEOCE DOECOE DEEF , EDOECO. OD=OC DOE=COE, OF=OF, FDOFCO. OFD=OFC=90, OFCD,OD=OC, OE 是线段 CD 的

40、垂直平分线 同步练习一 一一. .选择题选择题 1如图,在ABC 中,若 ABAC,BCBD,ADDEEB,则A 等于( ) A30 B36 C45 D54 2. 等腰三角形两边、满足0,则此三角形的周长是( ) A7 B5 C8 D7 或 5 3. 如图,ABC 中,ABAC,BECD,BDCF,则EDF ( ) A2A B902A C90A D 4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( ) A顶角的一半 B底角的一半 C90减去顶角的一半 D90减去底角的一半 5 (2016 春乳山市期中)如图,网格中的每个小正方形的边长为 1,A、B 是格点,以 A、B、C 为等腰三角 形顶点的所

41、有格点 C 的个数为( ) A7 个 B8 个 C9 个 D10 个 6. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 25,则该三角形的一个底角为( ) A32.5 B57.5 C65或 57.5 D32.5或 57.5 二二. .填空题填空题 7已知一个等腰三角形的顶角为度,则其一腰上的高线与底边的夹角_度(用含的式子表示). 8.(2016淮安一模)已知:如图,ABC 中,BO,CO 分别是ABC 和ACB 的平分线,过 O 点的直线分 别交 AB、AC 于点 D、E,且 DEBC若 AB=6cm,AC=8cm,则ADE 的周长为 ab2a b 2 2311ab 1 90 2 A xx 9.

42、 等腰三角形的周长为 22,其中一边的长是 8,则其余两边长分别为_. 10. 如图,在ABC 中,高 AD、BE 交于 H 点,若 BHAC,则ABC_ 11如图,钝角三角形纸片 ABC 中,BAC110,D 为 AC 边的中点现将纸片沿过点 D 的直线折叠,折痕与 BC 交于点 E,点 C 的落点记为 F若点 F 恰好在 BA 的延长线上,则ADF _ 12.如图,已知 AB=A1B,在 AA1的延长线上依次取 A2、A3、A4、An,并依次在三角形的外部作等腰三角形, 使 A1C1=A1A2,A2C2=A2A3,A3C3=A3A4,An1Cn1=An1An,若B=30,则An= 三三.

43、.解答题解答题 13. 已知,如图,在ABC 中,BE 是角平分线,ADBE 垂足为 D, 求证:BADDAEC 14已知,如图,ABC 中,D 是 BC 中点,DEDF, 试判断 BECF 与 EF 的大小关系,并证明你的结论. cmcm 15.在中, 点是直线上一点 (不与重合) , 以 AD 为一边在 AD 的右侧作, 使,连接 (1)如图 1,当点在线段上,如果,则_; (2)设, 如图 2,当点在线段上移动,则之间有怎样的数量关系?请说明理由; 当点在直线上移动,则之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论 16.数学课上,同学们探究下面命题的正确性: (1)顶角为 36的等腰三角形具

44、有一种特性,即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形, 为此,请你解答:如图,已知在ABC 中,AB=AC,A=36,射线 BD 平分ABC 交 AC 于点 D求证:DAB 与BCD 都是等腰三角形; (2)在证明了该命题后,有同学发现:下面两个等腰三角形如图 2 也具有这种特性请你在图 2 中分别画出一 条线段,把它们分成两个小等腰三角形,并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数 【答案与解析】【答案与解析】 一一. .选择题选择题 1. 【答案】C; F E DCB A ABCABACDBCBC、ADE ADAEDAEBAC,CE DBC90BACBCE BAC BCE DBC

45、 , DBC , 【解析】设A,则由题意ADE1802,EDB,BDCBCD90,因为ADE EDBBDC180,所以45. 2. 【答案】A; 【解析】2=0 且 2311=0,解得1,3,选 A;B 选项不满足两边之和大于第三边, 构不成三角形. 3. 【答案】D; 【解析】证BDECFD,FDCBED,所以EDF108EDBBED B. 4. 【答案】A; 【解析】解:ABC 中,AB=AC,BD 是高, ABC=C= 在 RtBDC 中,CBD=90-C=90-=. 故选 A 5. 【答案】B; 【解析】解:如图所示,分别以 A、B 为圆心,AB 长为半径画弧,则圆弧经过的格点 C1、

46、C2、C3、C4、 C5、C7即为点 C 的位置, 作线段 AB 的垂直平分线,垂直平分线所经过的格点 C6、C8即为点 C 的位置 故以 A、B、C 为等腰三角形顶点的所有格点 C 的个数为 8 个 6. 【答案】D; 【解析】当高在三角形内部时底角是 57.5,当高在三角形外部时底角是 32.5 度,故选 D. 二二. .填空题填空题 7. 【答案】; xx 2 x 2 x x ababab A o 2 1 90 180 2 A 180 2 A 2 A 2 x 【解析】无论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角,一腰上的高线与底边的夹角都是. 8.【答案】14cm; 【解析】解:DEBCDOB=O

47、BC,又BO 是ABC 的角平分线, DBO=OBC,DBO=DOB,BD=OD,同理:OE=EC, ADE 的周长=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm 9. 【答案】7,7或 8,6; 【解析】边长为 8cm 的可能是底边,也可能是腰. 10.【答案】45; 【解析】ADCBDH,ADBD,所以ABC45. 11.【答案】40; 【解析】ADFD,FADAFD70,所以ADF40. 12.【答案】; 【解析】解:在ABA1中,B=30,AB=A1B, BA1A=75, A1A2=A1C,BA1A 是A1A2C 的外角, CA2A1=37.5; C1A3A2=18,75,C2A4A3=9.375, An=, 故答案为: 三三. .解答题解答题 13.【解析】 证明:延长 AD 交 BC 于 F, BE 平