1、2020-2021 学年广东省汕头市潮阳区铜盂镇九年级（上）期末数学试卷学年广东省汕头市潮阳区铜盂镇九年级（上）期末数学试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1的倒数是（ ） A B C8 D8 2在一元二次方程 x24x10 中，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A1，4 B1，4 C1，1 Dx2，4x 3下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A菱形 B等边三角形 C平行四边形 D等腰梯形 4正多边形的一个内角是 150，则这个正多边形的边数为（ ） A10 B11 C12 D13 5方程 x25x60
2、 的两根之和为（ ） A6 B5 C5 D1 6抛物线 y（x1）2+2 的对称轴是（ ） A直线 x1 B直线 x1 C直线 x2 D直线 x2 7把抛物线 y12x21 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） Ay12（x+1）23 By12（x1）23 Cy12（x+1）2+1 Dy12（x1）2+1 8直角三角形两直角边长分别为和 1，那么它的外接圆的直径是（ ） A1 B2 C3 D4 9如图，过O 上一点 C 作O 的切线，交O 直径 AB 的延长线于点 D若D40，则A 的度数为 （ ） A20 B25 C30 D40 10如图是二次函数 y
3、ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是 x1，且过点（3，0） ，下列说法：abc 0；2ab0；4a+2b+c0；若（5，y1） ， （3，y2）是抛物线上两点，则 y1y2，其中说法 正确的是（ ） A B C D 二二.填空题（共填空题（共 7 小题，满分小题，满分 28 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11 （4 分）方程 x25x0 的解是 12 （4 分）已知满足|a3|+（ab5）20，则 ba 13 （4 分）不等式组的解集为 14 （4 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，若 AB2，则O 的半径为 15 （4 分）在平面直角坐标系中，A（2，3）与点 B 关
4、于原点对称，则点 B 的坐标是 16 （4 分）如图，已知O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是 17 （4 分）如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0） ，B（0，2） ，AC 由 AB 绕点 A 顺时针旋转 90而 得，则 AC 所在直线的解析式是 三三.解答题（一） （本大题解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）解一元二次方程：x22x30 19 （6 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、CD 上，且 AEDF，连接 BE，AF，求证：BE AF 20 （6 分）今年
5、我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩， 若按每个盈利 1 元销售，每天可售出 200 个，如果每个口罩的售价上涨 0.5 元，则销售量就减少 10 个， 问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为 480 元？ 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出 1 个球（不放回） ，再从余下的 2 个球中任意摸出 1 个球 （1）用树状图或列表等方法列出所有可能
6、出现的结果； （2）求两次摸到的球的颜色不同的概率 22 （8 分）已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 C（0，3）和点 D（4，5） （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与 x 轴的交点 A、B 的坐标（注：点 A 在点 B 的左边） ； （3）求ABC 的面积 23 （8 分） ABC 中， ABAC1， BAC45， 将ABC 绕点 A 按顺时针旋转 得到AEF， 连接 BE， CF，它们交于 D 点， 求证：BECF 当 120，求FCB 的度数 当四边形 ACDE 是菱形时，求 BD 的长 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10
7、 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交O 于 C、D 两点，直径 ABCD，点 M 是 直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点，AM 所在的直线交于O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点， 且 PMPN （1）当点 M 在O 内部，如图一，试判断 PN 与O 的关系，并写出证明过程； （2）当点 M 在O 外部，如图二，其它条件不变时， （1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点 M 在O 外部，如图三，AMO15，求图中阴影部分的面积 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+2x+与 x 轴相交于 A，B 两点
8、，点 B 在点 A 的右侧，与 y 轴相交于 点 C （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行 四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1的倒数是（ ） A B C8 D8 【分析】乘积为 1 的两个数互为倒数，根据倒数的定义求解即可 【解答】解：（8）1 的倒数是8
9、， 故选：D 2在一元二次方程 x24x10 中，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A1，4 B1，4 C1，1 Dx2，4x 【分析】分别根据一元二次方程的一般形式中二次项系数和一次项系数的定义解答即可 【解答】解：一元二次方程 x24x10 中，二次项系数和一次项系数分别是 1，4 故选：B 3下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A菱形 B等边三角形 C平行四边形 D等腰梯形 【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断 【解答】解：A、菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确； B、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C、平
10、行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； D、等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误 故选：A 4正多边形的一个内角是 150，则这个正多边形的边数为（ ） A10 B11 C12 D13 【分析】 一个正多边形的每个内角都相等， 根据内角与外角互为邻补角， 因而就可以求出外角的度数 根 据任何多边形的外角和都是 360 度，利用 360 除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边 形的边数 【解答】解：外角是：18015030， 3603012 则这个正多边形是正十二边形 故选：C 5方程 x25x60 的两根之和为（ ） A6 B5 C5 D1 【分析】
11、根据根与系数的关系：两根的和是，即可解题 【解答】解：设方程的两根是 x1、x2，那么有 x1+x2（5）5 故选：B 6抛物线 y（x1）2+2 的对称轴是（ ） A直线 x1 B直线 x1 C直线 x2 D直线 x2 【分析】由抛物线的顶点式 y（xh）2+k 直接看出对称轴是 xh 【解答】解：抛物线的顶点式为 y（x1）2+2， 对称轴是 x1 故选：B 7把抛物线 y12x21 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） Ay12（x+1）23 By12（x1）23 Cy12（x+1）2+1 Dy12（x1）2+1 【分析】根据平移的规律：左加右减，
12、上加下减可得答案 【解答】解：把抛物线 y12x21 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 得到的抛物线的解析式为 y12（x1）23， 故选：B 8直角三角形两直角边长分别为和 1，那么它的外接圆的直径是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外心的性质解答即可 【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长2， 它的外接圆的直径是 2， 故选：B 9如图，过O 上一点 C 作O 的切线，交O 直径 AB 的延长线于点 D若D40，则A 的度数为 （ ） A20 B25 C30 D40 【分析】连接 OC，根据切线的性质求出OCD
13、，求出COD，求出AOCA，根据三角形的外角性 质求出即可 【解答】解：连接 OC， CD 切O 于 C， OCCD， OCD90， D40， COD180904050， OAOC， AOCA， A+OCACOD50， A25 故选：B 10如图是二次函数 yax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是 x1，且过点（3，0） ，下列说法：abc 0；2ab0；4a+2b+c0；若（5，y1） ， （3，y2）是抛物线上两点，则 y1y2，其中说法 正确的是（ ） A B C D 【分析】根据抛物线开口方向得到 a0，根据抛物线的对称轴得 b2a0，则 2ab0，则可对进 行判断；根据抛物线与
14、y 轴的交点在 x 轴下方得到 c0，则 abc0，于是可对进行判断；由于 x2 时，y0，则得到 4a+2b+c0，则可对进行判断；通过点（5，y1）和点（3，y2）离对称轴的远近 对进行判断 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线对称轴为直线 x1， b2a0，则 2ab0，所以正确； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， abc0，所以正确； x2 时，y0， 4a+2b+c0，所以错误； 点（5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等， y1y2，所以不正确 故选：A 二二.填空题（共填空题（共 7 小题，满分小题，满分 28 分，每小题分，每小题 4
15、分）分） 11 （4 分）方程 x25x0 的解是 x10，x25 【分析】在方程左边两项中都含有公因式 x，所以可用提公因式法 【解答】解：直接因式分解得 x（x5）0，解得 x10，x25 12 （4 分）已知满足|a3|+（ab5）20，则 ba 8 【分析】根据偶次幂具有非负性，绝对值具有非负性可得 a30，ab50，再解即可 【解答】解：由题意得：a30，ab50， 解得：a3，b2， ba8， 故答案为：8 13 （4 分）不等式组的解集为 1x4 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不
16、等式 x+23x，得：x1， 解不等式 x40，得：x4， 则不等式组的解集为 1x4， 故答案为：1x4 14 （4 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，若 AB2，则O 的半径为 2 【分析】直接利用等边三角形的判定与性质进而分析得出答案 【解答】解：连接 AO，BO， 正六边形 ABCDEF 内接于O， AOB60， ABO 是等边三角形， AB2， O 的半径为：2 故答案为：2 15 （4 分）在平面直角坐标系中，A（2，3）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标是 （2，3） 【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数，可得答案 【解答】解：A（2，3）与点 B
17、 关于原点对称，则点 B 的坐标是（2，3） ， 故答案为： （2，3） 16 （4 分）如图，已知O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是 5 【分析】过 O 作 OCAB 于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OC 即可 【解答】解：过 O 作 OCAB 于 C， ACBCAB12， 在 RtAOC 中，由勾股定理得：OC5， 故答案为：5 17 （4 分）如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0） ，B（0，2） ，AC 由 AB 绕点 A 顺时针旋转 90而 得，则 AC 所在直线的解析式是 y2x8 【分析】过点 C 作 CDx 轴于点 D，
18、易知ACDBAO（AAS） ，已知 A（4，0） ，B（0，2） ，从而求 得点 C 坐标，设直线 AC 的解析式为 ykx+b，将点 A，点 C 坐标代入求得 k 和 b，从而得解 【解答】解：A（4，0） ，B（0，2） ， OA4，OB2， 过点 C 作 CDx 轴于点 D， ABO+BAOBAO+CAD， ABOCAD， 在ACD 和BAO 中 ， ACDBAO（AAS） ADOB2，CDOA4， C（6，4） 设直线 AC 的解析式为 ykx+b，将点 A，点 C 坐标代入得， ， 直线 AC 的解析式为 y2x8 故答案为：y2x8 三三.解答题（一） （本大题解答题（一） （本大
19、题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）解一元二次方程：x22x30 【分析】先把方程左边分解，原方程转化为 x+10 或 x30，然后解一次方程即可 【解答】解：x22x30， （x+1） （x3）0， x+10 或 x30， x11，x23 19 （6 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、CD 上，且 AEDF，连接 BE，AF，求证：BE AF 【分析】由正方形的性质，结合条件证明ABEDAF 即可证得结论 【解答】证明： 四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BAEADF90， 在ABE 和DAF 中 ABEDAF（S
20、AS） ， BEAF 20 （6 分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩， 若按每个盈利 1 元销售，每天可售出 200 个，如果每个口罩的售价上涨 0.5 元，则销售量就减少 10 个， 问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为 480 元？ 【分析】设应将每个口罩涨价 x 元，则每天可售出（20010）件，根据总利润每个的利润销 售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论 【解答】解：设应将每个口罩涨价 x 元，则每天可售出（20010）件， 依题意，得： （1+x） （20010）480， 化简
21、，得：x29x+140， 解得：x12，x27 又要让顾客得到实惠， x2 答：应将每个口罩涨价 2 元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为 480 元 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出 1 个球（不放回） ，再从余下的 2 个球中任意摸出 1 个球 （1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； （2）求两次摸到的球的颜色不同的概率 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可
22、能的结果； （2）由（1）中树状图可求得两次摸到的球的颜色不同的情况有 4 种，再利用概率公式求解即可求得答 案 【解答】解： （1）如图： ； （2）共有 6 种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有 4 种，概率为 22 （8 分）已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 C（0，3）和点 D（4，5） （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与 x 轴的交点 A、B 的坐标（注：点 A 在点 B 的左边） ； （3）求ABC 的面积 【分析】 （1）将已知点的坐标代入求得 b、c 的值即可求得抛物线的解析式； （2）令 y0，求得方程的解即可求得与 x 轴的交点坐标； （3）直接利用三角形的面
23、积公式计算面积即可 【解答】解： （1）把点 C（0，3）和点 D（4，5） 代入 yx2+bx+c 得 解得 所以抛物线的解析式为：yx22x3； （2）把 y0 代入 yx22x3，得 x22x30 解得 x11，x23， 点 A 在点 B 的左边， 点 A（1，0） ，点 B（3，0） （3）由题意得 AB4，OC3， 23 （8 分） ABC 中， ABAC1， BAC45， 将ABC 绕点 A 按顺时针旋转 得到AEF， 连接 BE， CF，它们交于 D 点， 求证：BECF 当 120，求FCB 的度数 当四边形 ACDE 是菱形时，求 BD 的长 【分析】先利用旋转的性质得 AE
24、AB，AFAC，EAFBAC，则根据“SAS”证明AEB AFC，于是得到 BECF； 利用FAC120， AFAC 可得到ACF30， 再利用 ABAC， BAC45得到ACB67.5， 然后计算BCF； 利用四边形 ACDE 是菱形得到 ACDE，DEAEAC1，则ABEBAC45，于是可判断 ABE 为等腰直角三角形，所以 BEAB，然后计算 BEDE 即可 【解答】证明：ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转角 得到AEF， AEAB，AFAC，EAFBAC， ABACAEAF， EAF+FABBAC+FAB，即EABFAC， 在AEB 和AFC 中， ， AEBAFC， BECF； 解：
25、120， FAC120， 而 AFAC， ACF30， ABAC，BAC45， ACB67.5， BCF67.53037.5； 解：四边形 ACDE 是菱形， ACDE，DEAEAC1， ABEBAC45， 而 AEAB， ABE 为等腰直角三角形， BEAB， BDBEDE1 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交O 于 C、D 两点，直径 ABCD，点 M 是 直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点，AM 所在的直线交于O 于点 N，
26、点 P 是直线 CD 上另一点， 且 PMPN （1）当点 M 在O 内部，如图一，试判断 PN 与O 的关系，并写出证明过程； （2）当点 M 在O 外部，如图二，其它条件不变时， （1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点 M 在O 外部，如图三，AMO15，求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）根据切线的判定得出PNOPNM+ONAAMO+ONA 进而求出即可； （2）根据已知得出PNM+ONA90，进而得出PNO1809090即可得出答案； （3）首先根据外角的性质得出AON30进而利用扇形面积公式得出即可 【解答】 （1）PN 与O 相切 证明：连接 ON， 则ONAOAN，
27、PMPN，PNMPMN AMOPMN，PNMAMO PNOPNM+ONAAMO+OAN90 即 PN 与O 相切 （2）成立 证明：连接 ON， 则ONAOAN， PMPN，PNMPMN 在 RtAOM 中， OMA+OAM90， PNM+ONA90 PNO1809090 即 PN 与O 相切 （3）解：连接 ON，由（2）可知ONP90 AMO15，PMPN，PNM15，OPN30， PON60，AON30 作 NEOD，垂足为点 E， 则 NEONsin601 S阴影SAOC+S扇形AONSCON OCOA+CONE 11+1 + 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+2x+与 x 轴相
28、交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，与 y 轴相交于 点 C （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行 四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用坐标轴上点的特点，建立方程求解即可得出结论； （2）先确定出点 P 就是 BC 与对称轴的交点，再求出直线 BC 的解析式和抛物线的对称轴，即可得出结 论； （3）设出点 M，N 的坐标，然后按对角线分三种情况，利用中点坐标公式
29、建立方程求解即可得出结论 【解答】解： （1）当 x0 时，则 y， C（0，） ， 当 y0 时，x2+2x+0， 化简，得 x24x50， 解得，x1 或 x5， A（1，0） ，B（5，0） ； （2）如图，连接 BC，交对称轴于点 P，连接 AP 点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称， APPB， 要使 PA+PC 的值最小，则应使 PB+PC 的值最小， BC 与对称轴的交点，使得 PA+PC 的值最小 设 BC 的解析式为 ykx+b 将 B（5，0） ，C（0，）代入 ykx+b， 得， ， 直线 BC 的解析式为 yx+ 抛物线的对称轴为直线 x2 当 x2 时，y2+，
30、P（2，） ； （3）设点 M（m，0） ，N（n，n2+2n+） ， 由（1）知，A（1，0） ，C（0，） ， 当 AC 与 MN 是对角线时， AC 与 MN 互相平分， （0+）（n2+2n+） ， 解得，n0（舍）或 n4， N（4，） ， 当 AM 与 CN 是对角线时，AM 与 AN 互相平分， （m1）n，0（n2+2n+） ， 解得，n2， N（2+，）或（2，） ， 当 AN 与 CM 是对角线时，AN 与 CM 互相平分， （n2+2n+）（0+） ， 解得，n0（舍）或 n4， N（4，） ， 即：以点 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点 N 的坐标为（4，）或（2+，） 或（2，） ，