1、2020-2021 学年山东省学年山东省青岛市市南区青岛市市南区二校联考八年级上二校联考八年级上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 1以下列数组作为三角形的三条边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A1，3 B，5 C1.5，2，2.5 D， 2下列说法不正确的是（ ） A的平方根是 B9 是 81 的平方根 C0.4 的算术平方根是 0.2 D3 3 （6）2的平方根是（ ） A6 B36 C6 D 4线段 MN 在直角坐标系中的位置如图所示，若线段 MN与 MN 关于 y 轴对称，则点
2、M 的对应点 M 的坐标为（ ） A （4，2） B （4，2） C （4，2） D （4，2） 5下列关于一次函数 y2x+5 的说法，错误的是（ ） A函数图象与 y 轴的交点是（0，5） B当 x 值增大时，y 随着 x 的增大而减小 C当 y5 时，x0 D图象经过第一、二、三象限 6如图，ABAC，则数轴上点 C 所表示的数为（ ） A+1 B1 C+1 D1 7某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图） 在三棱镜的侧面上，从顶点 A 到 顶点 A镶有一圈金属丝， 已知此三棱镜的高为 9cm， 底面边长为 4cm， 则这圈金属丝的长度至少为 （ ） A8cm B10
3、cm C12cm D15cm 8已知函数 ykx+b 的图象如左侧图象所示，则 y2kx+b 的图象可能是（ ） A B C D 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9估算比较大小： 1 （填“”或“”或“” ） 10下列实数：3.14，0，0.3232323（每相邻两个 3 之间都有一个 2） ，0.123456，其中无理数有 个 11如果的平方根等于2，那么 a 12要围一个长方形菜园菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为 24 米如图所 示的矩形 ABCD设 BC 边的长为 x 米，AB 边的
4、长为 y 米，则 y 与 x 之间的关系式是 13如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 14某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完 物品再另装货物共用 45 分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇已知货车的速度为 60 千米/时，两车之间的距离 y（千米）与货车行驶时间 x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下 4 个结论： 快递车从甲地到乙地的速度为 100 千米/时； 甲、乙两地之间的距离为 120 千米； 图中点 B 的坐标为（3，75） ； 快递车从
5、乙地返回时的速度为 90 千米/时， 以上 4 个结论正确的是 15如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AD 平分CAB 交 BC 于 D 点，E，F 分别是 AD，AC 上的动点，则 CE+EF 的最小值为 16 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A1， A2， A3， 和 B1， B2， B3， 分别在直线 ykx+b 和 x 轴上， OA1B1， B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果 A1（1，1） ，A2（，） ，那么点 A2020的纵坐标 是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 道小题，满分道小题，满分 72 分）分） 17作图 如图是规
6、格为 88 的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： （1）在网格中建立平面直角坐标系，使 A 点坐标为（2，4） ，B 点坐标为（4，2） ； （2）在第二象限内的格点上画一点 C，使点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰三角形，且腰长是 无理数； （3）ABC 的周长 （结果保留根号） ； （4）画出ABC 关于 y 轴对称的ABC 18计算： （1） （）2； （2）+5； （3）3+7； （4） （）3 19科学研究发现，空气含氧量 y（克/立方米）与海拔高度 x（米）之间近似地满足一次函数关系经测量， 在海拔高度为 0 米的地方，空气含氧量约为 299 克/立方米；在
7、海拔高度为 2000 米的地方，空气含氧量 约为 235 克/立方米 （1）求出 y 与 x 的函数表达式； （2）已知某山的海拔高度为 1200 米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？ 20 11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个 “鸟儿捉鱼” 的问题： 小溪边长着两棵棕榈树， 恰好隔岸相望 一 棵树高是 30 肘尺（肘尺是古代的长度单位） ，另外一棵高 20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘 尺每棵树的树顶上都停着一只鸟忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以 相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？ 21A，B
8、 两地相距 12 千米，甲骑自行车从 A 地出发前往 B 地，同时乙步行从 B 地出发前往 A 地，如图的 折线 OPQ 和线段 EF，分别表示甲、乙两人与 A 地的距离 y甲、y乙与他们所行时间 x（h）之间的函数关 系，且 OP 与 EF 相交于点 M （1）求 y乙与 x 的函数关系式以及两人相遇地点与 A 地的距离； （2）求线段 OP 对应的 y甲与 x 的函数关系式； （3）求经过多少小时，甲、乙两人相距 3km 22在平面直角坐标系 xOy 中有一点，过该点分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别是 A、B，若由该点、原 点 O 以及两个垂足所组成的长方形的周长与面积的数值相等，
9、则我们把该点叫做平面直角坐标系中的平 衡点 （1）请判断下列各点中是平面直角坐标系中的平衡点的是 ； （填序号） A（3，6） B（2，2） （2）若在第一象限中有一个平衡点 N（4，m）恰好在一次函数 yx+b（b 为常数）的图象上 求 m、b 的值； 一次函数 yx+b（b 为常数）与 y 轴交于点 C，问：在这函数图象上，是否存在点 M使 SOMC 3SONC，若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）经过点 P（0，2） ，且平行于 x 轴的直线上有平衡点吗？若有，请求出平衡点的坐标；若没有，说 明理由 23数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形
10、转化的方法解决一些数学问题下 面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用 探究一：求方程|x1|5 的解 （1）探究|x1|的几何意义 如图，在以 O 为原点的数轴上，设点 A对应点的数为 x1，由绝对值的定义可知，点 A与 O 的距 离为|x1|，可记为：AO|x1| 将线段 AO 向右平移一个单位，得到线段 AB，此时点 A 对应的数为 x，点 B 的对应数是 1，因为 AB AO，所以 AB|x1| 因此，|x1|的几何意义可以理解为数轴上 x 所对应的点 A 与 1 所对应的点 B 之间的距离 AB （2）求方程|x1|5 的解 因为数轴上 所对应的点与 1 所对应
11、的点之间的距离都为 5，所以方程的解为 探究二：探究的几何意义 （1）探究的几何意义 如图，在直角坐标系中，设点 M 的坐标为（x，y） ，过 M 作 MPx 轴于 P，作 MQy 轴于 Q，则点 P 点坐标（x，0） ，Q 点坐标（0，y） ，|OP|x，|OQ|y， 在 RtOPM 中，PMOQy，则 MO 因此的几何意义可以理解为点 M（x，y）与原点 O（0，0）之间的距离 MO （2）探究的几何意义 如图，在直角坐标系中，设点 A的坐标为（x1，y5） ，由探究（二） （1）可知，AO ，将线段 AO 先向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位，得到线段 AB，此时 A 的坐标为
12、（x，y） ，点 B 的坐标为（1，5） 因为 ABAO，所以 AB，因此的几何意义可以理解为点 A （x，y）与点 B（1，5）之间的距离 AB （3）探究的几何意义 请仿照探究二（2）的方法，在图中画出图形，并写出探究过程 （4）的几何意义可以理解为： 拓展应用： （5）+的几何意义可以理解为：点 A（x，y）与点 E（2，1） 的距离与点 A（x，y）与点 F （填写坐标）的距离之和 （6）+的最小值为 （直接写出结果） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1以下列数组作为三角形的三条边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A1，3 B，5 C
13、1.5，2，2.5 D， 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可 【解答】解：A、12+（ ）232，不能构成直角三角形，故选项错误； B、 （ ）2+（）252，不能构成直角三角形，故选项错误； C、1.52+222.52，能构成直角三角形，故选项正确； D、 （ ）2+（）2（）2，不能构成直角三角形，故选项错误 故选：C 2下列说法不正确的是（ ） A的平方根是 B9 是 81 的平方根 C0.4 的算术平方根是 0.2 D3 【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案 【解答】解：0.4 的算术平方根为，故 C 错误， 故选：C 3 （6）2的平方
14、根是（ ） A6 B36 C6 D 【分析】首先根据平方的定义求出（6）2的结果，然后利用平方根的定义即可解决问题 【解答】解：（6）236， 6， （6）2的平方根是6 故选：C 4线段 MN 在直角坐标系中的位置如图所示，若线段 MN与 MN 关于 y 轴对称，则点 M 的对应点 M 的坐标为（ ） A （4，2） B （4，2） C （4，2） D （4，2） 【分析】根据坐标系写出点 M 的坐标，再根据关于 y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为 相反数，即可得出 M的坐标 【解答】解：根据坐标系可得 M 点坐标是（4，2） ， 故点 M 的对应点 M的坐标为（4，2） ，
15、故选：D 5下列关于一次函数 y2x+5 的说法，错误的是（ ） A函数图象与 y 轴的交点是（0，5） B当 x 值增大时，y 随着 x 的增大而减小 C当 y5 时，x0 D图象经过第一、二、三象限 【分析】根据一次函数的性质，依次分析各个选项，选出错误的选项即可 【解答】解：A把 x0 代入 y2x+5 得：y5，即函数图象与 y 轴的交点是（0，5） ，即 A 项正确， B一次函数 y2x+5 的图象上的点 y 随着 x 的增大而减小，即 B 项正确， C当 y5 时，2x+55，解得：x0，即 C 项正确， D一次函数 y2x+5 的图象经过第一、二、四象限，即 D 项错误， 故选：
16、D 6如图，ABAC，则数轴上点 C 所表示的数为（ ） A+1 B1 C+1 D1 【分析】根据勾股定理列式求出 AB 的长，即为 AC 的长，再根据数轴上的点的表示解答 【解答】解：由勾股定理得，AB， AC， 点 A 表示的数是1， 点 C 表示的数是1 故选：B 7某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图） 在三棱镜的侧面上，从顶点 A 到 顶点 A镶有一圈金属丝， 已知此三棱镜的高为 9cm， 底面边长为 4cm， 则这圈金属丝的长度至少为 （ ） A8cm B10cm C12cm D15cm 【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可 【解答】解：将三棱
17、柱沿 AA展开，其展开图如图， 则 AA15（cm） 故选：D 8已知函数 ykx+b 的图象如左侧图象所示，则 y2kx+b 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】由图知，函数 ykx+b 图象过点（0，1） ，即 k0，b1，再根据一次函数的特点解答即可 【解答】解：由函数 ykx+b 的图象可知，k0，b1， y2kx+b2kx+1，2k0， |2k|k|，可见一次函数 y2kx+b 图象与 x 轴的夹角，大于 ykx+b 图象与 x 轴的夹角 函数 y2kx+1 的图象过第一、二、四象限且与 x 轴的夹角大 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9估算比较大小：
18、1 （填“”或“”或“” ） 【分析】首先估算 23，所以12，因此1，由此得出答案即可 【解答】解：23， 12， 1 故答案为： 10下列实数：3.14，0，0.3232323（每相邻两个 3 之间都有一个 2） ，0.123456，其中无理数有 2 个 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数 【解答】解：3.14 是有限小数，属于有理数； 0 是整数，属于有理数； 0.123456 是有限小数，属于有理数； 0.3232323（每相邻两个 3 之间都有一个 2）是无
19、限循环小数，属于有理数； 无理数有：，共 2 个 故答案为：2 11如果的平方根等于2，那么 a 16 【分析】首先根据平方根的定义，可以求得的值，再利用算术平方根的定义即可求出 a 的值 【解答】解：（2）24， 4， a（）216 故答案为：16 12要围一个长方形菜园菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为 24 米如图所 示的矩形 ABCD设 BC 边的长为 x 米，AB 边的长为 y 米，则 y 与 x 之间的关系式是 y+12 【分析】根据题意和图形可以得到 y 与 x 的函数关系式，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， y+12， 故答案为：y+12 13如
20、图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 100mm 【分析】如图，在 RtABC 中，AC1206060，BC1406080，然后利用勾股定理即可求出两 圆孔中心 A 和 B 的距离 【解答】解：如图，在 RtABC 中，AC1206060，BC1406080， AB100（mm） ， 两圆孔中心 A 和 B 的距离为 100mm 故答案为：100mm 14某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完 物品再另装货物共用 45 分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇已知
21、货车的速度为 60 千米/时，两车之间的距离 y（千米）与货车行驶时间 x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下 4 个结论： 快递车从甲地到乙地的速度为 100 千米/时； 甲、乙两地之间的距离为 120 千米； 图中点 B 的坐标为（3，75） ； 快递车从乙地返回时的速度为 90 千米/时， 以上 4 个结论正确的是 【分析】根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案 【解答】解：设快递车从甲地到乙地的速度为 x 千米/时，则 3（x60）120， x100 （故正确） ； 因为 120 千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离， （故错误）
22、 ； 因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用 45 分钟， 所以图中点 B 的横坐标为 3+3， 纵坐标为 1206075， （故正确） ； 设快递车从乙地返回时的速度为 y 千米/时，则 （y+60） （43）75， y90， （故正确） 故答案为： 15如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AD 平分CAB 交 BC 于 D 点，E，F 分别是 AD，AC 上的动点，则 CE+EF 的最小值为 【分析】如图所示：在 AB 上取点 F，使 AFAF，过点 C 作 CHAB，垂足为 H因为 EF+CE EF+EC，推出当 C、E、F共线，且点 F与 H 重合时，FE+EC
23、的值最小 【解答】解：如图所示：在 AB 上取点 F，使 AFAF，过点 C 作 CHAB，垂足为 H 在 RtABC 中，依据勾股定理可知 BA10 CH， EF+CEEF+EC， 当 C、E、F共线，且点 F与 H 重合时，FE+EC 的值最小，最小值为， 故答案为： 16 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A1， A2， A3， 和 B1， B2， B3， 分别在直线 ykx+b 和 x 轴上， OA1B1， B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果 A1（1，1） ，A2（，） ，那么点 A2020的纵坐标 是 （）2019 【分析】先求出直线 ykx+b 的解析式，求出
24、直线与 x 轴、y 轴的交点坐标，求出直线与 x 轴的夹角的正 切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向 x 轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线 重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到 A3的坐标，进而 得出各点的坐标的规律 【解答】解：A1（1，1） ，A2（，）在直线 ykx+b 上， ， 解得， 直线解析式为：yx+； 设直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为 N、M， 当 x0 时，y， 当 y0 时，x+0， 解得 x4， 点 M、N 的坐标分别为 M（0，） ，N（4，0） ， tanMNO， 作 A1C1x 轴与点 C1，A2C
25、2x 轴与点 C2，A3C3x 轴与点 C3， A1（1，1） ，A2（，） ， OB2OB1+B1B221+22+35， tanMNO， B2A3B3是等腰直角三角形， A3C3B2C3， A3C3（）2， 同理可求，第四个等腰直角三角形 A4C4（）3， 依此类推，点 An的纵坐标是（）n 1， 点 A2020的纵坐标是（）2019， 故答案为： （）2019 三解答题三解答题 17作图 如图是规格为 88 的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： （1）在网格中建立平面直角坐标系，使 A 点坐标为（2，4） ，B 点坐标为（4，2） ； （2）在第二象限内的格点上画一点 C，使点 C
26、 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰三角形，且腰长是 无理数； （3）ABC 的周长 2+2 （结果保留根号） ； （4）画出ABC 关于 y 轴对称的ABC 【分析】 （1）根据 A，B 两点坐标画出平面直角坐标系即可 （2）根据要求画出等腰三角形即可 （3）利用勾股定理求出 AB，AC，BC 即可 （4）分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可 【解答】解： （1）平面直角坐标系如图所示： （2）如图，ABC 即为所求 （3）AB2，CBCA， ABC 的周长2+2 故答案为：2+2 （4）如图，ABC即为所求 18计算： （1） （）2； （2）+5； （3）3+7； （4
27、） （）3 【分析】 （1）利用完全平方公式计算； （2）利用二次根式的除法法则运算； （3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （4）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算 【解答】解： （1）原式32+ ； （2）原式+5 2+6+5 13； （3）原式92+ ； （4）原式（）3 66 67 19科学研究发现，空气含氧量 y（克/立方米）与海拔高度 x（米）之间近似地满足一次函数关系经测量， 在海拔高度为 0 米的地方，空气含氧量约为 299 克/立方米；在海拔高度为 2000 米的地方，空气含氧量 约为 235 克/立方米 （1）求出 y 与 x 的函数表达
28、式； （2）已知某山的海拔高度为 1200 米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？ 【分析】 （1）利用在海拔高度为 0 米的地方，空气含氧量约为 299 克/立方米；在海拔高度为 2000 米的 地方，空气含氧量约为 235 克/立方米，代入解析式求出即可； （2）根据某山的海拔高度为 1200 米，代入（1）中解析式，求出即可 【解答】解： （1）设 ykx+b（k0） ，则有： ， 解之得 ， yx+299； （2）当 x1200 时，y1200+299260.6（克/立方米） 答：该山山顶处的空气含氧量约为 260.6 克/立方米 20 11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个 “
29、鸟儿捉鱼” 的问题： 小溪边长着两棵棕榈树， 恰好隔岸相望 一 棵树高是 30 肘尺（肘尺是古代的长度单位） ，另外一棵高 20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘 尺每棵树的树顶上都停着一只鸟忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以 相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？ 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出 x 的值即可 【解答】解：画图解决，通过建模把距离转化为线段的长度 由题意得：AB20，DC30，BC50， 设 EC 为 x 肘尺，BE 为（50 x）肘尺， 在 RtABE 和 RtDEC 中，
30、 AE2AB2+BE2202+（50 x）2，DE2DC2+EC2302+x2， 又AEDE， x2+302（50 x）2+202， x20， 答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根 20 肘尺 另解：设：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根肘尺，则这条鱼出现的地方离比较低的棕榈树的 树根（50 x）肘尺 得方程：x2+302（50 x）2+202， 可解得：x20； 答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根 20 肘尺 21A，B 两地相距 12 千米，甲骑自行车从 A 地出发前往 B 地，同时乙步行从 B 地出发前往 A 地，如图的 折线 OPQ 和线段 EF，分别表示甲、乙两人与
31、 A 地的距离 y甲、y乙与他们所行时间 x（h）之间的函数关 系，且 OP 与 EF 相交于点 M （1）求 y乙与 x 的函数关系式以及两人相遇地点与 A 地的距离； （2）求线段 OP 对应的 y甲与 x 的函数关系式； （3）求经过多少小时，甲、乙两人相距 3km 【分析】 （1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到 y乙与 x 的函数关系式以及两人相遇地点与 A 地的 距离； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出线段 OP 对应的 y甲与 x 的函数关系式； （3）根据（1）和（2）中的结果，可以得到经过多少小时，甲、乙两人相距 3km 【解答】解： （1）设 y乙与 x 的函数关
32、系式是 y乙kx+b， 点（0，12） ， （2，0）在函数 y乙kx+b 的图象上， ，解得， 即 y乙与 x 的函数关系式是 y乙6x+12， 当 x0.5 时，y乙60.5+129， 即两人相遇地点与 A 地的距离是 9km； （2）设线段 OP 对应的 y甲与 x 的函数关系式是 y甲ax， 点（0.5，9）在函数 y甲ax 的图象上， 90.5a， 解得 a18， 即线段 OP 对应的 y甲与 x 的函数关系式是 y甲18x； （3）令|18x（6x+12）|3， 解得，x1，x2， 即经过小时或小时时，甲、乙两人相距 3km 22在平面直角坐标系 xOy 中有一点，过该点分别作 x
33、 轴和 y 轴的垂线，垂足分别是 A、B，若由该点、原 点 O 以及两个垂足所组成的长方形的周长与面积的数值相等，则我们把该点叫做平面直角坐标系中的平 衡点 （1）请判断下列各点中是平面直角坐标系中的平衡点的是 ； （填序号） A（3，6） B（2，2） （2）若在第一象限中有一个平衡点 N（4，m）恰好在一次函数 yx+b（b 为常数）的图象上 求 m、b 的值； 一次函数 yx+b（b 为常数）与 y 轴交于点 C，问：在这函数图象上，是否存在点 M使 SOMC 3SONC，若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）经过点 P（0，2） ，且平行于 x 轴的直线上有平衡
34、点吗？若有，请求出平衡点的坐标；若没有，说 明理由 【分析】 （1）根据平衡点的定义，逐一验证 A，B 两点是否为平衡点，此题得解； （2）由平衡点的定义，可得出关于 m 的一元一次方程，解之可求出 m 的值，再利用一次函数图象上 点的坐标特征可求出 b 值； 存在，设设点 M 的坐标为（x，x+8） ，利用三角形的面积公式结合 SOMC3SONC，可得出关于 x 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出 x 的值，再将其代入点 M 的坐标中即可求出结论； （3）没有，设平衡点的坐标为（n，2） ，利用平衡点的定义可得出 2|n|4+2|n|，即 04，由 04，可 得出：经过点 P（0，2
35、） ，且平行于 x 轴的直线上没有平衡点 【解答】解： （1）36（3+6）2， A（3，6）是平衡点； 22（2+2）2， B（2，2）是平衡点 故答案为： （2）点 N（4，m）为平衡点，且在第一象限， 4m2（4+m） ， 解得：m4， 点 N 的坐标为（4，4） 点 N（4，4）在一次函数 yx+b（b 为常数）的图象上， 44+b， 解得：b8 m4，b8 存在，设点 M 的坐标为（x，x+8） SOMC3SONC，即OC|x|34OC， 解得：x12， 点 M 的坐标为（12，4）或（12，20） （3）没有，理由如下： 设平衡点的坐标为（n，2） ， 则 2|n|（2+|n|）2
36、， 2|n|4+2|n|，即 04 04， 经过点 P（0，2） ，且平行于 x 轴的直线上没有平衡点 23数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题下 面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用 探究一：求方程|x1|5 的解 （1）探究|x1|的几何意义 如图，在以 O 为原点的数轴上，设点 A对应点的数为 x1，由绝对值的定义可知，点 A与 O 的距 离为|x1|，可记为：AO|x1| 将线段 AO 向右平移一个单位，得到线段 AB，此时点 A 对应的数为 x，点 B 的对应数是 1，因为 AB AO，所以 AB|x1| 因此
37、，|x1|的几何意义可以理解为数轴上 x 所对应的点 A 与 1 所对应的点 B 之间的距离 AB （2）求方程|x1|5 的解 因为数轴上 4或6 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为5， 所以方程的解为 x4或6 探究二：探究的几何意义 （1）探究的几何意义 如图，在直角坐标系中，设点 M 的坐标为（x，y） ，过 M 作 MPx 轴于 P，作 MQy 轴于 Q，则点 P 点坐标（x，0） ，Q 点坐标（0，y） ，|OP|x，|OQ|y， 在 RtOPM 中，PMOQy，则 MO 因此的几何意义可以理解为点 M（x，y）与原点 O（0，0）之间的距离 MO （2）探究的几何意义 如图，
38、在直角坐标系中，设点 A的坐标为（x1，y5） ，由探究（二） （1）可知，AO ，将线段 AO 先向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位，得到线段 AB，此时 A 的坐标为（x，y） ，点 B 的坐标为（1，5） 因为 ABAO，所以 AB，因此的几何意义可以理解为点 A （x，y）与点 B（1，5）之间的距离 AB （3）探究的几何意义 请仿照探究二（2）的方法，在图中画出图形，并写出探究过程 （4）的几何意义可以理解为： 点（x，y）与点（a，b）之间的距离 拓展应用： （5）+的几何意义可以理解为：点 A（x，y）与点 E（2，1） 的距离与点 A（x，y）与点 F （1，5）
39、（填写坐标）的距离之和 （6）+的最小值为 3 （直接写出结果） 【分析】探究一： （2）因为数轴上的4 或 6 所对应的点与 1 所对应的点之间的距离都为 5，即可求解； 探究二： （3）参考（1）的过程画出函数图象即可求解； （4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离， 即可求解； 拓展应用： （5）由探究二（4）可知：+表示点 A（x，y）与点 E （2，1）的距离和点 A（x，y）与点 F（1，5）的距离之和； （6）当点 A 位置线段 EF 之间时，此时 EFAF+AE，进而求解 【解答】解：探究一： （2） 因为数轴上的4 或 6 所对应的点与 1
40、 所对应的点之间的距离都为 5， 所以方程的解为 x4 或 6， 故答案为：4 或 6，x4 或 6； 探究二： （3）如图， 在直角坐标系中，设点 A的坐标为（x+3，y+4） ，由探究二（1）可知，AO， 将线段 AO 先向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，得到线段 AB，此时点 A 的坐标为（x，y） ， 点 B 的坐标为（3，4） ， 因为 ABAO，所以 AB， 因此的几何意义可以理解为点 A（x，y）与点 B（3，4）之间的距离 AB； （4）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离， 故答案为点（x，y）与点（a，b）之间的距离； 拓展应用： （5）由探究二（4）可知：+表示点 A（x，y）与点 E（2，1） 的距离和点 A（x，y）与点 F（1，5）的距离之和， 故答案为（1，5） ； （6）当 A（x，y）位于直线 EF 外时，此时点 A、E、F 三点组成AEF， 由三角形三边关系可知：EFAF+AE， 当点 A 位置线段 EF 之间时，此时 EFAF+AE， +的最小值为 EF 的距离， EF3， 故答案为 3