1、2020-2021 学年安徽省六安市金安区九年级上期中数学试卷学年安徽省六安市金安区九年级上期中数学试卷 一、选择题 1（4 分）抛物线 y（x2）2+1 的顶点坐标是（ ） A（2，1） B（2，1） C（1，2） D（1，2） 2（4 分）下列图形一定是相似图形的是（ ） A两个钝角三角形 B两个直角三角形 C两个等腰三角形 D两个等腰直角三角形 3（4 分）二次函数 yax2的图象如图所示，则不等式 axa 的解集是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 4（4 分）生活中到处可见黄金分割的美如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高 度比值接近 0.618，可以增加
2、视觉美感若图中 b 为 2 米，则 a 约为（ ） A1.24 米 B1.38 米 C1.42 米 D1.62 米 5（4 分）如图，l1l2l3，直线 AC、DF 这与三条平行线分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F已知 AB 1，BC3，DE2，则 EF 的长为（ ） A4 B5 C6 D8 6（4 分）已知点（a，m），（b，n）在反比例函数 y的图象上，且 ab，则（ ） Amn Bmn Cmn Dm、n 的大小无法确定 7（4 分）如图，ABC 中，A60，AB4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形 与ABC 不相似的是（ ） A B C D 8（4 分）已知一个函
3、数图象经过（1，4），（2，2）两点，在自变量 x 的某个取值范围内，都有函 数值 y 随 x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ） A正比例函数 B一次函数 C反比例函数 D二次函数 9（4 分）如图，已知二次函数的图象与 x 轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），对于下列结论： 2a+b0；abc0；a+b+c0；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小；其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC10，点 E、F 在 AD 边上，BF 和 CE 交于点 G，若 EF AD，则图中阴影部分的面积为（ ） A2
4、5 B30 C35 D40 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 11（5 分）一副地图，图上 20 厘米表示实际距离 10 千米，这幅地图的比例尺是 12（5 分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高 度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系为 yx2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩 为 米 13（5 分）如图所示，RtAOB 中，AOB90，OA4，OB2，点 B 在反比例函数 y图象上， 则图中过点 A 的双曲线解析式是 14（5 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 A（1，1），B（3，3），且当 1x3 时
5、，1 y3，则 a 的取值范围是 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 15（8 分）已知： （1）求的值； （2）求的值 16 （8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1212 的网格中，已知点 O、A、B 均为格点 （1）在给定的网格中，以点 O 为位似中心将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段 AB（点 A、B 的对应点分别为点 A、B），画出线段 AB （2）以线段 AB为一边，作一个格点四边形 ABCD，使得格点四边形 ABCD 是轴对称图形 （作出一个格点四边形即可） 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 17（8 分
6、）已知二次函数 yx2+（k+1）x+k （1）求证：该函数图象与 x 轴一定有两个不同的交点； （2）若该函数图象关于 y 轴对称，求图象与 x 轴的交点坐标 18（8 分）如图正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点 A 的横坐标为 4 （1）求 k 值； （2）求它们另一个交点 B 的坐标； （3）利用图象直接写出：当 x 在什么范围内取值时，y1y2 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 19（10 分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题 角平分线分线段成比例定理，如图 1，在ABC 中，AD 平分BAC，则下面是这个定理的部 分证明过程 证明：如
7、图 2，过 C 作 CEDA交 BA 的延长线于 E 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图 3，已知 RtABC 中，AB3，BC4，ABC90，AD 平分BAC，则ABD 的 周长是 20（10 分）如图，已知二次函数 yx2+ax+3 的图象经过点 P（2，3） （1）求 a 的值和图象的顶点坐标 （2）点 Q（m，n）在该二次函数图象上 当 m2 时，求 n 的值； 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 六、（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分） 21（12 分）如图，将矩形 ABCD 沿 CE 向
8、上折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处 （1）找出图中的相似（不全等）三角形，并证明； （2）若 AEBE，则长 AD 与宽 AB 的比值是多少？ 22（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于 A，B（4，0）两点，与 y 轴 交于点 C（0，4） （1）求此抛物线的函数表达式及点 A 的坐标； （2）已知点 D（1，1），在直线 AD 上方的抛物线上有一动点 P（x，y）（1x4），求ADP 面 积的最大值 七、（本大题满分 14 分） 23（14 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，AE 与 CD 相交于点 F，过点 E 作 EG CD
9、交 AC 的延长线于点 G若 AE 平分BAC，CECF （1）求证：ABCACD； 求证：EGCCBD （2）如图 2，若BAC90，AD2，BD6，求 CG 的长 参考答案参考答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1（4 分）抛物线 y（x2）2+1 的顶点坐标是（ ） A（2，1） B（2，1） C（1，2） D（1，2） 【分析】根据顶点式 ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k），可直接得到答案 解：顶点式 ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k）， 抛物线 y（x2）2+1 的顶点坐标是（2，1） 故选：A 2（4 分）下列图形一定是相似图形的是（ ） A两个钝角三角形
10、 B两个直角三角形 C两个等腰三角形 D两个等腰直角三角形 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断 解：A、两个钝角三角形不一定相似； B、两个直角三角形不一定相似； C、两个等腰三角形不一定相似； D、两个等腰直角三角形一定相似 故选：D 3（4 分）二次函数 yax2的图象如图所示，则不等式 axa 的解集是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】由图象可知 a0，然后利用不等式性质即可解不等式 解：由图象可知 a0， 不等式 axa 的解集为 x1 故选：B 4（4 分）生活中到处可见黄金分割的美如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高 度比值接近 0.6
11、18，可以增加视觉美感若图中 b 为 2 米，则 a 约为（ ） A1.24 米 B1.38 米 C1.42 米 D1.62 米 【分析】根据雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高度比值接近 0.618，因为图中 b 为 2 米，即可求出 a 的值 解：雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高度比值接近 0.618， 0.618， b 为 2 米， a 约为 1.24 米 故选：A 5（4 分）如图，l1l2l3，直线 AC、DF 这与三条平行线分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F已知 AB 1，BC3，DE2，则 EF 的长为（ ） A4 B5 C6 D8 【分析】根据平行线分线段成比例和题目
12、中的条件，可以求得 EF 的长，从而可以解答本题 解：l1l2l3， ， AB1，BC3，DE2， ， 解得，EF6， 故选：C 6（4 分）已知点（a，m），（b，n）在反比例函数 y的图象上，且 ab，则（ ） Amn Bmn Cmn Dm、n 的大小无法确定 【分析】根据 a、b 与 0 的大小关系利用反比例函数的性质确定答案即可 解：反比例函数 y中 k20， 在每一象限内 y 随着 x 的增大而增大， 点（a，m），（b，n）在反比例函数 y的图象上，且 ab， 当 ab0 时，mn0， 当 0ab 时，mn0， 当 a0b 时，m0n， m、n 的大小无法确定， 故选：D 7（4
13、分）如图，ABC 中，A60，AB4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形 与ABC 不相似的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 解：A、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意； B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； 故选：A 8（4 分）已知一个函数图象经过（1，4），（2，2）两点，在自变量 x 的某个取值范围
14、内，都有函 数值 y 随 x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ） A正比例函数 B一次函数 C反比例函数 D二次函数 【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断 解：设一次函数解析式为：ykx+b， 由题意得， 解得， k0， y 随 x 的增大而增大， A、B 错误， 设反比例函数解析式为：y， 由题意得，k4， k0， 在每个象限，y 随 x 的增大而增大， C 错误， 当抛物线开口向上，x1 时，y 随 x 的增大而减小 故选：D 9（4 分）如图，已知二次函数的图象与 x 轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），对于下列结论： 2a+b0；abc0；a+
15、b+c0；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小；其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x1，根据抛物线对称轴方程得到1， 则可对进行判断；由抛物线开口方向得到 a0，由 b2a 得到 b0，由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方得到 c0，则可对进行判断；利用 x1 时，y0 可对进行判断；根据二次函数的性质对 进行判断 解：二次函数的图象与 x 轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）， 抛物线的对称轴为直线 x1， 1，即 2a+b0，所以正确； 抛物线开口向下， a0， b2a， b0， 抛物线与 y 轴的交点在
16、 x 轴上方， c0， abc0，所以正确； x1 时，y0， a+b+c0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线开口向下， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，所以正确 故选：D 10（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC10，点 E、F 在 AD 边上，BF 和 CE 交于点 G，若 EF AD，则图中阴影部分的面积为（ ） A25 B30 C35 D40 【分析】 过点 G 作 GNAD 于 N， 延长 NG 交 BC 于 M， 通过证明EFGCBG， 可得 GN： GMEF： BC1：2，可求 GN，GM 的长，由面积的和差关系可求解 解：过点 G 作 GNA
17、D 于 N，延长 NG 交 BC 于 M， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADBC， EFAD， EFBC， ADBC，NGAD， EFGCBG，GMBC， GN：GMEF：BC1：2， 又MNAB6， GN2，GM4， SBCG 10420， SEFG 525，S矩形ABCD61060， S阴影6020535 故选：C 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 11（5 分）一副地图，图上 20 厘米表示实际距离 10 千米，这幅地图的比例尺是 1：50000 【分析】根据比例尺的意义求解即可 解：10 千米1000000 厘米， 20：10000001：50000 所以这幅地图的
18、比例尺是 1：50000 故答案为：1：50000 12（5 分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高 度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系为 yx2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩 为 10 米 【分析】根据铅球落地时，高度 y0，把实际问题可理解为当 y0 时，求 x 的值即可 解：当 y0 时，yx2+x+0， 解得，x2（舍去），x10 故答案为：10 13（5 分）如图所示，RtAOB 中，AOB90，OA4，OB2，点 B 在反比例函数 y图象上， 则图中过点 A 的双曲线解析式是 y 【分析】要求函数的解析式只要求出点
19、A 的坐标就可以，过点 A，B 作 ACx 轴，BDx 轴，分别于 C， D根据条件得到ACOODB，得到：，然后用待定系数法即可 解：设点 B 的坐标是（m，n）， 因为点 B 在函数 y的图象上，则 mn2， 则 BDn，ODm，则 AC2m，OC2n， 设过点 A 的双曲线解析式是 y，A 点的坐标是（2n，2m）， 把它代入得到：2m， 则 k4mn8， 则图中过点 A 的双曲线解析式是 y 故答案为：y 14（5 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 A（1，1），B（3，3），且当 1x3 时，1 y3，则 a 的取值范围是 1a0 或 0a1 【分析】根据题意画出图
20、象，根据图象即可求得 解：二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 A （1，1），B （3，3）， ， 得，8a+2b4， b24a， 抛物线的对称轴为：x， 如图，当抛物线开口向上时，则 a0，且1， 1， （24a）2a 解得 a1， 0a1； 当抛物线开口向下时，则 a0，且3， 3， 24a6a， 解得 a1， 1a0， 综上，a 的取值范围是1a0 或 0a1， 故答案为1a0 或 0a1 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 15（8 分）已知： （1）求的值； （2）求的值 【分析】根据已知条件，求得 x2y，把 x2y 分别代入（1）和（2）的代数式即可
21、得到结论 解：， x2y， （1）； （2） 16 （8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1212 的网格中，已知点 O、A、B 均为格点 （1）在给定的网格中，以点 O 为位似中心将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段 AB（点 A、B 的对应点分别为点 A、B），画出线段 AB （2）以线段 AB为一边，作一个格点四边形 ABCD，使得格点四边形 ABCD 是轴对称图形 （作出一个格点四边形即可） 【分析】（1）连接 AO，延长 AO 到 A，使得 OA2OA，同法作出点 B，连接 AB即可 （2）以 AB为边构造矩形即可（答案不唯一） 解：（1）如图，线段 AB
22、即为所求 （2）如图，矩形 ABCD 即为所求（答案不唯一） 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 17（8 分）已知二次函数 yx2+（k+1）x+k （1）求证：该函数图象与 x 轴一定有两个不同的交点； （2）若该函数图象关于 y 轴对称，求图象与 x 轴的交点坐标 【分析】（1）根据（k+1）24k 恒大于 0 即可证明； （2）抛物线关于 y 轴对称，则 x1+x20，解方程即可求得 k1，然后根据 x1 x24k，x1+x20 即可 求得 x12，x22，即可得到结论 解：（1）（k+1）24kk2+k+1（k+）2+0， 该函数图象与 x 轴一定有两个不同的交
23、点； （2）设二次函数图象与 x 轴两交点坐标分别为（x1，0）（x2，0）， 抛物线关于 y 轴对称， x1+x20， 即4（k+1）0， 解得：k1， x1 x24k，x1+x20， x12，x22， 图象与 x 轴的交点为（2，0）或（2，0） 18（8 分）如图正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点 A 的横坐标为 4 （1）求 k 值； （2）求它们另一个交点 B 的坐标； （3）利用图象直接写出：当 x 在什么范围内取值时，y1y2 【分析】（1）将 A 的横坐标 4 代入 y1x，求出 A 的纵坐标，再将 A 的坐标代入解析式 y2即可而 求出 k 的值 （2）将两个函数
24、的解析式组成方程组，求出方程组的解，即为两函数图象的交点坐标 （3）先找到两图象的交点，再从图上判断出 x 的取值范围 解：（1）将 A 的横坐标 4 代入 y1x，得 y142， 由题意可得 A 点坐标为（4，2）， 由于反比例函数 y的图象经过点 A， k248（5 分） （2）将两个函数的解析式组成方程组得：， 解得， 所以 A（4，2），B（4，2） 所以 B 点坐标为 B（4，2）（3 分） （3）由于 A 点横坐标 4，B 点横坐标为4，由图可知： 当 x4 或4x0 时，y1y2（4 分） 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 19（10 分）阅读与计算，请
25、阅读以下材料，并完成相应的问题 角平分线分线段成比例定理，如图 1，在ABC 中，AD 平分BAC，则下面是这个定理的部 分证明过程 证明：如图 2，过 C 作 CEDA交 BA 的延长线于 E 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图 3，已知 RtABC 中，AB3，BC4，ABC90，AD 平分BAC，则ABD 的 周长是 【分析】（1）如图 2，过 C 作 CEDA交 BA 的延长线于 E，利用平行线分线段成比例定理得到 ，利用平行线的性质得2ACE，1E，由12 得ACEE，所以 AEAC，于是有 ； （2）先利用勾股定理计算出 AC5，再利用（1
26、）中的结论得到，即，则可计算出 BD ，然后利用勾股定理计算出 AD，从而可得到ABD 的周长 【解答】（1）证明：如图 2，过 C 作 CEDA交 BA 的延长线于 E， CEAD， ，2ACE，1E， 12， ACEE， AEAC， ； （2）解：如图 3，AB3，BC4，ABC90， AC5， AD 平分BAC， ，即， BDBC， AD， ABD 的周长+3+ 故答案为 20（10 分）如图，已知二次函数 yx2+ax+3 的图象经过点 P（2，3） （1）求 a 的值和图象的顶点坐标 （2）点 Q（m，n）在该二次函数图象上 当 m2 时，求 n 的值； 若点 Q 到 y 轴的距离小
27、于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 【分析】（1）把点 P（2，3）代入 yx2+ax+3 中，即可求出 a； （2）把 m2 代入解析式即可求 n 的值； 由点 Q 到 y 轴的距离小于 2，可得2m2，在此范围内求 n 即可； 解：（1）把点 P（2，3）代入 yx2+ax+3 中， a2， yx2+2x+3（x+1）2+2， 顶点坐标为（1，2）； （2）当 m2 时，n11， 点 Q 到 y 轴的距离小于 2， |m|2， 2m2， 2n11； 六、（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分） 21（12 分）如图，将矩形 ABCD 沿 CE 向上折叠，使点 B 落在
28、 AD 边上的点 F 处 （1）找出图中的相似（不全等）三角形，并证明； （2）若 AEBE，则长 AD 与宽 AB 的比值是多少？ 【分析】（1）由四边形 ABCD 是矩形，于是得到ADB90，根据折叠的性质得EFC B90，推出AEFDFC，即可得到结论； （2）设 AE2x，则 BE3x，由勾股定理求出 AFx，由相似三角形的性质求出 DF2x，则可 求出答案 解：（1）AEFDFC 证明：四边形 ABCD 是矩形， ADB90， 根据折叠的性质得EFCB90， AFE+AEFAFE+DFC90， AEFDFC， AEFDFC （2）设 AE2x，则 BE3x， AB5x， 将矩形 AB
29、CD 沿 CE 向上折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处， BEEF3x， AFx， AEFDFC， ， ， DF2x， ADAF+DFx+2x3x， 22（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于 A，B（4，0）两点，与 y 轴 交于点 C（0，4） （1）求此抛物线的函数表达式及点 A 的坐标； （2）已知点 D（1，1），在直线 AD 上方的抛物线上有一动点 P（x，y）（1x4），求ADP 面 积的最大值 【分析】（1）用待定系数法求得解析式，再把 y0 代入求得的解析式，便可求得 A 点坐标； （2）用待定系数法求出直线 AD 的解析式，再过 P 作 PEx
30、 轴于 F，与 AD 交于点 E，由三角形的面积 公式求出解析式，进而根据二次函数的性质求得符合条件的最大值便可 解：（1）把 B（4，0）和 C（0，4）代入中得， ， ， 抛物线的解析式为：y+x+4， 令 y0，得 y+x+40， 解得，x4（舍），或 x2， A（2，0）； （2）设直线 AD 的解析式为：ykx+m（k0），则 ， 解得， AD 的解析式为：yx， 过点 P 作 PEx 轴于 F，与 AD 交于点 E，如图， P（x，y），即 P（x，+x+4）， E（x，x）， PE+x+， ADP 面积（+x+） （1+2） +2x+7， 14， ADP 面积的最大值为 七、（本
31、大题满分 14 分） 23（14 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，AE 与 CD 相交于点 F，过点 E 作 EG CD 交 AC 的延长线于点 G若 AE 平分BAC，CECF （1）求证：ABCACD； 求证：EGCCBD （2）如图 2，若BAC90，AD2，BD6，求 CG 的长 【分析】（1）根据等边对等角、角平分线的定义及三角形的外角性质可得结论；证明CEG DCB，ABCG，从而可得结论； （2）判定AEBAEG（AAS），从而可得 AGAB由ABCACD，可得比例式，从而求得 AC 的值，再利用 CGAGAC 计算即可 解：（1）证明：CECF， CEFCFE AE 平分BAC， BAECAE， 又CEFABC+BAE，CFEACD+CAE， ABCACD； 证明：EGCD， CEGDCB，ACDG， ABCACD， ABCG， EGCCBD； （2）在AEB 和AEG 中， AEBAEG（AAS）， AGAB ABCG， AD2，BD6， ABAD+BD2+68， AG8 ABCACD，BACCAD， ABCACD， AB：ACAC：AD， AC2AB AD8216， AC4（舍负）， CGAGAC844