1、 一、选择题一、选择题 1. （2019潍坊）抛物线 y=x2bx+3 的对称轴为直线 x=1若关于 x 的一元二次方程 x2bx+3t=0（t 为实数） 在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A2t11 Bt2 C6t11 D2t6 【答案】A 【解析】由题意得：1 2 b ，b=2，抛物线解析式为 y=x22x+3，当1x4 时，其图象如图所示： 从图象可以看出当 2t11 时，抛物线 y=x22x+3 与直线 y=t 有交点，故关于 x 的一元二次方程 x2bx+3t=0 （t 为实数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是 2t11，故选择 A 方法二：把
2、y=x22x+3t（1x4）的图象向下平移 2 个单位时图象与 x 轴开始有交点，向下平移 11 个单 位时开始无交点，故 2t11，故选择 A 2. （2019淄博）将二次函数 2 4yxxa 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数 图象与直线 y2 有两个交点，则a的取值范围是 （ ） A. 3a B. 3a C. 5a D. 5a 【答案】D. 【解析】 22 4(2)(4)yxxaxa，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为 2 (1)(3)yxa， 令 2 2(1)(3)xa，即 2 240 xxa， 由44(4)0a，得5a. 3. （2019湖州）已知
3、 a，b 是非零实数， ab ，在同一平面直角坐标系中，二次函数 y1ax2bx 与一次函 数 y2axb 的大致图象不可能是（ ） 【答案】D 【解析】由 2 yaxb yaxbx ，解得 1 1 1x yab ， 2 2 0 b x a y ，故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1，ab)和 ( b a ，0)对于 D 选项，从直线过第一、二、四象限可知：a0，b0ab，ab0从而(1，a b)在第四象限，因此 D 选项不正确，故选 D 二、填空题二、填空题 14 （2019安徽）安徽）在平面直角坐标系中，垂直于 x 轴的直线 l 分别与函数 y=xa+1 和 y=x22a x 的图象相交
4、于 P，Q 两点，若平移直线 l，可以使 P，Q 都在 x 轴的下方，则实数 a 的取值范围是 . 【答案】【答案】a1 或 a1 【解析】【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，平移的性质，以及数形结合，解题的关键 是结合题意，画出图象，利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量 x 在某个范围内，两个函数的值都小 于 0，即两个函数交点中较小的值小于 0.假设该两个函数的交点位于 x 轴上，则 xa10，xa1，代入二 次函数的表达式中，得：(a1)22a(a1)0，解得：a1 或 a1. 当 a1 时，随着 a 的变大，直线向右平移运动，抛物线向右、向下平移运算
5、，如图，此时直线与抛物线的最底 交点位于第四象限；当 a1 时，随着|a|的变大，直线向左平移运动，抛物线向左、向下平移运算，此时直线 与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述，a 的取值范围为 a1 或 a1. 1. （2019潍坊）如图，直线 y=x+1 与抛物线 y=x24x5 交于 A，B 两点，点 P 是 y 轴上的一个动点当 PAB 的周长最小时，SPAB= x y 1O O y x y x O Ox y y O x A B C D 【答案】12 5 【解析】解方程组 2 1 45 yx yxx ，得： 1 1 1 2 x y ， 2 2 4 5 x y A（1，2）, B（4，5
6、）, 作点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 AB 交 y 轴于点 P 则 A（1， 2）. 设直线 AB 解析式为 y=kx+b， 则 2 45 kb kb ， 解得： 3 , 5 13 5 k b 直线 AB： 313 55 yx 当PAB 的周长最小时，点 P 的坐标为（0，13 5 ） 设直线 AB 与 y 轴的交点为 C，则 C（0，1） SPAB=SPCBSPCA = 113113 (1) 4(1) 1 2525 = 12 5 . 2. （2019乐山） 如图，点P是双曲线C： x y 4 （ 0 x ）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB： 2 2 1 xy 于点Q，连结OP
7、，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时， POQ 面积的最大值 是 . 【答案答案】3 【解析】【解析】点P是双曲线C： x y 4 （0 x）上的一点，可设点 P 坐标为（m， 4 m ） ，PQx轴，Q在 2 2 1 xy图象上，上，Q 坐标为（m， 1 2 2 m ） ，PQ= 4 m -( 1 2 2 m )，POQ面积 = 1 2 m 4 m -( 1 2 2 m =2 1 23 4 m，当 m=2 时，POQ面积的最大值为 3. 三、解答题三、解答题 22. （20192019 浙江省杭州市，浙江省杭州市，2222，1212 分）分）(本题满分 12 分) 设二次函数 y
8、=(x-x1)(x-x2)( x1,x2是实数) （1）甲求得当 x=0 时，y=0；当 x=1 时，y=0；乙求得当 x= 1 2 时，y=- 1 2 .若甲求得的结果都正确你认为乙求得 的结果正确吗?说明理由. (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值.(用含 x1,x2的代数式表示). (3)已知二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m，n 是实数)，当 0 x1x21 时. 求证: 0mn 1 16 . 【解题过程】【解题过程】 （1）当 x=0 时，y=0；当 x=1 时，y=0；二次函数经过点（0，0） ， （1，0） ， x1=0，x2=1，y=x（x-1）=x
9、 2-x， 当 x=时，y=-，乙说点的不对； （2）对称轴为 x=，当 x=时，y=-是函数的最小值； （3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，m=x1x2，n=1-x1-x2+x1x2， mn=- 0 x1x21，0-，0- 1 4 ， 0mn 1 16 26 （2019淮安淮安）如图，已知二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点，D 为顶点，其中点 B 的坐标为(5，0)， 点 D 的坐标为(1，3). (1)求该二次函数的表达式； (2)点 E 是线段 BD 上的一点，过点 E 作 x 轴的垂线，垂足为 F，且 ED=EF，求点 E 的坐标； (3)试问在该二次函数图象上
10、是否存在点 G，使得ADG 的面积是BDG 的面积的 5 3 ？若存在，求出点 G 的坐 标；若不存在，请说明理由. 第 26 题图 第 26 题备用图 【解题过程】【解题过程】解解： （1）二次函数的顶点 D 的坐标为(1，3)，且函数图象过点 B(5，0)， 设函数解析式为3) 1( 2 xay，则03) 15( 2 a， 16 3 a， 该二次的数的解析式为3) 1( 16 3 2 xy，即 16 25 8 3 16 3 2 xxy. （2）如图所示， 第 26 题答图 1 DCx 轴，EFx 轴， BEFBDC， DC EF BD BE ， 设 EF=ED=m，则 35 5mm ， m
11、= 8 15 ， BF= 2 5 8 15 3 4 ， 2 5 2 5 5OF， E（ 2 5 2 5， ） （3）根据题意知 A、B 两点直线 DG 的距离之比为 5:3，分两种情形： A、B 两点在直线 DG 的同旁，如图 2，则有 5 3 BM AN ， 第 26 题答图 2 由HANHBN 得 BM AN BH AH ， AH=12，H(-15，0)， 又D 的坐标为(1，3). 设 DH 的解析式为：y=kx+b， 则 3 015 bk bx ，解得 16 45 16 3 b k ， DH 的解析式为 16 45 16 3 xy. 点 G 为直线 DH 与抛物线 16 25 8 3
12、16 3 2 xxy的另个交一个交点， 由 16 25 8 3 16 3 16 45 16 3 2 xxy xy 得 16 45 0 y x 或 3 1 y x ， G(0， 16 45 ). A、B 两点在直线 DG 的两旁，如图 3，则有 5 3 BM AN ， 第 26 题答图 3 5 3 OB OA ， 直线 DG 经过点 O，其解析为 y=3x. 由 16 25 8 3 16 3 3 2 xxy xy 得 45 15 y x 或 3 1 y x ， G(-15，-45). 综上所述，存在符合条件的点 G，其坐标为(0， 16 45 )或(-15,-45). 26(2019泰州泰州)
13、已知一次函数 y1kxn(n0)和反比例函数 y2m x (m0,x0) (1)如图 1,若 n2,且函数 y1、y2的图象都经过点 A(3,4) 求 m、k 的值; 直接写出当 y1y2时 x 的范围; (2)如图 2,过点 P(1,0)作 y 轴的平行线 l 与函数 y2的图象相交于点 B,与反比例函数 y3n x(x0)的图象相交于点 C 若 k2,直线 l 与函数 y1的图象相交于点 D当点 B、C、D 中的一点到另外两点的距离相等时,求 mn 的值; 过点 B 作 x 轴的平行线与函数 y1的图象相交于点 E当 mn 的值取不大于 1 的任意实数时,点 B、C 间的距离 与点 B、E
14、 间的距离之和 d 始终是一个定值求此时 k 的值及定值 第 26 题图 【解题过程】【解题过程】 (1)y2 m x (m0,x0),过点A(3,4),4 3 m ,m12,反比例函数表达式为y2 12 x .又点A(3,4)y1 kx+n 的图象上,且 n2,43k2,k2,所以一次函数表达式为 y12x2. 由图象可知,两个函数图象交点 A 的坐标为(3,4),所以当 x3 时,y1y2. (2)因为 k2,所以一次函数表达式为 y2x+n,直线 l 过点 P(1,0),D(1,2+ n),B(1,m),C(1, n),又点 B、C、D 中的一点到另外两点的距离相等,BDBC 或 BDD
15、C 或 BCCD,2+ nmmn;或 m(2+ n)2+ nn, 或 mnn(2+n),可得 mn1 或 mn4 或 mn2; 由题意可知,B(1,m),C(1, n),当 y1m 时,kx+nm,x k nm 即点 E 的横坐标为 k nm dBC+BE k nm nm 11) 1 1)( k nm,mn 的值取不大于 1 的任意实数时, d 始终是一个定值,0 1 1 k , k1,从而 d1. 26 （20192019株洲株洲）已知二次函数 2 (0)yaxbxc a （1）若 al，b2，c1求该二次函数图象的顶点坐标；定义：对于二次函数 2 (0)ypxqxr p，满足方程yx的 x
16、 的值叫做该二次函数的“不动点”求证：二次函数 2 yaxbxc有两个不同的“不动点” （2）设 b 3 1 2 c，如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 2 yaxbxc的图象与 x 轴分别相交 于不同的两点 A( 1 x，0)，B( 2 x，0)，其中 1 x0， 2 x 0，与 y 轴相交于点 C，连结 BC，点 D 在 y 轴 的正半轴上， 且 OCOD， 又点 E 的坐标为(1， 0)， 过点 D 作垂直于 y 轴的直线与直线 CE 相交于点 F， 满足AFCABCFA 的延长线与 BC 的延长线相交于点 P，若 2 PC5 PA 51a ，求该二次函数的 表达式 【解题
17、过程】【解题过程】解： （解： （1 1）a al l，b b2 2，c c1 1 y=xy=x 2 2- -2 2x x- -1= 1=（x x- -1)1) 2 2- -2 2 顶点坐标为（顶点坐标为（1 1，- -2 2） ；） ； 当当 y=xy=x 时，时，x=x=x x 2 2- -2 2x x- -1, 1, x x 2 2- -3 3x x- -1=0 1=0， =9+4=130=9+4=130 有两个不相同的实数根，即有两个“不动点” 。有两个不相同的实数根，即有两个“不动点” 。 （2 2） AFCAFCABCABC，AEFAEFBECBEC， AEFAEFCEBCEB，
18、AEEF CEEB ， DFDFOEOE，OC=OD,OC=OD, OEOE 为为CDFCDF 的中位线，的中位线， E(1,0)E(1,0)， C(0C(0，c);c); CE=CE= 2 1 C =EF=EF A(xA(x1 1,0),B(x,0),B(x2 2，0),0), AE=1AE=1- -x x1 1，BE=xBE=x2 2- -1 1， 2 1 2 2 1-+1 1 1 xc x c ，1+c1+c 2 2=(1 =(1- -x x1 1)(x)(x2 2- -1)=x1)=x1 1+x+x2 2- -x x1 1x x2 2- -1 1， 2 2 bcbc c aaa ， b
19、 b 3 1 2 c ， 3 2 2 1 (2) 2 2 2 cc c c c aa c=c=- -2a.2a. AFCAFCABCABC，P=P=P P PFCPFCPBAPBA， PCCF PAAB 2 PC5 PA 51a ，CF=2CE,AB=xCF=2CE,AB=x2 2- -x x1 1, , 2 2 21 215 51 c xx a 2 21 4bac xx a ，b b 3 1 2 c ，c=c=- -2a.2a.， a a 2 2=1, =1, a0,a0, a=1.a=1. b=b=- -4 4，c=c=- -2 2， 二次函数的表达式为二次函数的表达式为 y=xy=x 2
20、 2- -4x 4x- -2 2 22 （2019安徽）安徽）一次函数 y=kx+4 与二次函数 y=ax2+c 的图象的一个交点坐标为（1，2） ，另一个交点是该二 次函数图象的顶点. （1）求 k，a，c 的值； （2）过点 A（0，m）(0m4)且垂直于 y 轴的与二次函数 y=ax2+c 的图象相交于 B，C 两点，点 O 为坐标原 点，记 W=OA2+BC2，求 W 关于 m 的函数解析式，并求 W 的最小值. 解： （1）因为点（1，2）在一次函数 y=kx+4 的图象上，所以 2=k+4，因为一次函数 y=kx+4 与二次函数 y=ax2+c 图象的另一个交点是该二次函数图象的顶
21、点，则（0，c） 在一次函数 y=kx+4 的图象上，即 c=4. 又点（1，2）也在二次函数 y=ax2+c 的图象上， 所以 2=a+c，从而 a=2. （2）方法一：因为点 A 的坐标为（0，m）(0m4)，过点 A 且垂直于 y 轴的直线与二次函数 y=2x2+4 的图 象交于点 B，C，所以可设点 B 的坐标为（x0，m） ，由对称性得点 C 的坐标为（x0，m） ，故 BC=2| x0 |. 又点 B 在二次函数 y=2x2+4 的图象上， 所以2x02+4=m，即 x02=2 2 m ，从而 BC2=4 x02=82m. 又 OA=m， 从而 W=OA2+BC2=m22m+8=(
22、m1)2+7(0m4)， 所以 m=1 时，W 有最小值 7. 1. (2019台州)已知函数 yx2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点(2,4). (1)求 b,c 满足的关系式; (2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当 b 的值变化时,求 n 关于 m 的函数解析式; (3)若该函数的图象不经过第三象限,当5x1 时,函数的最大值与最小值之差为 16,求 b 的值. 解：解：(1)将点(2,4)代入 yx2+bx+c,得 4(2)22b+c,c2b,b,c 满足的关系式是 c2b. (2) 把 c2b 代入 yx2+bx+c,得 yx2+bx+2b,顶点坐标是(m,n),nm2
23、+bm+2b,且 m 2 b ,即 b2m,n (3) m24m.n 关于 m 的函数解析式为 nm24m. (4) 由(2)的结论,画出函数 yx2+bx+c 和函数 yx24x 的图象.函数 yx2+bx+c 的图象不经过第三象限, (5) 4 2 b 0.当4 2 b 2,即 4b8 时,如图 1所示,x1 时,函数取到最大值 y1+3b,x 2 b 时, 函数取到最小值 y 2 8 4 bb ,(1+3b) 2 8 4 bb 16,即 b2+4b600,b16,b210(舍去);当2 2 b 0, 即b0)的图象交 于点 A(m,8)与点 B(4,2). 求一次函数与反比例函数的解析式
24、; 根据图象说明,当 x 为何值时,k1x+b 2 k x 0),当 y8 时,8 8 x ,所以x1,所以点A坐标为(1,8),将A(1,8),B(4,2)代入y1k1x+b,可得 1 1 8= 24 kb kb + =+ ,所以 1= 2 10 k b - = ,一次函数解析 式为 y12x+10; k1x+b 2 k x 0,即 k1x+b 2 k x ,即 y1y2,因为 A(1,8),B(4,2),由图象可知 x 的取值范围为:0x4. 25 （20192019长沙长沙） （10 分）已知抛物线 y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)(b，c为常数) （1）若抛物线的顶点坐标为
25、(1，1)，求 b，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数 m，n( mn)，当 mxn 时，恰好有 21 m m 1 2y 21 n n ，求 m， n 的值 【解题过程】【解题过程】(1)由题可设：y=2(x1)21，去括号得：y=2x24x1 12020 42 c b ，解得 2019 6 c b (2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)， 代入解析式可得： 202022 202022 0 2 00 0 2 00 cxbxy cxbxy ， 两式相加可得：4x022(
26、c2020)=0， c=2x022020，c2020 (3) 由(1)可知抛物线 y=2x24x1=2(x1)21，y1， 0mn，当 mxn 时，恰好有 122 1 12 n n ym m ， m y n 11 ， 1 1 m 即 m1，1mn， 抛物线对称轴 x=1，开口向下，当 mxn 时，y 随 x 增大而减小， 当 x=m 时，ymax=2m24m1，当 x=n 时，ymax=2n24n1， 又 m y n 11 m mm n nn 1 142 1 142 2 2 ， 将整理得：2n34n2n1=0， 变形得：(2n32n2)(2n2n1)=0，即 2n2(n1)(2n1)(n1)=
27、0， (n1)(2n22n1)=0， n1， 2n22n1=0， n1= 2 31 (舍去)，n2= 2 31 ， 同理整理得：(m1)(2m22m1)=0， 1mn，m1=1，m2= 2 31 (舍去)，m3= 2 31 (舍去)， 综上所述：m=1，n= 2 31 三、解答题三、解答题 24 （2019仙桃）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y=ax 2+2x1(a0)和直线 l：y=kx+b，点A(3， 3)，B(1，1)均在直线l上 (1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围； (2)当a=-1，二次函数y=ax 2+2x1 的自变量 x满足mxm+2 时，函数y的最大值为4， 求
28、m的值； (3)若抛物线C与线段 AB 有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围 解析：本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系 （1）先求出直线的解析式，然后将二次函数解析式与一 次函数解析式组成方程组， 利用根的判别式0， 求出 a 的取值范围； （2） 对自变量的取值范围在对称轴的左、 右两侧进行分类，结合增减性求出 m 的值； （3）由于抛物线经过（0，-1）这一定点，将抛物线分开口向上和开 口向下两种情况求出 a 的取值范围. 答案：解：(1)将A(3，3)，B(1，1)代入y=kx+b中得： 33 1 kb kb ，解得 1 2 3 2 k b 直线l的解析式为： 13 22 y
29、x. 抛物线C与直线l有交点, ax 2+2x1=1 3 22 x有实数根， 2ax 2+3x+1=0, =9-8a0, 9 8 a a 的取值范围是 9 8 a且 a0. (2)当a=-1 时，抛物线为：y=-x 2+2x-1=-(x-1)2,对称轴为 x=1, 当mxm+2 在对称轴的左侧时，即 m+21 时，m1 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x=m 时，函数y的最大值为-4， m=3. (3)当 a0 时，对称轴 1 0 x a ，将A(3，3) 代入y=ax 2+2x1 得， 4 9 a 当 49 98 a时，抛物线C与线段 AB 有两个不同的交点。 综上所述：抛物线C与线段
30、AB 有两个不同的交点时， 49 98 a或 a-2. 26 （2019 北京）北京） 数学试卷 第 8 页（共 8 页） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 1 yaxbx a =+-与y轴交于点 A，将点 A 向右平移 2 个单位长度，得到点 B， 点 B 在抛物线上 （1）求点 B 的坐标（用含a的式子表示） ； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点 11 ( ,) 2 P a -，(2,2)Q若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 【解题过程】【解题过程】 （1）当 x=0 时，抛物线 2 11 yaxbx aa =+-=-； 抛物线与 y 轴交点 A
31、点的坐标为 1 0, a ， 由点 A 向右平移 2 个单位长度得点 B 的坐标为 1 2, a ；即 1 (2,)B a -. （2）由 A 1 0, a 、B 1 2, a 两点的纵坐标相同，得 A、B 为对称点.抛物线对称轴方程为 02 1 2 x ；即 直线1x =. （3）当0a 时， 1 0 a . 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点 A 和点 P；也不可 能同时经过点 B 和点 Q，所以线段 PQ 和抛物线没有交点. 当0a 时， 1 0 a . 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点 A 和点 P；但当点 Q 在点 B 上方或与点 B 重
32、合时，抛物线与线段 PQ 恰好有一个公共点，此时 1 2 a ，即 1 2 a . 综上所述：当 1 2 a 时，抛物线与线段 PQ 恰好有一个公共点. 23. （2019本溪）本溪）工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发，批 发单价 y（元）与一次性批发量 x（件） （x 为正整数）之间满足如图所示的函数关系. （1）直接写出 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若一次性批发量不超过 60 件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 解：（1）当 0 x20 且 x 为整数时，y=40； 当 20 x
33、60 且 x 为整数时，y=- 1 2 x+50； 当 x60 且 x 为整数时，y=20； （2）设所获利润 w（元）， 当 0 x20 且 x 为整数时，y=40， w=(40-16) 20=480 元， 当 0 x20 且 x 为整数时，y=40， 当 20 x60 且 x 为整数时，y=- 1 2 x+50， w=(y-16)x=(- 1 2 x+50-16)x， w=- 1 2 x2+34x，w=- 1 2 （x-34）2+578， - 1 2 0，当 x=34 时，w 最大，最大值为 578 元 答：一次批发 34 件时所获利润最大，最大利润是 578 元 【知识点】【知识点】二次函数的应用