1、 一、选择题一、选择题 7 （2019嘉兴）嘉兴）如图，已知O上三点A，B，C，半径OC1，ABC30，切线PA交OC延长线于点 P，则PA的长为（ ） A2 B C D 【答案】【答案】B 【解析】连接【解析】连接 OA，因为，因为 ABC=30，所以，所以AOC=60，又因为，又因为 PA 为切线，所以为切线，所以OAP=90，因为，因为 OC=1，所以，所以 PA=3. 3.（20192019杭州）杭州）如图，P 为O 外一点，PA、PB 分别切O 于 A、B 两点，若 PA=3，则 PB= （ ） A2 B.3 C.4 D.5 【答案答案】B B 【解析】【解析】因为 PA 和 PB
2、与O相切，根据切线长定理，可知： PA=PB=3，故选 B 12 （2019烟台）烟台）如图，AB 是O的直径，直线 DE 与O相切于点 C，过点 A，B 分别作ADDE， BEDE，垂足为点 D，E，连接 AC，BC若3AD ，3CE ，则AC的长为（ ） A 2 3 3 B 3 3 C 3 2 D 2 3 3 【答案答案】D 【解题过程】【解题过程】连接连接 OC， 因为因为ADDE，BEDE， 所以所以90ADCCEB P O A B C O DE B A 第 12 题答图 所以所以90DACACD 因为因为 AB 是是O的直径，的直径， 所以所以90ACB， 所以所以90BCEACD，
3、 所以所以BCEDAC， 在在ADC 与与CED, 因为因为90ADCCEB，BCEDAC 所以所以ADCCED, 所以所以 3 3 3 BCCE ACAD 在在 RtACB 中，中，sin3 BC BAC AC ， 所以所以60BAC， 又因为又因为OAOC， 所以所以AOC 是等边三角形，是等边三角形， 所以所以60ACO， 因为直线因为直线 DE 与与 O相切于点相切于点 C， 所以所以OCDE， 因为因为ADDE，OCDE， 所以所以 AD/OC， 所以所以60DACACO， 所以所以9030ACDDAC， 所以所以22 3ACAD， 所以所以AOC 是等边三角形，是等边三角形， 所以
4、所以2 3OAAC，60AOC， 所以所以AC的长为 602 32 3 1803 9 （2019陕西）如图，AB 是O 的直径，EF，EB 是O 的弦，且 EFEB，EF 与 AB 交于点 C，连接 OF，若AOF40，则F 的度数是（ ） A20 B35 C40 D55 【分析】连接 FB，得到FOB140，求出EFB，OFB 即可 【解答】解：连接 FB AOF40， FOB18040140， FEBFOB70 EFEB EFBEBF55， FOBO， OFBOBF20， EFOEBO， EFOEFBOFB35， 故选：B 【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟
5、练掌握基本知识，属于中考 常考题型 12 （2019威海）威海） 如图，P 与 x 轴交与点 A（5，0） ，B（1，0） ，与 y 轴的正半轴交于点 C，若ACB60，则点 C 的纵坐标为 A. 133 B. 2 23C. 4 2D. 2 22 【答案答案】D x y C P A B O 【解题过程】连接【解题过程】连接 PA、PB、PC,过点过点 P 分别作分别作 PFAB，PEOC，垂足为 F,E. 由题意可知：四边形 PFOE 为矩形， PEOF,PFOE. ACB60 ， APB120 . PAPB， PABPBA30 . PFAB， AFBF3. PEOF2. tan30 PF A
6、F ,cos30 AF AP ， PF3,AP2 3. OE3,PC2 3. 在 RT PEC 中，CE 22 PCPE2 2， OCCEEO2 22. 5 如图，线段 AB 经过O 的圆心，AC BD 分别与O 相切于点 D.若 AC= BD = 4,A=45， 则圆 弧 CD 的长度为（ ） A. B. 2 C. 22 D.4 【答案】B 【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与O相切于C,D， x y E C P F A B O 所以ACO=DBO=90, 所以AOC=A=45, 所以 CO=AC=4，因为 AC=BD,CO=DO,所以ACOBDO,所以DOB=AOC=45，所以DO
7、C=180- DOB-AOC=180-45-45=90，CD= 904 180 =2，故选 B. 9 （2019益阳）益阳）如图，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长线交 圆 O 于点 D，下列结论不一定成立的是（） A. PA=PBB.BPDAPDC.ABPDD.AB 平分 PD 第 9 题图 【答案】D 【解析】PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O 于点 D， PA=PB，BPDAPD，故 A、B 正确； PA=PB，BPDAPD，PDAB，PD 平分 AB，但 AB 不一定平
8、分 PD，故 C 正确，D 错误. 7 （2019黄冈黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB） ，点O是这段弧所在圆的圆心，AB40m， 点C是AB的中点，点D是AB的中点，且CD10m.则这段弯路所在圆的半径为（） A.25m B.24m C.30m D.60m 【答案】【答案】A 【解析】【解析】连接OD，由垂径定理可知O，C，D在同一条直线上，OCAB，设半径为r，则OCOAr，AD 20，ODOACDr10，在Rt ADO，由勾股定理知：r2202(r10)2，解得r25. (第7题图) O D C B A 9 （2019 陇南） 陇南） 如图， 点 A， B， S 在圆上， 若
9、弦 AB 的长度等于圆半径的倍， 则ASB 的度数是 （ ） A22.5 B30 C45 D60 【答案答案】C 【解析】【解析】作 AB 的垂直平分线，交圆与点 C，D，设圆心为 O，CD 与 AB 交于点 E，AB=2OA，AE= 2 2 OA， 2 2 2 sin 2 OA OE AOE OAOA ,AOE=45，AOB=90， ASB=45， 故选：C 1. （2019 滨州） 滨州） 如图， AB 为O 的直径， C， D 为O 上两点， 若BCD40， 则ABD 的大小为 （ ） A60 B50 C40 D20 【答案】【答案】B 【解析】【解析】如图，连接 AD，AB 为O 的直
10、径，ADB=90 A 和BCD 都是弧 BD 所对的圆周角， A=BCD=40 ，ABD=9040=50 故选 B A B C D O 2. (2019聊城聊城)如图,BC 是半圆 O 的直径,D,E 是BC上两点,连接 BD,CE 并延长交于点 A,连接 OD,OE,如果 A70,那么DOE 的度数为 A.35 B.38 C.40 D.42 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 A70,B+C110,BOE+COD220,DOEBOE+COD180 40,故选 C. 3.（2019潍坊）潍坊）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为直径，AD=CD过点 D 作 DEAB 于点 E连 接 A
11、C 交 DE 于点 F若 sinCAB= 3 5 ，DF=5，则 BC 的长为（） A8 B10 C12 D16 【答案答案】C 【解析】【解析】连接 BD AD=CD，DAC=ACD AB 为直径，ADB=ACB=90DAB+ABD=90 DEAB，DAB+ADE=90ADE=ABD ABD=ACD，DAC=ADEAF=DF=5 在 RtAEF 中，sinCAB= 3 5 EF AF EF=3，AE=4DE=3+5=8 由 DE2=AE EB，得 22 8 16 4 DE BE AE AB=16+4=20 在 RtABC 中，sinCAB= 3 5 BC AB BC=12 4. 4. （20
12、192019凉山）凉山）下列命题：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；两点之间线段 最短；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦其中，真命题的个数（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等 圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有是对的，故选 A. 5.（2019眉山）眉山）如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD垂足是点 E，CAO=225，OC=6， 则 CD 的长为 A6 2 B3 2 C6 D12 【答案】【答案】A 【解析
13、】【解析】A=22.5，COE=45，O 的直径的直径 AB 垂直于弦垂直于弦 CD，OC=6，CEO=90， COE=45，CE=OE= 2 2 OC3 2，CD=2CE=6 2，故选，故选 D. 6. （2019 衢州） 衢州） 一块圆形宣传标志牌如图所示， 点A， B， C在O上， CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm， DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A） A.6dm B.5dm C.4dm D.3dm 【答案】【答案】B 【解析】 连接【解析】 连接 OD， OB， 则， 则 O， C， D 三点在一条直线上， 因为三点在一条直线上， 因为 CD 垂直平分 AB， AB=8
14、dm， 所以 BD=4dm,OD= （r-2）dm，由勾股定理得 42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选 B. 7.(2019泰安泰安) 如图,ABC 是O 的内接三角形,A119,过点 C 的圆的切线交 BO 于点 P,则P 的 度数为 A.32 B.31 C.29 D.61 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 连接 CO,CF,A119,BFC61,BOC122,COP58,CP 与圆相切于点 C,OCCP,在 RtOCP 中,P90COP32,故选 A. 二、填空题二、填空题 7 （2019嘉兴）嘉兴）如图，已知O上三点A，B，C，半径OC1，ABC30，切线PA交OC延长线于点
15、P，则PA的长为（ ） A2 B C D 【答案】【答案】B 【解析】连接【解析】连接 OA，因为，因为 ABC=30，所以，所以AOC=60，又因为，又因为 PA 为切线，所以为切线，所以OAP=90，因为，因为 OC=1，所以，所以 PA=3. 3.（20192019杭州）杭州）如图，P 为O 外一点，PA、PB 分别切O 于 A、B 两点，若 PA=3，则 PB= （ ） A2 B.3 C.4 D.5 【答案答案】B B 【解析】【解析】因为 PA 和 PB 与O相切，根据切线长定理，可知： PA=PB=3，故选 B 12 （2019烟台）烟台）如图，AB 是O的直径，直线 DE 与O相
16、切于点 C，过点 A，B 分别作ADDE， BEDE，垂足为点 D，E，连接 AC，BC若3AD ，3CE ，则AC的长为（ ） A 2 3 3 B 3 3 C 3 2 D 2 3 3 P O A B 【答案答案】D 【解题过程】【解题过程】连接连接 OC， 因为因为ADDE，BEDE， 所以所以90ADCCEB 所以所以90DACACD 因为因为 AB 是是O的直径，的直径， 所以所以90ACB， 所以所以90BCEACD， 所以所以BCEDAC， 在在ADC 与与CED, 因为因为90ADCCEB，BCEDAC 所以所以ADCCED, 所以所以 3 3 3 BCCE ACAD 在在 RtA
17、CB 中，中，sin3 BC BAC AC ， 所以所以60BAC， 又因为又因为OAOC， 所以所以AOC 是等边三角形，是等边三角形， 所以所以60ACO， 因为直线因为直线 DE 与与 O相切于点相切于点 C， 所以所以OCDE， 因为因为ADDE，OCDE， 所以所以 AD/OC， 所以所以60DACACO， 所以所以9030ACDDAC， 所以所以22 3ACAD， 所以所以AOC 是等边三角形，是等边三角形， 所以所以2 3OAAC，60AOC， 所以所以AC的长为 602 32 3 1803 12 （2019威海）威海） C O DE B A 第 12 题答图 如图，P 与 x
18、轴交与点 A（5，0） ，B（1，0） ，与 y 轴的正半轴交于点 C，若ACB60，则点 C 的纵坐标为 B. 133 B. 2 23C. 4 2D. 2 22 【答案答案】D 【解题过程】连接【解题过程】连接 PA、PB、PC,过点过点 P 分别作分别作 PFAB，PEOC，垂足为 F,E. 由题意可知：四边形 PFOE 为矩形， PEOF,PFOE. ACB60 ， APB120 . PAPB， PABPBA30 . PFAB， AFBF3. PEOF2. tan30 PF AF ,cos30 AF AP ， PF3,AP2 3. OE3,PC2 3. 在 RT PEC 中，CE 22
19、PCPE2 2， OCCEEO2 22. 16（2019 娄底） 娄底） 如图 （9） ， C、 D两点在以AB为直径的圆上， AB2， ACD30， 则AD_ x y C P A B O x y E C P F A B O 【答案】【答案】1 【解析】【解析】如图，图 91，连结 AD， 由 AB 为O 的直径， ADB90， 又在O 中有ACD30, BACD30， 11 21 22 ADAB 17 （2019衡阳衡阳）已知圆的半径是已知圆的半径是 6，则圆内接正三角形的边长是，则圆内接正三角形的边长是 【答案】【答案】63 【解析】【解析】如图，作 ODBC 于 D，OB6，OBD30，
20、BD 1 2 BC33，BC63，故答案为 63 13 （2019安徽）安徽）如图，ABC 内接于O，CAB=30，CBA=45，CDAB 于点 D，若O 的 半径为 2，则 CD 的长为 . 【答案】【答案】2 【解析】【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是 解题的关键连接 CO 并延长交O 于 E，连接 BE，于是得到E=A=30，EBC=90，解直角三角 形即可得到结论连接 CO 并延长交O 于 E，连接 BE， 则E=A=30， EBC=90， O 的半径为 2， CE=4， BC= 2 1 CE=2， CDAB， CBA=45，
21、D CB O A CD= 2 2 BC=2，故答案为2 16（20192019株洲）株洲）如图所示，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，且 OCAB，过点 C 的弦 CD 与线段 OB 相交于点 E，满足AEC65 ，连接 AD，则BAD度 第 16 题 【答案答案】2020 【解析】如图，连接 DO，因为 COAB,所以COB=90，AEC65，C=25， OD=OC,ODC=C=25，DCO 中，DOC=130，DOB=40，2BAD=DOB,BAD=20。 1.（2019凉山州）凉山州）如图所示，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，A =30，CD =23，则O 的半 径是_ 【
22、答案答案】2 【解析】【解析】 连接OC， 则OA=OC， A=ACO=30， COH=60， OBCD， CD=23， CH=3， OH=1，OC=2. 16 (2019 泰州 泰州)如图,O 的半径为 5,点 P 在O 上,点 A 在O 内,且 AP3,过点 A 作 AP 的垂线交于O 点 B、C.设 PBx,PCy,则 y 与 x 的函数表达式为_. 第 16 题图 【答案】【答案】 30 y x 【解【解析析】 过点 O 作 ODPC 于点 D 连接 OP,OC,因为 PCy,由垂径定理可得 DC 2 y ,因为 OPOC,所以 COD 1 2 POC,由圆周角定理,B 1 2 POC
23、,所以CODB,所以CODPBA, PABP CDOC ,即 3 5 2 x y ,整理可得函数表达式为: 30 y x . 14 （2019嘉兴）嘉兴）如图，在O中，弦AB1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CDOC交O于点 D，则CD的最大值为 【答案】【答案】 1 2 【解析】连接【解析】连接 OD，因为，因为 CDOC，则有，则有 CD= 22 ODOC，根据题意可知圆半径一定，故当 OC 最小 时则有 CD 最大，故当 OCAB 时 CD=BC= 1 2 最大. 14 （2019盐城）盐城）如图，点 A、B、C、D、E 在O 上，且弧 AB 为 50 ，则EC_ 【答案】【答案】
24、155 【解析】【解析】如图，连结 OA、OB、AE，由弧 AB 为 50 可知，AOB=50 ，又AOB 和AEB 分别为弧 AB 所对的圆心角和圆周角，故 1 2 AEBAOB,即AEB=25 ，又四边形 AEDC 是O 的内接四边形，所以 ACD+AED=180 ，又AEB=25 ，可得ACD+BED=180 -25 =155 . 三、解答题三、解答题 22 （20192019 浙江省温州市，浙江省温州市，2222，1010 分）分） （本题满分 10 分） 如图，在ABC 中，BAC=90，点 E 在 BC 边上，且 CA=CE，过 A，C，E 三点的O 交 AB 于另一点 F， 作直
25、径 AD，连结 DE 并延长交 AB 于点 G，连结 CD，CF （1）求证：四边形 DCFG 是平行四边形； （2）当 BE=4，CD= 3 8 AB 时，求O 的直径长 O A C D E B O C D E B A 【解题过程】【解题过程】 （1）连接 AE. BAC=90，CF 是O 的直径. AC=EC，CFAE.AD 为O 的直径，AED=90，即 GDAE，CFDG. AD 为O 的直径，ACD=90，ACD+BAC=180，ABCD，四边形 DCFG 为平行 四边形； （2）由 CD= 3 8 AB，可设 CD=3x,AB=8x，CD=FG=3x. AOF=COD，AF=CD=
26、3x，BG=8x-3x-3x=2x. GECF，BGECDE， 2 3 BEBG EGGF . 又 BE=4，AC=CE=6，BC=6+4=10，AB= 22 10 -6=8=8x，x=1. 在 RtACF 中，AF=3，AC=6，CF= 22 3 +6=35，即O 的直径长为 35. 21 （2019 年浙江省绍兴市，第年浙江省绍兴市，第 21 题，题，10 分分 ）在屏幕上有如下内容： 如图， ABC 内接于圆 O，直径 AB 的长为 2，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D. 张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答 0 （1）在屏幕内容中添加条件D=30 ，求 AD 的长，请你
27、解答. （2）以下是小明，小聪的对话： 参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母） ，并解答. 【解题过程】【解题过程】 第22题图 O G F E D CB A 第22题图 O G F E D CB A 24 （2019 江苏盐城卷，江苏盐城卷，24，10）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为 直径的O 分别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NEAB，垂足为 E. （2）求证：NE 与O 相切. 21 （2019山西）山西）阅读以下材料,并按要求完成相应的任务: 莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler ）是
28、瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式 和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在在ABC 中中,R 和和 r 分别为外接圆和内切圆的半径分别为外接圆和内切圆的半径,O 和和 I 分别为其外分别为其外 心和内心心和内心,则则 22 =2OIRRr-. 如图 1,O和I分别是ABC 的外接圆和内切圆,I与 AB 相切于点 F,设O的半径为R,I的半径为 r,外心 O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离 OId,则有 22 =2dRRr-. 下面是该定理的证明过程（部分）: 延长 AI 交O 于点 D,过点 I 作O 的直径 MN,连接 D
29、M,AN. DN,DMINAI（同弧所对的圆周角相等）, MDIANI. IMID IAIN =.IA IDIM IN?. 如图 2,在图 1（隐去 MD,AN）的基础上作O 的直径 DE,连接 BE,BD,BI,IF. DE 是O 的直径,DBE90.I 与 AB 相切于点 F,AFI90,DBEIFA. BADE（同弧所对的圆周角相等）,AIFEDB. IAIF DEBD =.IA BDDE IF?. 任务任务: （1）观察发现:IMR+r,IN_（用含 R,d 的代数式表示）; （2）请判断 BD 和 ID 的数量关系,并说明理由; （3）请观察式子和式子,并利用任务（1）,（2）的结论
30、,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余 部分; （4）应用:若ABC 的外接圆的半径为 5cm,内切圆的半径为 2cm,则ABC 的外心与内心之间的距离为 _cm 第 21 题图 【思路分析】【思路分析】 （1）MN 是直径,根据内切圆与外接圆半径与它的关系得到 IN 的代数式（2）由内切圆是三角 形三条角平分线的交点,转化相等的角,再利用同弧所对的圆周角相等转化角,最后得到BIDDBI,利用 等角对等边得证（3）由材料得到的结论及任务（1） （2）等量代换得线段等积式,从而得证结论（4）根据 结论直接应用求解. 【解题过程】【解题过程】 （1）INRd; （2）BDID.理由如下:点 I
31、 是ABC 的内心,BADCAD,CBIABI,DBCCAD, BIDBAD+ABI,DBIDBC+CBI,BIDDBI,BDID; （3）由 （ 2 ） 知 :BD ID, IA IDDE IF?, 又 I A I DI MI N?, DE IFIM IN?, () () 2R rR dRd?+?, 22 2RdRr-=, 22 2dRRr=-; （4）由 22 2dRRr=-得 222 252 5 25dRRr=-=-创=,d0,5d =. 2.（2019天津）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，ABC 的顶点 A 在格点上，B 是小正方 形边的中点，ABC=50 ，BAC=30
32、，经过点 A,B 的圆的圆心在边 AC 上， （1）线段 AB 的长等于； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 P，使其满足PAC=PBC=PCB，并简 要说明点 P 的位置是如何找到的（不需要证明） 【答案】 （1）（2）如图，取圆与网格线的交点 E,F 连接 EF 与 AC 相交，得圆心 O；AB 与网格线 相交于点 D，连接 DO 并延长，交O 于点 Q，连接 QC 并延长，与点 B,O 的连线 BO 相交于点 P，连 接 AP，则点 P 满足PAC=PBC=PCB 【解析】(1)如图，RtABD 中，AD=2，BD= 2 1 ,由勾股定理可得 AB= （2）由于点
33、A 在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在 AC 上，所以取圆与网格线的交点 E,F 连接 EF 与 AC 相交，得圆心 O；AB 与网格线相交于点 D，则点 D为AB的中点， 连接DO并延长， 根据垂径定理可得则DO垂直平分AB， 连接BO， 则OAB=OBA=30 ， 因为ABC=50 ，所以OBC=20 ，DO 的延长线交O 于点 Q，连接 QC 并延长，与点 B,O 的连线 BO 相交于点 P，连接 AP，则点 P 满足PAC=PBC=PCB. 3.（2019湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数为 15，则它所对的圆心角的度数是_ 【答案答案】30
34、【解析】【解析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的 2 倍，可知答案 为 30 4. (2019台州台州)如图,AC 是圆内接四边形 ABCD 的一条对角线,点 D 关于 AC 的对称点 E 在边 BC 上,连接 AE,若ABC64,则BAE 的度数为_. 【答案】【答案】52 【解析】【解析】圆内接四边形 ABCD,B+D180,B64,D116,又点 D 关于 AC 的对 称点是点 E,DAEC116,又AECB+BAE,BAE52. 三、解答题三、解答题 26 （2019苏州苏州，26，12）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧 BC
35、的中点，BC 与 AD、 OD 分别交于点 E、F （1）求证：DOAC； （2）求证：DEDADC2； （3）若 tanCAD 1 2 ，求 sin CDA 的值 第 26 题图 【解题过程】【解题过程】解： （1）点 D 是BC中点，OD 是圆的半径，ODBC，AB 是圆的直径，ACB 90，ACOD； （2）CDBD，CADDCB，DCEDCA，CD2DEDA； （3）tanCAD 1 2 ，DCE 和DAC 的相似比为 1 2 ，设：DEa，则 CD2a，AD4a，AE 3a， AE DE 3，即AEC 和DEF 的相似比为 3，设 EFk，则 CE3k，BC8k，tanCAD 1 2
36、 ，AC 6k，AB10k，sinCDA 3 5 19 （2019 安徽，安徽，19 题号，题号，10 分）分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1，明朝科学家徐光启在 农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理.如图 2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆.已 知圆心在水面上方， 且圆被水面截得的弦 AB 的长为 6 米， OAB=41.3.若点 C 为运行轨道的最高点 （C， O 的连线垂直于 AB）.求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. （参考数据：sin41.30.66， cos41.30.75 ， tan41.30.88） 【解题过程】【解题过程】解：连接 CO 并延
37、长，交 AB 于点 D，所以 CDAB，所以 D 为 AB 中点，所 求运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离即为线段 CD 的长. 2 分 在 RtAOD 中，AD= 2 1 AB=3，OAD=41.3， OD=ADtan41.330.88=2.64，OA= 0 3 .41cos AD 75. 0 3 =4，8 分 CD=CO+OD=AO+OD2.64+4=6.64.10 分 答：运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离约为 6.64 米. 1.(2019宁波宁波)如图 1,O 经过等边三角形 ABC 的顶点 A,C(圆心 O 在ABC 内),分别与 AB,CB 的延长线
38、交于点 D,E,连接 DE,BFEC 交 AE 于点 F. (1)求证:BDBE; (2)当 AF:EF3:2,AC6 时,求 AE 的长; (3)设 AF EF x,tanDAEy. 求 y 关于 x 的函数表达式; 如图 2,连接 OF,OB,若AEC 的面积是OFB 面积的 10 倍,求 y 的值. 解：解：(1)ABC 为等边三角形,BACC60,DEBBAC60,DC60,DEB D,BDBE. (2)如图,过点 A 作 AGEC 于点 G,ABC 为等边三角形,AC6,BG 1 2 BC 1 2 AC3,在 RtABG 中,AG3BG3 3,BFEC,BFAG,= AFBG EFE
39、B ,AF:EF3:2,BE 2 3 BG2,EGBE+BG 3+25,在 RtAEG 中,AE 22 2 13AGEG; 答图(1) (3)如图,过点 E 作 EHAD 于点 H,EBDABC60,在 RtBEH 中, EH EB sin60 3 2 ,EH 3 2 BE,BH 1 2 BE,= BGAF EBEF x,BGxBE,ABBC2BG2xBE,AHAB+BH2xBE+ 1 2 BE(2x+ 1 2 )BE,Rt AHE 中,tanEAD 3 3 2 = 141 2 2 BE EH AHx xBE ,y 3 41x ; 答图(2) 如图,过点 O 作 OMEC 于点 M,设 BEa
40、,= BGAF EBEF x,CGBGxBEax,ECCG+BG+BE a+2ax, EM 1 2 EC 1 2 a+ax, BM EM BE ax 1 2 a, BF AG, EBF EGA, 1 = 1 BFBEa AGEGaaxx , AG 3BG 3ax, BF 1 1x AG 3 1 ax x , OFB 的 面 积 131 2212 BF BMax axa x ,AEC 的面积 1 32 22 EC AG ax aax ,OFB 的面积是AEC 的 面积的 10 倍, 131 10 212 ax axa x 1 32 2 ax aax,2x27x+60,解之,得 x12,x2 3
41、2 ,y 3 9 或 3 7 . 答图(3) 2.（2019自贡）如图，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，AB=CD，连接 AD、BC， 求证： （1）D = BC ； （2）AE=CE. 解： （1）连接 AO，BO，CO，DO, AB=CD， AOB=COD， AOD=BOC， D = BC . （2）D = BC ， AD=BC， C = AC， ADC=ABC， 又AED=CEB， ADECBE， AE=CE. 3.（2019攀枝花）攀枝花）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（0，2），动点 P 在 y 3 3 x 的图象上运动（不与 O 重合） ，连接 AP，过点 P 作
42、 PQAP，交 x 轴于点 Q，连接 AQ。 （1）求线段 AP 长度的取值范围； （2）试问：点 P 运动过程中，QAP 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由。 （3）当OPQ 为等腰三角形时，求点 Q 的坐标. 解：（1）作 AHOP，则 APAH 点 P 在 y 3 3 x 的图象上， HOQ30 ，HOA60 A（0，2），AHAO sin60 3 AP3 （2）QAP 是定值 法一： （共圆法）法一： （共圆法） 当点 P 在第一象限的线段 OH 的延长线上时， 由QPAQOA90 ，可得APQAOQ180 ， P、Q、O、A 四点共圆 PAQPOQ30 当点 P 在第
43、一象限的线段 OH 上时， 由QPAQOA90 ，可得 P、O、Q、A 四点共圆 PAQPOQ180 ，又POQ150 ， PAQ180 POQ30 x y Q A O P x y H Q A O P 当点 P 在第三象限时，特殊角的三角函数值； 由QPAQOA90 ，可得 Q、P、O、A 四点共圆 PAQPOQ30 法二： （相似法）法二： （相似法） 当点 P 在第三象限时， 由QPAQOA90 ，可得BPQBOA PBQB OBAB QBAPBO PAQPOQ30 ， 当点 P 在第一象限且点 B 在 AP 延长线上时， 由QPAQOA90 ，可得BPQBOA90 ， BPQBOA BP
44、BQ BOBA BPOBQAPAQPOB30 x y H Q A O P x y Q A O P x y BQ A O P x y B Q A O P 当点 P 在第一象限且点 B 在 PA 延长线上时， 由QPAQOA90 ，可得BPQBOA90 ， BPQBOA BPBQ BOBA BPOBQAPAQPOQ30 （3）设 P（m， 3 3 m） ，Q（a，0）， OA2OQ2AP2PQ2 22a2m2( 3 3 m2) 2(am) 2( 3 3 m)2 整理，得 a 42 3 3 m . Q（ 42 3 3 m ，0）. OP2 4 3 m2，OQ216 9 m216 9 3m 4 3 .
45、 PQ2 4 9 m2 4 9 3m 4 3 . 当 OPOQ 时，则 4 3 m216 9 m216 9 3m 4 3 整理,得 m243m30，解得 m23 3 Q1 (234,0)，Q2(234,0) x y BQ A O P x y M Q A O P 当 POPQ 时，则 4 3 m2 4 9 m2 4 9 3m 4 3 整理得：2 m23m30， 解得解得 m 3 2 ，或 m3. 当 m 3 2 时，Q 点与 O 重合，舍去， m3. Q3 (23,0). 当 QOQP 时， 则 16 9 m216 9 3m 4 3 4 9 m2 4 9 3m 4 3 整理，得 m23m0. 解
46、得 m3 Q4 ( 2 3 3 ,0). x y Q A O P x y Q A O P 综上， 当OPQ 为等腰三角形时， 点 Q 的坐标为 Q1 (234,0)， Q2(234,0)， Q3 (23,0)， Q4 ( 2 3 3 ,0). 4.（2019济宁）济宁） 如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，D 是弧 AC 的中点，E 为 OD 延长线上一点，CAE2 C，AC 与 BD 交于点 H，与 OE 交于点 F （1）求证：AE 是O 的切线； （2）若 DH9，tanC 3 4 ，求直径 AB 的长 解解： D 是弧 AC 的中点， ADCDDACCCAEEADDAC， CA
47、E2C， EAD C，CB，BEAD，AB 是O 的直径，ADB90 ，DABB90 ， EADDAB90 ，EAO90 ，AE 是O 的切线； 在ADH 中ADH90 ，DH9，DAHC，tanDAH 3 4 DH AD ， 93 4BD ，AD12，在 BAD 中ADB90 ，AD12，tanBtanC 3 4 ，tanB 3 4 AD BD ，BD16，ADB 90 ，AB 2222 121620ADBD 5. （2019 无锡） 无锡） 如图 1， 在矩形ABCD中， BC=3， 动点P从B出发， 以每秒 1 个单位的速度， 沿射线BC 方向移动，作PAB关于直线PA的对称 PAB，设点P的运动时间为 t s. （1）若 AB=2 3 ，如图 2，当点 B落在 AC 上时，显然PC B是直角三角形，求此时 t 的值； 是否存在异于图 2 的时刻，使得PC B是直角三角形？若存在