1、 一、选择题一、选择题 9. （20192019杭州）杭州）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边(OCOB，点 A，B，C，D，O 在同一平面内)，已知 AB=a， AD=b，BCO=x，则点 A 到 OC 的距离等于（ ） Aasinx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dacosx+bsinx 【答案答案】D 【解析】【解析】 作 AEOC 于点 E， 作 AFOB 于点 F， 四边形 ABCD 是矩形， ABC=90， ABC=AEC， BCO=x， EAB=x，FBA=x，AB=a，AD=b，FO=FB+BO=acosx+bsinx，故选 D 3 （2
2、019威海）威海）如图，一个人从山脚下的 A 点出发，沿山坡小路 AB 走到山顶 B 点.已知坡角为 20，山高 BC2 千米.用科学计算器计算小路 AB 的长度，下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 2 sin 2 0 = 2 sin 2 0 = 2 cos 2 0 = 2 tan 2 0 = 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 根据锐角三角函数的定义，得 sinA BC AB ，所以 AB 2 sin20sin20 BC .故按键顺序为 2 sin 2 0 = 1.（2019怀化）怀化）已知 为锐角，且 sin= 1 2 ，则=（） A.30 B.45 C.60 D.90
3、【答案】【答案】A. 【解【解析析】 为锐角，且 sin= 1 2 ， =30 故选 A. 2.（2019滨州）滨州）满足下列条件时，ABC 不是 直角三角形的为（ ） AAB41，BC4，AC5 BAB：BC：AC3：4：5 CA：B：C3：4：5 D 2 13 cosAtanB 23 骣 + 桫 0 【答案】【答案】C 20 2 【解析】【解析】A 中，4541，AC2+BC2=52+42=41，AB2=（41）2=41，AC2+BC2=AB2，ABC 是直角 三角形；B 中，AB：BC：AC=3：4：5，设 AB=3k，BC=4k，AC=5k，AB2+BC2=（3k）2+（4k）2=25
4、k2， AC2=（5k） 2=25k2，AB2+BC2=AC2，ABC 是直角三角形；C 中，A：B：C=3：4：5，A=180 3 12 =45， B=180 4 12 =60， C=180 5 12 =75， ABC 不 是 直 角 三 角 形 ； D 中 ， 2 13 cosAtanB 23 骣 + 桫 =0， 又 1 cosA 2 0， 2 3 tanB 3 骣 桫 0， cosA= 1 2 ， tanB= 3 3 ， A=60 ， B=30 ，ABC 是直角三角形故选 C 3.（2019达州）矩形达州）矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知在平面直角坐标系中的位置如图
5、所示，已知 B（32，2） ，点） ，点 A 在在 x 轴上，点轴上，点 C 在在 y 轴上，轴上，P 是对角线是对角线 OB 上一动点（不与原点重合） ，连接上一动点（不与原点重合） ，连接 PC，过点，过点 P 作作 PDPC 交交 x 轴于点轴于点 D，下列结论：，下列结论： OA=BC=32；当点；当点 D 运动到运动到 OA 的中点处时，的中点处时，PC 2 +PD 2 =7；在运动过程中，；在运动过程中，CDP 是一个定值；是一个定值； 当当ODP 为等腰三角形时，点为等腰三角形时，点 D 的坐标为的坐标为( 3 32 ,0)，其中正确结论的个数是（），其中正确结论的个数是（） A
6、. 1 个个 B. 2 个个 C.3 个个 D. 4 个个 【答案】【答案】D 【解析】已知【解析】已知 B（32，2） ，所以） ，所以 OA=BC=32，故正确；当点，故正确；当点 D 运动到运动到 OA 的中点处时，的中点处时，OD=3，而，而 OC=2， 所以， 所以 OC 2 =7， 在直角三角形， 在直角三角形 CPD 中，中， PC 2 +PD 2 =7， 故正确； 过点， 故正确； 过点 P 作作 PDPC 交交 x 轴于点轴于点 D， 所以在运动过程中，所以在运动过程中，CDP 是一个定值，故正确；当是一个定值，故正确；当ODP 为等腰三角形时，为等腰三角形时，OCBD，CD
7、O=60 所以所以3 OD OC ，即，即 OD= 3 32 ，所以点，所以点 D 的坐标为的坐标为( 3 32 ,0). 4. 4. （20192019 凉山）凉山） 如 图 ， 在 ABC 中 ， CA = CB = 4，cosC= 1 4， 则 sinB 的 值 为 （ ） A 10 2 B 15 3 C 6 4 D 10 4 【答案答案】D 【解析】【解析】过点 A 作 ADBC 于点 D，cosC= 1 4 ，AC=4，CD=1，BD=3，AD= 22 4115，在 RtABD 中， AB= 22 ( 15)32 6，sinB= 1510 42 6 AD AB ，故选 D. 5. （
8、20192019天津）天津）2sin60 的值等于 (A) 1 (B) 2(C)3(D)2 【答案答案】C C 【解析】常用特殊角三角函数值【解析】常用特殊角三角函数值 sin60 =3 2 1 ，再乘以 2，可得答案 C. 6.（2019金华）金华）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，已知 AB=m，BAC=，下列结论错误的是（） A. BDC= B.BC= m tan C.AO= 2sin m D.BD= cos m 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由锐角三角函数的定义，得 sin= 2 BC OA ，AO= 2sin BC ，故选 C 二、填空题二、填空题 15 （2019德州
9、）德州）如图，一架长为 6 米的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时测得ABO70，如果梯子 的底端 B 外移到 D， 则梯子顶端 A 下移到 C， 这时又测得CDO50， 那么 AC 的长度约为 米（sin70 0.94，sin500.77，cos700.34，cos500.64） D BC A m O D BC A 【答案答案】1.02 【解析】【解析】ABO70，AB6m，sin700.94，解得：AO5.64（m） ，CDO50， DC6m，sin500.77，解得：CO4.62（m） ，则 AC5.644.621.02（m） ，答：AC 的长度约为 1.02 米故答案为：1.
10、02 14.（20192019杭州）杭州）在直角三角形 ABC 中，若 2AB=AC 则 cosC=_. 【答案答案】或 【解析】【解析】 若B=90， 设 AB=x， 则 AC=2x， 所以 BC=x， 所以 cosC=； 若A=90， 设 AB=x，则 AC=2x，所以 BC=x，所以 cosC=；综上所述，cosC 的值为或 故答案为或 1. (2019 聊城 聊城)如图,在 RtABC 中,ACB90,B60,DE 为ABC 的中位线,延长 BC 至 F,使 CF 1 2 BC, 连接 FE 并延长交 AB 于点 M,若 BCa,则FMB 的周长为_. 【答案答案】 9 2 a 【解析
11、】【解析】 BCa,CF 1 2 BC 1 2 a,BF 3 2 aDE 为ABC 的中位线,DEBF,DE 1 2 a,MEDMFB, MDED MBFB ,在 RtABC 中,ACB90,B60,A30,AB2a,BDa,MD 1 2 a,MB 3 2 a,MB FB,B60,BMF 是等边三角形,周长 9 2 a. 2.（2019淄博）如图，以淄博）如图，以 A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片为直角顶点的等腰直角三角形纸片 ABC 中，将中，将 B 角折起，使点角折起，使点 B 落在落在 AC 边上的边上的 点点 D（不与点（不与点 A，C 重合）处，折痕是重合）处，折痕是 EF. 如图
12、如图 1，当，当 CD 1 2 AC时，时， 1 3 tan; 4 如图如图 2，当，当 CD 1 3 AC时，时， 2 5 tan; 12 如图如图 3，当，当 CD 1 4 AC时，时， 3 7 tan; 24 依次类推，当依次类推，当 CD 1 1 AC n （n 为正整数）时，为正整数）时，tan n 【答案】【答案】 21 . 2 (1) n n n 【解析】当【解析】当 n1 时，时， 1 33 tan; 41 4 当当 n2 时，时， 2 55 tan; 122 6 当当 n3 时，时， 3 77 tan; 243 8 2121 tan. (22)2 (1) n nn nnn n
13、 3.（2019乐山）乐山）如图，在ABC中，30B，2AC， 5 3 cosC.则AB边的长为. 【答案】【答案】 16 5 【解析】【解析】 过点 A 作 ADBC 于点 D， ADBADC90在 RtADC 中， ADC90， 5 3 cosC， 30 A BC AC2， DC= 3 5 2= 6 5 ， 2 222 68 2 55 ADACCD ， 在 RtADB 中， ADB90， B30 sin B= 1 2 AD AB ，AB=2AD= 16 5 4.（2019眉山）眉山）如图，在 RtABC 中，B=90，AB=5，BC=12，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得 到ADE，使得点
14、 D 落在 AC 上，则 tanECD 的值为_ 【答案】【答案】 3 2 【解析】在【解析】在 RtABC 中，中，B=90，AB=5，BC=12，AC= 22 512=13，ABC 绕点绕点 A 旋转到旋转到ADE， ED=BC=12，AD=AB=12，ADE=90，CD=AC-AD=13-5=8，tanECD= ED DC = 12 8 = 3 2 ，故答案为：，故答案为： 3 2 . 5. （2019自贡）如图，在由 10 个完全相同的正三角形构成的网络图中，、 如图所示，则 cos(+)=. 【答案】 【解析】连接 BC， 网络图是由 10 个完全相同的正三角形构成， AD=DE=C
15、E=BE，ADE=BEC=1200， ADEBEC， EBC=. BEC=1200，BE=CE， BCE=(1800-1200)2=300， ACB=ACE+BCE=600+300=900， 设小正三角形的边长为 a， 则 AC=2a，BC=3a， 在 RtACB 中，AB=2+ 2= 7a. cosABC=C = 3a 7 = 21 7 . 又ABC=ABE+CBE=+， cos(+)= 21 7 . 三、解答题三、解答题 19 （2019山东省青岛市，19，6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB 与景区道路CD平行.在C处测得栈道一端A位于北偏西42方向
16、，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32方向. 已知CD=120m，BD=80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）. （参考数据：sin32 17 32 ，cos32 17 20 ，tan32 5 8 ，sin42 27 40 ，cos42 3 4 ，tan42 9 10 ） 【解题过程】解：过C作CEAB于E，DFAB交AB的延长线于F， 则/ /CEDF， / /ABCD， 四边形CDFE是矩形， 120EFCD，DFCE， 在Rt BDF中，32BDF，80BD ， 17 cos328068 20 DFBD， 1785 sin3280 322 BFBD， 155 2 BEEFBF， 在R
17、t ACE中，42ACE，68CEDF， 9306 tan4268 105 AECE ， 155306 134 25 ABAEBEm， 答：木栈道AB的长度约为134m 24 （2019常德）常德） 图 9 是一种淋浴喷头，图 10 是图 9 的示意图，若用支架把喷头固定在 A 点处，手柄长 AB 25cm，AB 与墙壁 D D 的夹角 D AB37，喷出的水流 BC 与 AB 行程的夹角ABC72，现在住户 要求：当人站在 E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 C 处，且使 DE50cm，CE130cm问：安装师傅应 将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin370.60，cos370.
18、80，tan370.75，sin72 0.95，cos720.31，tan723.08，sin350.57，cos350.82，tan350.70） 【解题过程】【解题过程】过 B 点作 MNDE，分别交直线 AD 和直线 EC 于点 M、N，由题意可知 ADCE，ADE90 四边形 DMNE 为矩形， AMBBNC9 0， MNDE， MDNE 在 RtABM 中， D AB37， sinMAB MB AB ，MBABsin37250.615，cosMAB AM AB ，AMABcos37250.8 20， MNDE50， NB501535， ABM903753， ABC72， NBC180
19、 537255， BCN905535 在 RtBNC 中， tanBCN BN CN ， CN 35 0.75 50， ENCN+CE50+130180MD，ADMDAM18020160（cm） 答：安装师傅应将支架固定在离地面 160cm 高的位置 D 图10 ED C B A 1. （2019 淄博）淄博） 如图 1， 正方形 ABDE 和 BCFG 的边 AB， BC 在同一条直线上， 且 AB2BC， 取 EF 的中点 M 连 接 MD，MG，MB (1)试证明 DMMG，并求 MB MG 的值； (2)如图 2，将图 1 中的正方形变为菱形，设EAB2(0 90 )其它条件不变，问(
20、1)中 MB MG 的值有变化吗? 若有变化，求出该值(用含 的式子表示)；若无变化，说明理由 解解：(1)延长 GM 交 DE 于 H，EF 的中点 M，EMFM，正方形 ABDE、正方形 BCFG，ABDEGF， HEMGFM， 在EHM 和FGM 中， = = AMHFMG EMFM HEMGMF ， EHMFGM(ASA),HMMG， GFEH， AB2BC，GFEHDHDG，DM 是HDG 底边上的中线，DMMG； 设 AB4，BC2，易求 MB 1 2 EF 22 1 245 2 ，MG 2 2 BC2， 210 = 55 MB MG (2) MB MG 比值会随着 的变化而变化，
21、理由如下： 连接 AM、EB、EF、GC，DF，交点为 T、Q D N M 图10 ED C B A 图2图1 ABC DE F M G ABC DE F M G 图2 图1 ABC DE F M G ABC DE F M G Q T 由题知 ADEB、EFGC，DFBF，EATBATGBQCBQ 四边形 TBFD 为矩形 DFTB G 为 BD 的中点 MG 11 22 DFTB 由题设 AB2，BC1 EB2BT4sinFB2BQ2cos DFTB2sinMG 11 22 DFTBsin 在 RTEBF 中由勾股定理得 2222 2222 224sin2cos=2 4sincosEFEBF
22、BTBQB MB 2 EF 22 4sincos MB MG 22 2 4sincos1 4 sintan 二、填空题二、填空题 14. （2019甘肃）在ABC中90C， 3 tan 3 A ，则cosB 【答案】【答案】 1 2 【解析】【解析】解：在Rt ABC中，90C， 3 tan 3 A ， 设3ax，3bx，则2 3cx， 1 cos 2 a B c 故答案为 1 2 【知识点】【知识点】特殊角的三角函数值 图2 图1 ABC DE F M G ABC DE F M G Q T 二、填空题二、填空题 17 （2019 柳州）柳州）如图，在ABC 中，sinB，tanC，AB3，则
23、 AC 的长为 【答案】【答案】 【解题过程】【解题过程】过 A 作 ADBC，在 RtABD 中，sinB，AB3，ADABsinB1，在 RtACD 中，tanC ，即 CD，根据勾股定理得：AC，故答案为： 【知识点】【知识点】解直角三角形 13 （2019雅安）雅安）在 RtABC 中，C=90，AB=5，BC=4，则 sinA= _ 【答案答案】 4 5 【解析】根据正弦的定义直接求解，【解析】根据正弦的定义直接求解，sinA= 4 5 BC AB ，故答案为 4 5 【知识点】【知识点】锐角三角函数锐角三角函数 14 （2019张家界）如图：正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，
24、F 分别为 BC，CD 边的中点，连接 AE，BF 交于 点 P，连接 PD，则 tanAPD= . 答案：2 解析：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质和三角函数的概念等，由正方形 ABCD 和点 E，F 分别为 BC，CD 边的中点，易证ABEBCF,证得 AEBF,延长 BF 交 AD 的延长线于点 G,可证BCFGDF,DG=CB=AD,根据直角三角形的性质 AD=DP= 2 1 AG,APD=DAE=AEB，tan APD=tanAEB=2.因此本题填 2 三、解答题三、解答题 23. （2019 梧州）如图，在Rt ABC中，90C，D为BC上一点，5A
25、B ，1BD ， 3 tan 4 B （1）求AD的长； （2）求sin的值 解： （1） 3 tan 4 B ，可设3ACx，得4BCx， 222 ACBCAB， 222 (3 )(4 )5xx， 解得，1x （舍去） ，或1x ， 3AC，4BC ， 1BD ， 3CD， 22 3 2ADCDAC； （2）过点作DEAB于点E， 3 tan 4 B ，可设3DEy，则4BEy， 222 AEDEBD， 222 (3 )(4 )1yy， 解得， 1 5 y （舍)，或 1 5 y ， 3 5 DE ， 1 sin2 10 DE AD 【知识点】解直角三角形的应用 22. （2019 贺州）如
26、图，在A处的正东方向有一港口B某巡逻艇从A处沿着北偏东60方向巡逻，到达C处 时接到命令， 立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B 求A，B间的距离( 31.73， 21.4，结果保留一位小数） 【解题过程】解：过点C作CDAB，垂足为点D，则60ACD，45BCD，如图所示 在Rt BCD中，sin BD BCD BC ，cos CD BCD BC ， 2 sin20 342 2 BDBCBCD ， 2 cos20 342 2 CDBCBCD ； 在Rt ACD中，tan AD ACD CD ， tan42372.2ADCDACD 72.242114.2ABADBD A，B间的距离约为 114.2 海里 【知识点】解直角三角形的应用方向角问题