1、20202020- -20212021 学年福建省厦门学年福建省厦门思明区五校联考思明区五校联考九年级九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1（4 分）对于一元二次方程x 2x+20，根的判别式 b 24ac 中的b表示的数是（ ） A2 B2 C1 D1 2（4 分）不等式组的解集是（ ） Ax0 Bx3 C3x2 Dx2 3（4 分）下列抛物线的顶点坐标为（4，3）的是（ ） Ay（x+4） 23 By（x+4） 2+3 Cy（x4） 23 Dy（x4）2+3 4（4 分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B正三角形既是轴对
2、称图形，又是中心对称图形 C线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 5（4 分）在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在O内，则O的半径r的取值范围是（ ） A0r3 Br4 C0r5 Dr5 6（4 分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单 车数量比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程 正确的为（ ） A1000（1+x） 21000+440 B1000（1+x） 2440 C440（1+x） 21000 D1000（1+2x）1000+440 7
3、（4 分）若二次函数yx 2+mx 的对称轴是x3，则关于x的方程x 2+mx7 的解为（ ） Ax10，x26 Bx11，x27 Cx11，x27 Dx11，x27 8（4 分）已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点A按顺时针方向旋转 90 得AB，则点B的坐标为（ ） A（5，1） B（3，2） C（1，5） D（3，2） 9（4 分）已知ABC内接于O，连接AO并延长交BC于点D，若B62，C50，则ADB的度 数是（ ） A68 B72 C78 D82 10（4 分）已知二次函数yx 2+bx+c 与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m
4、）两点，则 m、n的关系为（ ） Amn Bmn Cmn 2 Dmn 2 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分）分） 11（4 分）因式分解：x 29 12（4 分）已知关于x的方程x 2+3x+a0 有一个根为2，则 a 13（4 分）如图，在圆内接四边形ABCD中，B70，则D 14 （4 分）如图，已知EAD30，ADE绕着点A旋转 50后能与ABC重合，则BAE 度 15 （4 分）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF 围成，篱笆总长 40 米，墙AB长 16
5、米，若BFx米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式 是： 16（4 分）小明研究抛物线y（xa） 2a+1（a 为常数）性质时得到如下结论： 这条抛物线的顶点始终在直线yx+1 上； 当1x2 时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a2； 点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1x2，x1+x22a，则y1y2； 只存在一个a的值，使得抛物线与x轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形； 其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 9 小题，共小题，共 8686 分）分） 17（8 分）解方程：x（x2）2x 18（8 分）计算： 19（
6、8 分）已知二次函数yx 2+bx+c 的图象经过点A（0，3），B（1，0） （1）求该二次函数的解析式； （2）在图中画出该函数的图象 20（8 分）列方程（组）解应用题： 算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一 十二步，问阔及长各几步？”译文：一个矩形田地的面积等于 864 平方步，且它的宽比长少 12 步，问长 与宽各是多少步？ 21（8 分）已知关于x的方程x 22x+m0 有两个实数根，且 2m+n4，求 n的最小值 22（10 分）如图，已知四边形ABCD是矩形，AC为对角线 （1）把ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到AEF，点B的
7、对应点为E，点C的对应点F在CD的延长 线上，请你在图中作出AEF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：B，D，E三点共线 23（10 分）某商店销售一种进价 50 元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售 价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）若某天销售利润为 800 元，求该天的售价为多少元/件 （2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a0），商店售价不低于进价，物价部门规定该商品 售价不得超过 70 元件，该商店在今后的销售中，每天能获
8、得的销售最大利润是 960 元，求a的值 24（12 分）如图，已知四边形ABCD内接于O，ACBD于E， （1）求证：BDC2ADB； （2）若直径BM交AC于点N，ADBN2，BC8，求O的半径 25（14 分）已知抛物线L：yax 2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x2，交y轴于（0，4a） （1）求抛物线的顶点坐标； （2）直线ykx2k+4（k0）与抛物线L相交A，B两点（A在B的左侧），抛物线L的顶点记为点C； 若点A的横坐标为 1，ABC的面积为 10，求a的值； 过点A作AEx轴，垂足为E，延长AE交直线BC于F，求线段EF的长 参考答案参考答案 一、选择题（本大题有 10
9、小题，每小题 4 分，共 40 分每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1（4 分）对于一元二次方程x 2x+20，根的判别式 b 24ac 中的b表示的数是（ ） A2 B2 C1 D1 解：根据题意得b1 故选：C 2（4 分）不等式组的解集是（ ） Ax0 Bx3 C3x2 Dx2 解：， 解得：x2， 解得：x3 则不等式组的解集是：3x2 故选：C 3（4 分）下列抛物线的顶点坐标为（4，3）的是（ ） Ay（x+4） 23 By（x+4） 2+3 Cy（x4） 23 Dy（x4）2+3 解：A、抛物线y（x+4） 23 的顶点坐标为（4，3），此选项不符合题意； B、抛物线y（x
10、+4） 2+3 的顶点坐标为（4，3），此选项不符合题意； C、抛物线y（x4） 23 的顶点坐标为（4，3），此选项符合题意； D、抛物线y（x4） 2+3 的顶点坐标为（4，3），此选项不符合题意； 故选：C 4（4 分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 解：A、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意； B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符
11、合题意； D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：A 5（4 分）在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在O内，则O的半径r的取值范围是（ ） A0r3 Br4 C0r5 Dr5 解：点P的坐标为（3，4）， OP5， 点P（3，4）在O内， OPr， 即r5 故选：D 6（4 分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单 车数量比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程 正确的为（ ） A1000（1+x） 21000+440 B1000（1+x） 2440 C440（1
12、+x） 21000 D1000（1+2x）1000+440 解：由题意可得， 1000（1+x） 21000+440， 故选：A 7（4 分）若二次函数yx 2+mx 的对称轴是x3，则关于x的方程x 2+mx7 的解为（ ） Ax10，x26 Bx11，x27 Cx11，x27 Dx11，x27 解：二次函数yx 2+mx 的对称轴是x3， 3，解得m6， 关于x的方程x 2+mx7 可化为 x 26x70，即（x+1）（x7）0，解得 x11，x27 故选：D 8（4 分）已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点A按顺时针方向旋转 90 得AB，则点B的坐标为（
13、） A（5，1） B（3，2） C（1，5） D（3，2） 解：如图，过A作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，交点为C， 由CADO，BACAOD，ABOA，可得ABCOAD， ACOD2，BCAD3， CD5，点B离y轴的距离为：321， 点B的坐标为（1，5）， 故选：C 9（4 分）已知ABC内接于O，连接AO并延长交BC于点D，若B62，C50，则ADB的度 数是（ ） A68 B72 C78 D82 解：延长AD交O于E，连接CE， 则EB62，ACE90， CAE906228， ADBCAE+ACB78， 故选：C 10（4 分）已知二次函数yx 2+bx+c 与x轴只有一个交点，
14、且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则 m、n的关系为（ ） Amn Bmn Cmn 2 Dmn 2 解：抛物线yx 2+bx+c 与x轴只有一个交点， 当x时，y0且b 24c0，即 b 24c 又点A（x1，m），B（x1+n，m）， 点A、B关于直线x对称， ， 解得x1（bn） A（，m），B（+，m）， 将A点坐标代入抛物线解析式，得m（） 2+（ ）b+c，即m+c， b 24c， mn 2， 故选：D 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11（4 分）因式分解：x 29 （x+3）（x3） 解：原式（x+3）（x3）， 故答案为：（x+3）
15、（x3） 12（4 分）已知关于x的方程x 2+3x+a0 有一个根为2，则 a 2 解：把x2 代入x 2+3x+a0 得 46+a0，解得 a2 故答案为 2 13（4 分）如图，在圆内接四边形ABCD中，B70，则D 110 解：在圆内接四边形ABCD中，B70， D18070110， 故答案为：110 14（4 分）如图，已知EAD30，ADE绕着点A旋转 50后能与ABC重合，则BAE 20 度 解：EAD30，ADE绕着点A旋转 50后能与ABC重合， BAD50， BAEBADEAD503020 故答案为：20 15 （4 分）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一
16、节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF 围成， 篱笆总长 40 米， 墙AB长 16 米， 若BFx米， 花园面积是S平方米， 则S关于x的函数关系式是： Sx 24x+192 解：由题意可得：S（16+x） （16+x）（12x） x 24x+192 故答案为：Sx 24x+192 16（4 分）小明研究抛物线y（xa） 2a+1（a 为常数）性质时得到如下结论： 这条抛物线的顶点始终在直线yx+1 上； 当1x2 时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a2； 点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1x2，x1+x22a，则y1y2； 只存在一个a的值，使得抛物线与x轴的两
17、个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形； 其中正确结论的序号是 解：抛物线y（xa） 2a+1（a 为常数）， 顶点坐标为（a，a+1）， 这个函数图象的顶点始终在直线yx+1 上， 故结论错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线xa， 当1x2 时，y随x的增大而增大， a的取值范围为a2 故结论正确； x1+x22a， ， 抛物线对称轴为直线xa， 点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离， y1y2， 故结论正确； 假设存在一个a的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， 令y0，得（xa） 2a+10，其中 a1， 解得：x1a，x2a+， 顶点坐标为（a，a+1），且顶
18、点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， |a+1|a（a）|， 解得：a0 或 1， 当a1 时，二次函数y（x1） 2，此时顶点为（1，0），与 x轴的交点也为（1，0），不构成三角 形，舍去； 存在a0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， 故结论正确； 故答案为 三、解答题（本大题有 9 小题，共 86 分） 17（8 分）解方程：x（x2）2x 解：由原方程，得 x（x2）+（x2）0， 所以，（x+1）（x2）0， 所以，x+10 或x20， 解得，x11，x22 18（8 分）计算： 解：原式 19（8 分）已知二次函数yx 2+bx+c 的图象经过点A（0，3）
19、，B（1，0） （1）求该二次函数的解析式； （2）在图中画出该函数的图象 解：（1）二次函数yx 2+bx+c 的图象经过点A（0，3），B（1，0） ，解得：， 二次函数的解析式为yx 2+4x+3 （2）由yx 2+4x+3（x+2）21， 列表得： x 4 3 2 1 0 y 3 0 1 0 3 如图即为该函数的图象： 20（8 分）列方程（组）解应用题： 算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一 十二步，问阔及长各几步？”译文：一个矩形田地的面积等于 864 平方步，且它的宽比长少 12 步，问长 与宽各是多少步？ 解：设宽为x步，则长为
20、（x+12）步， 依题意，得：x（x+12）864， 整理，得：x 2+12x8640， 解得：x124，x236（不合题意，舍去）， x+1236 答：长为 36 步，宽为 24 步 21（8 分）已知关于x的方程x 22x+m0 有两个实数根，且 2m+n4，求 n的最小值 解：关于x的方程x 22x+m0 有两个实数根， 根据题意，44m0， 2m+n4， m2n， 44（2n）0， 解得n2， n的最小值为 2 22（10 分）如图，已知四边形ABCD是矩形，AC为对角线 （1）把ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到AEF，点B的对应点为E，点C的对应点F在CD的延长 线上，请你在图中作
21、出AEF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：B，D，E三点共线 解：（1）如图，AEF即为所求 （2）如图，连接DE，BE AEFADF90， A，F，D，E四点共圆， AED+AFD180， AFAC， ACDAFD， ACBAFE， ACB+ACD90，AFE+FAE90， ACDEAFAFD， ABDEAF， ABDAFD， ABAE， ABEAEB， AFDAEB， DEA+AEB180， B，E，D共线 23（10 分）某商店销售一种进价 50 元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售 价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量
22、的二组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）若某天销售利润为 800 元，求该天的售价为多少元/件 （2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a0），商店售价不低于进价，物价部门规定该商品 售价不得超过 70 元件，该商店在今后的销售中，每天能获得的销售最大利润是 960 元，求a的值 解：（1）依题意设ykx+b， 则有， 解得：， 所以y2x+200， 若某天销售利润为 800 元， 则（x50）（2x+200）800， 解得：x160，x290， 该天的售价为 60 元或者 90 元； （2）设总利润为w，根据题意得， w（x50a）（2
23、x+200） 2x 2+（300+2a）x10000200a a0， 对称轴x75， 20， 抛物线的开口向下， x70， w随x的增大而增大， 当x70 时，w最大960， 即 960270 2+（300+2a）7010000200a， 解得：a4 24（12 分）如图，已知四边形ABCD内接于O，ACBD于E， （1）求证：BDC2ADB； （2）若直径BM交AC于点N，ADBN2，BC8，求O的半径 【解答】（1）证明：如图 1，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交O于G，连接CG， DGBC，BDCD， CBDBCD， ACBD， DEF90， CPF90， DEFCPF， DFEC
24、FP， EDFACBADBCDG， BDC2ADB； （2）解：如图 2，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交O于G，连接CG，BG， 由（1）知：ADBBDGCDG， ， CBGBCA， BGAC， ONFOBG，OFNOGB， OBOG， OBGOGB， ONFOFN， OFON， ACBD，ADBFDB， DAEAFD， ABDF， 同理得：CFCG， ADBN， DFBN OD+OF（OBON） OF+ON2， OFON1， CFCG，CPFG， FPPG， 设FPa，则OBOG2a+1，FPa+1， DGBC，且BC8， BPBC4， RtOBP中，OB 2OP2+BP2， （2a
25、+1） 2（a+1）2+42， 3a 2+2a160， （a2）（3a+8）0， a12，a2（舍）， O的半径OG2a+15 25（14 分）已知抛物线L：yax 2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x2，交y轴于（0，4a） （1）求抛物线的顶点坐标； （2）直线ykx2k+4（k0）与抛物线L相交A，B两点（A在B的左侧），抛物线L的顶点记为点C； 若点A的横坐标为 1，ABC的面积为 10，求a的值； 过点A作AEx轴，垂足为E，延长AE交直线BC于F，求线段EF的长 解：（1）抛物线L：yax 2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x2，交y轴于（0，4a）， 2，c4a， b4a，
26、yax 24ax+4aa（x2）2， 抛物线的顶点为（2，0）； （2）过点D作DMy轴，交直线AB于M， D（2，0）， M的横坐标为 2， 把x2 代入ykx2k+4 得，y4， DM4， ABC的面积为 10， 4（xBxA）10， xBxA5， 点A的横坐标为 1， 点B的横坐标为 6， A（1，k+4），B（6，4k+4）， 把A、B的坐标代入ya（x2） 2，得 ， 解得a1； 联立直线AB和抛物线的解析式成方程组，得：， 解得：， 点A的坐标为（，），点B的坐标为（， +4） 点C的坐标为（2，0） 直线BC的解析式为yxk 过点A作AEx轴，垂足为E，与直线BD交于点F， 点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，4）， EF4