1、 1 第一章第一章 有理数有理数 一一、知识要点、知识要点 本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。 有理数的概念可以利用数轴来认识、 理解， 同时， 利用数轴又可以把这些概念串在一起。 有理数的运算是全章的重点。 在具体运算时， 要注意四个方面， 一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。 基础知识基础知识： 1.正数（position number） ：大于 0 的数叫做正数。 2.负数（negation number） ：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 3.0 既不是正数也不是负数。 4.有理数（rational number） ：正整数、负整数、0
2、、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为 有理数。 5.数轴（number axis） ：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 数轴满足以下要求：数轴满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点（origin） ； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度。 6.相反数（opposite number） ：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。 7.绝对值（absolute value）一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值。记做|a|。 由绝对值的
3、定义可得：|a-b|表示数轴上 a 点到 b 点的距离。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 8.有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互 为相反数的两个数相加得 0. （3）一个数同 0 相加，仍得这个数。 加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。表达式：a+b=b+a。 加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先
4、把后两个数相加，和不变。 表达式： （a+b）+c=a+（b+c） 9.有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数。表达式：a-b=a+（-b） 10.有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2 任何数同 0 相乘，都得 0. 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。表达式：ab=ba 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 表达式： （表达式： （abab）c=ac=a（bcbc） 乘法分配律：一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 表达式：a（b+c）=ab+
5、ac 11.倒数 1 除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于 1。 12.有理数除法法则：两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都 得 0. 13.有理数的乘方：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power） 。a n中，a 叫做底数 （base number） ，n 叫做指数（exponent） 。 根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。 14.有理数的混合运算顺序 （1）“先乘方，再乘除，最后加
6、减”的顺序进行； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 15、科学技术法：把一个大于 10 的数表示成 a10 n的形式（其中 a 是整数数位只有一位的数（即 0a0 ab; (4)做商法：a/b1，b0 ab. 3 第二章第二章 整式的加减总复习整式的加减总复习 【知识点定义】【知识点定义】 1.单项式 对数字和若干个字母施行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单项式单独一个数或一个字母也是单项式 2.系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 3.单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 4.多项式 几
7、个单项式的和叫做多项式 5.多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 6 是常数项 6.常数项 多项式中，不含字母的项叫做常数项 7.多项式的次数 多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 8.降幂排列 把一个多项式，按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列 9.升幂排列 把一个多项式，按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列 10.整式 单项式和多项式统称整式。 11.同类项 所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项常数项都是同类项 12.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项
8、4 合并同类项的法则是： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变 13.去括号法则 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号； 括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号 例：a+(b-2c)-(e-2d)=a+b-2c-e+2d 14.添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号 例：m+2xy+z5=m+(2xy)(z+5) 15.整式的加减 整式加减的一般步骤： 1.如果遇到括号，按去括号法则先去括号； 2.合并同类项 16.代数式的恒等
9、变形一个代数式用另一个与它恒等的表达式去代换，叫做恒等变形 第三章一元一次方程综合复习指导第三章一元一次方程综合复习指导 【知识点归纳】【知识点归纳】 一、方程的有关概念一、方程的有关概念 1.方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数 x 的指数都是 1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例 如： 1700+50 x=1800， 2（x+1.5x）=5 等都是一元一次方程. 3方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解 方程的含义
10、是指求出方程的解或判断方程无解的过程. 方程的解的检验方法， 首先把未知数的值分别代入 方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论. 二、二、等式的性质等式的性质 等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.用式子形式表示为：如果 a=ba=b，那么，那么 ac=bcac=bc (2)等式的性质(2)： 等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为 0 的数， 结果仍相等， 用式子形式表示为： 如果 a=b，那么 ac=bc;如果 a=b(c0)，那么a c= b c 三、三、移项法则移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项 四、四、去
11、括号法则去括号法则 5 1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同 2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变 五、五、解方程的一般步骤解方程的一般步骤 1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数) 2.去括号(按去括号法则和分配律) 3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号) 4.合并(把方程化成 ax = b (a0)形式) 5. 系数化为 1(在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 x=b a). 六、六、用方程思想解决实际问题的一般步骤用方程思想解决实际问题的一般步骤 1.审：审
12、题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系 2.设：设未知数(可分直接设法，间接设法) 3.列：根据题意列方程 4.解：解出所列方程 5.检：检验所求的解是否符合题意 6.答：写出答案(有单位要注明答案) 七、有关常用应用类型题及各量之间的关系七、有关常用应用类型题及各量之间的关系 1 1. . 和、差、倍、分问题：和、差、倍、分问题： （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现. （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现. 2 2. .等积变形问题：等积变形问题： “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量
13、关系为： 形状面积变了，周长没变； 原料体积成品体积. 3 3. .劳力调配问题：劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变 4 4. .数字问题数字问题 （1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 6 均为整数，且 1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c. （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n 表示，连续的偶 数用 2n
14、+2 或 2n2 表示；奇数用 2n+1 或 2n1 表示. 5.工程问题工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间 6.行程问题：行程问题： （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度时间. （2）基本类型有 相遇问题； 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题. 7.商品销售商品销售问题问题 有关关系式： 商品利润=商品售价商品进价=商品标价折扣率商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价折扣率 8 8. .储蓄问题储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间 叫做期数，
15、利息与本金的比叫做利率.利息的 20%付利息税 利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率（20%） 第四章第四章 图形认识初步图形认识初步 【知识点归纳】【知识点归纳】 一、一、 多姿多彩的图形多姿多彩的图形 1. 从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形几何图形。 2. 点、线、面、体 A 点：线和线相交的地方。 B 线：面和面相交的地方，线可分为直线、射线、线段 C 体：正方体、长方体、圆柱、球等都是几何体，几何体简称体。 D 面：包围着体的是面，面可分为平的面、曲的面。 7 二、二、 直线、射线、线段直线、射线、线段 1.两点确定一条直线 2.当两条不同的直线有一个公共点时
16、，我们就称这两条直线相交相交， 这个公共点叫做它们的交点交点。 3. 两点之间，线段最短。 4. 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离距离。 三、三、 角角 1.有且只有一个角 2.把一个周角 360 等分，每一份就是一度度的角，记做 1把 1 度的角 60 等分，每一份叫做 1 分分 的角，记作 1把 1 分的角 60 等分，每一份叫做 1 秒秒的角，记作 1。 3.角的运算：1 周角=360，1 平角=180,1=60,1=60 4.角的平分线：A. 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做 这个角的角平分线。 B.角平分线上的一点到角的两边距离相等。 四、四
17、、线段、射线和直线的联系与区别线段、射线和直线的联系与区别 联系：线段、射线、直线是部分与整体的关系.线段向一方无限延长形成了射线,向两个方向 无限延长得到了直线.直线上的两点和它们之间的部分组成线段,直线上的一点及其一旁的部分 是射线,射线反向延长得直线. 区别： 名称 延伸情况有 无长短 图示 表示法 端点个数 作图描述 备注 线段 不可延伸,有 长短 线段 a 或线 段 AB（BA） 2 个 连结 AB A、B 两点无 序 射线 向一个方向 延伸,无长短 射线 AB 1 个 以 A 为端点 作射线 AB A、B 两点有 序,端点在 前,射线上一 点在后 直线 向两个方向 延伸 直线l或直
18、线 AB（BA） 无端点 过 A、 B 两点 作直线 AB A、B 两点无 序 8 第一章第一章 基础训练基础训练 选择题选择题 1.下列运算中正确的是（ ）. A. |-2|=2 B. -3 2=-27 C. |（3-）|=3 D. 32=-9 2.下列各判断句中错误的是（ ） A.数轴上原点的位置可以任意选定 B.数轴上与原点的距离等于个单位的点有两个 C.与原点距离等于-2 的点应当用原点左边第 2 个单位的点来表示 D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点。 3.、是有理数，若且，下列说法正确的是（ ） A.一定是正数 B.一定是负数 C.一定是正数
19、D.一定是负数 4. 两数相加，如果比每个加数都小，那么这两个数是（ ） A.同为正数 B.同为负数 C.一个正数，一个负数 D.0 和一个负数 5. 两个非零有理数的和为零，则它们的商是（） A.0 B.-1 C.+1 D.不能确定 6 一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ） A.1 B.-1 C. 1 D. 1 和 0 7. 如果|a|=-a，下列成立的是（ ） A.a0 B.a0 或 a=0 D.a” 、 “=”或“”). 17.根据生活经验，对代数式ab作出解释： ； 18.某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过 60 立方米，按每立方米 0.8 元收费；如果超过 60 立 方米
20、， 超过部分每立方米按 1.2 元收费.已知某户用煤气 x 立方米 （x60） ， 则该户应交煤气费 元. 20.观察下列单项式：0，3x2，8x3，15x4，24x5，按此规律写出第 13 个单项式是_。 三、三、解答题解答题（共 60 分） 21. (12 分)化简: （1） 1 4 4 mnmn； （2） 22 37(43)2xxxx ； 11 （3）(2)()xyyyyx ； 22(8 分)化简求值 （1）)522(2)624( 22 aaaa 其中 1a. （2）) 3 1 2 3 () 2 1 (2 2 1 22 babaa 其中 3 2 , 2ba. 23(6 分)已知 123
21、2 aaA，235 2 aaB，求BA 32 . 24(6 分)如图所示，一扇窗户的上部是由 4 个扇形组成的半圆形，下部是边长相同的 4 个小正方形，请计算 这扇窗户的面积和窗框的总长. 26. (6 分)某商店有两个进价不同的计算器都卖了a元,其中一个盈利 60%,另一个亏本 20%,在这次买卖中,这家 商店是赚了,还是赔了?赚了或赔了多少? 27. (7 分)试至少写两个只含有字母x、y的多项式,且满足下列条件:(1)六次三项式;(2)每一项的系数均为 1 或-1;(3)不含常数项;(4)每一项必须同时含字母x、y,但不能含有其他字母. 28. (9 分)某农户 2007 年承包荒山若干
22、亩，投资 7800元改造后，种果树 2000 棵.今年水果总产量为 18000 千 克，此水果在市场上每千克售 a 元，在果园每千克售 b 元（ba）.该农户将水果拉到市场出售平均每天出售 1000 千克，需 8人帮忙，每人每天付工资 25 元，农用车运费及其他各项税费平均每天 100 元. （1）分别用 a，b 表示两种方式出售水果的收入？ （2）若 a1.3 元，b1.1 元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说 明选择哪种出售方式较好. （3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到 15000 元，那么纯收入增长率是多少（纯收入总收 入总支出） ，该农户采用了
23、（2）中较好的出售方式出售）？ 第三章第三章 一元一次方程一元一次方程 填空题填空题 1.在有理数-7，-（-1.43） ，0，-1.7321 中，是整数的有_是负 分数的有_。 2.一般地， 设 a 是一个正数， 则数轴上表示数 a 的点在原点的_边， 与原点的距离是_个单位长度； 3 4 1 2 3 10 5 a 12 表示数-a 的点在原点的_边，与原点的距离是_个单位长度。 3.如果一个数是 6 位整数，用科学记数法表示它时，10 的指数是_；用科学记数法表示一个 n 位整 数，其中 10 的指数是_. 4.实数 a、b、c 在数轴上的位置如图：化简|ab|+|bc|-|ca|. 5.
24、绝对值大于 1 而小于 4 的整数有_，其和为_. 6.若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则（a+b） 3-3（cd）4=_. 7.1-2+3-4+5-6+2001-2002 的值是_. 8.若（a-1） 2+|b+2|=0，那么 a+b=_. 9.平方等于它本身的有理数是_,立方等于它本身的有理数是_. 10.用四舍五入法把 3.1415926 精确到千分位是 ，用科学记数法表示 302400， 应记为 ,近似数 3.0 精确到 位。 11.正数a 的绝对值为_；负数b 的绝对值为_ 12.甲乙两数的和为-23.4，乙数为-8.1，甲比乙大 13.在数轴上表示两个数， 的数总比 的大
25、。 （用“左边” “右边”填空） 14.数轴上原点右边 4.8 厘米处的点表示的有理数是 32，那么，数轴左边 18 厘米处的点表示的有理数 是_。 15.温度由下降后，结果可记为 16.1/3 的相反数是_，绝对值是_,倒数是_. 三、强化训练强化训练 1.计算：1+2+3+2002+2003=_. 2.已知：若（a,b 均为整数）则 a+b= 3.观察下列等式，你会发现什么规律：， 。 。 。请将你发现的规律 用只含一个字母 n（n 为正整数）的等式表示出来 4.已知，则_ 5.已知是整数，是一个偶数，则 a 是 （奇，偶） 6.已知 1+2+3+31+32+33=1733，求 1-3+2
26、-6+3-9+4-12+31-93+32-96+33-99 的值。 7.在数 1，2，3，50 前添“+”或“”，并求它们的和，所得结果的最小非负数是多少？请列出算式解 答。 8.如果规定符号“*”的意义是 a*b=ab/（a+b） ，求 2*（-3）*4 的值。 9.已知|x+1|=4， （y+2） 2=4，求 x+y 的值。 ,. 15 4 4 15 4 4 , 8 3 3 8 3 3 , 3 2 2 3 2 2 222 b a b a 2 1010 2 2131 2 3142 2 4153 0 | | b b a a ba ba| a523 2 aa 13 10.投资股票是一种很重要的投
27、资方式，但股市的风云变化又牵动了股民的心。 例：某股民在上星期五买进某种股票 500 股，每股 60 元，下表是本周每日该股票的涨跌情况（单位：元） ： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 （1）星期三收盘时，每股是多少元？ （2）本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ （3）已知买进股票是付了 1.5的手续费，卖出时需付成交额 1.5的手续费和 1的交易费，如果在星 期五收盘前将全部股票一次性地卖出，他的收益情况如何？ （4） 以买进的股价为 0 点，用折线统计图表示本周该股的股价情况。 【典型例题】【典型例题】 一、一元一次方程的有关概念一、一元一
28、次方程的有关概念 例 1.一个一元一次方程的解为 2，请写出这个一元一次方程 . 二、一元一次方程的解二、一元一次方程的解 例 2.若关于x的一元一次方程2 3 1 32 xkxk 的解是1x,则k的值是（ ） A 2 7 B1 C 13 11 D0 三、一元一次方程的解法三、一元一次方程的解法 例 3.如果2005 200.520.05x,那么x等于（ ） (A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45 例 4. 2 3 3 2 1 2(x-1)-3-3=3 四、一元一次方程的实际应用四、一元一次方程的实际应用 例 5.某高校共有 5 个大餐厅和 2
29、个小餐厅经过测试：同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1680 名 学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐 （1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由 例 6.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标 价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ 例 7.（2006益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下 面是李小波与售
30、货员的对话： 李小波：阿姨，您好！ 售货员：同学，你好，想买点什么？ 14 李小波：我只有 100 元，请帮我安排买 10 支钢笔和 15 本笔记本. 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵 2 元，退你 5 元，请清点好，再见. 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 第四章第四章 认识几何图形认识几何图形 【典型例题】【典型例题】 1.下列说法中，错误的有（ ） 射线是直线的一部分 画一条射线，使它的长度为 3 cm 线段 AB 和线段 BA 是同一条线段 射线 AB 和射线 BA 是同一条射线 直线 AB 和直线 BA 是同一条直线 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4
31、个 【解析】 B 线段与直线用两个大写字母表示时， 两个字母的先后顺序可前可后， 而射线必须是端点字母在前. 2.在同一平面内有 A，B，C，D，E 五点，任三点不在同一直线上，能画_条直线. 【答案】10 3.（1）田径运动中百米比赛的跑道是线段，起点与终点是它的两个端点. （2）我们在晴朗的夜空中，有时能发现流星，它的运行轨迹可以近似看成直线. 【解析】（1）线段有两个端点. （2）直线没有端点. 【典型【典型习习题】题】 4.下列说法中,错误的有（ ） 射线是直线的一部分画一条射线,使它的长度为 3 cm线段 AB 和线段 BA 是同一条线段射线 AB 和 射线 BA 是同一条射线直线 AB 和直线 BA 是同一条直线 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.平面内三点，可确定的直线的条数为（ ） A.3 B.0 或 1 C.1 或 3 D.0 6.两点之间，_最短.经过_点有且只有一条直线.两点间的距离是指连接两点的 _. 7.作下面线段： 15 （1）有不在同一直线上的三点，每两点连一条线段，问可以连几条线段； （2）有四个点，且每三点都不在同一直线上，每两点连一条线段，问可以连几条线段； （3）用这个图形中的原理解决一个实际问题.