2019-2020学年浙江省杭州市拱墅区八年级下期末数学试卷（含答案详解）

1、2019-2020 学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期末数学试卷学年浙江省杭州市拱墅区八年级（下）期末数学试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （3 分）下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）将化简，正确的结果是（ ） A3 B3 C6 D3 3 （3 分）点点同学对数据 26，36，46，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂 污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A平均数 B中位数 C方差 D标准差 4 （3 分）若 kk+1（k 是整数） ，则 k（ ） A6 B7 C8 D9 5 （3 分）在四边形 ABC

2、D 中，若A 与C 之和等于四边形外角和的一半，B 比D 大 15，则B 的 度数等于（ ） A150 B97.5 C82.5 D67.5 6 （3 分）函数的自变量 x 满足x2 时，函数值 y 满足y1，则这个函数可以是（ ） Ay By Cy Dy 7 （3 分）在菱形 ABCD 中，ADC120，点 E 关于A 的平分线的对称点为 F，点 F 关于B 的平分 线的对称点为 G，连结 EG若 AE1，AB4，则 EG（ ） A2 B2 C3 D 8 （3 分）设函数 y（k0，x0）的图象如图所示，若 z，则 z 关于 x 的函数图象可能为（ ） A B C D 9 （3 分）已知关于

3、x 的方程（x1）（k1）x+（k3）0（k 是常数） ，则下列说法中正确的是（ ） A方程一定有两个不相等的实数根 B方程一定有两个实数根 C当 k 取某些值时，方程没有实数根 D方程一定有实数根 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 yx 和函数 y的图象在第一象限交于点 D（4，m） ，与 平行于 y 轴的直线 xt（0t4）分别交于点 A 和点 B，平面上有点 P（0，6） 若以点 O，P，A，B 为顶点的四边形为平行四边形， 则这个平行四边形被直线PD所分割成的两部分图形的面积之比为 （ ） A1：1 B1：2 C1：3 D1：4 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题）

4、 11 （3 分）二次根式中字母 x 的取值范围是 12 （3 分）数据 1，2，3，5，5 的众数是 ，平均数是 13 （3 分）已知直角三角形的两条边长分别是方程 x23x+20 的两个根，则此直角三角形的斜边长 是 14 （3 分）某计算机程序第一次算得 m 个数据的平均数为 x，第二次算得另外 n 个数据的平均数为 y，则这 （m+n）个数据的平均数等于 15 （3 分）在菱形 ABCD 中，A30，在同一平面内，以对角线 BD 为底边作顶角为 120的等腰三角 形 BDE，则EBC 的度数为 16 （3 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点 P（1，t）在反比例函数 y的图象

5、上，过点 P 作 直线 l 与 x 轴平行， 点 Q 在直线 l 上， 满足 QPOP 若反比例函数 y的图象经过点 Q， 则 k 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 17 （1）计算： （）2 （2）解方程：2x22x3 18已知 ma2b，n2a2+3ab （1）当 a3，b2，分别求 m，n 的值 （2）若 m12，n18，求+的值 19如图为 A，B 两家网店去年上半年的月销售额折线图 （1）分别写出两家网店 16 月的月销售额的中位数 （2） 已知两家网店 16 月的月平均销售额都是 28 万元，你认为哪家网店的月销售额比较稳定？请说明 理由 （3）根据此统计图及相关数据，你

6、认为哪家网店经营状况较好？请简述理由 20方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地，行驶里程为 480 千米，设小汽车的行驶时间为 t（单位：小 时） ，行驶速度为 v（单位：千米/小时） ，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时 （1）求 v 关于 t 的函数表达式； （2）方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发 方方需在当天 12 点 48 分至 14 点 （含 12 点 48 分和 14 点） 间到达 B 地， 求小汽车行驶速度 v 的范围 方方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地？说明理由 21如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到

7、点 E 处，BE 交 AD 于点 F，作 DG BE，交 BC 于点 G，连接 FG 交 BD 于点 O （1）判断四边形 BFDG 的形状，并说明理由； （2）若 AB3，AD4，求 FG 的长 22已知平面直角坐标系中，O 是坐标原点，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A （m，2） ，B（1，n） （1）求 m，n 的值； （2）求一次函数的表达式；当，直接写出 x 的取值范围； （3）点 P 是 x 轴上一点，当OAP 和OAB 的面积相等时，求 P 点的坐标 23在线段 AB 的同侧作射线 AM 和 BN，若MAB 与NBA 的平分线分别交射线 BN，AM 于

8、点 E，F，AE 和 BF 交于点 P如图，点点同学发现当射线 AM，BN 交于点 C；且ACB60时，有以下两个结论： APB120；AF+BEAB 那么，当 AMBN 时： （1） 点点发现的结论还成立吗？若成立， 请给予证明；若不成立， 请求出APB 的度数， 写出 AF，BE， AB 长度之间的等量关系，并给予证明； （2）设点 Q 为线段 AE 上一点，QB，若 AF+BE4，四边形 ABEF 的面积为，求 AQ 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （3 分）下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对

9、称图形的定义和图形的特点即可求解 【解答】解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转 180后能与原图重合，则只有选项 A 是中心对称图 形 故选：A 【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转 180后能够与自身重合，那么 这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 2 （3 分）将化简，正确的结果是（ ） A3 B3 C6 D3 【分析】首先把 8 分成 222，然后根据化简二次根式的步骤，把被开方数中能开得尽方的因数（或因 式）都开出来，求出将化简，正确的结果是多少即可 【解答】解： 3 故选：C 【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是

10、要明确化简二次根式 的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或 因式）都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2 3 （3 分）点点同学对数据 26，36，46，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂 污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A平均数 B中位数 C方差 D标准差 【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断 【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第 4 个数有关，而这组数据的中位数为 46，与第 4 个数无关 故选：B 【点评】本题考查了

11、标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离 散程度也考查了中位数、平均数 4 （3 分）若 kk+1（k 是整数） ，则 k（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】根据9，10，可知 910，依此即可得到 k 的值 【解答】解：kk+1（k 是整数） ，910， k9 故选：D 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算的取值范围，从而解决问题 5 （3 分）在四边形 ABCD 中，若A 与C 之和等于四边形外角和的一半，B 比D 大 15，则B 的 度数等于（ ） A150 B97.5 C82.5 D67.5 【分析】 根据A与C之和等于四边形外角和的一

12、半， 四边形的外角和为360， 得到A+C180， 根据四边形的内角和为 360B+D360（A+C）180，根据B 比D 大 15，得 到BD15，所以+得：2B195，所以B97.5 【解答】解：A 与C 之和等于四边形外角和的一半，四边形的外角和为 360， A+C180， B+D360（A+C）180， B 比D 大 15， BD15， +得：2B195， B97.5 故选：B 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记四边形的内角和与外角和 6 （3 分）函数的自变量 x 满足x2 时，函数值 y 满足y1，则这个函数可以是（ ） Ay By Cy Dy 【分析】把

13、x代入四个选项中的解析式可得 y 的值，再把 x2 代入解析式可得 y 的值，然后可得答 案 【解答】解：A、把 x代入 y可得 y1，把 x2 代入 y可得 y，故 A 正确； B、把 x代入 y可得 y4，把 x2 代入 y可得 y1，故 B 错误； C、把 x代入 y可得 y，把 x2 代入 y可得 y，故 C 错误； D、把 x代入 y可得 y16，把 x2 代入 y可得 y4，故 D 错误 故选：A 【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质，关键是正确理解题意，根据自变量的值求出对应的函 数值 7 （3 分）在菱形 ABCD 中，ADC120，点 E 关于A 的平分线的对称点为 F

14、，点 F 关于B 的平分 线的对称点为 G，连结 EG若 AE1，AB4，则 EG（ ） A2 B2 C3 D 【分析】连接 FG，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出 AF1，进而利用直角三角形的判定 和边长关系解答即可 【解答】解：连接 FG， 菱形 ABCD，ADC120， A60，ABC120， 点 E 关于A 的平分线的对称点为 F，点 F 关于B 的平分线的对称点为 G， AEAF，BFBG， AEF 是等边三角形， AFE60， BFBG， BFG 是等腰三角形， GFB， EFG180603090， BF413， FG2， EG， 故选：B 【点评】此题考查菱形的性质，关

15、键是利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出 AF 解答 8 （3 分）设函数 y（k0，x0）的图象如图所示，若 z，则 z 关于 x 的函数图象可能为（ ） A B C D 【分析】根据反比例函数解析式以及 z，即可找出 z 关于 x 的函数解析式，再根据反比例函数图象在 第一象限可得出 k0，结合 x 的取值范围即可得出结论 【解答】解：y（k0，x0） ， z（k0，x0） 反比例函数 y（k0，x0）的图象在第一象限， k0， 0 z 关于 x 的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出

16、 z 关于 x 的函数解析 式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的变换找出 z 关于 x 的函数关系式是关 键 9 （3 分）已知关于 x 的方程（x1）（k1）x+（k3）0（k 是常数） ，则下列说法中正确的是（ ） A方程一定有两个不相等的实数根 B方程一定有两个实数根 C当 k 取某些值时，方程没有实数根 D方程一定有实数根 【分析】 当 k1 时方程为一元一次方程， 只有一个实数根， 当 k1 时，利用判定方程根的情况即可 【解答】解：化简方程（x1）（k1）x+（k3）0，得（k1）x22xk+30， 当 k1 时方程为一元一次方程，只有一个实数根， 当 k1 时

17、，b24ac44（4kk23）4k216k+164（k2）20， 方程一定有实数根 故选：D 【点评】本题主要考查了一元二次方程解题的关键是二次项的系数及如何确定方程有无实数根 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 yx 和函数 y的图象在第一象限交于点 D（4，m） ，与 平行于 y 轴的直线 xt（0t4）分别交于点 A 和点 B，平面上有点 P（0，6） 若以点 O，P，A，B 为顶点的四边形为平行四边形， 则这个平行四边形被直线PD所分割成的两部分图形的面积之比为 （ ） A1：1 B1：2 C1：3 D1：4 【分析】如图，先确定 D（4，4） ，再利用直线 xt 平行 y

18、 轴，则 A（t，） ，B（t，t） ，则根据平行四 边形的性质得t6，解得 t12，t28（舍去） ，所以 A（2，8） ，B（2，2） ，接着判断 BQ 为 DOP 的中位线，则 BQOP3，AQ3，然后根据三角形面积公式和平行四边形的面积公式计算 的值即可 【解答】解：如图，把 D（4，m）代入 yx 得 m4，则 D（4，4） ， 直线 xt（0t4）分别交函数 y的图象和直线 yx 于点 A 和点 B， A（t，） ，B（t，t） ， 四边形 OBAP 为平行四边形， ABOP6， t6， 整理得 t2+6t160，解得 t12，t28（舍去） ， A（2，8） ，B（2，2） ，

19、点 B 为 OD 的中点， BQ 为DOP 的中位线， BQOP3， AQ633， ， 即这个平行四边形被直线 PD 所分割成的两部分图形的面积之比为 1：3 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个 函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了平 行四边形的性质 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11 （3 分）二次根式中字母 x 的取值范围是 x1 【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解 【解答】解：根据题意得：1x0， 解得 x1 故答案为：x1 【点评】主

20、要考查了二次根式的意义和性质性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根 式无意义 12 （3 分）数据 1，2，3，5，5 的众数是 5 ，平均数是 【分析】根据众数、平均数的概念求解 【解答】解：数据 1，2，3，5，5 的众数是 5； 平均数是（1+2+3+5+5） 故答案为：5； 【点评】本题考查了众数和平均数的概念，掌握各知识点的概念是解答本题的关键 13 （3 分）已知直角三角形的两条边长分别是方程 x23x+20 的两个根，则此直角三角形的斜边长是 2 或 【分析】解方程 x23x+20 求出直角三角形的两边是 1，2，这两边可能是两条直角边，根据勾股定理 即可求得斜边，也

21、可能是一条直角边和一条斜边，则斜边一定是 2 【解答】解：x23x+20， x1 或 2， 当 1、2 是两条直角边时，根据勾股定理得其斜边为， 当 1 是直角边 2 是斜边时 直角三角形的斜边长是 2 或 故答案为：2 或 【点评】本题主要考查勾股定理，即斜边的平方等于两直角边的平方和及解一元二次方程注意到分两 种情况进行讨论是解决本题的关键 14 （3 分）某计算机程序第一次算得 m 个数据的平均数为 x，第二次算得另外 n 个数据的平均数为 y，则这 （m+n）个数据的平均数等于 【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数 【解答】解：某计算机程序第一次算得 m 个数据的平

22、均数为 x，第二次算得另外 n 个数据的平均数为 y， 则这 m+n 个数据的平均数等于： 故答案为： 【点评】此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键 15 （3 分）在菱形 ABCD 中，A30，在同一平面内，以对角线 BD 为底边作顶角为 120的等腰三角 形 BDE，则EBC 的度数为 45或 105 【分析】如图当点 E 在 BD 右侧时，求出EBD，DBC 即可解决问题，当点 E 在 BD 左侧时，求出 DBE即可解决问题 【解答】解：如图，四边形 ABCD 是菱形， ABADBCCD，AC30， ABCADC150， DBADBC75， EDEB，DEB120，

23、 EBDEDB30， EBCEBD+DBC105， 当点 E在 BD 右侧时，DBE30， EBCDBCDBE45， EBC105或 45， 故答案为 105或 45 【点评】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全 面，属于中考常考题型 16 （3 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点 P（1，t）在反比例函数 y的图象上，过点 P 作 直线 l 与 x 轴平行，点 Q 在直线 l 上，满足 QPOP若反比例函数 y的图象经过点 Q，则 k 2+2 或 22 【分析】把 P 点代入 y求得 P 的坐标，进而求得 OP 的长，即可求得 Q 的坐

24、标，从而求得 k 的值 【解答】解：点 P（1，t）在反比例函数 y的图象上， t2， P（1，2） ， OP， 过点 P 作直线 l 与 x 轴平行，点 Q 在直线 l 上，满足 QPOP Q（1+，2）或（1，2） 反比例函数 y的图象经过点 Q， 2或 2，解得 k2+2或 22 故答案为 2+2或 22 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， 勾股定理的应用， 求得 Q 点的坐标是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 17 （1）计算： （）2 （2）解方程：2x22x3 【分析】 （1）先根据二次根式的性质化简，然后进行减法运算； （2）先把方程化为一般

25、式，然后利用求根公式解方程 【解答】解： （1）原式31 2； （2）2x22x30， （2）242（3）28， x， 所以 x1，x2 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法也考查了 二次根式的混合运算 18已知 ma2b，n2a2+3ab （1）当 a3，b2，分别求 m，n 的值 （2）若 m12，n18，求+的值 【分析】 （1）根据 ma2b，n2a2+3ab，a3，b2，即可得到 m、n 的值； （2）根据 m12，n18，ma2b，n2a2+3ab，可以得到3ab，2a+3b，然后将所求式子变 形，即可求得所求式子的值 【解答】解： （1）

26、ma2b，n2a2+3ab，a3，b2， m（3）2（2）9（2）18， n2（3）2+3（3）（2）29+1818+1836， 即 m 的值是18，n 的值是 36； （2）m12，n18，ma2b，n2a2+3ab， 12a2b，182a2+3ab， 3ab，2a+3b， + 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 19如图为 A，B 两家网店去年上半年的月销售额折线图 （1）分别写出两家网店 16 月的月销售额的中位数 （2） 已知两家网店 16 月的月平均销售额都是 28 万元，你认为哪家网店的月销售额比较稳定？请说明 理由 （3）根据此统计图及相关数据

27、，你认为哪家网店经营状况较好？请简述理由 【分析】 （1）将数据按照从小到大依次排列，即可求出中位数； （2）利用方差公式进行计算； （3）根据方差和平均数综合考量 【解答】解： （1）A 店销售额按从小到大依次排列为 17，22，28，30，32，39；中位数为（28+30） 29； B 店销售额从小到大依次排列为 16，20，26，28，38，40；中位数为（26+28）27 （2）（1728）2+（2228）2+（2828）2+（3028）2+（3228）2+（3928）2； （1628）2+（2028）2+（2628）2+（2828）2+（3828）2+（4028）276 （3）平均数

28、相同，由（2）可知，； A 网店较稳定，A 经营较好 【点评】本题考查了折线统计图、方差、中位数，熟悉它们的概念是解题的关键 20方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地，行驶里程为 480 千米，设小汽车的行驶时间为 t（单位：小 时） ，行驶速度为 v（单位：千米/小时） ，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时 （1）求 v 关于 t 的函数表达式； （2）方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发 方方需在当天 12 点 48 分至 14 点 （含 12 点 48 分和 14 点） 间到达 B 地， 求小汽车行驶速度 v 的范围 方方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地？

29、说明理由 【分析】 （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）8 点至 12 点 48 分时间长为小时，8 点至 14 点时间长为 6 小时，将它们分别代入 v 关于 t 的 函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围； 8 点至 11 点 30 分时间长为小时，将其代入 v 关于 t 的函数表达式，可得速度大于 120 千米/时，从 而得答案 【解答】解： （1）vt480，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时， v 关于 t 的函数表达式为：v， （t4） （2）8 点至 12 点 48 分时间长为小时，8 点至 14 点时间长为 6 小时 将 t6

30、代入 v得 v80；将 t代入 v得 v100 小汽车行驶速度 v 的范围为：80v100 方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地理由如下： 8 点至 11 点 30 分时间长为小时，将 t代入 v得 v120 千米/小时，超速了 故方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地 【点评】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档 题 21如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到点 E 处，BE 交 AD 于点 F，作 DG BE，交 BC 于点 G，连接 FG 交 BD 于点 O （1）判断四边形 BFDG

31、 的形状，并说明理由； （2）若 AB3，AD4，求 FG 的长 【分析】 （1）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断； （2）根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解 【解答】解： （1）四边形 BFDG 是菱形理由如下： 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， FDBG， 又DGBE， 四边形 BFDG 是平行四边形， EBDCBD，CBDFDB FBDFDB， DFBF， 四边形 BFDG 是菱形； （2）AB3，AD4， BD5 OBBD 假设 DFBFx， AFADDF4x 在直角ABF 中，AB2+AF2BF2，即 32+（4x）2x2， 解得 x， 即 BF， FO， F

32、G2FO 【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折不变性，综合性较强， 是一道好题 22已知平面直角坐标系中，O 是坐标原点，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A （m，2） ，B（1，n） （1）求 m，n 的值； （2）求一次函数的表达式；当，直接写出 x 的取值范围； （3）点 P 是 x 轴上一点，当OAP 和OAB 的面积相等时，求 P 点的坐标 【分析】 （1）把点 A（m，2） ，B（1，n）代入反比例函数 y，即可得到结果； （2）由一次函数 ykx+b 的图象过 A（2，2） ，B（1，4） ，把 A，B 两点的坐标代入

33、即可得到结 论；根据图象即可求得； （3）根据三角形的面积公式即可求得 【解答】解： （1）点 A（m，2） ，B（1，n）在反比例函数 y的图象上， 2mn4， m2，n4； （2）一次函数 ykx+b 的图象过 A（2，2） ，B（1，4） ， ， ， 一次函数的表达式为：y2x2； 当时，x2 或1x0； （3）由直线 y2x2 可知，D（0，2） ， SAOB+3 设 P（m，0） ， OAP 和OAB 的面积相等， 则 SOAP|m|23， 解得 m3， P（3，0）或（3，0） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数的解析式求点的坐标，待定系数法求 函数的解析式

34、，三角形面积的求法，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键 23在线段 AB 的同侧作射线 AM 和 BN，若MAB 与NBA 的平分线分别交射线 BN，AM 于点 E，F，AE 和 BF 交于点 P如图，点点同学发现当射线 AM，BN 交于点 C；且ACB60时，有以下两个结论： APB120；AF+BEAB 那么，当 AMBN 时： （1） 点点发现的结论还成立吗？若成立， 请给予证明；若不成立， 请求出APB 的度数， 写出 AF，BE， AB 长度之间的等量关系，并给予证明； （2）设点 Q 为线段 AE 上一点，QB，若 AF+BE4，四边形 ABEF 的面积为，求 AQ 的长

35、【分析】点点的两个结论：利用三角形的角平分线和三角形的内角和即可得出结论； 先判断出PAGPAF （SAS） 得出AFPAGP， 结合同角的补角相等即可得出BGPBEP， 进而判断出BPGBPE（AAS） ，即可得出结论； （1）由角平分线和平行线整体求出MAB+NBA，从而得到APB90，最后用等边对等角，即可 （2）先根据条件求出 AF，FG，求出FAG60，最后分两种情况讨论计算 【解答】解：点点的结论：ACB60， BAC+ABC120， MAB 与NBA 的平分线分别交射线 BN，AM 于点 E，F， PAB+PBA（PAB+PBA）60， APB120， 如图，在 AB 上取一点

36、G，使 AGAF， AE 是BAM 的角平分线， PAGPAF， 在PAG 和PAF 中， ， PAGPAF（SAS） ， AFPAGP， EPFAPB120，ACB60， EPF+ACB180， PFC+PEC180， PFC+AFP180， PECAFP， PECAGP， AGP+BGP180， PEC+BGP180， PEC+PEB180， BGPBEP， BF 是ABC 的角平分线， PBGPBE， 在BPG 和BPE 中， ， BPGBPE（AAS） ， BGBE， AF+BEAB （1）原命题不成立，新结论为：APB90，AF+BE2AB（或 AFBEAB） ， 理由：AMBN，

37、MAB+NBA180， AE，BF 分别平分MAB，NBA， EABMAB，FBANBA， EAB+FBA（MAB+NBA）90， APB90， AE 平分MAB， MAEBAE， AMBN， MAEBEA， BAEBEA， ABBE， 同理：AFAB， AF+BE2AB（或 AFBEAB） ； （2）如图 1， 过点 F 作 FGAB 于 G， AFBE，AFBE， 四边形 ABEF 是平行四边形， AF+BE4， ABAFBE2， 四边形 ABEF 的面积为， 22FG， FG， 在 RtFAG 中，AF2， FAG60， 当点 G 在线段 AB 上时，FAB60， 当点 G 在线段 BA 延长线时，FAB120， 如图 2， 当FAB60时，PAB30， PB1，PA， BQ，BPA90， PQ1， AQ1 或 AQ+1 如图 3， 当FAB120时，PAB60，FBG30， PB， PB， 线段 AE 上不存在符合条件的点 Q， 综上，AQ1 或 AQ+1 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股 定理，平行四边形的性质与判定，解本题的关键是用勾股定理计算线段