1、 河北省河北省 20202021 学年高三上学年高三上 12 月份考试数学月份考试数学试卷试卷 考生注意：考生注意： 1本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分分考试时间考试时间 120 分钟分钟 2请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容本试卷主要考试内容：高考全部内容高考全部内容 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只有只有一一 项是符项是符合题目要求的合题目要求的
2、 1设集合 (3)(8)0Ax xx，则AZ（ ） A83xx B4,5,6,7 C 38xx D 7, 6, 5, 4 2已知复数 3 2zii，则 z 在复平面内对应的点所在象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的是（ ） A( )sinf xxx B( )31 x f x C 1 ( )f x x D 3 ( )log |f xx 4双曲线 22 1 24 xy 的渐近线方程是（ ） A2yx B 2 2 yx C2yx D 1 2 yx 5已知向量(2,4),(1, )abn，若/ /ab，则|3|anb（ ） A8
3、B12 C4 5 D5 6明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了 一套先进航海技术“过洋牵星术” ，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位 置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位其采用的主要工具是牵星板，由 12 块正方形木板组成，最小 的一块边长约 2 厘米 （称一指） ， 木板的长度从小到大依次成等差数列， 最大的长约 24 厘米 （称十二指） 观 测时， 将木板立起， 一手拿着木板， 手臂伸直， 眼睛到木板的距离大约为 72 厘米， 使牵星板与海平面垂直， 让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同
4、替换、调整木板，当被测星辰落在木板 上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬 度如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2（ ） A 12 35 B 1 6 C 12 37 D 1 3 7已知抛物线 2 :2(0)M ypxp的焦点为 F，过点 F 且斜率为 3 4 的直线l与抛物线 M 交于 A（点 A 在 第二象限） ，B 两点，则 | | AF AB （ ） A 1 5 B 1 4 C4 D5 8已知函数( )f x是定义在 R 上的奇函数，其导函数为( )fx 且对任意实数 x 都有( )( )1f xfx ，则不 等式
5、( )1 xx e f xe的解集为（ ） A(,0) B(0,) C(,1) D(1,) 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有多项在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求符合题目要求全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知1x ，则 25 1 x x 的值可以为（ ） A9 B10 C11 D12 10在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损 失20112020 年上半年的票房走
6、势如下图所示，则下列说法不正确的是（ ） A自 2011 年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B自 2011 年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 5 年 C2018 年上半年的票房收入增速最大 D2020 年上半年的票房收入增速最小 11已知函数 2 ( )2cos3sin2(0)f xxx，若( )f x的最小正周期为，则下列说法正确的有 （ ） A( )f x图象的对称中心为,0 () 122 k kZ B函数( )2yf x在0, 上有且只有两个零点 C( )f x的单调递增区间为,() 36 kkkZ D将函数2sin21yx的图象向左平移 12 个单位长度，可得到( )f x
7、的图象 12如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点 E 在棱 1 DD上，且 1 2,DEED F是线段 1 BB上一动点，则 下列结论正确的有（ ） AEFAC B存在一点 F 使得 1 / /AEC F C三棱锥 1 DAEF的体积与点 F 的位置无关 D直线 1 AA与平面AEF所成角的正弦值的最小值为 3 10 10 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上 13已知函数 20, ( ) (3),0, x x f x f xx 则(6)f_ 14 6 1
8、 2 6 xy 的展开式中 3 xy项的系数是_ 15已知正三棱柱 11 ,ABCA BC的侧面积为6 3，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为_ 16已知函数( )432 x f x ，若函数 22 ( ) ( )2( )1g xf xmf xm有 4 个零点，则 m 的取值范围 是_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在递增的等比数列 n a中， 324 9,30aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 32 log nn ba，求数列 n b的
9、前 n 项和 n S 18 （12 分） 在3acb且 2 2sin3sinsinBAC， 22 (sinsin)sinsinsinACBAC，ABC的面积 222 3 4 acb S 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答 问题：在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且_ （1）求sinB； （2）若2ac，且ABC的面积为2 3，求ABC的周长 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分 19 （12 分） 为了解生猪市场与当地居民人均收入水平的关系， 农业农村部随机对 160 个城镇当月的猪肉价格 （元/千克） 与居民人均收入（元/月）进行了调研，得到如
10、下表格： 猪肉价格（元/千克） 人均收入（元/月） (0,40 (40,50 (50,60 (0,3000 6 15 0 (3000,4000 2 27 5 (4000,5000 9 45 16 (5000,6000 0 16 19 （1）估计全国各地猪肉价格在(50,60（元/千克）内的概率； （2）估计这 160 个城镇的居民人均收入（元/月）的中位数（计算结果保留整数） ； （3）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与 当地居民人均收入水平有关 猪肉价格（元/千克） 人均收入（元/月） (0,50 (50,60 合计 (0,4000
11、(4000,6000 合计 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 P Kk 0.05 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 20.（12 分） 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点,8,6E BDAC，将ACD沿AC折到PAC的位置，使得 4PD ，如图所示 （1）证明：PBAC （2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值 21 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且经过点 2 1, 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知(0,)(1)
12、Mm m ，经过点 M 的直线l与椭圆 C 交于,A B两点，若原点到直线l的距离为 1，且 MAAB，求直线l的方程 22 （12 分） 已知函数( )ln x f xx e （1）若曲线( )yf x存在一条切线与直线yax垂直，求a的取值范围； （2）证明： 2 3 ( )lnsin 4 f xxxx 20202021 学年河北省高三上学期学年河北省高三上学期 12 月份考试月份考试 数学参考答案数学参考答案 1D 因为83Axx ，所以 7, 6, 5, 4AZ 2A 复数 3 212ziii 在复平面内对应的点为(1,2)，在第一象限 3A D 中函数非奇非偶，D 中函数是偶函数，C
13、 中函数是奇函数，但不在定义域内单调递减，只有 A 中 函数符合题意( )sin,()( )f xxx fxf x ，故该函数为奇函数又( )cos1 0fxx 恒成立，故 该函数在定义域内单调递减 4A 由题意可得2,2ab，则该双曲线的渐近线方程是2 b yxx a 5C 因为/ /ab，所以21 4,2nn ，所以3(4,8)anb，故|3| 4 5anb 6A 由题知六指为 12 厘米，则 121 tan 726 ，则 2 1 2 2tan12 6 tan2 1 1tan35 1 36 7A 如图，直线CD为抛物线 M 的准线，,ACCD BDCD AEBD设|3BEx，则 |5 ,|
14、 | |3 ,| |5ABxBEBDACBFAFxABAFBFx， 解 得|AFx， 故 |1 |55 A Fx A Bx 8 B 设( ) ( ) 1 x g xef x则( )( )( ) xxx g xe f xe fxe 因 为()()1fxfx ， 所 以 ( )( ) xxx e f xe fxe ，即( )( )0 xxx e f xe f xe ，故( )g x在 R 上单调递增因为( )f x是定义在 R 上 的奇函数，所以(0)0f，所以(0)1g ，不等式( )1 xx e f xe，即( )(0)g xg，则0 x 9 CD 因为1x ， 所以10 x ， 所以 252
15、5 11 2 25111 11 xx xx ， 当且仅当 25 1 1 x x ， 即6x 时，等号成立，故 25 11 1 x x 10ABC 由图易知自 2011 年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，故 A 错误；自 2011 年 以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 3 年，故 B 错误；2017 年上半年的票房收入增速最大，故 C 错 误；2020 年上半年的票房收入增速最小，故 D 正确 11CD 2 ( )2 c o s3 s i n 2c o s 23 s i n 212 s i n21 6 fxxxxxx 因为 2 2 T ，所以1，所以( )2sin 21 6
16、f xx 令2() 6 xkkZ ，得则() 122 k xk Z， 则( )f x图象的对称中心为,1 () 122 k kZ ，故 A 错误 由( )20f x ，可得 1 sin 2 62 x ， 则22 66 xk 或 5 22() 66 xkkZ ，即xk或() 3 xkkZ 所以函数( )2yf x在0, 上有三个零点0, 3 ，故 B 错误 令222() 262 kxkkZ 剟，得() 36 kxkkZ 剟， 所以( )f x的单调递增区间为,() 36 kkkZ ，故 C 正确 将2sin21yx的图象向左平移 12 个单位长度后，得到曲线 2sin 212sin 21 126
17、 yxx ，故 D 正确 12ABC 如图，连接BD易证AC 平面BDEF，则ACEF，故 A 正确在 1 AA上取一点 H，使 得 1 2AHAH，连接 11 ,EC EH HB，易证四边形 11 BC EH为平行四边形，则 1111 / /,C EBH C EBH若 1 2BFB F， 易证四边形 1 AHB F为平行四边形， 则 11 / /,AFBH AFBH， 从而 11 / /,AFC E AFC E， 故四边形 1 AEC F为平行四边形，于是 1 / /AEC F，故 B 正确设ABa，三棱锥 1 DAEF的体积与三 棱锥 1 FAD E的体积相等，则 11 3 112 323
18、9 DAEFFAD E aa VVa a ，即三棱锥 1 DAEF的体积与 正方体的棱长有关， 与点 F 的位置无关， 故 C 正确 以 1 C为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 1 Cxyz， 设3AB， 则 1 ( 3 , 3 , 3 ) ,( 3 , 3 , 0 ) ,( 3 , 0 , 2 ) ,( 0 , 3 , )AAEFt， 从 而 1(0,0, 3),(0, 3, 1)AAAE， ( 3,0,3)AFt 设平面AEF的法向量( , , )nx y z，则 30, 3(3)0, n AEyz n AFxtz 令3z ，得 (3, 1,3)nt，从而 1 1 2 1 3 cos
19、, |(3)10 AA n AA n AAnt ，即直线 1 AA与平面AEF所成角的正弦 值为 2 3 (3)10t 因为03t剟，所以 2 10 (3)10 19t 剟，所以 2 3 1933 10 1910 (3)10t 剟，故 D 错误 131 ( 6 )( 3)( 0 )1fff 14 10 3 6 1 2 6 xy 表示的是 6 个 1 2 6 xy 相乘，要得到 3 xy，则其中有 1 个因式取2x，有 3 个因式取y， 其余2个因式都取 1 6 ， 所以展开式中 3 xy项的系数是 2 2133 643 110 2( 1) 63 CCC 15 8 2 3 设正三棱柱的底面边长为
20、a，高为 h，球的半径为 R，由题意知36 3ah ，即2 3ah ， 底面外接圆的半径 3 2sin 3 aa r ，由球的截面圆性质知 2 22 2 43 hah Rr，当且仅当 3 2 ah时 取等号，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为 3 48 2 ( 2) 33 16 (3,4) 22 ( ) ( )2( )10g xf xmf xm ， 即()(1) ()(1) 0fxmfxm， 解 得 ( )1f xm或( )1f xm由( )f x的图象（图略）可得 215, 215, m m 解得34m，即 m 的取值范 围是(3,4) 17解： （1）由题意可得 2 31 3 2411 9
21、, 30, 1, aa q aaa qa q q 2 分 解得 1 1,3aq 4 分 故 11 1 3 nn n aa q 5 分 （2）由（1）可得 21 2 3 n n a ，则 32 log21 nn ban， 7 分 故 2 (121) 1 3521 2 n nn Snn 10 分 18解： （1）若选， 22 2sin3sinsin,23BACbac 2 分 222 3 ,23acbacacb， 222222 32221 cos 2222 acbbacbbac B acacac 5 分 3 0,sin 2 BB 6 分 若选， 2222 (sinsin)sinsinsin,()AC
22、BACacbac， 222 bacac 3 分 222 1 cos,cos 222 acbac BB acac ，故 3 sin 2 B 6 分 若选 222 222 3 1 sin,32sin 42 acb SacBacbacB ， 2 分 222222 2cos ,2cosbacacBacbacB， 4 分 32cos2sin,tan3acBacBB，故 3 sin 2 B 6 分 （2）ABC的面积为 1 sin2 3,8 2 acBac 7 分 2 ,2,4acca 8 分 2222 1 2cos ,1642 2 412 2 bacacBb ，即2 3b 11 分 故ABC的周长为24
23、2 362 3abc 12 分 19解： （1）因为这 160 个城镇的猪肉价格在(50,60（元/千克）内的频率为 5 16 191 1604 ， 1 分 所以据此得全国各地猪肉价格在(50,60（元/千克）内的概率约为 1 4 2 分 （2）因为居民人均收入（元/月）在(0,4000的频率为 6 152275111 160322 ， 3 分 居民人均收入（元/月）在(0,5000的频率为 55945 16251 160322 ， 4 分 所以居民人均收入（元/月）的中位数在(4000,5000之间 5 分 因为 111 30500 232 400010004357 2511 7 3232
24、， 6 分 所以中位数约为 4357 7 分 （3）列联表如下： 猪肉价格（元/千克） 人均收入（元/月） (0,50 (50,60 合计 (0,4000 50 5 55 (4000,6000 70 35 105 合计 120 40 160 因为 2 2 160 (50 3570 5)1120 11.3137.879 55 105 120 4099 K ， 11 分 所以有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关 12 分 20.（1）证明：因为ABCD是菱形，所以ACBD， 1 分 则,BEAC PEAC 2 分 因为BE 平面,PBE PE 平面PBE，且BEPEE，所
25、以AC 平面PBE 3 分 因为PB 平面PBE，所以PBAC 4 分 （2）解：取DE的中点 O，连接OP，取CD的中点 F，连接OF 因为8BD ，所以4DEPE 因为4PD ，所以PDPE，所以PODE. 5 分 由（1）可知AC 平面PBE，所以平面PBD 平面ABCD，则PO平面ABCD 6 分 故以 O 为坐标原点，以,OF OD OP的方向分别为, ,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 由 题 中 数 据 可 得(3 ,2 , 0 ) ,( 0 ,6 , 0 ) ,( 3 ,2 , 0 ) ,( 0 , 2 , 0 ) ,( 0 , 0 , 23 )AB
26、CDP， 则 ( 3 ,4 , 0 ) ,( 0 , 6 , 23 ) ,( 0 ,2 , 23 )A BD CB PD P 8 分 设平面PAB的法向量为 111 ,mx y z，则 11 11 340, 62 30, m ABxy m BPyz 令4x ，得(4,3, 3 3)m 9 分 设平面PCD的法向量为 222 ,nx y z， 则 22 22 340, 22 30, n DCxy n DPyz 令4x ，得(4,3, 3)n 10 分 设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为， 则 222222 4 43 3 3 334 91 cos |91 43( 3 3)43( 3) m n
27、 m n 12 分 21解： （1）设椭圆 C 的焦距为2c，则 22 222 2 , 2 11 1, 2 , c a ab abc 3 分 解得 222 2,1abc， 4 分 椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 2 x y 5 分 （2）由题可知直线l的斜率存在，设斜率为 k，则直线方程为ykxm，设 1122 ,A x yB x y， 原点到直线l的距离为 1， 2 1 1 m k ，即 22 1mk 6 分 联立直线与椭圆方程可得 222 124220kxkmxm， 则 2222 164 12220k mkm，则0k ， 22 1212 222 4222 , 1 21 21 2 kmm
28、k xxx x kkk 8 分 21 ,2MAABxx， 2 2 11 2 2 4 , 123 12 kmk xx kk ，则 2 2 16 1 9 12 m k ， 10 分 联立，解得 2 7 2 k ，即 143 2 , 22 km ， 11 分 所求直线方程为 143 2 22 yx 12 分 22 （1）解： 11 ( ) e fx x 1 分 因为( )f x的定义域为(0,)，所以 111 eex 2 分 因为曲线( )yf x存在一条切线与直线yax垂直，所以 11 ea ， 3 分 解得0a或ea，则a的取值范围为(,0)(e,) 5 分 （2）证明： 11e ( ) ee
29、x fx xx 当(0,e)x时，( )0fx ；当(e,)x时，( )0fx 6 分 所以 max e ( )(e)lne0 e f xf 7 分 设函数 2 2 121 ( )ln ,( )2 x g xxx g xx xx 当 2 0, 2 x 时，( )0g x ；当 2 , 2 x 时，( )0g x 8 分 所以 min 211111 ( )lnln2 222222 g xg 9 分 因为 1 ln2lne 2 ，所以 min 3 ( ) 4 g x 10 分 因为 33 3 sin, 44 4 x ，所以 2 3 lnsin0 4 xxx 11 分 又 max ( )( )0f xf x，所以 2 3 ( )lnsin 4 f xxxx 12 分