1、2020-2021 学年福建省莆田市秀屿区九年级（上）期中数学试卷学年福建省莆田市秀屿区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是分，在每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是 正确的，答对的得正确的，答对的得 4 分；答错、不答或答案超过一个的一律得分；答错、不答或答案超过一个的一律得 0 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x+10 Bx230 Cy+x24 D+x22 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A等腰三角形 B平行四
2、边形 C正三角形 D圆 3抛物线 yx2+x2 与 y 轴的交点坐标是（ ） A （0，2） B （0，2） C （2，0） D （2，0） 、 （1，0） 4 把抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 2 个单位长度后， 所得函数的表达式为 （ ） Ay2（x+1）2+2 By2（x+1）22 Cy2（x1）2+2 Dy2（x1）22 5 如图， 在ABC 中， CAB65， 将ABC 在平面内绕点 A 旋转到ABC的位置， 使 CCAB， 则旋转角的度数为（ ） A35 B40 C50 D65 6已知二次函数 yx2+mx+n 的对称轴为 x1，点（4，y1） （3，y2
3、） ， （3，y3）在此函数的图象上， 则有（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 7平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，3） ，将线段 OA 绕原点 O 逆时针旋转 90得到 OA，则点 A 的坐标是（ ） A （3，4） B （4，3） C （3，4） D （4，3） 8方程 x29x+180 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A12 B15 C12 或 15 D不能确定 9如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点若CAB24，则ADC 的度数为（ ） A45 B60 C66 D70 10二次函数 yax2+bx+c（a0
4、）的图象如图所示，下列结论： b24ac0；abc0；4a+b0；4a2b+c0 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.把答案填在答题卡上的相应位置）把答案填在答题卡上的相应位置） 11方程 x24x 的解是 12若关于 x 的方程 x2+mx60 有一根是3，则另一根为 13若抛物线 yx24x+c 的顶点在 x 轴上，则 c 的值是 14要组织一次篮球联赛，每两队之间都只赛一场，计划安排 28 场，应邀请 队篮球队参加比赛 15如图，在O 中，CD 是直径，弦 ABCD，垂足
5、为 E，连接 BC，若 AB2cm，BCD2230， 则圆 O 的半径为 cm 16如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1x2（x0）与 y2（x0）于 B，C 两点，过点 C 作 y 轴的平行交 y1于点 D，直线 DEAC，交 y2于点 E，则 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 86 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤）分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17 （8 分）用配方法解方程 x26x70 18 （8 分）已知四边形 ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且
6、 DEBF，连接 AE、 AF、EF （1）求证：AEAF； （2）填空：ADE 可以由ABF 绕点 ，逆时针方向旋转 度得到 19 （8 分）已知关于 x 的方程 x22（k1）x+k20 有两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）设原方程的两个实数根为 x1，x2，若 x1+x21x1x2，求 k 的值 20 （8 分）已知点 A（1，1）在二次函数 yx22ax+b 的图象上 （1）请用含 a 的代数式表示 b； （2）如果该二次函数的图象与直线 y2x2 只有一个交点，求 a 的值 21 （8 分）如图，已知ABC，以 AB 为直径的半O 交 AC 于 D，交 BC 于 E，BE
7、CE，C65，求 DOE 的度数 22 （10 分）阅读下面材料：解答问题 为解方程（x21）25（x21）+40，我们可以将（x21）看作一个整体，然后设 x21y，那么原 方程可化为 y25y+40，解得 y11，y24当 y1 时，x211，x22，x；当 y4 时， x214，x25，x，故原方程的解为 x1，x2，x3，x4 上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程 （x2x）24（x2x）120 23 （10 分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度 增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，
8、该产品每天 的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系：y2x+80设这种产品每天的销售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数关系式 （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24 （12 分）如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BAC+EAD180，ABC 不动， ADE 绕点 A 旋转，连接 BE、CD，F 为 BE 的中点，连接 AF （1）如图，当BAE90时，求证：CD2AF； （2）当BAE90时， （1）的结论是否成立？请结合图说明理由 25 （14 分）已知二次函数 yx2+mx+t（m，t 为常数） （1
9、）当 m2，t3 时，请判断抛物线 yx2+mx+t 与 x 轴的交点情况，并说明理由 （2）当 tm2时， 请求出抛物线 yx2+mx+t 的顶点 P 的坐标（用含 m 的式子表示） ；并直接写出点 P 所在的函数图象解 析式； 若在自变量 x 满足 mxm+3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最大值为 6，求 m 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是分，在每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是 正确的，答对的得正确的，答对的得 4 分；
10、答错、不答或答案超过一个的一律得分；答错、不答或答案超过一个的一律得 0 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x+10 Bx230 Cy+x24 D+x22 【分析】 根据一元二次方程的定义求解即可 一元二次方程必须满足两个条件： 未知数的最高次数是 2； 二次项系数不为 0 【解答】解：A、该方程属于一元一次方程，故本选项不符合题意 B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意 C、该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意： D、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意 故选：B 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A等腰三角形 B平行四边形 C正三角
11、形 D圆 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和等腰三角形、平行四边形、正三角形、圆的性质进行 解答 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意 故选：D 3抛物线 yx2+x2 与 y 轴的交点坐标是（ ） A （0，2） B （0，2） C （2，0） D （2，0） 、 （1，0） 【分析】令 x0，求出 y 的值即可 【解答】解：令 x0，则 y2， 抛物线 yx2+x2 与 y 轴的交点坐标是（0，2） 故选：B 4
12、 把抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 2 个单位长度后， 所得函数的表达式为 （ ） Ay2（x+1）2+2 By2（x+1）22 Cy2（x1）2+2 Dy2（x1）22 【分析】根据图象右移减，上移加，可得答案 【解答】解：把抛物线 y2x2先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表 达式为 y2（x1）2+2， 故选：C 5 如图， 在ABC 中， CAB65， 将ABC 在平面内绕点 A 旋转到ABC的位置， 使 CCAB， 则旋转角的度数为（ ） A35 B40 C50 D65 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得ACCCAB，根
13、据旋转的性质可得 ACAC，然后 利用等腰三角形两底角相等求CAC，再根据CAC、BAB都是旋转角解答 【解答】解：CCAB， ACCCAB65， ABC 绕点 A 旋转得到ABC， ACAC， CAC1802ACC18026550， CACBAB50 故选：C 6已知二次函数 yx2+mx+n 的对称轴为 x1，点（4，y1） （3，y2） ， （3，y3）在此函数的图象上， 则有（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 【分析】根据题目中二次函数的对称轴、二次函数的性质，可以判断出 y1、y2、y3大小关系，从而可以 解答本题 【解答】解：二次函数 yx2+m
14、x+n 的对称轴为 x1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小， 点（4，y1） （3，y2） ， （3，y3）在此函数的图象上，1（4）3，1（3）2，3（ 1）4， y3y1y2， 故选：B 7平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，3） ，将线段 OA 绕原点 O 逆时针旋转 90得到 OA，则点 A 的坐标是（ ） A （3，4） B （4，3） C （3，4） D （4，3） 【分析】如图作 AEx 轴于 E，AFx 轴于 F利用全等三角形的性质即可解决问题； 【解答】解：如图作 AEx 轴于 E，AFx 轴于 F 则OAEAOF， OFA
15、E3，AFOE4， A（3，4） ， 故选：A 8方程 x29x+180 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A12 B15 C12 或 15 D不能确定 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到 x 的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确 定出周长 【解答】解：方程变形得： （x3） （x6）0， 解得：当 x3 或 x6， 当 3 为腰，6 为底时，三角形三边为 3，3，6，不能构成三角形，舍去； 当 3 为底，6 为腰时，三角形三边为 6，6，3，周长为 6+6+315， 故选：B 9如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点若CAB24，则ADC
16、的度数为（ ） A45 B60 C66 D70 【分析】连接 BC，由 AB 为O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得ACB90，又由 CAB24，得出B 的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得ADC 的度数 【解答】解：连接 BC AB 为O 的直径， ACB90， CAB24， ABC90CAB66， ADCABC66 故选：C 10二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论： b24ac0；abc0；4a+b0；4a2b+c0 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】先由抛物线与 x 轴交点个数判断出结论，利用抛物线的对称轴为 x2，判断出
17、结论，先由 抛物线的开口方向判断出 a0，进而判断出 b0，再用抛物线与 y 轴的交点的位置判断出 c0，判断 出结论，最后用 x2 时，抛物线在 x 轴下方，判断出结论，即可得出结论 【解答】解：由图象知，抛物线与 x 轴有两个交点， 方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根， b24ac0，故正确， 由图象知，抛物线的对称轴直线为 x2， 2， 4a+b0， 由图象知，抛物线开口方向向下， a0， 4a+b0， b0，而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c0， abc0，故正确， 由图象知，当 x2 时，y0， 4a2b+c0，故错误， 即正确的结论有 3 个， 故选：B
18、 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.把答案填在答题卡上的相应位置）把答案填在答题卡上的相应位置） 11方程 x24x 的解是 x10，x24 【分析】根据提公因式法解方程即可求解 【解答】解：x24x， x2+4x0， x（x+4）0， x10，x24 故答案为 x10，x24 12若关于 x 的方程 x2+mx60 有一根是3，则另一根为 2 【分析】设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系得到3t6，然后解一次方程即可 【解答】解：设方程的另一个根为 t， 根据题意得3t6， 解得 t2， 即方程的另一个根为 2， 故答
19、案为 2 13若抛物线 yx24x+c 的顶点在 x 轴上，则 c 的值是 4 【分析】把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在 x 轴上，可知顶点的纵坐标为 0 可求得 c 【解答】解： yx24x+c（x2）2+c4， 其顶点坐标为（2，c4） ， 顶点在 x 轴上， c40，解得 c4， 故答案为：4 14要组织一次篮球联赛，每两队之间都只赛一场，计划安排 28 场，应邀请 8 队篮球队参加比赛 【分析】 设参加比赛的球队有 x 个， 则可表示出所比赛的场数， 由条件可列出方程， 可求得球队的个数 【解答】解：设应邀请参加比赛的球队有 x 个， 根据题意可得x（x1）28， 解得
20、x8 或 x7（舍去） ， 应邀请参加比赛的球队有 8 个， 故答案是：8 15如图，在O 中，CD 是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC，若 AB2cm，BCD2230， 则圆 O 的半径为 2 cm 【分析】连接 OB，如图，根据圆周角定理得到BOD2BCD45，再根据垂径定理，由 CD 是直 径，弦 ABCD 得到 BEAB，然后判断OBE 为等腰直角三角形，则 OBBE2 【解答】解：连接 OB，如图， BCD2230， BOD2BCD45， CD 是直径，弦 ABCD， AEBEAB2， 在OBE 中，BOE45， OBE 为等腰直角三角形， OBBE2， 即圆 O 的半径为
21、 2cm 答案为 2 16如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1x2（x0）与 y2（x0）于 B，C 两点，过点 C 作 y 轴的平行交 y1于点 D，直线 DEAC，交 y2于点 E，则 2 【分析】设 A 点坐标为（0，a） ，利用两个函数解析式求出点 B、C 的坐标，然后求出 AB 的长度，再根 据 CDy 轴，利用 y1的解析式求出 D 点的坐标，然后利用 y2求出点 E 的坐标，从而得到 DE 的长度， 然后求出比值即可得解 【解答】解：设 A 点坐标为（0，a） ， （a0） ， 则 x2a，解得 x， 点 B（，a） ， a， 则 x2， 点 C（2，a） ， C
22、Dy 轴， 点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为 2， y1（2）24a， 点 D 的坐标为（2，4a） ， DEAC， 点 E 的纵坐标为 4a， 4a， x4， 点 E 的坐标为（4，4a） ， DE422， 则2 故答案为 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 86 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤）分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17 （8 分）用配方法解方程 x26x70 【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数 【解答】解：x26x70 x26x+97+9
23、（x3）216 开方得 x34， x17，x21 18 （8 分）已知四边形 ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且 DEBF，连接 AE、 AF、EF （1）求证：AEAF； （2）填空：ADE 可以由ABF 绕点 A ，逆时针方向旋转 90 度得到 【分析】 （1）根据正方形的性质得 ADAB，DABC90，然后利用“SAS”易证得ADE ABF； （2）由于ADEABF 得BAFDAE，则BAF+BAE90，即FAE90，根据旋转的定 义可得到ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到 【解答】证明： （1）四边形 ABCD
24、是正方形， ADAB，DABC90， 而 F 是 CB 的延长线上的点， ABF90， 在ADE 和ABF 中， ， ADEABF（SAS） ， AEAF； （2）ADEABF， BAFDAE， 而DAE+EAB90， BAF+EAB90，即FAE90， ABF 可以由ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到； 故答案为 A，90 19 （8 分）已知关于 x 的方程 x22（k1）x+k20 有两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）设原方程的两个实数根为 x1，x2，若 x1+x21x1x2，求 k 的值 【分析】 （1）根据一元二次方程的根的判别式b24ac 的意
25、义得到0，即 4（k1）241k2 0，解不等式即可得到 k 的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x22（k1） ，x1x2k2，则 2（k1）1k2，即 k2+2k 30，利用因式分解法解得 k13，k21，然后由（1）中的 k 的取值范围即可得到 k 的值 【解答】解： （1）关于 x 的方程 x22（k1）x+k20 有两个实数根， 0，即 4（k1）241k20，解得 k， k 的取值范围为 k； （2）方程 x22（k1）x+k20 有两个实数根 x1，x2， x1+x22（k1） ，x1x2k2， x1+x21x1x2， 2（k1）1k2，即 k2+2k30，
26、 k13，k21， k， k3 20 （8 分）已知点 A（1，1）在二次函数 yx22ax+b 的图象上 （1）请用含 a 的代数式表示 b； （2）如果该二次函数的图象与直线 y2x2 只有一个交点，求 a 的值 【分析】 （1） 把点 A 的坐标代入函数解析式， 列出含有 a、 b 的等式， 通过变形得到含 a 的代数式表示 b （2）抛物线与直线 y2x2 只有一个交点，则0，由此求得 a 的值 【解答】解： （1）点 A（1，1）在二次函数 yx22ax+b 的图象上， 12a+b1， b2a； （2）该二次函数的图象与直线 y2x2 只有一个交点， ， 即：x22ax+b2x2，
27、整理得：x2（2a+2）x+2a+20 （2a+2）24（2a+2）0 解得：a1， a 的值为1 21 （8 分）如图，已知ABC，以 AB 为直径的半O 交 AC 于 D，交 BC 于 E，BECE，C65，求 DOE 的度数 【分析】连接 AE，先判断出 ABAC，得BC70，求出BAC40，再根据同弧所对的圆周 角等于圆心角的一半，求出DOE 的度数 【解答】解：连接 AE， AB 是O 的直径， AEB90， AEBC， BECE， ABAC， BC65，BAC2CAE， BAC180656550， DOE2CAEBAC50 22 （10 分）阅读下面材料：解答问题 为解方程（x21
28、）25（x21）+40，我们可以将（x21）看作一个整体，然后设 x21y，那么原 方程可化为 y25y+40，解得 y11，y24当 y1 时，x211，x22，x；当 y4 时， x214，x25，x，故原方程的解为 x1，x2，x3，x4 上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程 （x2x）24（x2x）120 【分析】先把 x2x 看作一个整体，设 x2xy，代入得到新方程 y24y120，利用求根公式可以求 解 【解答】解：设 x2xy，那么原方程可化为 y24y120 解得 y16，y22 当 y6 时，x2x6 即 x2x60 x13，x22 当 y2 时，x2x2 即 x2x
29、+20 （1）24120 方程无实数解 原方程的解为：x13，x22 23 （10 分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度 增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产品每天 的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系：y2x+80设这种产品每天的销售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数关系式 （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】 （1）根据销量乘以每千克利润总利润进而得出答案； （2）利用二次函数最值求法得出 x时，W 取到最值
30、，进而得出答案 【解答】解： （1）由题得出：w（x20）y（x20） （2x+80）2x2+120 x1600， 故 w 与 x 的函数关系式为：w2x2+120 x1600； （2）w2x2+120 x16002（x30）2+200， 20， 当 x30 时，w 有最大值，w 最大值为 200 即该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大利润为 200 元 24 （12 分）如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BAC+EAD180，ABC 不动， ADE 绕点 A 旋转，连接 BE、CD，F 为 BE 的中点，连接 AF （1）如图，当BAE90时，求证：CD
31、2AF； （2）当BAE90时， （1）的结论是否成立？请结合图说明理由 【分析】 （1）因为 AF 是直角三角形 ABE 的中线，所以 BE2AF，然后通过ABEACD 即可求得 （2）延长 EA 交 BC 于 G，在 AG 上截取 AHAD，证出ABHACD 从而证得 BHCD，然后根据 三角形的中位线等于底边的一半，求得 BH2AF，即可求得 【解答】 （1）证明：如图， BAC+EAD180，BAE90， DAC90， 在ABE 与ACD 中 ABEACD（SAS） ， CDBE， 在 RtABE 中，F 为 BE 的中点， BE2AF， CD2AF （2）成立， 证明：如图，延长 E
32、A 交 BC 于 G，在 AG 上截取 AHAD， BAC+EAD180， EAB+DAC180， EAB+BAH180， DACBAH， 在ABH 与ACD 中， ABHACD（SAS） BHDC， ADAE，AHAD， AEAH， EFFB， BH2AF， CD2AF 25 （14 分）已知二次函数 yx2+mx+t（m，t 为常数） （1）当 m2，t3 时，请判断抛物线 yx2+mx+t 与 x 轴的交点情况，并说明理由 （2）当 tm2时， 请求出抛物线 yx2+mx+t 的顶点 P 的坐标（用含 m 的式子表示） ；并直接写出点 P 所在的函数图象解 析式； 若在自变量 x 满足
33、mxm+3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最大值为 6，求 m 的值 【分析】 （1）求出判别式的值即可判定b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac 0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 （2）利用配方法即可解决问题 当 nm2时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可 【解答】解： （1）m2，t3， 抛物线解析式为 yx2+2x3， 2241（3）160， 抛物线 yx2+mx+t 与 x 轴有两个交点 （2）tm2时，抛物线解析式为 yx2+mx+m2（x+）2+m2 顶点 P 的坐标为（，m2） ， 顶点 P 所在函数图
34、象的解析式为，y3x2 当 nm2时，二次函数解析式为 yx2+mx+m2， 图象开口向上，对称轴为直线 x， 当m，即 m0 时， 在自变量 x 的值满足 mxm+3 的情况下，y 随 x 的增大而增大， 当 xm+3 时，y（m+3）2+m （m+3）+m23m2+9m+9 为最大值， 3m2+9m+96，解得，m1（舍去） ，m2（舍去） ； 当 mm+3 时，即2m0， xm+3，y3m2+9m+9 为最大值， 3m2+9m+96，解得，m1（舍去） ，m2； 当m+3，即 m2， 在自变量 x 的值满足 mxm+3 的情况下，y 随 x 的增大而减小， 故当 xm 时，ym2+mm+m23m2为最大值， 3m26解得，m1（舍去） ，m2（舍去） ； 综上可得，m 的值为