1、2020-2021 学年无锡市宜兴市学年无锡市宜兴市二校联考二校联考九年级上九年级上第一次段考数学试卷第一次段考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1下列关于 x 的方程中，是一元二次方程的有（ ） Ax2+ Bax2+bx+c0 C （x1） （x+2）1 D3x22xy5y20 2如果 x1，x2是一元二次方程 x25x30 的两个实数根，那么 x1+x2的值是（ ） A5 B3 C5 D3 3一元二次方程 x2+6x+c0 通过配方后为（x+b）216，则 b，c 的值分别为（ ） A3，7 B3，7 C3，7 D3，2 4若关于 x 的一元二次方
2、程 x22x+m0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 5三角形的两边长分别为 3 米和 6 米，第三边的长是方程 x26x+80 的一个根，则这个三角形的周长为 （ ） A11 B12 C11 或 13 D13 6在比例尺为 1：10000000 的地图上，量的甲、乙两地的距离是 30cm，则两地的实际距离是（ ） A30km B300km C3000km D30000km 7若方程 ax2+bx+c0（a0） ，a、b、c 满足 a+b+c0 和 ab+c0，则方程的根是（ ） A1，0 B1，0 C1，1 D无法确定 8如图，点 F 在平行四边形
3、ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于点 E，在不添加辅助线的情况 下，与AEF 相似的三角形有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 9已知k，则 k 的值是（ ） A1 B2 C1 或 2 D无法确定 10把一块长与宽之比为 2：1 的铁皮的四角各剪去一个边长为 10 厘米的小正方形，折起四边，可以做成 一个无盖的盒子， 如果这个盒子的容积是 1500 立方厘米， 设铁皮的宽为 x 厘米， 则正确的方程是 （ ） A （2x20） （x20）1500 B10（2x10） （x10）1500 C10（2x20） （x20）1500 D10（x10） （x20）15
4、00 二、填空题（每空 3 分，共 24 分） 11已知 x1 是关于 x 的一元二次方程 2x2+kx10 的一个根，则实数 k 的值是 12若 x2+4 与 2x3 互为相反数，则 x 的值为 13 已知点 C 为线段 AB 的黄金分割点， 线段 AB10cm （ACBC） ， 则 AC 为 cm （结果保留根号） 14线段 2cm、8cm 的比例中项为 cm 15下列四个结论：两个正三角形相似；两个等腰直角三角形相似；两个菱形相似；两个矩形相 似；两个正方形相似，其中正确的结论是 16对于实数 p、q，我们用符号 minp，q表示 p、q 两数中较小的数，如 min1，21，若 min（
5、x1） 2，x21，则 x 17 经过两年的连续治理， 某城市的大气环境有了明显改善， 其每月每平方公里的降尘量从 50 吨下降到 40.5 吨，则平均每年下降的百分率是 % 18如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC16cm，AD 为 BC 边上的高动点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向以cm/s 的速度向点 D 运动设ABP 的面积为 S1，矩形 PDFE 的面积为 S2，运动时间为 t 秒（0t8） ，则 t 秒时，S12S2 三解答题（本大题共 8 小题，共 76 分） 19用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2（2x+1）2180； （2） （x5）（x5）2； （3）
6、x25x240； （4） （x+1） （x+8）12 20在实数范围内定义运算“” ，其法则为：aba2b2， （1）求：43 的值； （2）求：方程（43）x24 的解 21已知一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若等腰ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，求 k 的值 22如图，已知12，FC （1）试说明ABCAEF； （2）若，AC6，求 AF 的长 23如图要建一个面积为 130m2的仓库，仓库一边靠墙（墙长 16m）并与墙平行的一边开一道 1m 宽的门， 现有能围成 32m 长的木板
7、，求仓库的长和宽 24某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元 （1）若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属第几档次产品； （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件若生产的某档次产品一天的 总利润为 1080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 25如图，在平行四边形 ABCD 中，AEBC 于 E，AFCD 于 F，BD 与 AE、AF 分别相交于 G、H （1）求证：ABEADF； （2）若 AGAH，求证：四边形 A
8、BCD 是菱形 26 我们知道：x26x（x26x+9） 9 （x3） 29； x2+10 （x210 x+25） +25（x5）2+25， 这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）按上面材料提示的方法填空：a24a a2+12a （2）探究：当 a 取不同的实数时在得到的代数式 a24a 的值中是否存在最小值？请说明理由 （3） 应用： 如图 已知线段 AB6， M 是 AB 上的一个动点， 设 AMx， 以 AM 为一边作正方形 AMND， 再以 MB、MN 为一组邻边作长方形 MBCN问：当点 M 在 AB 上运动时，长方形 MBCN 的面积是否存 在最大值？若存在，请求出
9、这个最大值；否则请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列关于 x 的方程中，是一元二次方程的有（ ） Ax2+ Bax2+bx+c0 C （x1） （x+2）1 D3x22xy5y20 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可 【解答】解：下列关于 x 的方程中，是一元二次方程的有（x1） （x+2）1， 故选：C 2如果 x1，x2是一元二次方程 x25x30 的两个实数根，那么 x1+x2的值是（ ） A5 B3 C5 D3 【分析】根据根与系数的关系可得出 x1+x25，此题得解 【解答】解：x1，x2是一元二次方程 x25x3
10、0 的两个实数根， x1+x25 故选：C 3一元二次方程 x2+6x+c0 通过配方后为（x+b）216，则 b，c 的值分别为（ ） A3，7 B3，7 C3，7 D3，2 【分析】由一元二次方程 x2+6x+c0 通过配方后为（x+b）216，利用完全平方公式展开后，根据多项 式相等，各系数对应相等，得出 b，c 的值 【解答】解：由（x+b）216，得 x2+2bx+b2160 一元二次方程 x2+6x+c0 通过配方后为（x+b）216， 2b6， b216c， 由解得，b3，c7 故选：A 4若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A
11、m1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】方程没有实数根，则0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围 【解答】解：由题意知，44m0， m1 故选：C 5三角形的两边长分别为 3 米和 6 米，第三边的长是方程 x26x+80 的一个根，则这个三角形的周长为 （ ） A11 B12 C11 或 13 D13 【分析】 解方程求得 x 的值， 再根据三角形三边之间的关系得出符合条件的 x 的值， 最后求出周长即可 【解答】解：x26x+80，即（x2） （x4）0， x20 或 x40， 解得：x2 或 x4， 若 x2，则三角形的三边 2+36，构不成三角形，舍去； 当 x4 时，这个三角
12、形的周长为 3+4+613， 故选：D 6在比例尺为 1：10000000 的地图上，量的甲、乙两地的距离是 30cm，则两地的实际距离是（ ） A30km B300km C3000km D30000km 【分析】首先设相距 30cm 的两地实际距离为 xcm，根据题意可得方程 1：1000000030：x，解此方程 即可求得答案，注意统一单位 【解答】解：设相距 30cm 的两地实际距离为 xcm， 根据题意得：1：1000000030：x， 解得：x300000000， 300000000cm3000km， 相距 30cm 的两地实际距离为 3000km 故选：C 7若方程 ax2+bx+
13、c0（a0） ，a、b、c 满足 a+b+c0 和 ab+c0，则方程的根是（ ） A1，0 B1，0 C1，1 D无法确定 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右 两边是否相等 【解答】解：在这个式子中，如果把 x1 代入方程，左边就变成 a+b+c，又由已知 a+b+c0 可知：当 x 1 时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是 1，同理可以判断方程必有一根是1则方程的根是 1，1 故选：C 8如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于点 E，在不添加辅助线的情况 下，与AEF 相似的三角形有
14、（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】直接利用平行四边形的性质得出 ADBC，ABDC，再结合相似三角形的判定方法得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABDC， AEFCBF，AEFDEC， 与AEF 相似的三角形有 2 个 故选：C 9已知k，则 k 的值是（ ） A1 B2 C1 或 2 D无法确定 【分析】根据等式的性质，可得 2（a+b+c）k（a+b+c） ，根据因式分解，可得 a+b+c0 或 k2，根据 分式的性质，可得答案 【解答】解：由k，得 b+cak ，a+cbk ，a+bck ， +，得 2（a+b+c）k（a+b+c）
15、， 移项，得 2（a+b+c）k（a+b+c）0， 因式分解，得 （a+b+c） （2k）0 a+b+c0 或 k2， a+b+c0 时，b+ca， k1，k2， 故选：C 10把一块长与宽之比为 2：1 的铁皮的四角各剪去一个边长为 10 厘米的小正方形，折起四边，可以做成 一个无盖的盒子， 如果这个盒子的容积是 1500 立方厘米， 设铁皮的宽为 x 厘米， 则正确的方程是 （ ） A （2x20） （x20）1500 B10（2x10） （x10）1500 C10（2x20） （x20）1500 D10（x10） （x20）1500 【分析】 如果设铁皮的宽为 x 厘米， 那么铁皮的长为
16、 2x 厘米， 根据 “这个盒子的容积是 1500 立方厘米” ， 可列出方程 【解答】解：设铁皮的宽为 x 厘米， 那么铁皮的长为 2x 厘米， 依题意得 10（2x20） （x20）1500 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11已知 x1 是关于 x 的一元二次方程 2x2+kx10 的一个根，则实数 k 的值是 1 【分析】已知 x1 是关于 x 的一元二次方程 2x2+kx10 的一个根，把 x1 代入方程，即可得到一个 关于 k 的方程，解方程即可求出 k 值 【解答】解：把 x1 代入方程得：2+k10， 解方程得 k1 故答案为：1 12若 x2+4 与 2
17、x3 互为相反数，则 x 的值为 1 【分析】利用互为相反数两数之和为 0 列出方程，求出方程的解即可得到 x 的值 【解答】解：根据题意得：x2+4+2x30，即 x2+2x+10， 分解因式得： （x+1）20， 解得：x1x21 故答案为：1 13已知点 C 为线段 AB 的黄金分割点，线段 AB10cm（ACBC） ，则 AC 为 （55） cm （结果 保留根号） 【分析】直接根据黄金比值为进行计算即可 【解答】解：点 C 是线段 AB 的黄金分割点，线段 AB10cm（ACBC） ， ACAB10（55）cm， 故答案为： （55） 14线段 2cm、8cm 的比例中项为 4 cm
18、 【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质， 得：比例中项的平方等于两条线段的乘积 设它们的比例中项是 x，则 x228，x4（线段是正数，负值舍去） ，故填 4 15下列四个结论：两个正三角形相似；两个等腰直角三角形相似；两个菱形相似；两个矩形相 似；两个正方形相似，其中正确的结论是 【分析】根据相似图形的判定一一判断即可 【解答】解：两个正三角形相似，正确 两个等腰直角三角形相似，正确 两个菱形相似，错误 两个矩形相似，错误 两个正方形相似，正确 故答案为： 16对于实数 p、q，我们用符号 minp，q表示 p、q 两数中较小的数
19、，如 min1，21，若 min（x1） 2，x21，则 x 2 或1 【分析】首先理解题意，进而可得 min（x1）2，x21 时分情况讨论，当 x0.5 时，x0.5 时和 x 0.5 时，进而可得答案 【解答】解：min（x1）2，x21， 当（x1）21 时，解得 x2 或 0， x0 时，不符合题意， x2 当 x21 时，解得 x1 或1， x1 不符合题意， x1， 故答案为：2 或1 17 经过两年的连续治理， 某城市的大气环境有了明显改善， 其每月每平方公里的降尘量从 50 吨下降到 40.5 吨，则平均每年下降的百分率是 10 % 【分析】设平均每年下降的百分率是 x，降尘
20、量经过两年从 50 吨下降到 40.5 吨，所以可以得到方程 50 （1x）240.5，解方程即可求解 【解答】解：设平均每年下降的百分率是 x，根据题意得 50（1x）240.5 解得 x10.1，x21.9（不合题意，舍去） 所以平均每年下降的百分率是 10% 18如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC16cm，AD 为 BC 边上的高动点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向以cm/s 的速度向点 D 运动设ABP 的面积为 S1，矩形 PDFE 的面积为 S2，运动时间为 t 秒（0t8） ，则 t 6 秒时，S12S2 【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出 S
21、1和 S2，然后根据 S12S2，即可列方程 求解 【解答】解：RtABC 中，BAC90，ABAC16cm，AD 为 BC 边上的高， ADBDCD8cm， 又APt， 则 S1APBD8t8t，PD8t， PEBC， APEADC， ， PEAPt， S2PDPE（8t） t， S12S2， 8t2（8t） t， 解得：t6 故答案是：6 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2（2x+1）2180； （2） （x5）（x5）2； （3）x25x240； （4） （x+1） （x+8）12 【分析】 （1）利用直接开方法解即可； （2） （
22、3） （4）利用因式分解法解即可 【解答】解： （1）2（2x+1）2180， 移项得： （2x+1）29， 2x+13， x11，x22； （2） （x5）（x5）2， 移项得： （x5）（x5）20， 因式分解得： （x5）1（x5）0， x50 或 1x+50， x16，x26； （3）x25x240， （x8） （x+3）0， x80 或 x+30， x18，x23； （4） （x+1） （x+8）12 整理得：x2+9x+200， 因式分解得： （x+4） （x+5）0， x+40 或 x+50， x14，x25 20在实数范围内定义运算“” ，其法则为：aba2b2， （1）求：4
23、3 的值； （2）求：方程（43）x24 的解 【分析】 （1）直接利用新定义进而计算得出答案； （2）直接利用新定义进而计算得出答案 【解答】解： （1）4342327； （2）（43）x24， 7x24， 72x224， 则 x225， 解得：x5 或5 21已知一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若等腰ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，求 k 的值 【分析】 （1）进行判别式的值得到1，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用方程有两个不相等的实数根得到 ABBC5 或 ACBC5，
24、把 x5 代入 x2（2k+1）x+k2+k 0 得 255（2k+1）+k2+k0，然后解关于 k 的方程即可 【解答】 （1）证明：（2k+1）24（k2+k） 10， 方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个不相等的实数根， ABBC5 或 ACBC5， 把 x5 代入 x2（2k+1）x+k2+k0 得 255（2k+1）+k2+k0， 整理得 k29k+200， 解得 k14，k25 22如图，已知12，FC （1）试说明ABCAEF； （2）若，AC6，求 AF 的长 【分析】 （1）根据题意得到BACEAF，根据两角相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质列
25、出比例式，把已知数据代入计算得到答案 【解答】 （1）证明：12， 1+BAF2+BAF，即BACEAF， 又CF， ABCAEF； （2）ABCAEF， ， ， 解得，AF 23如图要建一个面积为 130m2的仓库，仓库一边靠墙（墙长 16m）并与墙平行的一边开一道 1m 宽的门， 现有能围成 32m 长的木板，求仓库的长和宽 【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为 x，而与墙平行的一边开一道 1m 宽的门，现有能围成 32m 长的 木板，那么平行于墙的一边长为（322x+1） ，而仓库的面积为 130m2，由此即可列出方程，解方程就可 以解决问题 【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为 x，
26、依题意得（322x+1）x130， 2x233x+1300， （x10） （2x13）0， x110 或 x26.5， 当 x110 时，322x+11316； 当 x26.5 时，322x+12016，不合题意舍去 答：仓库的长和宽分别为 13m，10m 24某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元 （1）若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属第几档次产品； （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件若生产的某档次产品一天的
27、 总利润为 1080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 【分析】 （1）根据生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元，即可求出每件利润为 14 元的蛋糕属第几档次产品； （2）设烘焙店生产的是第 x 档次的产品，根据单件利润销售数量总利润，即可得出关于 x 的一元二 次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1） （1410）2+13（档次） 答：此批次蛋糕属第三档次产品 （2）设烘焙店生产的是第 x 档次的产品， 根据题意得： （2x+8）（76+44x）1080， 整理得：x216x+550， 解得：x15，x211（不合题意，舍去） 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品
28、 25如图，在平行四边形 ABCD 中，AEBC 于 E，AFCD 于 F，BD 与 AE、AF 分别相交于 G、H （1）求证：ABEADF； （2）若 AGAH，求证：四边形 ABCD 是菱形 【分析】 （1）利用两角对应相等可证出ABEADF； （2）利用（1）的结论，先证出ABGADH，得到 ABAD，那么平行四边形 ABCD 是菱形 【解答】证明： （1）AEBC，AFCD， AEBAFD90 度 （2 分） 四边形 ABCD 是平行四边形， ABEADF （4 分） ABEADF （5 分） （2）ABEADF， BAGDAH AGAH， AGHAHG， 从而AGBAHD， ABG
29、ADH， （8 分） ABAD 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形 （10 分） 26 我们知道：x26x（x26x+9） 9 （x3） 29； x2+10 （x210 x+25） +25（x5）2+25， 这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）按上面材料提示的方法填空：a24a a24a+44 （a2）24 a2+12a （a2 12a+36）+36 （a6）2+36 （2）探究：当 a 取不同的实数时在得到的代数式 a24a 的值中是否存在最小值？请说明理由 （3） 应用： 如图 已知线段 AB6， M 是 AB 上的一个动点， 设 AMx， 以 A
30、M 为一边作正方形 AMND， 再以 MB、MN 为一组邻边作长方形 MBCN问：当点 M 在 AB 上运动时，长方形 MBCN 的面积是否存 在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由 【分析】 （1）原式配方即可得到结果； （2）利用非负数的性质确定出结果即可； （3）根据题意列出 S 与 x 的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果 【解答】解： （1）根据题意得：a24aa24a+44（a2）24；a2+12a（a212a+36）+36 （a6）2+36； 故答案为：a24a+44； （a2）24；（a212a+36）+36；（a6）2+36； （2）存在，理由为： a24aa24a+44（a2） 244，a2+12a（a212a+36）+36（a6）2+3636， 当 a2 时，代数式 a24a 存在最小值为4； （3）根据题意得：Sx（6x）x2+6x（x3）2+99， 则 x3 时，S 最大值为 9