2020-2021学年浙江省杭州市四校联考九年级上期中数学试卷（含答案解析）

1、2020-2021 学年浙江省杭州市四校联考九年级（上）期中数学试卷学年浙江省杭州市四校联考九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.） 1在圆内接四边形 ABCD 中，若A50，则C（ ） A40 B50 C130 D150 2下列说法中，正确的是（ ） A三点确定一个圆 B在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 C平分弦的直径垂直于弦 D在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 3 如图是一个游戏转盘， 自由转动转盘， 当转盘停止转动后， 指针落在数字 “” 所示区域内的概率是 （ ） A B C

2、 D 4如图，点 A，B，C，D，E 均在O 上，BAC15，CED30，则BOD 的度数为（ ） A45 B60 C75 D90 5如图，已知在ABC 中，D 为 BC 上一点，EGBC，分别交 AB，AD，AC 于点 E，F，G，则下列比例 式正确的是（ ） A B C D 6已知抛物线 C：yx2+3x10，将抛物线 C 平移得到抛物线 C，若两条抛物线 C、C关于直线 x1 对 称，则下列平移方法中，正确的是（ ） A将抛物线 C 向右平移 2.5 个单位 B将抛物线 C 向右平移 5 个单位 C将抛物线 C 向右平移 3 个单位 D将抛物线 C 向右平移 6 个单位 7如图，在ABC

3、，ABACa，点 D 是边 BC 上的一点，且 BDa，ADDC1，则 a 等于（ ） A B C1 D2 8已知二次函数 ya（xh）2+k（其中 a，h，k 是实数，a0） ，当 x1 时，y8；当 x8 时，y1， （ ） A若 h4，则 a0 B若 h5，则 a0 C若 h6，则 a0 D若 h7，则 a0 9如图，等腰直角三角形 ABC 中，ABC90，BABC，将 BC 绕点 B 顺时针旋转 （090） ， 得到 BP，连结 CP，过点 A 作 AHCP 交 CP 的延长线于点 H，连结 AP，则PAH 的度数（ ） A随着 的增大而增大 B随着 的增大而减小 C不变 D随着 的增

4、大，先增大后减小 10已知二次函数 yx2，当 axb 时 myn，则下列说法正确的是（ ） A当 nm1 时，ba 有最小值 B当 nm1 时，ba 有最大值 C当 ba1 时，nm 无最小值 D当 ba1 时，nm 有最大值 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）已知，则 12 （4 分）已知正 n 边形的每个内角为 144，则 n 13 （4 分）已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是抛物线 y3x212x+m 上的点，则 y1，y2，y3的大 小关系是 14 （4 分）一个仅装有球的不透

5、明布袋里共有 4 个球（只有编号不同） ，编号分别为 1，2，3，5从中任 意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率 是 15 （4 分）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三 角形称为格点三角形 如图， 已知 RtABC 是 66 网格图形中的格点三角形， 则该图中所有与 RtABC 相似的格点三角形中面积最大的三角形的斜边长是 16 （4 分）如图，AB90，ABa，ADBC，在边 AB 上取点 P，使得PAD，PBC 与PDC 两两相似，则 AP 长为 （结果用含 a 的代数式表示） 三、解

6、答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17 （6 分）如图，已知在O 中，两条弦 AB 和 CD 交于点 P，且 APCP，求证：ABCD 18 （8 分）如图，过菱形 AEDF 的顶点 D 作直线，分别交 AE 的延长线于点 B，交 AF 的延长线于点 C （1）求证：BEDDFC； （2）若 FCAF，求的值 19 （8 分）已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共 5 个，小明进行多次摸 球实验，并将数据记录如下表： 摸球次数 10 20 40 60 1

7、00 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 （1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为 ； （2）从这个布袋中随机摸出两个球，请用树形图或列表法求摸出的两个球恰好“一红一白”的概率 20 （10 分）如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB10，AC6，连结 OC，弦 AD 分别交 OC， BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点 （1）求证：CADCBA （2）求 OE 的长 21 （10 分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/

8、件，试营业阶段发现：当销售单价是 25 元时， 每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于 30 元，且每天的销售量不得少于 160 件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少 22 （12 分）设二次函数 y（ax1） （xa） ，其中 a 是常数，且 a0 （1）当 a2 时，试判断点（，5）是否在该函数图象上 （2）若函数的图象经过点（1，4） ，求该函数的表达式 （3）当1x+

9、1 时，y 随 x 的增大而减小，求 a 的取值范围 23 （12 分） （1）如图 1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB； （2）如图 2，在ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF5，BE4， 求 AD 的长 （3）如图 3，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，AC2EF，EDF BAD，AE2，AD5，求 DF 的长 2020-2021 学年浙江省杭州市四校联考九年级（上）期中数学试卷学年浙江省杭州市四校联考九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选

10、择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.） 1在圆内接四边形 ABCD 中，若A50，则C（ ） A40 B50 C130 D150 【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可 【解答】解：四边形 ABCD 是圆内接四边形， A+C180， C18050130， 故选：C 2下列说法中，正确的是（ ） A三点确定一个圆 B在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 C平分弦的直径垂直于弦 D在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理一一判断即可 【解答】解：A、任意三点确定一个圆；错误

11、，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆，不符合 题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误，不符合题意； C、平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，不符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，符合题意； 故选：D 3 如图是一个游戏转盘， 自由转动转盘， 当转盘停止转动后， 指针落在数字 “” 所示区域内的概率是 （ ） A B C D 【分析】直接利用“”所示区域所占圆周角除以 360，进而得出答案 【解答】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字“”所示区域内的概率是： 故选：A 4如图，点 A，B，C，D，E 均在O 上，B

12、AC15，CED30，则BOD 的度数为（ ） A45 B60 C75 D90 【分析】首先连接 BE，由圆周角定理即可得BEC 的度数，继而求得BED 的度数，然后由圆周角定 理，求得BOD 的度数 【解答】解：连接 BE， BECBAC15，CED30， BEDBEC+CED45， BOD2BED90 故选：D 5如图，已知在ABC 中，D 为 BC 上一点，EGBC，分别交 AB，AD，AC 于点 E，F，G，则下列比例 式正确的是（ ） A B C D 【分析】由 EGBC 可得出AEFABD，AFGADC，结合EAFBAD，FAGDAC 可得出AEFABD，AFGADC，再利用相似三

13、角形的性质可得出， ，进而可得出 【解答】解：EGBC， AEFABD，AFGADC 又EAFBAD，FAGDAC， AEFABD，AFGADC， ， 故选：D 6已知抛物线 C：yx2+3x10，将抛物线 C 平移得到抛物线 C，若两条抛物线 C、C关于直线 x1 对 称，则下列平移方法中，正确的是（ ） A将抛物线 C 向右平移 2.5 个单位 B将抛物线 C 向右平移 5 个单位 C将抛物线 C 向右平移 3 个单位 D将抛物线 C 向右平移 6 个单位 【分析】找一个点，经过平移后这个点与直线 x1 对称抛物线 C 与 y 轴的交点为 A（0，10） ，与 A 点以对称轴对称的点是 B

14、（3，10） 若将抛物线 C 平移到 C，就是要将 B 点平移后以对称轴 x1 与 A 点对称则 B 点平移后坐标应为（2，10） 因此将抛物线 C 向右平移 5 个单位 【解答】解：抛物线 C：yx2+3x10（x+）2， 抛物线对称轴为 x 抛物线与 y 轴的交点为 A（0，10） 则与 A 点以对称轴对称的点是 B（3，10） 若将抛物线 C 平移到 C，并且 C，C关于直线 x1 对称，就是要将 B 点平移后以对称轴 x1 与 A 点对称 则 B 点平移后坐标应为（2，10） 因此将抛物线 C 向右平移 5 个单位 故选：B 7如图，在ABC，ABACa，点 D 是边 BC 上的一点，

15、且 BDa，ADDC1，则 a 等于（ ） A B C1 D2 【分析】利用相似三角形的性质构建方程求解即可 【解答】解：ABAC， BC， DADC， DACC， DACB， CC， CDACAB， ， CA2CDCB， CAa，BDa，CD1， CB1+a， a21 （1+a） ， a2a10， a或（舍弃） ， 故选：A 8已知二次函数 ya（xh）2+k（其中 a，h，k 是实数，a0） ，当 x1 时，y8；当 x8 时，y1， （ ） A若 h4，则 a0 B若 h5，则 a0 C若 h6，则 a0 D若 h7，则 a0 【分析】当 x1 时，y8；当 x8 时，y1；代入函数式整

16、理得 a（92h）1，将 h 的值分别代入 即可得出结果 【解答】解：当 x1 时，y8；当 x8 时，y1；代入函数式得：， a（8h）2a（1h）27， 整理得：a（92h）1， 若 h4，则 a1，故 A 错误； 若 h5，则 a1，故 B 错误； 若 h6，则 a，故 C 正确； 若 h7，则 a，故 D 错误； 故选：C 9如图，等腰直角三角形 ABC 中，ABC90，BABC，将 BC 绕点 B 顺时针旋转 （090） ， 得到 BP，连结 CP，过点 A 作 AHCP 交 CP 的延长线于点 H，连结 AP，则PAH 的度数（ ） A随着 的增大而增大 B随着 的增大而减小 C不

17、变 D随着 的增大，先增大后减小 【分析】由旋转的性质可得 BCBPBA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求BPC+BPA 135CPA，由外角的性质可求PAH1359045，即可求解 【解答】解：将 BC 绕点 B 顺时针旋转 （090） ，得到 BP， BCBPBA， BCPBPC，BPABAP， CBP+BCP+BPC180，ABP+BAP+BPA180，ABP+CBP90， BPC+BPA135CPA， CPAAHC+PAH135， PAH1359045， PAH 的度数是定值， 故选：C 10已知二次函数 yx2，当 axb 时 myn，则下列说法正确的是（ ） A当 nm1

18、时，ba 有最小值 B当 nm1 时，ba 有最大值 C当 ba1 时，nm 无最小值 D当 ba1 时，nm 有最大值 【分析】方法 1、当 ba1 时，当 a，b 同号时，先判断出四边形 BCDE 是矩形，得出 BCDEb a1，CDBEm，进而得出 ACnm，即 tanABCnm，再判断出 45ABC90，即 可得出 nm 的范围，当 a，b 异号时，m0，当 a，b时，n 最小，即可得出 nm 的范 围； 当 nm1 时，当 a，b 同号时，同的方法得出 NHPQba，HQPNm，进而得出 MHn m1，而 tanMHN，再判断出 45MNH90，当 a，b 异号时，m0，则 n1，即

19、可 求出 a，b，即可得出结论 方法 2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论 【解答】解：方法 1、当 ba1 时，当 a，b 同号时，如图 1， 过点 B 作 BCAD 于 C， BCD90， ADEBED90， ADEBCDBED90， 四边形 BCDE 是矩形， BCDEba1，CDBEm， ACADCDnm， 在 RtACB 中，tanABCnm， 点 A，B 在抛物线 yx2上，且 a，b 同号， 45ABC90， tanABC1， nm1， 当 a，b 异号时，m0， 当 a，b时，n，此时，nm， nm1， 即 nm， 即 nm 无最大值，有最小值，最小值为，故选项 C，D 都错

20、误； 当 nm1 时，如图 2， 当 a，b 同号时，过点 N 作 NHMQ 于 H， 同的方法得，NHPQba，HQPNm， MHMQHQnm1， 在 RtMHN 中，tanMNH， 点 M，N 在抛物线 yx2上， m0， 当 m0 时，n1， 点 N（0，0） ，M（1，1） ， NH1， 此时，MNH45， 45MNH90， tanMNH1， 1， 当 a，b 异号时，m0， n1， a1，b1， 即 ba2， ba 无最小值，有最大值，最大值为 2，故选项 A 错误； 故选：B 方法 2、当 nm1 时， 当 a，b 在 y 轴同侧时，a，b 都越大时，ab 越接近于 0，但不能取

21、0，即 ba 没有最小值， 当 a，b 异号时，当 a1，b1 时，ba2 最大， 当 ba1 时，当 a，b 在 y 轴同侧时，a，b 离 y 轴越远，nm 越大，但取不到最大， 当 a，b 在 y 轴两侧时，当 a，b时，nm 取到最小，最小值为， 因此，只有选项 B 正确， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）已知，则 【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可 【解答】解：， ab， ， 故答案为： 12 （4 分）已知正 n 边形的每个内角为 144，则 n 10 【分析】根据多边形内角

22、和外角的关系可求解正 n 边形的外角的度数，再根据多边形的外角和定理可直 接求解 【解答】解：由题意得正 n 边形的每一个外角为 18014436， n3603610， 故答案为 10 13 （4 分）已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是抛物线 y3x212x+m 上的点，则 y1，y2，y3的大 小关系是 y2y1y3 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可 【解答】 解： 抛物线 y3x212x+m 的开口向下， 对称轴是直线 x2， 当 x2 时， y 随 x 的增大而增大， （3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是抛物线 y3x2

23、12x+m 上的点， 点（1，y3）关于对称轴 x2 的对称点是（5，y3） ， 532， y2y1y3， 故答案为 y2y1y3 14 （4 分）一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有编号不同） ，编号分别为 1，2，3，5从中任 意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率 是 【分析】画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然 后根据概率公式求解 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 16 种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有 10 种， 则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是

24、 故答案为： 15 （4 分）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三 角形称为格点三角形 如图， 已知 RtABC 是 66 网格图形中的格点三角形， 则该图中所有与 RtABC 相似的格点三角形中面积最大的三角形的斜边长是 5 【分析】根据 RtABC 的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为 1：2，在 66 的网格图形中 可得出与 RtABC 相似的三角形的短直角边长应小于 4，在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，从 而其斜边长可得 【解答】解：在 RtABC 中，AC1，BC2， AB，AC：BC1：2， 与 RtABC 相似的格点

25、三角形的两直角边的比值为 1：2， 若该三角形最短边长为 4，则另一直角边长为 8，但在 66 网格图形中，最长线段为 6，但此时画出 的直角三角形为等腰直角三角形， 从而画不出端点都在格点且长为 8 的线段， 故最短直角边长应小于 4， 在图中尝试，可画出 DE，EF2，DF5的三角形， ， ABCDFE， DEFC90， 此时DEF 的面积为：2210，DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为：5 故答案为：5 16 （4 分）如图，AB90，ABa，ADBC，在边 AB 上取点 P，使得PAD，PBC 与PDC 两两相似，则 AP 长为 a 或a （结果用含 a 的代数式表示） 【分析】分

26、两种情形：当DPC90时，如图，过点 P 作 PTCD 于 T利用全等三角形的性质证 明 PAPT，PBPT，推出 PAPB 即可解决问题当PDC90时，分别求解即可 【解答】解：当DPC90时，如图，过点 P 作 PTCD 于 T PAD，PBC 与PDC 两两相似，且 ADBC， ADPPDC，BCPPCD， APTD90，BPTC90，PDPD，PCPC， PDAPDT（AAS） ，PCBPCT（AAS） ， PAPT，PBPT， PAPBABa， 当PDC90时，PAD，PBC 与PDC 两两相似， APDDPCCPB60， 设 APx，则 PD2xPC4x，PB2x， 3xa， xa

27、 PAa 故答案为a 或a 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17 （6 分）如图，已知在O 中，两条弦 AB 和 CD 交于点 P，且 APCP，求证：ABCD 【分析】根据圆周角定理得出AC，根据全等三角形的判定得出ADPCBP，根据全等三角形 的性质得出 BPDP 即可 【解答】证明：圆周角A 和C 都对着， AC， 在ADP 和CBP 中， ， ADPCBP（ASA） ， BPDP， APCP， AP+BPCP+DP， 即 ABCD 18 （8 分）如图，过菱形

28、AEDF 的顶点 D 作直线，分别交 AE 的延长线于点 B，交 AF 的延长线于点 C （1）求证：BEDDFC； （2）若 FCAF，求的值 【分析】 （1）由菱形的性质可得 AEDF，DEAC，由平行线的性质可得BFDC，CBDE， 可得结论； （2）由相似三角形的性质可求解 【解答】证明： （1）四边形 AEDF 是菱形， AEDF，DEAC， BFDC，CBDE， BEDDFC； （2）四边形 AEDF 是菱形， AEAFDEDF， BEDDFC， ， FCAF， ， 19 （8 分）已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共 5 个，小明进行多次摸 球实验，并将

29、数据记录如下表： 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 （1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为 0.4 ； （2）从这个布袋中随机摸出两个球，请用树形图或列表法求摸出的两个球恰好“一红一白”的概率 【分析】 （1）根据大量的试验结果稳定在 0.4 左右即可得出结论； （2）先求出袋中红、白球的个数，再列表得出所有等可能结果，继而利用概率公式求解即可 【解答】解： （1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的

30、概率为 0.4， 故答案为：0.4； （2）袋子中红球的个数约为 50.42（个） ， 袋子中白球有 3 个， 列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 由表可知共有 20 种等可能结果，其中摸出的两个球恰好“一红一白”的有 12 种结果， 摸出的两个球恰好“一红一白”的概率为 20 （10 分）如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB10

31、，AC6，连结 OC，弦 AD 分别交 OC， BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点 （1）求证：CADCBA （2）求 OE 的长 【分析】 （1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可 （2）证明AECBCA，推出，求出 EC 即可解决问题 【解答】 （1）证明：AEDE，OC 是半径， ， CADCBA （2）解：AB 是直径， ACB90， AEDE， OCAD， AEC90， AECACB， AECBCA， ， ， CE3.6， OCAB5， OEOCEC53.61.4 21 （10 分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件，试营业阶段发现：当销售单价是 2

32、5 元时， 每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于 30 元，且每天的销售量不得少于 160 件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少 【分析】 （1）由题意得：w（x20）25010（x25），即可求解； （2）由题意得：25010（x25）160 且 x30，解得 30 x34，而 w（x20）25010（x25） 10（x20） （x50） ，根据函数的增减性即可求解 【解

33、答】解： （1）由题意得：w（x20）25010（x25）10 x2+700 x10000； （2）由题意得：25010（x25）160 且 x30，解得 30 x34， 而 w（x20）25010（x25）10（x20） （x50） ， a100， 而函数的对称轴为 x（20+50）35， 故当 x35 时，w 随 x 的增大而增大， 故当 x34（元）时，w 有最大值为 2240（元） 22 （12 分）设二次函数 y（ax1） （xa） ，其中 a 是常数，且 a0 （1）当 a2 时，试判断点（，5）是否在该函数图象上 （2）若函数的图象经过点（1，4） ，求该函数的表达式 （3）当1

34、x+1 时，y 随 x 的增大而减小，求 a 的取值范围 【分析】 （1）把 a 的值和已知点的坐标代入解析式中进行验证便可； （2）代入已知点坐标求得 a 便可得解析式； （3）分 a0 和 a0 两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出 a 的不等式便可求得结果 【解答】解： （1）a2， y（ax1） （xa）（2x1） （x2） ， 当 x0.5 时，y55， 点（，5）不在该函数图象上； （2）函数的图象经过点（1，4） ， （a1） （1a）4， 解得，a1 或 3， 该函数的表达式为：y（3x1） （x3）或 y（x1） （x+1） ； （3）二次函数 y（ax1） （xa）

35、的图象与 x 轴交于点（，0） ， （a，0） ， 函数图象的对称轴为直线 x， 当 a0 时，函数图象开口向上， 当1x+1 时，y 随 x 的增大而减小， 当1x+1 时，y 随 x 的增大而减小， +1， a， 0a； 当 a0 时，函数图象开口向下， 当1x+1 时，y 随 x 的增大而减小， 1， a， a0； 综上，a0 或 0a 23 （12 分） （1）如图 1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB； （2）如图 2，在ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF5，BE4， 求 AD 的长 （3）如图 3，在菱形

36、 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，AC2EF，EDF BAD，AE2，AD5，求 DF 的长 【分析】 （1）证明ADCACB，得出，则可得出结论； （2）证明BFEBCF，得出比例线段，则 BF2BEBC，求出 BC，则可求出 AD； （3）分别延长 EF，DC 相交于点 G，证得四边形 AEGC 为平行四边形，得出 ACEG，CGAE，EAC G，证明EDFEGD，得出比例线段，则 DEEF，再证明 DGDF，求出 DG 可得结论 【解答】 （1）证明：ACDB，AA， ADCACB， ， AC2ADAB （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AC， 又BFEA， BFEC， 又FBECBF， BFEBCF， ， BF2BEBC， BC， AD （3）解：如图，分别延长 EF，DC 相交于点 G， 四边形 ABCD 是菱形， ABDC，BACBAD， ACEF， 四边形 AEGC 为平行四边形， ACEG，CGAE2，EACG， EDFBAD， EDFBAC， EDFG， 又DEFGED， EDFEGD， ， DE2EFEG， 又EGAC2EF， DE22EF2， DEEF， 又， DGDF， ADCD5，CGAE2， DGDC+CG7， DF