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江苏省南京市2021届高三12月六校联合调研数学试题(含答案)

1、 南京市南京市 2020-2021 学年第一学期学年第一学期 12 月六校联合调研试题月六校联合调研试题 高三数学高三数学 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1记全集 UR,集合 Ax| x216,集合 Bx| lnx0,则(CUA)B( ) A 4,) B (1,4 C 1,4) D (1,4) 2设 i 为虚数单位,aR,“a1”是“复数 za 2 2 1 1i是纯虚数”的( )条件 A充分不必要条件 B必要不充分

2、条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3已知圆 C 的圆心在直线 yx 上,且与 y 轴相切于点(0,5),则圆 C 的标准方程是( ) A(x5)2(y5)225 B(x5)2(y5)225 C(x5)2(y5)25 D(x5)2(y5)25 4标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式,标准 对数远视力表各行为正方形“E”形视标,且从视力 5.2 的视标所在行开始往上,每一行 “E”的边长都是下方一行“E”边长的1010 倍,若视力 4.1 的视标边长为 a,则视力 4.8 的视标边长为( ) Aa 8 . 0 10 Ba 7 . 0 10 Ca 8 .

3、0 10 Da 7 . 0 10 5已知双曲线C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右顶点为A,直线y 3 2 (xa)与C的一条渐 近线在第一象限相交于点P,若PA与x轴垂直,则C的离心率为( ) A 2 B 3 C2 D3 6已知函数 yf (x)的图象如右图所示,则此函数可能是( ) Af (x) sin6x 2 x2x Bf (x) sin6x 2x2 x Cf (x) cos6x 2 x2x Df (x) cos6x 2x2 x 7 “总把新桃换旧符” (王安石) 、 “灯前小草写桃符” (陆游) ,春节是中华民族的传统节日,在宋代人们 用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人

4、们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美 好祝愿,某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满 50 元,则可以从“福”字、春联和灯笼 这三类礼品中任意免费领取一件,若有 4 名顾客都领取一件礼品,则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类 相同的概率是( ) A 5 9 B 4 9 C 7 16 D 9 16 O y x (第 6 题图) 8在三棱锥 PABC 中,底面 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,且 AB2,PAPC 5, PB 与底面 ABC 所成的角的余弦值为2 2 3 ,则三棱锥 PABC 的外接球的体积为( ) A9 2 B89 89 6 C9 D27

5、 2 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题分在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求,全部选对的得目要求,全部选对的得 5 分,选对但不全的得分,选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9下列说法正确的是( ) A若 XB(n,1 3) ,且 EX2,则 n6 B设有一个回归方程 y35x,变量 x 增加 1 个单位时,y 平均减少 5 个单位 C线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱 D在某项测量中,测量结果 服从正态分布 N(

6、1,2) (0) ,则 P(1)0.5 10 若函数f(x)sin2x的图象向右平移 6个单位得到的图象对应的函数为g(x), 则下列说法中正确的是 ( ) Ag(x)图象关于 x5 12对称 B当 x0, 2时,g(x)的值域为 3 2 , 3 2 Cg(x)在区间5 12, 11 12 上单调递减 D当 x0,时,方程 g(x)0 有 3 个根 11如图,直角梯形 ABCD, ABCD,ABBC,BCCD1 2,AB1,E 为 AB 中点,以 DE 为折痕把 ADE 折起,使点 A 到达点 P 的位置,且 PC 3 2 则( ) A平面 PED平面 EBCD BPCED C二面角 PDCB

7、 的大小为 4 DPC 与平面 PED 所成角的正切值为 2 2 网 12已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,过点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,以线段 AB 为直径 的圆交 y 轴于 M、N 两点,设线段 AB 的中点为 P,则( ) A OA OB3p 2 4 B若|AF|BF|4p2,则直线 AB 的斜率为 3 C若抛物线上存在一点 E(2,t)到焦点 F 的距离等于 3,则抛物线的方程为 y28x D若点 F 到抛物线准线的距离为 2,则 sinPMN 的最小值为1 2 P A E D C B (第 11 题图) 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,

8、每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13在 Rt ABC 中,C90 ,AC4,D 为 AB 边上的中点,则 CD AC等于 14 (x2y) (xy)8的展开式中 x2y7的系数为 用数字填写答案) 15已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在0,)上递减,若不等式 f(axlnx1)f(axlnx1)2f(1) 对 x1,e2恒成立,则实数 a 的取值范围为 16已知函数 f(x)3cos(2x 3 ) ,当 x0,9时,把函数 F(x)f(x)1 的所有零点依次记为 x1,x2, x3,xn,且 x1x2x3xn,记数列xn

9、的前 n 项和为 Sn,则 2Sn(x1xn) 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 10 分)在AC AB b21 2ab,atanC2csinA,S 3 4 (a2b2c2)这三个条件中任选 一个 ,补充在下面的问题中,并解决该问题 锐角ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,ABC 的面积为 S,已知_, (1)求角 C 的大小; (2)求 sinAsinB 的取值范围 18 (本小题满分 12 分)已知数列an,bn的前 n 项和分别

10、为 Sn,Tn,且 an0,6Snan23an (1)求数列an的通项公式; (2)记 bn 1 Sn,若 kTn 恒成立,求 k 的最小值 19(本小题满分 12 分) 如图, 点 C 是以 AB 为直径的圆上的动点 (异于 A, B) , 己知 AB2, AC 2, AE 7,四边形 BEDC 为矩形,平面 ABC平面 BEDC设平面 EAD 与平面 ABC 的交线为 l (1)证明:lBC; (2)求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 20 (本小题满分 12 分)垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且 具有污染性,所以需要无害化、减量化

11、处理某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取 20 个县城进行了分析,得到样本数据(xi,yi) (i1,2,20) ,其中 xi和 yi分别表示第 i 个县城的 人口 (单位: 万人) 和该县年垃圾产生总量 (单位: 吨) , 并计算得 20 1 80 i i x , 20 1 4000 i i y , 20 2 1 80 i i xx , 20 2 1 8000 i i yy , 20 1 700 ii i xxyy (1)请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合; (2)求 y 关于 x 的线性回归方程; (3)某科研机构研发了两款垃圾处理机

12、器,下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表: 1 年 2 年 3 年 4 年 合计 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器,以使用年限的频率估计概率根据以往经验估计,该机构选 择购买哪一款垃圾处理机器,才能使用更长久? 参考公式:相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi) (i1,2,n) ,其回归直线 ybxa的斜率和截距的 最小二乘估计分别为: 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx , a ybx 21 (本

13、小题满分 12 分)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的一条准线方程为 x 3 2 2 ,点(3 2, 1 2)在 椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求AOB 面积(O 为原点)的最大值 22 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)tetx(t0),g(x)lnx, (1)若 f(x)在 x0 处的切线与 g(x)在 x1 处的切线平行,求实数 t 的值; (2)设函数 (x)f(x)g(x), 当 t1 时,求证:(x)在定义域内有唯一极小值点 x0,且 (x0)(2,5 2); 若 (x)恰有两个零点,

14、求实数 t 的取值范围 款式 台数 使用年限 2020-2021 学年第一学期学年第一学期 12 月六校联合调研试题月六校联合调研试题 高三数学答案高三数学答案 一、单选题:18:CABDCDBA 二、多选题:9、ABD 10、AC 11、ACD 12、AD 三、填空题:13、8;14、48;15、1 e, 4 e2;16、 442 3 四、解答题: 17、解答:(1)选条件AC AB bccosAb21 2ab 所以 cb b2c2a2 2bc b21 2ab,即 b 2c2a22b2ab,所 以 b2a2c2ab,所以 cosCb 2a2c2 2ab 1 23 分 因为 C(0,),4 分

15、 所以 C 35 分 选条件atanC2csinA,有正弦定理得,sinA sinC cosC2sinCsinA,因为 A,B(0,),所以 sinA,sinC0, 因此 cosC1 2,3 分 C(0,),4 分 所以 C 35 分 所以选条件S ABC 3 4 (a2b2c2) 3 4 2abcosC,S ABC1 2absinC, 3abcosCabsinC,C(0,),sinC 0,cosC0,tanC 3,3 分 C(0,),4 分 C 35 分 (2)sinAsinBsinAsin(2 3 A)3 2sinA 3 2 cosA 3sin(A 3),7 分 A(0, 2), 2 3

16、A(0, 2),所以 A( 6, 2),A 6( 3, 2 3 ),8 分 所以 sinAsinB(3 2, 35 分 18、解析(1)当 n1 时, 2 111 63aaa ,解得 a131 分 当 n2 时,由 2 63 nnn Saa ,得 2 111 63 nnn Saa ,两式相减并化简得 11 30 nnnn aaaa , 由于 0 n a ,所以 1 30 nn aa ,即 1 3(2) nn aan ,4 分 故 n a 是首项为 3,公差为 3 的等差数列,所以 3 n an 6 分 (2)Sn3n(n1) 2 bn1 Sn 2 3n(n1) 2 3( 1 n 1 n1)8

17、分 故 Tnb1b2bn2 3( 1 1 1 2) 2 3( 1 2 1 3) 2 3( 1 n 1 n1) 2 3(1 1 n1),由于Tn是单调 递增数列,2 3(1 1 n1) 2 310 分 ,所以 k 2 3故 k 的最小值为 2 312 分 19、解(1)因为四边形BEDC为矩形,DE/BC,DE平面DAB,BC平面DAB,所以BC/平面 EAD,2 分 又平面EAD平面ABC=l,又 BC平面CAB,所以得/ l BC4 分 (2)四边形 BEDC 为矩形,所以 DCBC,又平面 ABC平面 BEDC,平面 ABC平面 BEDC=BC,DC 平面 BEDC,所以CD平面ABC所以

18、CDAC,又 AB 为直径,所以 ACBC6 分 以C为坐标原点,以CA,CB,CD所在直线分别为x轴, y 轴,z轴建立空间直角坐标系 则 (0,0,0)C , ( 2,0,0)A , (0,0, 3)D , (0,2, 3)E ,所以 (2,0, 3)AD , (0,2,0)DE , 平面ABC的法向量 1 (0,0, 3)n ,8 分 设平面ADE的法向量 2 ( , , )nx y z , 2 2 0 0 nAD nDE 所以 230 20 xz y , 即 2 ( 3,0, 2)n ,10 分 所以 12 12 12 610 cos, 535 n n n n nn 12 分 20、

19、(1)由题意知相关系数 20 1 2020 22 11 7007 0.875 880 8000 ii i ii ii xxyy r xxyy ,3 分 因为 y 与x的相关系数接近1,所以 y 与x之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合. (2)由题意可得, 20 1 20 2 1 700 8.75 80 ii i i i xxyy b xx ,5 分 400080 8.752008.75 4165 2020 aybx ,所以 8.75165yx .7 分 (3)以频率估计概率,甲款垃圾处理机器的使用年限为X(单位:年)的分布列为: X 1 2 3 4 P 0.1 0.4 0.3

20、 0.2 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.22.6E X .9 分 乙款垃圾处理机器使用年限为Y(单位:年)的分布列为: Y 1 2 3 4 P 0.3 0.4 0.2 0.1 1 0.32 0.43 0.24 0.12.1E Y .11 分 因为 E XE Y ,所以该机构购买一台甲款垃圾处理机器使用更长久. 12 分 21. (1)由 222 2 22 2 1 3 abb e aa 得 3 3 b a , 由椭圆C经过点 3 1 () 2 2 , 得 22 91 1 44ab ,2 分 联立,解得 1b , 3a ,椭圆C的方程是 2 2 1 3 x y ;4 分 (2)由题意

21、可知直线AB一定存在斜率,设其方程为 2ykx , 联立 2 2 2 1 3 ykx x y 消去 y 得: 22 (1 3)1290kxkx , 则 22 14436(1 3)0kk ,得 2 1k , 设 11 ()A xy, 、 22 ()B xy, ,则 12 2 12 1 3 k xx k , 12 2 9 1 3 xx k ,6 分 1212 1 2 2 AOBPOBPOA SSSxxxx , 2 222 121212 222 2 123636(1) ()()4() 1 31 3(1 3) kk xxxxx x kkk ,8 分 设 2 1kt ( 0t ),则 2 12 2 36

22、36363 () 16 (34)416 924 2 924 t xx t t t t t ,10 分 当且仅当 16 9t t ,即 4 3 t 时等号成立,此时 2 7 1 3 k 可取, 此时 AOB面积取得最大值 3 2 .12 分 注:不检验,扣一分 22、解答:(1)f(x)t2etx,g(x)1 x,t 21, (t0)t12 分 (2)(x)exlnx(x0),(x)ex1 x,(x)e x1 x20,所以 (x)在定义域上是增函数,( 1 2)e 1 2 20,(1)e10,所以 (x)在区间(1 2,1)上有唯一零点 x0当 x(0,x0)时,(x)0,即 (x)是减函 数;

23、当 x(x0)时,(x)0,即 (x)是增函数,所以 x0是 (x)的唯一极小值点4 分 e x01 x0,x0lnx0,x0( 1 2,1)(x0)x0 1 x0在( 1 2,1)是减函数,所以 (x0)(2, 5 2)6 分 因为 tetx0,lnx0(0 x1)所以 (x)tetxlnx 的零点在(1,)上 由题意得,x(x)(tx)etxxlnx 在(1,)上两个零点,设 h(x)xlnx,h(x)1lnx0,所以 h(x)在(1, )上是增函数,h(x)h(etx),当且仅当 xetx,即lnx x t0 有两个解8 分 设 p(x)lnx x t(x1),令 p(x)1lnx x2

24、 0,xe,当 x(1,e),p(x)0,p(x)是增函数,当 x(e), p(x)0,p(x)是减函数,所以当 xe 时,p(x)的最大值为 e 1t, ()当 te 1 时,p(x)0 恒成立,方程lnx x t0 无解,舍去;9 分 ()当 te 1 时,p(x)0 恒成立,当且仅当 p(e)0,方程lnx x t0 有唯一解 e,舍去;10 分 ()当 0te 1 时,设 p(e)e 1t0,p(1)t0,所以 p(x)在(1,e)有唯一零点,由()已证 lnxx e, lnx x 2ln(x 1 2) x 2x 1 2 ex 2 e x,p( 2 ete) 2)0,所以 p(x)在(e)有唯一零点 综上所述,当 0te 1 时,(x)恰有两个零点12 分