1、 高三年级联合考试高三年级联合考试 数学（理科）数学（理科） 考生注意：考生注意： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：高考全部内容 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 2 |10,|28 0Ax xBx xx ，则 R AB（ ） A | 21xx B | 41xx C |2x x D |4x x 2
2、已知复数 2 1 i z i ，则z （ ） A 31 22 i B 31 22 i C 31 22 i D 31 22 i 3棱长为 2 的正四面体的表面积是（ ） A3 B2 3 C3 3 D4 3 4已知函数 2 22,0, ( ) 1,0, x x f x xx ，若( )2f a ，则a （ ） A2 B1 C2 或1 D1 或1 5已知 4 2 1 (1)xax x 的展开式中常数项系数为 4，则a （ ） A4 B1 C 1 2 D1 6明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了 一套先进航海技术“过洋牵星术” 简单地说，就是通过观
3、测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的 位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位其采用的主要工具是牵星板，由 12 块正方形木板组成，最 小的一块边长约 2 厘米（称一指） ，木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约 24 厘米（称十二 指） 观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为 72 厘米，使牵星板与海 平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星 辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中 的地理纬度如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2
4、（ ） A 12 35 B 1 6 C 12 37 D 1 3 7在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损 失20112020 年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（ ） A自 2011 年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B自 2011 年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 5 年 C2018 年上半年的票房收入增速最大 D2020 年上半年的票房收入增速最小 8已知 F 为双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦点，直线 l 过点 F，且与 x 轴垂直，直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A，B
5、两点，O 为坐标原点，若OAB的面积为 2 3abb，则双曲线 C 的离心率 是（ ） A2 B10 C4 D10 9函数( )sincos2f xxx的最大值是（ ） A1 B 9 8 C2 D2 2 10已知抛物线 M： 2 2(0)ypxp的焦点为 F，过点 F 且斜率为 3 4 的直线 l 与抛物线 M 交于 A（点 A 在第二象限） ，B 两点，则 | | AF AB （ ） A 1 5 B 1 4 C4 D5 11如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点 E 在棱 1 DD上，且 1 2DEED，F 是线段 1 BB上一动点， 现给出下列结论： EFAC； 存在一点 F，
6、使得 1 / /AEC F； 三棱锥 1 DAEF的体积与点 F 的位置无关 其中正确结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 12已知函数( )f x是定义在 R 上的奇函数，其导函数为( )fx，且对任意实数 x 都有( )( )1f xfx， 则不等式( )1 xx e f xe的解集为（ ） A(,0) B(0,) C(,1) D(1,) 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13已知向量( ,3),(1, 2)amb，且()abb，则m_ 14设 x，y 满
7、足约束条件 3 0, 220, 0, xy xy y ，则2zxy的最小值是_ 15在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 11 cos 14 A ，且ABC的面积为5 3，则 a 的最小值为_ 16已知函数( )432 x f x ，若函数 22 ( ) ( )2( )1g xf xmf xm有 4 个零点，则 m 的取值范 围是_ 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 6 小題， 共小題， 共 70 分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考
8、题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分） 在递增的等比数列 n a中， 324 9,30aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 32 log nn ba，求数列 n b的前 n 项和 n S 18 （12 分） 随着社会经济的发展，人们生活水平的不断提高，越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手段下面随 机 抽 取 了100名 把 黄 金 作 为 理 财 产 品 的 投 资 人 ， 根 据 他 们 的 年 龄 情 况 分 为 20,30),30,40),40,
9、50),50,60),60,70五组，得到如图所示的频率分布直方图 （1）估计把黄金作为理财产品的投资人年龄的中位数； （结果保留整数） （2）为了进一步了解该 100 名投资人投资黄金的具体额度情况，按照分层抽样的方法从年龄在40,50)和 60,70)的投资人中随机抽取了 5 人， 再从这 5 人中随机抽取 3 人进行调查， X 表示这 3 人中年龄在40,50) 的人数，求 X 的分布列及数学期望 19 （12 分） 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点 E，8,6BDAC，将ACD沿AC折到PAC的位置，使得 4PD ，如图所示 （1）证明：PBAC （2）求平面PAB与平面PCD所成
10、锐二面角的余弦值 20 （12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，点 3 1, 2 P 在椭圆 C 上，且 12 PFF的 面积为 3 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若椭圆 C 上存在 A，B 两点关于直线1xmy对称，求 m 的取值范围 21 （12 分） 已知函数 2 ( )sin1()f xaxxaR （1）当1a 时，求曲线( )yf x在点, 22 f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若对于任意的实数 x 恒有( ) sincosf xxx，求 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共
11、10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 2cos , 2sin x y （为参数） ，把曲线 C 上各点的横、纵坐标均 压缩为原来的 2 2 ，得到曲线 1 C曲线 2 C的参数方程为 2cos , sin x y （为参数） ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 1 C与 2 C的极坐标方程； （2） 设点 P 是曲线 2 C上的一点， 此时参数 4 ， 记曲线 1
12、C与 y 轴正半轴的交点为 T， 求O T P的面积 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |2| 2|f xxxa （1）当0a 时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）若对任意的2,4x，不等式( )6f xx 恒成立，求 a 的取值范围 高三年级联合考试高三年级联合考试 数学试题参考答案（理科）数学试题参考答案（理科） 1 A 因 为|24Bxxx 或剠， 所 以|24 RB xx 因 为|1Axx， 所 以 |21 R ABxx 2A 2(2)(1)31 1(1)(1)22 iii zi iii ，则 31 22 zi 3D 棱长为 2 的正四面体的表面积是
13、1 42414 3 2 4C 当0a 时，( )222 a f a ，解得2a ；当0a时， 2 ( )12f aa ，解得1a 综上， 2a 或1a 5D 由题意得展开式中常数项通式为 3 32 4 1 44C xaxa x ，解得1a 6A 由题知六指为 12 厘米，则 121 tan 726 ，则 2 1 2 2tan12 6 tan2 1 1tan35 1 36 7D 由图易知自 2011 年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有 3 年，故 A， B 错误；2017 年上半年的票房收入增速最大，故 C 错误；2020 年上半年的票房收入增速最小，故 D 正确 8B
14、 设( ,0)F c，则 2 | bc AB a ，OAB的面积为 2 12 3 2 bc cabb a ，整理得 22 3caab因为 222 cab，所以 222 3abaab，所以3ba，则双曲线 C 的离心率 2 110 b e a 9B 2 ( )sincos22sinsin1f xxxxx 设sin1,1tx ，则 2 2 199 212 488 yttt 10A 如图，直线CD为抛物线 M 的准线，,ACCD BDCD AEBD设|3BEx，则 | 5 ,| | | 3 ,| | 5ABx BEBDACBFAFx ABAFBFx， 解 得|AFx， 故 |1 |55 A Fx A
15、 Bx 11D 如图，连接BD易证AC 平面BDEF，则ACEF，故正确在 1 AA上取一点 H，使得 1 2AHAH，连接 11 ,EC EH HB，易证四边形 11 BC EH为平行四边形，则 1111 / /,C EB H C EB H若 1 2BFB F， 易证四边形 1 AHB F为平行四边形， 则 11 / /,AFB H AFB H， 从而 11 / /,AFC E AFC E， 故四边形 1 AEC F为平行四边形，于是 1 / /AEC F，故正确设ABa，三棱锥 1 DAEF的体积与三 棱锥 1 FAD E的体积相等，则 11 3 112 3239 DAEFFAD E aa
16、 VVaa ，即三棱锥 1 DAEF的体积 与正方体的棱长有关，与点 F 的位置无关，故正确 12 B 设( ) ( )1 x g xef x， 则( )( )( ) xxx gxe fxe fxe 因 为( )( )1f xfx ， 所 以 ( )( ) xxx e f xe fxe，即( )( )0 xxx e f xe fxe，故( )g x在 R 上单调递增因为( )f x是定义在 R 上的奇函数，所以(0)0f，所以(0)1g ，不等式( )1 xx e f xe，即( )(0)g xg，则0 x 131 由题意可得(1,1)abm因为()abb，所以1 20m ，解得1m 141
17、画出可行域（图略） ，当直线2zxy经过点( 1,0)时，z 取最小值，且最小值是1 152 3 因为 11 cos 14 A ，所以 5 3 sin 14 A，所以ABC的面积为 15 3 sin5 3 228 bcAbc，则 28bc 由余弦定理可得 222 111 2cos212 77 abcbcAbcbcbc，则2 3a（当且仅当 2 7bc时，等号成立） 16 (3,4) 22 ( ) ( )2( )10g xf xmf xm ， 即( )(1) ( )(1) 0fxmfxm， 解 得 ( )1fxm或( )1f xm由( )f x的图象（图略）可得 215, 215, m m 解得
18、34m，即 m 的取值 范围是(3,4) 17解： （1）由题意可得 2 31 3 2411 9, 30, 1, aa q aaa qa q q 2 分 解得 1 1,3aq 4 分 故 11 1 3 nn n aa q 6 分 （2）由（1）可得 21 2 3 n n a ，则 32 log21 nn ban， 9 分 故 2 (121) 13521 2 n nn Snn 12 分 18解： （1）因为(0.0070.018) 100.250.5,(0.0070.00180.030) 100.550.5， 1 分 所以年龄的中位数在40,50)内 2 分 设中位数为 m，则 40 0.30.
19、250.5 10 m ，解得48m 4 分 （2）由题意可知，100 名投资人中，年龄在40,50)的有 30 名，年龄在60,70)的有 20 名，则利用分层抽 样抽取的 5 人中，年龄在40,50)的有 3 名，在60,70)的有 2 名， 6 分 则 X 的可能取值为 1，2，3， 122130 323232 333 555 331 (1), (2), (3) 10510 C CC CC C P XP XP X CCC 9 分 X 的分布列为 X 1 2 3 P 3 10 3 5 1 10 10 分 故 3319 ()123 105105 E X 12 分 19 （1）证明：因为ABCD
20、是菱形，所以ACBD， 1 分 则,BEAC PEAC 2 分 因为BE 平面,PBE PE 平面PBE，且BEPEE，所以AC 平面PBE 3 分 因为PB 平面PBE，所以PBAC 4 分 （2）解：取DE的中点 O，连接OP，取CD的中点 F，连接OF 因为8BD ，所以4DEPE 因为4PD ，所以PDPE，所以PODE 5 分 由（1）可知AC 平面PBE，所以平面PBD 平面ABCD，则PO 平面ABCD 6 分 故以 O 为坐标原点，以,OF OD OP的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 由 题 中 数 据 可 得( 3, 2,0), (
21、0, 6,0),(3, 2,0),(0,2,0), (0,0,2 3)ABCDP ， 则 ( 3 ,4 , 0 ) ,( 0 , 6 , 23 ) ,( 0 ,2 , 23 )A BD CB PD P 8 分 设平面PAB的法向量为 111 ,mx y z， 则 11 11 340, 62 30, m ABxy m BPyz 令4x ，得(4,3, 3 3)m 9 分 设平面PCD的法向量为 222 ,nxy z， 则 22 22 340, 22 30, n DCxy n DPyz 令4x ，得(4,3, 3)n 10 分 设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为， 则 222222 443
22、33 334 91 cos 91| 43( 3 3)43( 3) m n m n 12 分 20解： （1）由题意可得 22 222 13 1, 4 33 , 2 , 2 ab c cab 1 分 解得2,1ab， 3 分 故椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y 4 分 （2）设 1122 ,A x yB x y，线段AB的中点为 00 ,M xy 因为直线1xmy过定点(1,0)，所以 22 22 1122 11xyxy 5 分 因为 A，B 在椭圆上，所以 22 22 12 12 1,1 44 xx yy，所以 22 22 12 12 1111 44 xx xx ， 6 分 整理
23、得 22 12 1212 2 4 xx xxxx ，所以 12 8 3 xx，所以 0 4 3 x 7 分 因为点 M 在直线1xmy上，所以 00 1xmy，则 0 1 3 y m 8 分 由 2 2 1, 4 4 , 3 x y x 得 5 3 y ， 9 分 则 51 0 33m 或 15 0 33m ，解得 5 5 m 或 5 5 m 11 分 故 m 的取值范围为 55 , 55 12 分 21解： （1）当1a 时， 2 ( )sin1f xxx，则( )2cosfxxx 1 分 因为 2 24 f ， 2 f ， 2 分 所以( )yf x在点, 22 f 处的切线方程为 2 4
24、2 yx ，即 2 0 4 xy 3 分 令 2 0, 4 xy ，令0, 4 yx ， 则该切线与两坐标轴围成的三角形面积为 23 1 24432 4 分 （2）设 2 ( )( )sincoscos1g xf xxxaxx，则( )2sin , ( )g xaxx g x是偶函数 设( )( )2sinh xg xaxx，则( )2cosh xax 5 分 当 1 2 a时，( )2cos0h xax ，所以( )h x是增函数，即( )g x是增函数 又(0)0 g ，所以( )g x在0,)上是增函数， 因为(0)0, ( )gg x是偶函数，故( ) 0g x 恒成立，即 1 2 a
25、符合题意 7 分 当 1 2 a时，( )2cos0h xax，所以( )h x是减函数，即( )g x是减函数 因为(0)0 g ，所以( )g x在(0,)上是减函数， 因为(0)0g，所以当0 x 时，( )0g x ，则 1 2 a不符合题意 9 分 当 11 22 a时，存在唯一 0 (0, )x，使得 0 0h x， 因为( )2cosh xax在0, 上是增函数， 所以当 0 0,xx时，( )0h x，即( )g x在 0 0,x上为减函数 因为(0)0 g ，所以当 0 0,xx时，( )0g x，即( )g x在 0 0,x上为减函数， 因为(0)0g，所以当 0 0,xx
26、时，( )0g x ，则 11 22 a不符合题意 11 分 综上，a 的取值范围是 1 , 2 12 分 22解： （1）由题意知曲线 1 C的参数方程为 2cos , 2sin x y （为参数） ， 1 分 则曲线 1 C的普通方程为 22 2xy， 2 分 故曲线 1 C的极坐标方程为2 3 分 由题意可得曲线 2 C的普通方程为 2 2 1 2 x y， 4 分 则曲线 2 C的极坐标方程为 22 1sin2 6 分 （2）由题设知 2 1, (0, 2) 2 PT ， 8 分 故OTP的面积为 112 |21 222 P OTx 10 分 23解： （1）当0a 时，( ) |2| 2|f xxx， 则不等式( ) 4f x 等价于 0, 32 4 x x 或 02, 2 4 x x 或 2, 32 4, x x 2 分 解得 2 3 x或2x 或2x 4 分 故不等式( ) 4f x 的解集为 2 ,2,) 3 5 分 （2）不等式( )6f xx 可化为|2| 2|6xxax 因为不等式|2| 2|6xxax在2,4x上恒成立，所以22|6xxax， 6 分 即|4xa，即44ax a剟， 7 分 则 4 2, 4 4, a a 解得06a剟 9 分 故 a 的取值范围为0,6 10 分