1、20202021 学年学年浙江省宁波市余姚市浙江省宁波市余姚市二校联考二校联考初三上期中数学试卷初三上期中数学试卷 一、选择题 1.抛物线 2 23yxx 的顶点坐标为（ ） A.( 1, 4) B.(1,4) C.(1, 4) D.( 1,4) 2.第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑 雪等） 、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等） 、冰球、冰壶等.如图，有 5 张形状、大小、质地均相 同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相 同.现将这 5 张卡片洗匀后正面向下放在桌
2、子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概 率是（ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 1 2 D. 3 5 3.下列说法不正确的是（ ） A.不在同一直线上的三点确定一个圆 B.90的圆周角所对的弦是直径 C.平分弦的直径垂直于这条弦 D.等弧所对的圆周角相等 4.已知 212 5 xy y ，则:x y等于（ ） A.5:2 B.5:4 C.4:5 D.2:5 5.如图，二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象与直线1y 的交点坐标为(1,1)，(3,1)，则不等式 2 10axbxc 的解集为（ ） A.1x B.13x C.1x或3x D.3x 6.如图，若P为ABC
3、的边AB上一点()ABAC，则下列条件不一定能保证ACPABC的有 （ ） A.ACPABC B.APCACB C. ACAP ABAC D. PCAC BCAB 7.如图，一块直角三角板的 30角的顶点P落在O上，两边分别交圆O于A，B两点，若O的直径为 6，则弦AB的长为（ ） A.3 B.2 C.2 D.3 8.如图，矩形ABCD中，ADC的平分线交BC于点E，将一块三角板的直角顶点放在E点处，并使它的 一条直角边过点A，另一条直角边交CD于M点.若点M为CD中点，6BC ，则AB的长为（ ） A.3 B.10 3 C.10 D.4 9.已知抛物线 2 yxbxc的顶点在x轴上，且经过点
4、(3, )A mn、(3, )B mn，则n的值为（ ） A.3 B.6 C.9 D.12 10.如图，在等边OAB中，6AB，点D是以O为圆心，半径为 3 的圆上一动点，连接BD，C为BD 上一点，2DCCB，连接AC，则线段AC的最大值与最小值之积为（ ） A.27 B.26 C.25 D.24 二、填空题 11.已知四边形ABCD为O的内接四边形，100A ，则C的度数为_. 12.将抛物线 2 (3)2yx向左平移 3 个单位后的解析式为_. 13.已知O的面积为，则其内接正六边形的边长为_. 14.如图，BD、CE是锐角ABC的两条高线，则图中与BOE相似三角形有_个. 15.如图，
5、ABC是O的内接三角形，过AB上的点D作OB的垂线，垂足为E交BC于点F.若 30OBC，BDBO，则BDF与ABC的面积比为_. 16.如图，在平面直角坐标系中，点(6,0)A、(3,4)B，点C是OB上一点，D为AC的中点，若反比例函 数(0) k yx x 过C、D两点，则k的值为_. 三、解答题 17.如图，已知二次函数 2 3yxax的图象经过点( 2,3)P . （1）求a的值和图象的顶点坐标. （2）点( , )Q m n在该二次函数图象上. 当2m时，求n的值. 若点Q到y轴的距离小于 2，请根据图象直接写出n的取值范围. 18.在如图所示的 12 个小正方形组成的网格中，AB
6、C的三个顶点都在小正方形的顶点上.仅用无刻度的直 尺按要求完成下列作图. （1）在图 1 网格中找格点D，作直线BD，使直线BD与AC的交点P是AC的中点. （2）在图 2 网格中找格点E，作直线BE交AC于点Q，使得CQCB. 19.有 2 部不同的电影A、B，甲、乙、丙 3 人分别从中任意选择 1 部观看. （1）求甲选择A部电影的概率. （2）求甲、乙、丙 3 人选择同 1 部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）. 20.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上.双曲线(0) k yx x 经过BC边 的中点(2,4)D，与AB交于点E，连结DE，CE
7、. （1）求k的值及CDE的度数. （2）在直线AB上找点F，使得以点A、D、F为顶点的三角形与CDE相似，求F点的坐标. 21.如图，菱形ODCE的顶点C在扇形AOB的弧AB上，D、E在弦AB上. （1）求证：ADBE. （2）已知扇形的半径为 2，当ADDO时，求图中阴影部分的面积. 22.随着地铁和共享单车的发展， “地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李林从文化宫站出发，先乘坐 地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点 与文化宫距离为x（单位：千米） ，乘坐地铁的时间 1 y（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表： 地铁站
8、A B C D E x（千米） 8 9 10 11.5 13 1 y（分钟） 18 20 22 25 28 （1）求 1 y关于x的函数表达式. （2）李林骑单车的时间 2 y（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用 2 2 1 1178 2 yxx来描述，请 问：李林应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?并求出最短时间. 23.如果一条线段可以将一个三角形分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个三角形与原三角形相 似，我们把这样的三角形叫做完美三角形，这条线段叫做这个完美三角形的完美分割线. （1）根据完美三角形的定义，老陆、栋栋、勇士分别提出如下命题： 等腰直角三
9、角形是完美三角形； 含 30的直角三角形是完美三角形； 等边三角形不是完美三角形. 在上述三个命题中，是真命题的为_.（填序号） （2）如图 1，在ABC中，CD为角平分线，40A ，60B . 求证：CD为ABC的完美分割线. （3）如图 2，在ABC中，5AB，6BC ，4AC . 求证：ABC是完美三角形. 24.已知如图，O上C、D两点关于直径AB对称， 连结CD交AB于点F，3OF ，2FB ，P是AD 上一点，射线AP交CD的延长线于点Q，连结AD、CP、DP，CP交AB于E. （1）求CD的长. （2）当CFDQ时. 求ADP的度数. 求APD与PCQ的面积比. （3）设AEx，
10、 AF y FQ ，求y关于x的函数表达式. 参考答案参考答案 1.D 解析： 22 23(1)4yxxx 顶点坐标为( 1,4). 故选. 2.B 解析：一共有 5 张卡片，其中有 2 张滑雪卡片， 抽出卡片证明恰好是所需项目图案的概率是 2 5 . 3.C 4.D 解析： 212 5 xy y ，51012xyy， 52xy，:2:5x y. 故选 D. 5.C 解：根据图象得二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象与直线1y 的交点坐标为(1,1)，(3,1)， 而 2 10axbxc ，即1y ， 故1x或3x . 故选：C. 6.D 7.A 解析：连接AO并延长交O于点D，连接BD
11、， 30P ，30DP ， AD是O的直径，6AD，90ABD， 1 3 2 ABAD. 故选 A. 8.A 解析： 四边形ABCD为矩形，90BCADC ， 又DE为ADC的平分线， 1 9045 2 EDC CED 为等腰直角三角形， 设ECx，则CDx， 又M为CD中点， 2 x CM， 又6BC ，6BEx ，1 又90AEM，90AEBMECEMC， .ZA EB=90-Z MEC=Z EMC， ABEECM， ABBE ECCM 即 6xx xx ，则3x ，3AB， 故选 A. 9.C 解析：抛物线 2 6yxxc经过(3, )A mn、(3, )B mn， 抛物线对称轴为直线
12、33 2 mm xm ， 抛物线与x轴只有一个交点，故顶点为( ,0)m， 2 ()yxm.当3xm时， 2 39y . 故选 C. 10.A 解析：过A作AHOB于H， 在BO上截取2BM ，连结CM，OD， OAB是等边三角形，6AB，AHOB， 3OHBH，1HMBHBM， 22 3 3AHABBH， 22 2 7AMAHHM. 2BM ，6OB， 21 63 BM OB . 2DCCB， 1 3 BC BD ， BMBC OBBD ， /CM OD，BCMBDO， 1 3 CMBM ODOB ， 3OD，1CM. AMCMACAMCM 当且仅当A，M，C三点共线时，AC取得最大值为最小
13、值， AC的最大值为2 71，AC的最小值为2 71， AC的最大值与最小值之积为 2 71 2 7128 127 . 故选 A. 11.80 解析：四边形ABCD为O的内接四边形，100A ， 180AC ，.80C. 故答案为：80. 12. 2 2yx 解析：抛物线 2 (3)2yx向左平移 3 个单位后得到解析式 22 (3 3)22yxx . 13.1 解析：如图， O的面积为， 2 Sr， 2 1r ，1r ， 360 60 6 AOB AOB 为等边三角形， 故1ABOA. 14.3 解析：BD，CE是ABC的高， 90BEOCEABDCBDA， BEOCDO，BOECOD， B
14、OECOD， 90EBOA ，90ACEA ， EBOECA， 又BEOCEA，BOECAE， BEOBDA，OBEAOD， BOEBAD， 综上与BDE相似的三角形有 3 个. 15. 1 3 解析：如图所示，延长BO交AC于点H，连接OA， ABC为O内接三角形， BOAC， 1 2 AHCHAC（三线合一） ， 1 2 ABOCBOABC ， 又30OBC， 30ABOOBC， 又DEBO， 90BEDBEF，60BDFBFD BDF 为等边三角形， 又BDBO，设BOr， 则BDBFDFr， 又BEDF， 11 22 DEEFDFr， 又 222 BDDEBE， 3 3 2 BEDEr
15、， 2 1133 2224 BDF SDFBErrr ， 又OAOBr，30OBAOAB， 303060AOHOBAOAB， 90906030OAHAOH， 11 22 OHOAr， 又 222 OAOHAH， 3 3 2 AHOHr， 23ACAHr， 13 22 BHOBOHrrr， 2 1133 3 3 2224 ABC SACBHrrr ， 2 2 3 1 4 33 3 4 BDF ABC r S S r ， 故BDF与ABC面积比为 1 3 . 16.16 3 解析：直线 4 : 3 OB yx 设(6 ,8 )Ctt，则 6608 , 22 tt D 即(33 ,4 )tt， 则
16、8 6 4 33 k t t k t t ， 16 3 1 3 k t . 17.（1）2a ；( 1,2) （2）11. 211n 解析： （1）把( 2,3)P 代入 2 3yxax，得 2 3( 2)23a ， 解得2a . 22 23(1)2yxxx， 顶点坐标为( 1,2). （2）把2x 代入 2 23yxx，求得11y ， 当2m时，11n 点到y轴的距离小于 2， 2m 22m . 当2m时，11n 当2m时，3n 当1m时，2n 211n. 18.（1）画图见解析. （2）画图见解析. 解析： （1）如图 1 所示，取格点D，连接AD，CD， 则四边形ABCD为矩形，连接BD
17、交AC于点P， 由于矩形对垂线互相平分，则点P为AC中点， 故图 1 中直线BD，格点D即为所求. （2）如图 2 所示，找格点M，N， 使得2AM ，3CN ，连接MN与AC交于点Q， 连接BQ并延长交格点于点E， 则格点E即为所求. /AM CN，MAQNCQ ， 又AQMCQN （对顶角相等）AMQCNQ， 2 3 AMAQ CNCQ ，即 3 5 CQAC， 由勾股定理得： 222 ACABBC， 又4AB ，3BC ， 22 435AC 33 53 55 CQACCB， 故CQCB， 格点E即为所求. 19.（1） 1 2 . （2） 1 4 ，画图见解析. 解析： （1）甲选择A部
18、电影的概率 1 2 （2）画树状图为： 共有 8 种等可能的结果数，其中甲、乙、丙 3 人选择同 1 部电影的结果数为 2， 所以甲、乙、丙 3 人选择同 1 部电影的概率 21 84 . 20.（1）8k ；135CDE. （2）点F的坐标为：(4,10)或(4,2). 解析： （1）点D为BC的中点，(2,4)D， (0,4)C，(4,4)B， 将点(2,4)D代入 k y x 得：8k ， 8 y x ， 四边形OABC是矩形，(4,0)A，点E的横坐标为：4， 当4x 时，2y ，(4,2)E，2BDBE， 又90B BDE 为等腰直角三角形， 则45BDE， 180135CDEBDE
19、. （2）如图，连接AD， (4,4)B，(4,0)A，(0,4)C， 4ABBC， 在BCE和BAD中， BCBA CBEABD BDBE ， SASBCEBAD，BCEBAD， (0,4)C，(2,4)D，(4,2)E，(4,0)A， 2CD， 22 4(24)2 5CE ， 22 (42)42 5AD ， 设(4, )Ft，则AFt， CDEADF， CDCE ADAF ， 22 5 2 5t ， 解得： 1 10t ，(4,10)F， CDEAFD， CDCE AFAD ， 22 5 2 5t ， 解得： 2 2t ， (4,2)F， 综上所述，点 F 的坐标为：(4,10)或(4,2
20、). 21.（1）证明见解析. （2） 2 2 3 3 . 解析： （1）四边形ODCE是菱形， CDOCEO， DE是菱形的对角线， ODEOED， 180180ODEOED， 即ODAOEB， 又OAOB，OADOBE， 在OAD和OBE中， OADOBE ODEOED OAOB ， (AAS)OADOBE， ADBE. （2）如图，连接OC与AB交于点F， 则DFEF，2OAOBOC，OCDE， 11 21 22 OFOC， 2222 213AFOAOF， 设DFEFx， 则 222 1ODDFOFx， 2 1ADODx， 2 1AFADDFxx ， 2 13xx ， 解得 3 3 x
21、， 2 2 3 1 3 ADBExOD ， 2 3 22 3 DEDFx， ODDEOE，ODE 是等边三角形， 60DOEODEOED， 1 30 2 DAODOAEDO ， 由（1）知OADOBE， 30AODBOE， 120AOBAODDOEBOE， OADOBEOABODCE SSSSS 阴影扇形菱形 2 OADOABODCE SSS 菱形菱形 1201 2 3602 OA AD OFDE OC 120212 32 3 212 360233 22 34 3 333 ， 2 2 3 3 . 22.（1） 1 22yx. （2）应在B站出地铁，时间最短，为 79 min 2 . 解析： （
22、1）设 1 ykxb，过点(8,18)，(9,20)， （2）回家所用时间为 1+2=2z+2+2 则 188 209 kb kb ， 2 2 k b ， 1 22yx. （2）回家所用时间为 22 12 11 221178980 22 yyxxxxx 2 179 (9) 22 x 则当9x 时， 12 yy取最小值 79 2 ， 则应在B站出地铁，时间最短，为 79 min 2 . 23.（1） （2）证明见解析. （3）证明见解析. 解析： （1）等腰直角三角形底边的中线将原三角形，分成两个等腰直角三角形， CD为等腰直角ACB的完美分割线， 等腰直角ACB是完美三角形，故正确； 在RtA
23、CB中，90ACB，30B ，60CAB， 当AD平分CAB时，30CADDABB ， ACDBCA，ADB是等腰三角形， AD是直角ACB的完美分割线， 含 30角的直角三角形是完美三角形，故正确； 一条线段不可能将等边三角形分成一个等边三角形和一个等腰三角形， 故等边三角形不可能是完美三角形， 故正确， 真命题有. （2）40A ，60B ，80ACB ABC 不是等腰三角形， CD平分ACB， 1 40 2 ACDBCDACB ， 40ACDA ， ACD 为等腰三角形， 40DCBA ，CBDABC， BCDBAC， CD是ABC的完美分割线. （3）作CADB， CADB，CC，CA
24、DCBA， CACDAD CBCAAB ， 4CA，6CB，5AB 4 645 CDAD ， 8 3 CD， 10 3 AD ， 810 6 33 BDBCCD， BDAD， ABD 是等腰三角形， AD是ABC的完美分割线， ABC 是完美三角形. 24.（1）8. （2）45 5 9 . （3） 202 x y x 解析： （1）连接DC， 3OF ，2FB ， 3 25OBOFFB ， 5OCOB， C，D两点关于直径AB对称， ABCD，CFDF， 在RtOCF中， 22 4CFDCOF， 28CDCF. （2）连接AC， C，D两点关于AB对称，ACAD， ACDADC， ADCAP
25、C，ACDAPC， CAPQAC ，ACPAQC， ACPAQC ， ACPADP，ADPAQC ， 5OAOB，8AFOA OF， 4DFCFDQ，8FQ， AFFQ， 90AFQ，45AQF，45ADP. 在RtAFD中，90AFD， 8AF ，4DF ， 22 4 5ADAFDF，12CQCDDQ， ADPCQP ，DAPQCP ， APDCPQ， 2 2 4 55 129 APD PCQ SAD SCQ . （3）连接AC，过E作EHAC于H， 4 5ACAD，4FC ，8AF ， 90AHEAFC，HAEFAC， AHEAFC， 4 5 HEAHAEx FCAFAC ， 5 5 x HE， 2 5 5 AHx， 2 5 4 5 5 CHACAHx， AQFACP ，90AFQEHC ， AFQEHC， 5 5 2 5 4 5 5 x AFEH FQCH x ， AF y FQ ， 202 x y x ， 即y与x的函数表达式为 202 x y x .