1、2020-2021 学年江苏省南京市高淳区九年级学年江苏省南京市高淳区九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1（2 分）已知O的直径为 4，点O到直线l的距离为 2，则直线l与O的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D无法判断 2（2 分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） Ax 2+12x Bx 2+10 Cx 22x3 Dx 22x0 3 （2 分）关于函数y2（x+3） 2+1，下列说法：函数的最小值为 1；函数图象的对称轴为直线 x3； 当x0 时，y随x的增大而增大；当x0 时，y随x的增大而减小其中正确的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 4 （2 分
2、）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点连接AC，若BAC20， 则D的度数为（ ） A100 B110 C120 D130 5（2 分）已知二次函数yx 25x+m 的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的横坐标为 1，则另一个 交点的横坐标为（ ） A1 B6 C5 D4 6（2 分）如图，ABC和DEF都是边长为 2 的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C， E重合现将ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动在此过程中，设点C移动的距 离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ） A B C D 二、填空题（本
3、大题共二、填空题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 2020 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上）相应位置上） 7（2 分）用配方法解方程x 2+4x+10，则方程可变形为（x+2）2 8（2 分）已知一元二次方程 2x 2+3x10 的两个根是 x1，x2，则x1x2 9（2 分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 72 70 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按 5：3：2 的比例计入总成绩，则该
4、应聘者的总成绩是 分 10（2 分）同时抛掷两枚材质均匀的硬币，则正面都向上的概率为 11（2 分）一个圆锥的底面半径为 3cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是 cm 2 12（2 分）如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是yx 2，桥下的水面宽 AB 为 6m当水位上涨 2m时，水面宽CD为 m（结果保留根号） 13（2 分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则ACG 14（2 分）如图，O的半径OD弦AB于点C，若AB8，CD2，则O的半径为 15（2 分）某商贸公司 2017 年盈利 100 万元，2019 年盈利 144 万元，且 201
5、7 年到 2019 年每年盈利的增 长率相同，则该公司 2018 年盈利 万元 16（2 分）如图，已知正方形ABCD的边长为 2，E是BC边上的动点，BFAE交CD于点F，垂足为G，连 结CG则CG的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 1111 小题，共小题，共 8888 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 17（6 分）解方程：（2x1） 236x 18（9 分）已知二次函数yax 2+bx+c 中自变量x和函数值y的部分对应值如表： x 1 0 1 2 3 y 10
6、 5 2 1 2 （1）求该二次函数的函数关系式； （2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象； （3）作该二次函数yax 2+bx+c 的图象关于x轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为 19（8 分）甲、乙两位同学 5 次数学选拔赛的成绩统计如表，他们 5 次考试的总成绩相同，请同学们完成 下列问题： 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 （1）统计表中，a ，甲同学成绩的极差为 ； （2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为 60，方差是S甲 2 （8060） 2+（4060）2+（7060）2+
7、（5060） 2+（6060）2200请你求出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定 20（7 分）如图，AB、CD都是O的弦，且ABCD，求证： 21 （8 分）甲、乙两名同学参加 1000 米比赛，由于参赛选手较多，将选手随机分A，B，C三组进行比赛 （1）甲同学恰好在A组的概率是 ； （2）求甲、乙两人至少有一人在B组的概率 22（8 分）如图，有长为 24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m）围成中间隔有一道篱笆的 长方形花圃，如果要围成面积为 45m 2的花圃，求 AB的长度 23（8 分）某年级共有 300 名学生为了解
8、该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取 60 名学 生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部 分信息 aA课程成绩的频数分布直方图如下 （数据分成 6 组：40 x50，50 x60，60 x70， 70 x80， 80 x90，90 x100）： bA课程成绩在 70 x80 这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5 cA，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 根据以上信息，回答下列
9、问题： （1）写出表中m的值； （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为 76 分，B课程成绩为 71 分，这名学生成绩排名更靠前的课 程是 （填“A”或“B”），理由是 ， （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过 75.8 分的人数 24（7 分）已知二次函数y（x1）（xm）（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当m的值变化时，该函数图象的顶点在下列哪个函数的图象上？ Ayx1 Byx1 Cy（x+1） 2 Dy（x1）2 25（8 分）如图，EBF中，B90，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与 EB交于点A
10、，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形 （1）求证：EF为O的切线； （2）已知O的半径为 1，求图中阴影部分的面积 26（9 分）平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线yax 2+bx+1 恰好经 过A，B，C中的两点 （1）求a，b的值； （2）平移抛物线yax 2+bx+1，使其顶点在直线 yx+1 上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m 平移后抛物线的函数关系式为 ； 求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值 27（10 分）（1）如图，AB是O的直径，C、D在O上，且BCBD，ADCD求证：ADC2BDC （2）如图，AB是O的直径
11、，点C在O上若平面内的点D满足ADCD，且ADC2BDC 利用直尺和圆规在图中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）； 若AB4，BC长度为m（0m4），则平面内满足条件的点D的个数随着m的值变化而变化请直接 写出满足条件点D的个数及对应m的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1（2 分）已知O的直径为 4，点O到直线l的距离为 2，则直线l与O的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D无法判断 解：O的直径为 4， O的半
12、径为 2， 点O到直线l的距离为 2， dr l与O的位置关系相切 故选：B 2（2 分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） Ax 2+12x Bx 2+10 Cx 22x3 Dx 22x0 解：A、（2） 24110，有两个相等实数根； B、0440，没有实数根； C、（2） 241（3）160，有两个不相等实数根； D、（2） 241040，有两个不相等实数根 故选：A 3 （2 分）关于函数y2（x+3） 2+1，下列说法：函数的最小值为 1；函数图象的对称轴为直线 x3； 当x0 时，y随x的增大而增大；当x0 时，y随x的增大而减小其中正确的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 解
13、：y2（x+3） 2+1， 该函数图象开口向上，有最小值 1，故正确； 函数图象的对称轴为直线x3，故错误； 当x0 时，y随x的增大而增大，故正确； 当x3 时，y随x的增大而减小，当3x0 时，y随x的增大而增大，故错误； 故选：B 4 （2 分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点连接AC，若BAC20， 则D的度数为（ ） A100 B110 C120 D130 解：连接BC，如图， AB是半圆的直径， ACB90， B90BAC902070， D+ABC180， D18070110 故选：B 5（2 分）已知二次函数yx 25x+m 的图象与x轴有两个交点，若
14、其中一个交点的横坐标为 1，则另一个 交点的横坐标为（ ） A1 B6 C5 D4 解：二次函数yx 25x+m 中a1，b5， 函数的对称轴为：x， 一个交点的坐标为（1，0）与另一个交点的坐标关于对称轴对称， 另一个交点的坐标为（4，0），即另一个交点的横坐标为 4 故选：D 6（2 分）如图，ABC和DEF都是边长为 2 的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C， E重合现将ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动在此过程中，设点C移动的距 离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ） A B C D 解：如图 1 所示：当 0 x2
15、 时，过点G作GHBF于H ABC和DEF均为等边三角形， GEJ为等边三角形 GHEJx， yEJGHx 2 当x2 时，y，且抛物线的开口向上 如图 2 所示：2x4 时，过点G作GHBF于H yFJGH（4x） 2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上 故选：A 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上） 7（2 分）用配方法解方程x 2+4x+10，则方程可变形为（x+2）2 3 解：x 2+4x1， x 2+4x+41+4，即（x+2）23， 故答案为：3 8（2 分）已知一元二次方程 2x 2+3x1
16、0 的两个根是 x1，x2，则x1x2 解：一元二次方程 2x 2+3x10 的两个根是 x1，x2， x1x2， 故答案为 9（2 分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 72 70 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按 5：3：2 的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 75 分 解：该应聘者的总成绩是：72+70+9075（分） 故答案为：75 10（2 分）同时抛掷两枚材质均匀的硬币，则正面都向上的概率为 解：列表如下： 正 反 正 （正，正） （反，正） 反 （正，反） （反，反） 所有等
17、可能的情况有 4 种，正面都向上的情况有 1 种， 则P， 故答案为： 11（2 分）一个圆锥的底面半径为 3cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是 18 cm 2 解：底面半径为 3cm，则底面周长6cm，侧面展开图是半圆，则母线长6226cm， 圆锥的侧面积6618cm 2 12（2 分）如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是yx 2，桥下的水面宽 AB 为 6m当水位上涨 2m时，水面宽CD为 2 m（结果保留根号） 解：由题意可得：当AB6m，则B点横坐标为 3， 故此时y3 23， 当水位上涨 2m时，此时D点纵坐标为：3+21， 则1x 2， 解得：x 故当水位
18、上涨 2m时，水面宽CD为 2m 故答案为：2 13（2 分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则ACG 45 解：设正八边形ABCDEFGH的外接圆为O； 正八边形ABCDEFGH的各边相等， 圆周长， 90， 圆周角ACG 故答案为 45 14（2 分）如图，O的半径OD弦AB于点C，若AB8，CD2，则O的半径为 5 解：ODAB，AB8，CD2， ACAB4， 在 RtAOC中， OA 2OC2+AC2，即 r 2（r2）2+42，解得 r5 故答案为：5 15（2 分）某商贸公司 2017 年盈利 100 万元，2019 年盈利 144 万元，且 2017
19、年到 2019 年每年盈利的增 长率相同，则该公司 2018 年盈利 120 万元 解：设平均年增长率为x， 根据题意得：100（1+x） 2144， 整理得：（1+x） 21.44， 开方得：1+x1.2， 解得：x0.220%或x2.2（舍去）， 则平均年增长率为 20%， 该公司 2018 年盈利 100（1+20%）120（万元） 故答案为：120 16（2 分）如图，已知正方形ABCD的边长为 2，E是BC边上的动点，BFAE交CD于点F，垂足为G，连 结CG则CG的最小值为 1 解：取AB得中点O，连接OC， 根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，所以OC和O
20、G的长度是一定的，因此当 O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值， 四边形ABCD是正方形， ABC90， 正方形ABCD的边长为 2， BO1，BC2， OC， CG的最小值为OCOG1， 故答案为：1 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17（6 分）解方程：（2x1） 236x 解：（2x1） 23（2x1）， （2x1） 2+3（2x1）0， （2x1）（2x1）+30， 2x10 或 2x+20 所以x1，x21 18（9 分）已知二次函数yax 2+bx+c 中自变量x和函数值y的部分对应值如表：
21、x 1 0 1 2 3 y 10 5 2 1 2 （1）求该二次函数的函数关系式； （2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象； （3）作该二次函数yax 2+bx+c 的图象关于x轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为 yx 2+4x 5 解：（1）由图表可知抛物线yax 2+bx+c 过点（1，2），（3，2）， 对称轴为x2； 顶点坐标为：（2，1）， 设ya（x2） 2+1， 将（0，5）代入可得：4a+15， 解得：a1， 二次函数的解析式为：y（x2） 2+1，即 yx 24x+5， 所求二次函数的关系式为yx 24x+5 （2）描点、连线画出函数图象如图： ； （3）新图象与二次
22、函数yax 2+bx+c 的图象关于x轴对称， yx 24x+5， 新图象的函数关系式为yx 2+4x5， 故答案为yx 2+4x5 19（8 分）甲、乙两位同学 5 次数学选拔赛的成绩统计如表，他们 5 次考试的总成绩相同，请同学们完成 下列问题： 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 （1）统计表中，a 40 ，甲同学成绩的极差为 40 ； （2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为 60，方差是S甲 2 （8060） 2+（4060）2+（7060）2+ （5060） 2+（6060）2200请你求
23、出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定 解：（1）a（80+40+70+50+60）（70+50+70+70）40， 甲同学成绩的极差为 804040， 故答案为：40，40； （2）乙同学的成绩平均数为（70+50+70+40+70）60， 方差S乙 2 （7060） 2+（5060）2+（7060）2+（4060）2+（7060）2160； （3）因为甲乙两位同学的平均数相同，S甲 2S 乙 2， 所以乙同学的成绩更稳定 20（7 分）如图，AB、CD都是O的弦，且ABCD，求证： 【解答】证明：作半径OEAB交圆于E点 ABCD， OE
24、CD， ， 即： 21 （8 分）甲、乙两名同学参加 1000 米比赛，由于参赛选手较多，将选手随机分A，B，C三组进行比赛 （1）甲同学恰好在A组的概率是 ； （2）求甲、乙两人至少有一人在B组的概率 解：（1）因为共有A、B、C三组，而甲同学在A组的只有 1 种结果， 所以甲同学恰好在A组的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 可得一共有 9 种可能，甲、乙两人至少有一人在B组的有 5 种， 所以甲、乙两人至少有一人在B组的概率为 22（8 分）如图，有长为 24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m）围成中间隔有一道篱笆的 长方形花圃，如果要围成面积为 45m 2的花圃
25、，求 AB的长度 解：设AB长为xm，则BC长为（243x）m 依题意得：x（243x）45， 整理得：x 28x+150， 解得：x13，x25 当x3 时，BC2491510 不成立， 当x5 时，BC2415910 成立 答：AB的长为 5m 23（8 分）某年级共有 300 名学生为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取 60 名学 生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部 分信息 aA课程成绩的频数分布直方图如下 （数据分成 6 组：40 x50，50 x60，60 x70， 70 x80， 80 x90，90 x100）
26、： bA课程成绩在 70 x80 这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5 cA，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为 76 分，B课程成绩为 71 分，这名学生成绩排名更靠前的课 程是 B （填“A”或“B”），理由是 该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数 ， （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过 75.8 分的
27、人数 解：（1）A课程总人数为 2+6+12+14+18+860， 中位数为第 30、31 个数据的平均数，而第 30、31 个数据均在 70 x80 这一组， 中位数在 70 x80 这一组， 70 x80 这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5， A课程的中位数为78.75，即m78.75； （2）该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数， 这名学生成绩排名更靠前的课程是B， 故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数 （3）估计A课程成绩超过 75.8 分的人数为 300180 人 2
28、4（7 分）已知二次函数y（x1）（xm）（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当m的值变化时，该函数图象的顶点在下列哪个函数的图象上？ D Ayx1 Byx1 Cy（x+1） 2 Dy（x1）2 【解答】（1）证明：当y0 时，（x1）（xm）0 解得x11，x2m 当m1 时，方程有两个相等的实数根； 当m1 时，方程有两个不相等的实数根 所以，不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点 （2）由二次函数y（x1） （xm）（x） 2+m 得到该抛物线的顶点坐标是（， m）， 而点（，m）满足y（x1） 2，不满足 yx1，yx1，y（x+1） 2，
29、 点（，m）在函数y（x1） 2上 故答案是：D 25（8 分）如图，EBF中，B90，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与 EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形 （1）求证：EF为O的切线； （2）已知O的半径为 1，求图中阴影部分的面积 【解答】（1）证明：连接OD，如图所示： 四边形AOCD为平行四边形， OADC，OCAD， OAOCOD， OAODAD，DCOCOD， OAD、OCD都是等边三角形， AODCOD60， BOC180AODCOD60， 在OBF和ODF中， ， OBFODF（SAS）， OBFODF， OBF
30、90， ODF90， EFOD 点D在O上， EF为O的切线； （2）解：在 RtODE中，AOD60， FEB30， OD1， OE2，DEOD， SEODODDE1，S扇形AOD， 图中阴影部分的面积SEODS扇形AOD 26（9 分）平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线yax 2+bx+1 恰好经 过A，B，C中的两点 （1）求a，b的值； （2）平移抛物线yax 2+bx+1，使其顶点在直线 yx+1 上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m 平移后抛物线的函数关系式为 y（xm） 2+m+1 ； 求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值 解：（1）B、C
31、两点的横坐标相同， 抛物线yax 2+bx+1 只能经过 A，C两点或A、B两点， 把A（1，2），C（2，1），代入yax 2+bx+1 得 解得，； 把A（1，2），B（2，3），代入yax 2+bx+1 得 解得，（不合题意，舍去）； a1，b2； （2）根据题意，得y（ xm） 2+m+1； 故答案是：y（ xm） 2+m+1； 令x0，得ym 2+m+1（m ） 2+ 当m时，平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 27（10 分）（1）如图，AB是O的直径，C、D在O上，且BCBD，ADCD求证：ADC2BDC （2）如图，AB是O的直径，点C在O上若平面内的点D满足ADCD，且
32、ADC2BDC 利用直尺和圆规在图中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）； 若AB4，BC长度为m（0m4），则平面内满足条件的点D的个数随着m的值变化而变化请直接 写出满足条件点D的个数及对应m的取值范围 解：（1）连接AC， BDBC， ， 又AB是直径， AB垂直平分CD， ACAD， CDAD， ACD是等边三角形， ADC60DAC， AB垂直平分CD， BACBAD30BDC， ADC2BDC； （2）如图，以B为圆心，BC长为半径作B，B与AC的垂直平分线的交点为D，D； 当B与AC的垂直平分线只有一个交点时，即点D的个数为 1， AC2BC， AB 2AC2+BC2， 165m 2， m， 0m4， 当 0m时，点D的个数为 0； 当m时，点D的个数为 1； 当m4 时，点D的个数为 2