1、提分专练提分专练( (五五) ) 以全等三角形为背景的中档计算与证明以全等三角形为背景的中档计算与证明 |类型 1| 全等三角形与等腰三角形结合 1.2018 镇江 如图 T5-1,ABC 中,AB=AC,点 E,F 在边 BC 上,BE=CF,点 D 在 AF 的延长线上,AD=AC. (1)求证:ABEACF; (2)若BAE=30 ,则ADC= . 图 T5-1 2.2017 苏州 如图 T5-2,A=B,AE=BE,点 D 在 AC 边上,1=2,AE 和 BD 相交于点 O. (1)求证:AECBED; (2)若1=42 ,求BDE 的度数. 图 T5-2 3.2018 嘉兴 已知:
2、在ABC 中,AB=AC,D 为 AC 的中点,DEAB,DFBC,垂足分别为点 E,F,且 DE=DF. 求证:ABC 是等边三角形. 图 T5-3 4.如图 T5-4,ACB 和DCE 均为等腰三角形,点 A,D,E 在同一直线上,连接 BE.若CAB=CBA=CDE=CED=50 . (1)求证:AD=BE; (2)求AEB 的度数. 图 T5-4 |类型 2| 全等三角形与直角三角形结合 5.如图 T5-5,在ABC 中,C=90 ,AD 平分CAB,交 CB 于点 D,过点 D 作 DEAB 于点 E. (1)求证:ACDAED; (2)若B=30 ,CD=1,求 BD 的长. 图
3、T5-5 |类型 3| 全等三角形与等腰直角三角形结合 6.已知:如图 T5-6,ACB 和ECD 都是等腰直角三角形,ACB=ECD=90 ,D 为 AB 边上一点. (1)求证:ACEBCD; (2)求证:2CD2=AD2+DB2. 图 T5-6 7.如图 T5-7,在ABC 和BCD 中,BAC=BCD=90 ,AB=AC,CB=CD.延长 CA 至点 E,使 AE=AC;延长 CB 至点 F,使 BF=BC.连接 AD,AF,DF,EF,延长 DB 交 EF 于点 N. (1)求证:AD=AF; (2)求证:BD=EF. 图 T5-7 8.问题:如图 T5-8,在 RtABC 中,BA
4、C=90 ,AB=AC,D 为 BC 边上一点(不与点 B,C 重合),将线段 AD 绕点 A 逆时针旋 转 90 得到 AE,连接 EC,则线段 BC,DC,EC 之间满足的等量关系式为 . 探索:如图 T5-8,在 RtABC 与 RtADE 中,AB=AC,AD=AE,将ADE 绕点 A 旋转,使点 D 落在 BC 边上,试探索线段 AD,BD,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论. 应用:如图 T5-8,在四边形 ABCD 中,ABC=ACB=ADC=45 .若 BD=9,CD=3,求 AD 的长. 图 T5-8 参考答案参考答案 1.解:(1)证明:AB=AC, B=ACF. 在
5、ABE 和ACF 中, = , = , = , ABEACF. (2)75. 2.解析 (1)用 ASA 证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出 EC=ED,C=BDE,再利用等腰三角形的性质:等 边对等角,即可求出C 的度数,进而得到BDE 的度数. 解:(1)证明:AE 和 BD 相交于点 O, AOD=BOE. 又在AOD 和BOE 中,A=B, BEO=2. 又1=2, 1=BEO, AEC=BED. 在AEC 和BED 中, = , = , = , AECBED(ASA). (2)AECBED, EC=ED,C=BDE. 在EDC 中, EC=ED,1=42 , C=EDC
6、=69 , BDE=C=69 . 3.证明:AB=AC, B=C. DEAB,DFBC, DEA=DFC=90 . D 为 AC 的中点, DA=DC. 又DE=DF, RtADERtCDF(HL). A=C. A=B=C. ABC 是等边三角形. 4.解:(1)证明:CAB=CBA=CDE=CED=50 , ACB=DCE=180 -250 =80 , AC=BC,DC=EC. ACB=ACD+DCB,DCE=DCB+BCE, ACD=BCE. 在ACD 和BCE 中, = , = , = , ACDBCE(SAS), AD=BE. (2)ACDBCE, ADC=BEC. 点 A,D,E 在
7、同一直线上,且CDE=50 , ADC=180 -CDE=130 , BEC=130 . BEC=CED+AEB,且CED=50 , AEB=BEC-CED=130 -50 =80 . 5.解:(1)证明:AD 平分CAB, CAD=EAD. DEAB,C=90 , ACD=AED=90 . 又AD=AD, ACDAED. (2)ACDAED, DE=CD=1. B=30 ,DEB=90 , BD=2DE=2. 6.证明:(1)ABC 和ECD 都是等腰直角三角形, ACB=ECD=90 , AC=BC,CD=CE, ACB=DCE=90 , ACE+ACD=BCD+ACD, ACE=BCD,
8、 在ACE 和BCD 中, = , = , = , ACEBCD(SAS). (2)ACB 是等腰直角三角形, B=BAC=45 . ACEBCD, B=CAE=45 . DAE=CAE+BAC=45 +45 =90 , AD2+AE2=DE2. 由(1)知 AE=DB, AD2+DB2=DE2, 又 DE2=2CD2, 2CD2=AD2+DB2. 7.证明:(1)AB=AC,BAC=90 , ABC=ACB=45 ,ABF=135 , BCD=90 , ACD=135 . ABF=ACD, CB=CD,CB=BF,BF=CD, 在ABF 和ACD 中, = , = , = , ABFACD(
9、SAS),AD=AF. (2)由(1)知,AF=AD,ABFACD, FAB=DAC, BAC=90 , EAB=BAC=90 , EAF=BAD, 在AEF 和ABD 中, = , = , = , AEFABD(SAS), BD=EF. 8.解:问题:BC=EC+DC. ABC 为等腰直角三角形, BAC=90 . 又ADAE, EAD=90 . EAD-CAD=BAC-CAD. BAD=CAE. 又AB=AC,AE=AD, ABDACE. BD=CE,BC=EC+DC. 探索:线段 AD,BD,CD 之间满足的关系是 BD2+CD2=2AD2. 证明:如图,连接 CE. BAC=BAD+D
10、AC=90 , AB=AC, ABC=ACB=45 . DAE=CAE+DAC=90 , BAD=CAE. 在BAD 和CAE 中, = , = , = , BADCAE. BD=CE,ACE=ABC=45 . BCE=ACB+ACE=90 . BDCE. EAD=90 ,AE=AD,ED=2AD. 在 RtECD 中,ED2=CE2+CD2, BD2+CD2=2AD2. 应用:如图,作 AEAD 于点 A,交 DC 的延长线于点 E,连接 BE. ABC=ACB=ADC=45 ,EAD=90 , BAC=90 ,AB=AC,AE=AD. ED=2AD. 由“探索”的证明可知,BE=CD,BECD. 在 RtBED 中,BD2=BE2+DE2. 2AD2=BD2-CD2. BD=9,CD=3,2AD2=92-32=72. AD=6(负值舍去).