1、提分专练提分专练( (六六) ) 以矩形、菱形、正方形为背景以矩形、菱形、正方形为背景 的中档计算与证明的中档计算与证明 |类型 1| 以矩形为背景的问题 1.2018 连云港 如图 T6-1,矩形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,延长 CE,BA 交于点 F,连接 AC,DF. (1)求证:四边形 ACDF 是平行四边形; (2)当 CF 平分BCD 时,写出 BC 与 CD 的数量关系,并说明理由. 图 T6-1 2.2018 通辽 如图T6-2,ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD, 连接 CF. (1)求证:AEFDEB;
2、 (2)若 AB=AC,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论. 图 T6-2 3.已知:如图 T6-3,在ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,AEBC,CEAE,垂足为 E. 图 T6-3 (1)求证:ABDCAE; (2)连接 DE,线段 DE 与 AB 之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论. |类型 2| 以菱形为背景的问题 4.2017 北京 如图 T6-4,在四边形 ABCD 中,BD 为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90 ,E 为 AD 的中点,连接 BE. 图 T6-4 (1)求证:四边形 BCDE 为菱形; (2)连接 AC,若 AC
3、 平分BAD,BC=1,求 AC 的长. 5.2018 南宁 如图 T6-5,在ABCD 中,AEBC,AFCD,垂足分别为 E,F,且 BE=DF. 图 T6-5 (1)求证:ABCD 是菱形; (2)若 AB=5,AC=6,求ABCD 的面积. |类型 3| 以正方形为背景的问题 6.2018 盐城 在正方形 ABCD 中,对角线 BD 所在的直线上有两点 E,F,满足 BE=DF,连接 AE,AF,CE,CF,如图 T6-6 所示. 图 T6-6 (1)求证:ABEADF; (2)试判断四边形 AECF 的形状,并说明理由. 7.2018 遵义 如图T6-7,正方形ABCD 的对角线交于
4、点O,点E,F 分别在AB,BC上(AEBE),且EOF=90 ,OE,DA的延长 线交于点 M,OF,AB 的延长线交于点 N,连接 MN. (1)求证:OM=ON; (2)若正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 OM 的中点,求 MN 的长. 图 T6-7 8.2018 北京 如图 T6-8,在正方形 ABCD 中,E 是边 AB 上的一个动点(不与点 A,B 重合),连接 DE,点 A 关于直线 DE 的对 称点为 F,连接 EF 并延长交 BC 于点 G,连接 DG,过点 E 作 EHDE 交 DG 的延长线于点 H,连接 BH. 图 T6-8 (1)求证:GF=GC; (2)用等式
5、表示线段 BH 与 AE 的数量关系,并证明. 参考答案参考答案 1.解:(1)证明:四边形 ABCD 是矩形, ABCD,FAE=CDE, E 是 AD 的中点,AE=DE, 又FEA=CED,FAECDE,CD=FA, 又CDAF, 四边形 ACDF 是平行四边形. (2)BC=2CD.理由: CF 平分BCD,DCE=45 , CDE=90 , CDE 是等腰直角三角形, CD=DE, E 是 AD 的中点,AD=2CD, AD=BC,BC=2CD. 2.解:(1)证明:E 是 AD 的中点,AE=DE, 又AFBC,AFE=DBE,EAF=EDB, AEFDEB. (2)四边形 ADC
6、F 是矩形. 证明:AFCD,AF=CD, 四边形 ADCF 是平行四边形. AEFDEB,AF=BD, BD=CD,即 AD 是ABC 的中线, 又AB=AC,ADBC, ADC=90 . 四边形 ADCF 是矩形. 3.解:(1)证明:AB=AC,AD 是 BC 边上的中线, ADBC,BD=CD. AEBC,CEAE, DCE=90 , 四边形 ADCE 是矩形, AD=CE. 在 RtABD 与 RtCAE 中, = , = , RtABDRtCAE. (2)DEAB,DE=AB.证明如下: 如图所示, 由(1)知四边形 ADCE 是矩形, AE=CD=BD,又 AEBD, 四边形 A
7、BDE 是平行四边形, DEAB,DE=AB. 4.解:(1)证明:E 为 AD 的中点,AD=2BC, BC=ED, ADBC,四边形 BCDE 是平行四边形, ABD=90 ,AE=DE, BE=ED,四边形 BCDE 是菱形. (2)ADBC,AC 平分BAD, BAC=DAC=BCA, BA=BC=1, AD=2BC=2,sinADB=1 2, ADB=30 ,DAC=1 2BAD=30 ,ADC=2ADB=60 . ACD=90 . 在 RtACD 中,AD=2,CD=1,AC=3. 5.解:(1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ABC=ADC. AEBC,AFDC, AEB
8、=AFD=90 , 又BE=DF, AEBAFD(ASA). AB=AD,四边形 ABCD 是菱形. (2)如图,连接 BD 交 AC 于点 O. 由(1)知四边形 ABCD 是菱形,AC=6, ACBD,AO=OC=1 2AC= 1 26=3, AB=5,AO=3, 在 RtAOB 中,BO=2-2=52-32=4, BD=2BO=8,SABCD=1 2AC BD= 1 268=24. 6.解:(1)证明:四边形 ABCD 是正方形, ABD=45 ,ADB=45 ,AB=AD. ABE=ADF=135 . 又BE=DF,ABEADF(SAS). (2)四边形 AECF 是菱形. 理由:连接
9、 AC 交 BD 于点 O,图略. 则 ACBD,OA=OC,OB=OD. 又BE=DF,OE=OF, 四边形 AECF 是菱形. 7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=1 2AC,OB=OD= 1 2BD,所以OA=OB=OD,因为ACBD,所以AOB=AOD=90 , 所以OAD=OBA=45 ,所以OAM=OBN,又因为EOF=90 ,所以AOM=BON,所以AOMBON,所以 OM=ON. (2)如图,过点O作OPAB于P,所以OPA=90 ,OPA=MAE,因为E为OM中点,所以OE=ME,又因为AEM=PEO, 所以AEMPEO,所以 AE=EP,因为 OA=OB
10、,OPAB,所以 AP=BP=1 2AB=2,所以 EP=1.RtOPB 中,OBP=45 ,所以 OP=PB=2,RtOEP 中,OE=2+ 2=5,所以 OM=2OE=25,RtOMN 中,OM=ON,所以 MN=2OM=210. 8.解:(1)证明:连接 DF,如图: 点 A 关于直线 DE 的对称点为 F, DA=DF,DFE=A=90 . DFG=90 . 四边形 ABCD 是正方形, DC=DA=DF,C=DFG=90 . 又DG=DG, RtDGFRtDGC(HL). GF=GC. (2)如图,在 AD 上取点 P,使 AP=AE,连接 PE,则 BE=DP. 由(1)可知1=2,3=4,从而由ADC=90 ,得 22+23=90 , EDH=45 . 又EHDE, DEH 是等腰直角三角形. DE=EH. 1+AED=5+AED=90 , 1=5. DPEEBH(SAS). PE=BH. PAE 是等腰直角三角形,从而 PE=2AE. BH=2AE.