1、提分专练提分专练( (八八) ) 以圆为背景的综合计算与证明以圆为背景的综合计算与证明 |类型 1| 圆与切线有关的问题 1.如图 T8-1,O 的直径为 AB,点 C 在圆周上(异于 A,B),ADCD. 图 T8-1 (1)若 BC=3,AB=5,求 AC 的值; (2)若 AC 是DAB 的平分线,求证:直线 CD 是O 的切线. 2.2018 金华、丽水 如图 T8-2,在 RtABC 中,点 O 在斜边 AB 上,以 O 为圆心,OB 为半径作圆,分别与 BC,AB 相交于点 D,E,连接 AD.已知CAD=B. 图 T8-2 (1)求证:AD 是O 的切线; (2)若 BC=8,t
2、anB=1 2,求O 的半径. |类型 2| 圆与平行四边形结合的问题 3.如图 T8-3,AB 是O 的直径,点 C,D 为半圆 O 的三等分点,过点 C 作 CEAD,交 AD 的延长线于点 E. 图 T8-3 (1)求证:CE 为O 的切线; (2)判断四边形 AOCD 是否为菱形?并说明理由. 4.2018 河南 如图 T8-4,AB 是O 的直径,DOAB 于点 O,连接 DA 交O 于点 C,过点 C 作O 的切线交 DO 于点 E, 连接 BC 交 DO 于点 F. 图 T8-4 (1)求证:CE=EF; (2)连接 AF 并延长,交O 于点 G.填空: 当D 的度数为 时,四边
3、形 ECFG 为菱形; 当D 的度数为 时,四边形 ECOG 为正方形. |类型 3| 圆与三角函数结合的问题 5.2018 绵阳 如图 T8-5,AB 是O 的直径,点 D 在O 上(点 D 不与 A,B 重合).直线 AD 交过点 B 的切线于点 C,过点 D 作O 的切线 DE 交 BC 于点 E. 图 T8-5 (1)求证:BE=CE; (2)若 DEAB,求 sinACO 的值. 6.2018 成都 如图 T8-6,在 RtABC 中,C=90 ,AD 平分BAC 交 BC 于点 D,O 为 AB 上一点,经过点 A,D 的O 分别交 AB,AC 于点 E,F,连接 OF 交 AD
4、于点 G. 图 T8-6 (1)求证:BC 是O 的切线; (2)设 AB=x,AF=y,试用含 x,y 的代数式表示线段 AD 的长; (3)若 BE=8,sinB= 5 13,求 DG 的长. |类型 4| 圆与相似三角形结合的问题 7.2018 日照 如图T8-7所示,O的半径为4,点A是O上一点,直线l经过点A.P是O上的一个动点(不与点A重合), 过点 P 作 PBl 于点 B,交O 于点 E,直径 PD 延长线交直线 l 于点 F,点 A 是 的中点. 图 T8-7 (1)求证:直线 l 是O 的切线; (2)若 PA=6,求 PB 的长. 8.2018 内江 如图 T8-8,以
5、RtABC 的直角边 AB 为直径作O 交斜边 AC 于点 D,过圆心 O 作 OEAC,交 BC 于点 E, 连接 DE. 图 T8-8 (1)判断 DE 与O 的位置关系并说明理由; (2)求证:2DE2=CD OE; (3)若 tanC=4 3,DE= 5 2,求 AD 的长. 参考答案参考答案 1.解:(1)AB 是O 的直径,C 在O 上, ACB=90 , 又BC=3,AB=5, 由勾股定理得 AC=4. (2)证明:如图,连接 OC, AC 是DAB 的平分线, DAC=BAC. 又ADDC, ADC=ACB=90 , DCA=CBA. 又OA=OC, OAC=OCA. OAC+
6、OBC=90 , OCA+ACD=OCD=90 , DC 是O 的切线. 2.解:(1)证明:连接 OD. OB=OD,3=B. B=1,3=1. 在 RtACD 中,1+2=90 , 3+2=90 , 4=180 -(2+3)=180 -90 =90 . ODAD. AD 是O 的切线. (2)设O 的半径为 r. 在 RtABC 中,AC=BC tanB=8 1 2=4, AB=2+ 2=42+ 82=45. OA=45-r. 在 RtACD 中,tan1=tanB=1 2, CD=AC tan1=4 1 2=2, AD2=AC2+CD2=42+22=20. 在 RtADO 中,OA2=O
7、D2+AD2, (45-r)2=r2+20. 解得 r=3 2 5. 故O 的半径是3 2 5. 3.解:(1)证明:如图,连接 OD, 点 C,D 为半圆 O 的三等分点, AOD=COD=COB=60 . OA=OD, AOD 为等边三角形, DAO=60 , AEOC. CEAD, CEOC, CE 为O 的切线. (2)四边形 AOCD 为菱形. 理由:OD=OC,COD=60 , OCD 为等边三角形, CD=CO. 同理:AD=AO. AO=CO, AD=AO=CO=DC, 四边形 AOCD 为菱形. 4.解:(1)证明:连接 OC. CE 是O 的切线,OCCE. FCO+ECF
8、=90 . DOAB,B+BFO=90 . CFE=BFO, B+CFE=90 . OC=OB,FCO=B. ECF=CFE. CE=EF. (2)AB 是O 的直径,ACB=90 . DCF=90 . DCE+ECF=90 ,D+EFC=90 . 由(1)得ECF=CFE, D=DCE. ED=EC. ED=EC=EF. 即点 E 为线段 DF 中点. 四边形 ECFG 为菱形时,CF=CE. CE=EF,CE=CF=EF. CEF 为等边三角形. CFE=60 . D=30 . 四边形 ECOG 为正方形时,ECO 为等腰直角三角形. CEF=45 . CEF=D+DCE, D=DCE=2
9、2.5 . 5.解:(1)证明:连接 OD,如图, EB,ED 为O 的切线, EB=ED,ODDE,ABCB, ADO+CDE=90 ,A+ACB=90 , OA=OD,A=ADO, CDE=ACB,EC=ED, BE=CE. (2)作 OHAD 于 H,如图,设O 的半径为 r, DEAB, DOB=ODE=90 , 四边形 OBED 为矩形, 而 OB=OD, 四边形 OBED 为正方形, DE=CE=r, 易得AOD 和CDE 都为等腰直角三角形, OH=DH= 2 2 r,CD=2r, 在 RtOCB 中,OC=(2)2+ 2=5r, 在 RtOCH 中,sinOCH= = 2 2
10、5 = 10 10 , 即 sinACO 的值为 10 10 . 6.解析 (1)连接 OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到DAC=ODA,得 ODAC,切线得证;(2)连接 EF,DF,根据 直径所对圆周角为直角,证明AFE=90 ,可得 EFBC,因此B=AEF,再利用同弧所对圆周角相等可得B=ADF,从 而证明ABDADF,可得 AD 与 AB,AF 的关系;(3)根据AEF=B,利用三角函数,分别在 RtDOB 和 RtAFE 中求出 半径和 AF,代入(2)的结论中,求出 AD,再利用两角对应相等,证明OGDFGA,再利用对应边成比例,求出 DGAG 的 值,即可求得 DG 的长
11、. 解:(1)证明:连接 OD, OA=OD, OAD=ODA, AD 平分BAC, OAD=DAC, DAC=ODA, ODAC, ODB=C=90 ,ODBC. OD 为O 的半径,BC 是O 的切线. (2)连接 EF,DF.AE 为O 直径, AFE=90 ,AFE=C=90 , EFBC,B=AEF. ADF=AEF,B=ADF. 又OAD=DAC,ABDADF, = ,AD 2=AB AF, AD=. (3)设O 半径为 r, 在 RtDOB 中,sinB= = 5 13, :8= 5 13,解得 r=5,AE=10. 在 RtAFE 中,sinAEF=sinB= , AF=105
12、 13= 50 13, AD=18 50 13= 3013 13 . ODA=DAC,DGO=AGF, OGDFGA, = = 13 10, -= 13 10, DG=30 2313. 7.解:(1)证明:连接 OA. OA=OP,OAP=OPA. 点 A 是 的中点, =, DPA=APB, OAP=APB. PBl,ABP=90 , PAB+APB=90 , PAB+OAP=90 ,即 OAl, 直线 l 是O 的切线. (2)连接 AD, PD 是直径, PAD=90 , PAD=PBA. DPA=APB, PADPBA, = ,即 8 6= 6 ,PB= 9 2. 8.解:(1)DE
13、与O 的位置关系是相切. 理由:连接 OD. OEAC,BOE=A,DOE=ADO, OA=OD,ADO=A, BOE=DOE, OB=OD,OE=OE,BOEDOE, OBE=ODE=90 , ODDE,DE 是O 的切线. (2)证明:连接 BD 交 OE 于 F. OEAC, = = . OA=OB, BF=DF,BE=CE, EF=1 2CD. AB 是O 的直径,ADB=90 , OEAC,OFB=ADB=90 , OBE=BFE, BEO=BEF,BEFOEB, = ,BE 2=EF OE=1 2CD OE. AB 为直径,ABBE, BE 是O 的切线,由(1)得 DE 也是O 的切线, BE=DE,DE2=1 2CD OE, 2DE2=CD OE. (3)由(2)得BDC=90 ,BE=CE,DE=1 2BC, DE=5 2,BC=5. 在 RtABC 中,tanC= = 4 3, AB=20 3 ,AC=2+ 2=25 3 . ABC=ADB=90 ,A=A, ADBABC, = ,AB 2=AD AC, AD= 20 3 225 3 =16 3 .