1、课时训练课时训练( (十四十四) ) 二次函数的图象及其性质二次函数的图象及其性质( (二二) ) (限时:40 分钟) |夯实基础| 1.抛物线 y=-3x2-x+4 与坐标轴的交点的个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.2017 宿迁 将抛物线 y=x2向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位,所得抛物线相应的函数表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-1 3.二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图 K14-1 所示,则下列结论中正确的是 ( ) 图 K14-1 A.a0 B.当-1x
2、0 C.c0 D.当 x1 时,y 随 x 的增大而增大 4.若二次函数 y=ax2+bx+c(a0 成立的 x 的取值范围是 ( ) A.x2 B.-4x2 C.x-4 或 x2 D.-4x2 5.2018 襄阳 已知二次函数 y=x2-x+1 4m-1 的图象与 x 轴有交点,则 m 的取值范围是 ( ) A.m5 B.m2 C.m2 6.2017 苏州 若二次函数 y=ax2+1 的图象经过点(-2,0),则关于 x 的方程 a(x-2)2+1=0 的实数根为 ( ) A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6 C.x1=3 2,x2= 5 2 D.x1=-4,x2=0 7.201
3、8 烟台 如图 K14-2,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(-1,0),B(3,0).下列结论:2a-b=0;(a+c)2b2; 当-1x3 时,y0;方程 ax2+bx+c=0 的两根是 x1=-1,x2=3;2a+b=0;当 x0 时,y 随 x 的增大而减小. 图 K14-4 13.2018 黄冈 已知直线 l:y=kx+1 与抛物线 y=x2-4x. (1)求证:直线 l 与该抛物线总有两个交点; (2)设直线 l 与该抛物线的两交点为 A,B,O 为原点,当 k=-2 时,求OAB 的面积. |拓展提升| 14.2018 乐山 已知关于 x 的一元二次方程
4、 mx2+(1-5m)x-5=0(m0). (1)求证:无论 m 为任何非零实数,此方程总有两个实数根; (2)若抛物线 y=mx2+(1-5m)x-5 与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,且|x1-x2|=6,求 m 的值; (3)若 m0,点 P(a,b)与 Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点 P,Q 不重合),求代数式 4a2-n2+8n 的值. 参考答案参考答案 1.A 解析 抛物线的解析式为 y=-3x2-x+4, 令 x=0,解得 y=4,抛物线与 y 轴的交点为(0,4). 令 y=0,得-3x2-x+4=0,即 3x2+x-4=0,解得 x1=-4 3,x
5、2=1. 抛物线与 x 轴的交点分别为(- 4 3,0),(1,0). 综上,抛物线与坐标轴的交点个数为 3, 故选 A. 2.C 解析 根据函数图象平移的规律“左加右减,上加下减”得 y=(x-2)2+1,故选 C. 3.B 4.D 解析 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线 x=-1, 二次函数的图象与 x 轴另一个交点为(-4,0), a0 成立的 x 的取值范围是-4x2. 5.A 解析 二次函数的图象与 x 轴有交点, =b2-4ac=(-1)2-4 1 4m-1 0,解得 m5. 故选 A. 6.A 解析 根据题意可得 4a+1=0,a=-
6、1 4,则- 1 4(x-2) 2+1=0,解一元二次方程得 x 1=0,x2=4. 7.D 解析 A(-1,0),B(3,0),对称轴是直线 x=- 2= -1+3 2 =1,2a+b=0,又a0,b0,错误,可以排除 A 选项; x=-1 时,y=a-b+c=0,a+c=b,(a+c)2=b2,错误,可以排除 B,C 选项;当-1x3 时,抛物线在 x 轴下方,y0,正确; 当 a=1 时,抛物线 y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4,将抛物线先向上平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位,得抛物线 y=(x-1-1)2-4+2=(x-2)2-2,正确;故选 D. 8
7、.D 解析 y=x2-2x+1=(x-1)2,该函数在实数范围内的最小值为 0,但题中说当 axa+1 时,函数 y=x2-2x+1 的最小值为 1, 因此,当 x=a 或 x=a+1 时,函数值为 1,令 y=1,可得 x1=0,x2=2,a+1=0 或 a=2,即 a=-1 或 2,故选 D. 9.y=x2+2 10.x1=-2,x2=1 解析 抛物线 y=ax2与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1,1), = 2, = + 的解为 1 = -2, 1= 4, 2 = 1, 2= 1.即方程 ax 2=bx+c 的解是 x 1=-2,x2=1. 11.k0,即
8、(-4)2-41k0.解得 k4. 12. 解析 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口下,a0. 对称轴 x=- 20,b0,abc0. 错误. 由二次函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为 3,对称轴为直线 x=1, 则另一个交点的横坐标为 21-3=-1, 方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1,x2=3. 正确. 对称轴为直线 x=- 2=1, 2a+b=0. 正确. 二次函数图象的开口向下,对称轴为直线 x=1, 当 0x1 时,y 随 x 的增大而减小. 错误. 故正确的有. 13.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,
9、其中=(4+k)2+40,所以该一元二次方程有两个不相等的实 数根,即直线 l 与抛物线总有两个交点. (2)如图,连接 AO,BO,联立两个函数,得 x2-4x=-2x+1,解得 x1=1-2,x2=1+2.设直线 l与 y 轴交于点 C,在一次函数 y=-2x+1 中,令 x=0,得 y=1,所以 C(0,1),OC=1. 所以 S ABO =S AOC +SBOC=1 2 OC |xA|+ 1 2 OC |xB|= 1 2 OC |xA-xB|= 1 2122=2. 14.解:(1)证明:由题意得:=(1-5m)2-4m(-5)=(5m+1)20, 无论 m 为任何非零实数,此方程总有两个实数根. (2)解方程 mx2+(1-5m)x-5=0, 得 x1=- 1 ,x2=5. 由|x1-x2|=6,得|- 1 -5|=6. 解得 m=1 或 m=- 1 11. (3)由(2)得,当 m0 时,m=1. 此时抛物线解析式为 y=x2-4x-5, 其对称轴为直线 x=2. 由题意知,P,Q 关于直线 x=2 对称. + 2 =2,2a=4-n. 4a2-n2+8n=(4-n)2-n2+8n=16.