1、课时训练课时训练( (二十六二十六) ) 正方形及中点四边形正方形及中点四边形 (限时:30 分钟) |夯实基础| 1.2017 广安 下列说法: 四边相等的四边形一定是菱形; 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形; 对角线相等的四边形一定是矩形; 经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分. 其中说法正确的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了 ( ) A.1 次 B.2 次 C.3 次 D.4 次 3.若顺次连接四边形 ABCD 四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形
2、ABCD 一定是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 4.2017 河北 如图 K26-1 是边长为 10 cm 的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标 的数据(单位:cm)不正确的是 ( ) 图 K26-1 图 K26-2 5.2017 黔东南州 如图 K26-3,正方形 ABCD 中,E 为 AB 中点,FEAB,AF=2AE,FC 交 BD 于点 O,则DOC 的度数为 ( ) 图 K26-3 A.60 B.67.5 C.75 D.54 6.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:AB=BC;
3、ABC=90 ;AC=BD;ACBD 中选 两个作为补充条件,使ABCD 成为正方形(如图 K26-4),现有下列四种选法,你认为错误的是 ( ) 图 K26-4 A. B. C. D. 7.2017 黄冈 已知:如图 K26-5,在正方形 ABCD 的外侧,作等边三角形 ADE,则BED= 度. 图 K26-5 8.2017 大庆 如图 K26-6,点 M,N 在半圆的直径 AB 上,点 P,Q 在 上,四边形 MNPQ 为正方形.若半圆的半径为5,则正 方形的边长为 . 图 K26-6 9.2018 深圳 如图 K26-7,四边形 ACDF 是正方形,CEA 和ABF 都是直角且E,A,B
4、三点共线,AB=4,则阴影部分的面积 是 . 图 K26-7 10.2018 武汉 以正方形 ABCD 的边 AD 为边作等边三角形 ADE,则BEC 的度数是 . 11.2017 义乌 如图 K26-8 为某城市部分街道示意图,四边形 ABCD 为正方形,点 G 在对角线 BD 上,GECD,GF BC,AD=1500 m,小敏行走的路线为 BAGE,小聪行走的路线为 BADEF,若小敏行走的路程为 3100 m,则小 聪行走的路程为 m. 图 K26-8 12.2018 舟山 如图 K26-9,等边三角形 AEF 的顶点 E,F 在矩形 ABCD 的边 BC,CD 上,且CEF=45 .
5、求证:矩形 ABCD 是正方形. 图 K26-9 13.如图 K26-10,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是 BC 边的中点,AEF=90 ,且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F. 求证:AE=EF. 图 K26-10 |拓展提升| 14.2018 烟台 【问题解决】 一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图 K26-11,点 P 是正方形 ABCD 内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出APB 的度数吗? 小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路: 思路一:将PBC 绕点 B 逆时针旋转 90 ,得到BPA,连接 PP,求出APB 的度数; 思路二:将APB 绕点
6、B 顺时针旋转 90 ,得到CPB,连接 PP,求出APB 的度数. 请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程. 【类比探究】 如图,若点 P 是正方形 ABCD 外一点,PA=3,PB=1,PC=11,求APB 的度数. 图 K26-11 参考答案参考答案 1.C 解析 正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边 都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故错误;对角线相等的平行四边形是矩形,对角线相等的四边形不一定是矩形,故 错误;正确.综上所述,正确的说法有 2 个.故选 C. 2.B 3.D 解析 如图,四边形 EFGH 是矩形,且 E,
7、F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点, 根据三角形中位线定理得:EHFGBD,EFACHG. 四边形 EFGH 是矩形,即 EFFG, ACBD. 4.A 解析 选项 A 不正确.理由:正方形的边长为 10,所以对角线=10214,因为 1514,所以这个图形不可能存在.故选 A. 5.A 解析 连接 BF,E 为 AB 中点,FEAB,EF 垂直平分 AB,AF=BF.AF=2AE, AF=AB,AF=BF=AB,ABF 为等边三角形,FBA=60 ,BF=BC,FCB=BFC=15 ,四边形 ABCD 为正方形, DBC=45 ,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得
8、DOC=15 +45 =60 . 6.B 解析 此题考查正方形的判定,即在平行四边形的基础上,需要再同时具备矩形和菱形的特征.是菱形的特征; 是矩形的特征;是矩形的特征,是菱形的特征.而 B 中都是矩形的特征.故选 B. 7.45 解析 由题意得,AB=AE,BAD=90 ,DAE=AED=60 ,所以BAE=150 ,AEB=15 .所以BED=AED- AEB=60 -15 =45 . 8.2 解析 连接 OP,设正方形的边长为 a(a0),则 ON= 2,PN=a,在 RtOPN 中,ON 2+PN2=OP2,即 2 2+a2=(5)2,解得 a=2. 9.8 解析 四边形ACDF是正方
9、形,AC=AF,CAF=90 ,CAE+BAF=90 ,又CAE+ECA=90 ,ECA= BAF,则在ACE 和FAB 中, = = 90, = , = , ACEFAB(AAS),AB=CE=4, 阴影部分的面积=1 2AB CE= 1 244=8. 10.30 或 150 解析 如图,ADE 是等边三角形, DE=DA,DEA=1=60 . 四边形 ABCD 是正方形,DC=DA,2=90 . CDE=150 ,DE=DC,3=1 2(180 -150 )=15 . 同理可求得4=15 . BEC=30 . 如图,ADE 是等边三角形,DE=DA,1=2=60 ,四边形 ABCD 是正方
10、形,DC=DA,CDA=90 . DE=DC,3=30 ,4=1 2(180 -30 )=75 . 同理可求得5=75 .BEC=360245=150 . 故答案为 30 或 150 . 11.4600 解析 连接 GC,由四边形 ABCD 为正方形可得ADGCDG,所以 GC=AG,由四边形 GECF 为矩形可得 GC=EF,所以 EF=AG,因为小敏行走的路线为 BAGE,所以 BA+AG+GE=3100 m.因为小聪行走的路线为 BADEF,所以 BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(m). 12.证明:四边形 ABCD 是矩形, B=D=C=
11、90 , AEF 是等边三角形, AE=AF,AEF=AFE=60 , CEF=45 , CFE=CEF=45 , AFD=AEB=180 -45 -60 =75 , ABEADF, AB=AD, 矩形 ABCD 是正方形. 13.证明:取 AB 的中点 H,连接 EH. AEF=90 , 2+AEB=90 , 四边形 ABCD 是正方形, 1+AEB=90 , 1=2, E 是 BC 的中点,H 是 AB 的中点, BH=BE,AH=CE, BHE=45 , CF 是DCG 的平分线, FCG=45 ,AHE=ECF=135 , 在AHE 和ECF 中, 1 = 2, = , = , AHE
12、ECF(ASA),AE=EF. 14.解析 将PBC绕点B逆时针旋转90 得到PBA,连接PP,得到等腰直角三角形BPP,从而得到PP=22,BPP=45 , 又 AP=CP=3,AP=1,AP2+PP2=1+8=9=PA2,根据勾股定理的逆定理得APP=90 ,从而求出APB=45 +90 =135 . 将PBC 绕点 B 逆时针旋转 90 ,得到PBA,连接 PP,方法和上述类似,求出APB=45 . 解:【问题解决】如图,将PBC 绕点 B 逆时针旋转 90 ,得到PBA,连接 PP. PB=PB=2,PBP=90 , PP=22,BPP=45 . 又 AP=CP=3,AP=1, AP2+PP2=1+8=9=PA2, APP=90 , APB=45 +90 =135 . 【类比探究】如图,将PBC 绕点 B 逆时针旋转 90 ,得到PBA,连接 PP. PB=PB=1, PBP=90 , PP=2,BPP=45 . 又 AP=CP=11,AP=3, AP2+PP2=9+2=11=PA2, APP=90 ,APB=90 -45 =45 .