1、课时训练课时训练( (二十七二十七) ) 圆的有关性质圆的有关性质 (限时:30 分钟) |夯实基础| 1.下列四个命题:直径所对的圆周角是直角;圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;在同圆中,相等的圆周角所对的 弦相等;三点确定一个圆.其中正确命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若O 的半径是 5,点 A 到圆心 O 的距离是 7,则点 A 与O 的位置关系是 ( ) A.点 A 在O 上 B.点 A 在O 内 C.点 A 在O 外 D.点 A 与圆心 O 重合 3.2017 永州 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图
2、K27-1 所示的玻璃镜残片的边缘描出了点 A,B,C,给出三角形 ABC,则这块玻璃镜的圆心是 ( ) 图 K27-1 A.AB,AC 边上的中线的交点 B.AB,AC 边上的垂直平分线的交点 C.AB,AC 边上的高所在直线的交点 D.BAC 与ABC 的角平分线的交点 4.2018 聊城 如图 K27-2,O 中,弦 BC 与半径 OA 相交于点 D,连接 AB,OC.若A=60 ,ADC=85 ,则C 的度数是 ( ) 图 K27-2 A.25 B.27.5 C.30 D.35 5.2018 邵阳 如图 K27-3 所示,四边形 ABCD 为O 的内接四边形,BCD=120 ,则BOD
3、 的大小是 ( ) 图 K27-3 A.80 B.120 C.100 D.90 6.2018 枣庄 如图 K27-4,AB 是O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 P,AP=2,BP=6,APC=30 ,则 CD 的长为 ( ) 图 K27-4 A.15 B.25 C.215 D.8 7.2017 大连 如图 K27-5,在O 中,弦 AB=8 cm,OCAB,垂足为 C,OC=3 cm,则O 的半径为 cm. 图 K27-5 8.如图K27-6,已知AB是O的弦,半径OC垂直于AB,点D是O 上一点,且点D与点C位于弦AB两侧,连接AD,CD,OB, 若BOC=68 ,则ADC= 度. 图
4、K27-6 9.2017 北京 如图 K27-7,AB 为O 的直径,C,D 为O 上的点, =,若CAB=40 ,则CAD= . 图 K27-7 10.2017 西宁 如图 K27-8,四边形 ABCD 内接于O,点 E 在 BC 的延长线上,若BOD=120 ,则DCE= . 图 K27-8 11.2018 黄冈 如图K27-9,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60 ,弦AD平分CAB,若AD=6,则AC= . 图 K27-9 12.2018 绥化 如图K27-10,一下水管道横截面为圆形,直径为100 cm,下雨前水面宽为60 cm,一场大雨过后,水面宽为80 cm,则水位上升了
5、 cm. 图 K27-10 13.如图 K27-11,已知ABC,以 AB 为直径的O 分别交 AC 于 D,BC 于 E,连接 ED,若 ED=EC. 图 K27-11 (1)求证:AB=AC; (2)若 AB=4,BC=23,求 CD 的长. 14.2017 苏州改编 如图 K27-12,已知ABC 内接于O,AB 是直径,点 D 在O 上,ODBC,过点 D 作 DEAB,垂足为 E,连接 CD 交 OE 于点 F. 图 K27-12 (1)求证:DOEABC; (2)求证:ODF=BDE. |拓展提升| 15.2018 湘潭 如图 K27-13,AB 是以 O 为圆心的半圆的直径,半径
6、 COAO,点 M 是 上的动点,且不与点 A,C,B 重合, 直线 AM 交直线 OC 于点 D,连接 OM 与 CM. (1)若半圆的半径为 10; 当AOM=60 时,求 DM 的长; 当 AM=12 时,求 DM 的长. (2)探究:在点 M 运动的过程中,DMC 的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 图 K27-13 参考答案参考答案 1.C 2.C 解析 O 的半径是 5,点 A 到圆心 O 的距离是 7,即点 A 到圆心 O 的距离大于圆的半径,点 A 在O 外. 3.B 解析 本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心,三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点,故
7、选 B. 4.D 解析 A=60 ,ADC=85 , B=ADC-A=85 -60 =25 , O=2B=225 =50 , C=ADC-O=85 -50 =35 . 5.B 解析 根据“圆内接四边形的对角互补”可得BCD+A=180 ,因为BCD=120 ,所以A=60 . 又根据“在同圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍”,所以BOD=2A=120 .故选 B. 6.C 解析 过点 O 作 OECD 于 E,连接 OC. AP=2,BP=6,AB=8,OA=OB=4,OP=2, APC=30 ,OE=1 2OP=1. 在 RtOCE 中,CE=2-2=15. OECD,O 是圆心,
8、CD=2CE=215. 故选 C. 7.5 解析 由于在O 中,弦 AB=8 cm,OCAB,所以 BC=1 2AB=4 cm.连接 OB,则 OB= 2+ 2=32+ 42=5(cm),故 答案为 5. 8.34 解析 如图,连接 OA. OCAB, =, AOC=COB=68 ,ADC=1 2AOC=34 . 9.25 解析 连接 BC,BD,AB 是O 的直径,C,D 为O 上的点,ACB=90 . CAB=40 ,CBA=50 . =, CBD=DBA=1 2CBA=25 , CAD=CBD=25 . 10.60 解析 BOD=120 ,BAD=60 , 又BAD+BCD=180 ,D
9、CE+BCD=180 ,DCE=BAD=60 . 11.23 解析 连接BD,因为CAB=60 ,弦AD平分CAB,所以DAB=30 ,因为AB是O的直径,所以C=D=90 , 所以 AB= cos30=43,因为C=90 ,CAB=60 ,所以ABC=30 ,所以 AC=AB sin30 =23. 12.10 或 70 解析 作 ODAB 于 C,OD 交O 于点 D,连接 OB, 由垂径定理得:BC=1 2AB=30 cm, 在 RtOBC 中,OC=2-2=40(cm), 当水位上升到圆心以下且水面宽 80 cm 时, 圆心到水面距离=502-402=30(cm), 水面上升的高度为:4
10、0-30=10(cm); 当水位上升到圆心以上且水面宽 80 cm 时,水面上升的高度为:40+30=70(cm), 综上可得,水面上升的高度为 10 cm 或 70 cm. 故答案为 10 或 70. 13.解:(1)证明:ED=EC,EDC=C. EDC=B,B=C,AB=AC. (2)连接 AE, AB 为直径,AEBC, 由(1)知 AB=AC, BE=CE=1 2BC=3. 四边形 ABED 为O 的内接四边形, CED=BAC. 又C=C, CEDCAB, = , CE CB=CD CA,AC=AB=4, 323=4CD,CD=3 2. 14.证明:(1)AB 是O 的直径,ACB
11、=90 . DEAB,DEO=90 ,DEO=ACB. ODBC,DOE=ABC, DOEABC. (2)DOEABC, ODE=A. A 和BDC 都是 所对的圆周角, A=BDC,ODE=BDC. ODF=BDE. 15.解析 (1)当AOM=60 时,D=30 ,AMO 为等边三角形,然后根据含有 30 角的直角三角形的性质得到 AD=2AO, 再结合AMO 为等边三角形求出 DM 的长;连接 BM,则可得AMB=90 ,根据两个角分别对应相等的三角形是相似三 角形得到AODAMB,从而得到 = ,求出 AD 的长,进而求出 DM 的长;(2)在图中,由于 AB 是直径,所以 AMB=9
12、0 ,所以DMC+CMB=90 ,然后根据 所对的圆心角与圆周角的关系得到CMB=1 2COB,从而得到DMC 的度数为 45 ,是一个定值;在图中,DMC=1 2AOC=45 ,从而得到DMC 的度数仍然是一个定值. 解:(1)当AOM=60 时, OM=OA, AMO 是等边三角形, A=MOA=60 ,AM=AO=10. COAO, D=30 , AD=2AO=20, DM=AD-AM=10. 连接 MB,AB 是直径, AMB=90 , COAO,AOD=90 ,A=A, ADOABM, = ,AO=10,AM=12, AD=50 3 ,DM=AD-AM=14 3 . (2)DMC 的大小是定值.当点 M 位于 之间时,连接 BM,如图: AB 是直径,AMB=90 , DMC+CMB=90 . CMB=1 2COB=45 , DMC=45 . 当点 M 位于 之间时,DMC=1 2AOC=45 . 综上所述,DMC=45 ,是定值.