1、 专题 03 一元一次方程 知识清单知识清单 1方程：含有未知数的等式叫做方程 2一元一次方程：只含有一个未知数（元） ，未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： 只含有一个未知数，未知数的次数为 1； 未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数 3方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解 4解方程：求方程的解的过程叫做解方程 5等式的性质： 等式的性质 1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等 6合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果
2、的系数，字母和字母的指数保持不变 7去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同 （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反 8. 解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数 （2）去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （3）移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边 （4）合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 ax=b(a0)的形式 （5）系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 b x a (a0
3、) （6）检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不 相等，则不是方程的解. 9. 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 行程问题：路程=速度 时间 和差倍分问题：增长量=原有量 增长率 利润问题：商品利润=商品售价商品进价 工程问题：工作量=工作效率 工作时间，各部分劳动量之和=总量 银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金 利率 期数 数字问题：多位数的表示方法：例如： 32 101010abcdabcd . 链接中考链接中考 考点一、一元一次方程的概念考点一、一元一次方程的概念 例例 1（2020 武汉模拟）下列各方程中，是一元一次方程的
4、是（ ） Ax2y=4 Bxy=4 C3y1=4 D 1 4 x4 【答案】C 【解析】各方程中，是一元一次方程的是 3y1=4，故选 C 考点二、解一元一次方程考点二、解一元一次方程 例例 2（2020 重庆）解一元一次方程 11 (1)1 23 xx 时，去分母正确的是（ ） A3（x+1）=1-2x B2（x+1）=1-3x C 2（x+1）=6-3x D3（x+1）=6-2x 【答案】D 【解析】方程两边都乘以 6，得 3（x+1）=6-2x， 故选 D 考点考点三三、列一元一次方程、列一元一次方程 例例 3（2020 张家界） 孙子算经中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共
5、车，九人步，问人 与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车；若每 2 人共乘一车，最终剩 余 9 个人无车可乘，问有共多少人，多少辆车？设共有 x 人，可列方程（ ） A 2 9 32 xx B 9 2 32 xx C 9 2 32 xx D 2 9 32 xx 【答案】B 【解析】依题意，得 9 2 32 xx ， 故选 B 考点考点四四、列方程、列方程解销售问题解销售问题 例例 4（2020 黔南州）某超市正在热销一种商品，其标价为每件 12 元，打 8 折销售后每件可获利 2 元，该商 品每件的进价为（ ） A7.4 元 B7.5 元 C7.6 元 D7
6、.7 元 【答案】C 【解析】设该商品每件的进价为 x 元, 依题意，得 120.8-x=2, 解得，x=7.6. 故选 C 考点考点五五、一元一次方程新型定义题、一元一次方程新型定义题 例例 5（2020 临沂模拟）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小 数0.7 为例进行说明：设0.7 =x，由0.7 =0.7777可知，10 x=7.7777，所以 10 xx=7，解方程，得 x= 7 9 ， 于是得0.7 = 7 9 将0.36 写成分数的形式是_ 【答案】 4 11 【解析】设0.36 =x，则36.36 =100 x，100 xx=36， 解得：x
7、= 4 11 故答案为： 4 11 考点考点六六、一元一次方程实际应用问题、一元一次方程实际应用问题 例例（2020 广州）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动 驾驶的终极目标某公交集团拟在今明两年共投资 9000 万元改装 260 辆无人驾驶出租车投放市场今年每 辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50% （1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； （2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆 【答案】（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是 25 万元； （2）明年改装的无人驾驶出租车是
8、160 辆 【解析】（1）50（1-50）=25（万元）， 故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是 25 万元； （2）明年改装的无人驾驶出租车是 x 辆，则今年每改装的无人驾驶出租车是（260-x） ，辆，依题意有 50（260-x）+25x=9000, 解得，x=160 故明年改装的无人驾驶出租车是 160 辆 达标检测达标检测 一、选择题一、选择题 1下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A 2 50 x B42xy C 1 6 2x Dx=0 【答案】D 【解析】只含有一个未知数，且未知数的次数都是 1 的整式方程叫做一元一次方程，根据定义可知， 四个选项中只有0 x是一元一次方程，
9、故本题应选 D 2.（2020 贵州黔东南模拟）如果 3ab2m 1 与 9abm+1是同类项，那么 m 等于（ ） A2 B1 C1 D0 【答案】A 【解析】根据题意，得：2m1m+1，解得 m2故选：A 3.某书中一道方程题： 2 1 3 x x ，处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解 是 2.5x，那么处应该是数字（ ） A-2.5 B2.5 C5 D7 【答案】C 【解析】把x=-2.5 代入方程，再把当作未知数解方程即可 4.一个两位数是 a，还有一个三位数是 b，如果把这个两位数放在这个三位数的前面，组成一个五位数，则 这个五位数的表示方法是（ ） A10a+b
10、 B100a+b C1000a+b Da+b 【答案】C 【解析】由题意得，该五位数可表示为 1000a+b，故选 C 5.（2020 金华）如图，在编写数学谜语题时；“”内要求填写同一个数字，若设“”内数字为 x则 列出方程正确的是（ ） A3 2x+5=2x B3 20 x+5=10 x 2 C3 20+x+5=20 x D3 （20+x）+5=10 x+2 【答案】D 【解析】设“”内数字为 x，根据题意可得； 3 （20+x）+5=10 x+2， 故选 D 6.（2020 南充期中）在解方程 123 1 23 xx 时，去分母正确的是（ ） A3（x1）2（2x+3）=6 B3（x1）
11、2（2x+3）=1 C2（x1）2（2x+3）=6 D3（x1）2（2x+3）=3 【答案】A 【解析】 1 2 x 23 3 x =1，两边都乘以各分母的最小公倍数 6，得 3(x1)2(2x3)=6.故选 A 7.（2020 盐城）把 19 这 9 个数填中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便 构成了一个“九宫格”它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”图是仅可以看到部分 数值的“九宫格”，则其中 x 的值为（ ） A1 B3 C4 D6 【答案】A 【解析】由题意，可得 8+x=2+7， 解得 x=1 故选 A 8.（2020 武汉模拟）程大位是我国
12、明朝商人，珠算发明家他 60 岁时完成的直指算法统宗是东方古代 数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中有如下问题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁 意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正好分完，大、小和 尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ） A. 大和尚 25 人，小和尚 75 人 B. 大和尚 75 人，小和尚 25 人 C. 大和尚 50 人，小和尚 50 人 D. 大、小和尚各 100 人 【答案】A 【解析】设大和尚有 x 人，则小和尚有（100 x）人， 根据题意得：3
13、x+100 3 =100， 解得 x=25， 则 100 x=10025=75（人） ， 所以，大和尚 25 人，小和尚 75 人， 故选 A 二、填空题二、填空题 9（2020 武汉江岸期中）已知方程2 3 + 1 = 0，用含的代数式表示为_. 【答案】31 2 【解析】2 3 + 1 = 0, 2 = 3 1, = 31 2 . 故答案为：31 2 . 10如果 3x=6 是关于x的一元一次方程，那么 a= ，方程的解x= 【答案】，-2 【解析】 3 521 5 aa ，362xx 11. （2020 孝感）有一列数，按一定的规律排成 1 3 ，-1，3，-9，27，-81，若其中三个
14、相邻数的和是 567，则这三个数中第一个数是 52a 3 5 【答案】-81 【解析】设这三个数中第一个数是 x，则另外两个数分别为-3x，9x 依题意，得：-3x9x=-567, 解得：x=-81, 故答案为：-81 12.（2020 铜仁）方程 2x+10=0 的解是_ 【答案】-5. 【解析】2x=-10，x=-5 故答案为：x=-5 13.（2020 黔东南一模）“代数式 9-x 的值比代数式 2 3 x-1 的值小 6”用方程表示为 【答案】 【解析】由题意可列式为 2 961 3 xx. 14当x= 时，代数式 与互为相反数. 【答案】 【解析】 322 0 23 xx ，解得：
15、13 8 x 15.（2020 株洲模拟） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行 一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之?”其意思为：速度快的人 走 100 步，速度慢的人只走 60 步，现速度慢的人先走 100 步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 步才能追到速度慢的人 【答案】250 【解析】设速度快的人走的时间为 x，根据题意可得，100 x=100+60 x,所以 x=2.5，所以速度快的人要走 =100 2.5 250步才能追到速度慢的人. 16.（2020 湘西模拟）若关于 x 的方程 3xkx+20 的解为 2
16、，则 k 的值为 【答案】4 【解析】关于 x 的方程 3xkx+20 的解为 2，3 22k+20，解得：k4 故答案为：4 17.（2020 牡丹江）“元旦”期间，某商店单价为 130 元的书包按八折出售可获利 30%，则该书包的进价是 2 9)61 3 xx（ 2 23x 3 2x 13 8 元 【答案】80 【解析】该书包的进价是为 x 元, 根据题意得，13080-x=30 x, 整理得，1.3x=104, 解得，x=80, 则书包的进价是为 80 元 故答案为：80 18（2020 岳阳模拟）我国古代的数学名著九章算术中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织 五尺问日织几何？”
17、其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺，问每日各织多少 布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺 【答案】 5 31 【解析】设该女子第一天织布 x 尺，根据题意得：x2x4x8x16x=5 解得： 5 31 x 所以，该女子第一天织布 5 31 尺. 三、解答题三、解答题 19解方程：（1） 0.1 0.20.7 1 0.30.4 xx ； （2）x 1 2 x 1 2 （x 1 2 ）=2 【答案】（1）x= 29 22 ；（2）x= 17 6 【解析】（1）方程整理得： 1 27 10 1 34 xx ， 去分母得：48x12=2130 x， 移项
18、合并得：22x=29， 解得：x= 29 22 ； （2）去括号得： 11 2 48 xx， 去分母得：8x2x1=16， 移项合并得：6x=17， 解得：x= 17 6 20.（2020 甘肃一模）已知代数式 11 21 3 y y 的值为 0，求代数式 3121 43 yy 的值 【解析】由题意，得 11 210 3 y y 去分母，得6 11 30yy 移项合并同类项，得7 14y 系数化为 1，得y=2 当y=2 时， 31213 2 12 2 11 43434 yy ， 即若代数式 11 21 3 y y 的值为 0，则代数式 3121 43 yy 的值为 1 4 21.（2020
19、杭州）以下是圆圆解方程 13 1 23 xx 的解答过程. 解：去分母，得 3（x+1）-2（x-3）=1 去括号，得 3x+1-2x+3=1 移项，合并同类项，得 x=-3 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程 【答案】圆圆的解答过程有错误,正确的解答过程见解析 【解析】圆圆的解答过程有错误, 正确的解答过程如下： 去分母，得 3（x+1）-2（x-3）=6 去括号，得 3x+3-2x+6=6 移项，合并同类项，得 x=-3 22.（2020 山西）2020 年 5 月份，省城太原开展了“活力太原乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电 消费券单笔交易满 600 元立减
20、128 元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高 50%后标价，若按 标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金 568 元求该电饭煲的进价 【答案】该电饭煲的进价为 580 元 【解析】该电饭煲的进价为 x 元，则标价为（1+50）x 元，售价为 80（1+50）x 元， 根据题意，得 80（1+50）x-128=568, 解得 x=580 答：该电饭煲的进价为 580 元 23.（2020 安徽）某超市有线上和线下两种销售方式与 2019 年 4 月份相比，该超市 2020 年 4 月份销售总额 增长 10%，其中线上销售额增长 43%，线下销售额增长 4%
21、（1）设 2019 年 4 月份的销售总额为 a 元，线上销售额为 x 元，请用含 a，x 的代数式表示 2020 年 4 月份的 线下线下销售额（直接在表格中填写结果）； 时间 销售总额（元） 线上销售额（元） 线下销售额（元） 2019 年 4 月份 a x a-x 2020 年 4 月份 1.1a 1.43x （2）求 2020 年 4 月份线上销售额与当月销售总额的比值 【答案】（1）该超市 2020 年 4 月份线下销售额为 1.04（a-x）元；（2）2020 年 4 月份线上销售额与当月 销售总额的比值为 0.2. 【解析】（1）与 2019 年 4 月份相比，该超市 2020
22、年 4 月份线下销售额增长 4%， 该超市 2020 年 4 月份线下销售额为 1.04（a-x）元. （2）依题意，得 1.1a=1.43x+1.04（a-x）， 解得：x= 2 13 a， 2 1.43 1.430.22 13 0.2 1.11.11.1 a xa aaa 答：2020 年 4 月份线上销售额与当月销售总额的比值为 0.2. 24.（2020 邵阳模拟）某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样 品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价 100 元，乒乓球每盒定价 25 元经洽谈后，甲店每买一副球 拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的 9 折优惠
23、该班需球拍 5 副，乒乓球若干盒（不少于 5 盒） 问： （1）当分别购买 20 盒、40 盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？ （2）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件 80 元的价格购进了某品牌衬衫 500 件，并以每件 120 元的价格销售了 400 件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售 请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标？ 【答案】（1）当购买 40 盒乒乓球时去乙商店购买合算； （2）当购买乒乓球 30 盒时，两种优惠办法付款一 样 【解析】（1）当
24、购买 20 盒时：甲商店所需费用 5 100+（205） 25=875（元） ，乙商店所需费用 5 100 0.9+20 25 0.9=900（元） 875900，当购买 20 盒乒乓球时去甲商店购买合算； 当 购 买 40 盒 时 ： 甲 商 店 所 需 费 用 5 100+ （ 40 5 ） 25=1375 （ 元 ） ， 乙 商 店 所 需 费 用 5 100 0.9+40 25 0.9=13500（元） 13751350， 当购买 40 盒乒乓球时去乙商店购买合算 （2）设当购买乒乓球 x 盒时，两种优惠办法付款一样 根据题意得：5 100+（x5） 25=5 100 0.9+x 25 0.9， 解得：x=30 答：当购买乒乓球 30 盒时，两种优惠办法付款一样