1、20202020- -20212021 学年人教版八年级上册期末复习精选题考点讲义学年人教版八年级上册期末复习精选题考点讲义 第十四章第十四章 整式的乘法和因式分解整式的乘法和因式分解 思维导图思维导图 新知讲练新知讲练 知识点知识点 1 1：幂的运算：幂的运算 1.1.同底数幂的乘法：同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，不变，指数相加相加. . 2.2.幂的乘方：幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，不变，指数相乘相乘. . 3.3.积的乘方：积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积积. . 4.4.同底数幂的除法：同底数幂的除法：(0, 为正整数，并
2、且). 同底数幂相除，底数不变，不变，指数相减相减. . 5.5.零指数幂：零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于 1.1.: 细节剖析细节剖析 公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式单项式，还可以表示多项式多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更 加方便、简洁. 知识点知识点 2 2：整式的乘法和除法：整式的乘法和除法 1.1.单项式乘以单项式单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数系数，相同字母分别相乘相乘，对于只在一个单项式里含有的字母字母，则连 同它的指数作为积的一个因式因式. . 2.2.单项式乘以多项式单项式乘以多项式 单 项 式 与 多 项 式 相 乘 ， 就 是
3、用 单 项 式 去 乘 多 项 式 的 每 一 项每 一 项 ， 再 把 所 得 的 积 相 加 . 即 (都是单项式). mn， mn， n amn，mn 0 10 .aa mcmbmacbam)(cbam, 3.3.多项式乘以多项式多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项每一项，再把所得的积相加相加.即 . 细节剖析细节剖析 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“” “”号是性质符号，单项式乘以多项式各 项的结果，要用“”连结，最后写成省略加号的代数和代数和的形式根据多项式的乘法，能得出一个应用比 较广泛的公式：. 4.4.单项式相除单项
4、式相除 把系数、相同字母的幂分别相除相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起 作为商的一个因式. 5.5.多项式除以单项式多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，单项式，再把所得的商相加相加. . 即： 知识点知识点 3 3：乘法公式：乘法公式 1.1.平方差公式：平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差平方差. . 细节剖析细节剖析 在这里，既可以是具体数字数字，也可以是单项式单项式或多项式多项式. . 平方差公式的典型特征：既有相同项相同项，又有“相反项相反项” ，而结果是“相同项相同项”的平方减去“相反项相反项”的平方. 2
5、. 2. 完全平方公式：完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）加上（减去）这两数乘积的两倍两倍. . 细节剖析细节剖析 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方平方，右边是二次三项式二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两 数之积的 2 2 倍倍. . 知识点知识点 4 4：因式分解：因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解因式分解，也叫做把这 个多项式分解因式分解因式. . abmnamanbm bn 2 xaxbxab xab ()ambmcmmammbmmcmmabc 22 ()()ab abab ab， 2 2
6、2 2abaabb 222 2)(bababa 因式分解的方法主要有: 提公因式法提公因式法, , 公式法公式法, , 分组分解法分组分解法, , 十字相乘法十字相乘法, , 添、拆项法等添、拆项法等. . 细节剖析细节剖析 落实好方法的综合运用： 首先提取公因式提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方平方或立方，立方，三项完全完全或十字；十字； 四项以上想分组，分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 考点典例分析考点典例分析 考点考点 1 1：单项式乘单项式单项式乘单项式 【例题【例题 1 1】 （2016 秋东城区期末）计算 223 ()a
7、 bab 的结果是 【解答】解： 223 ()a bab 2233 ()a ba b 5 ab 故答案为： 5 ab 【变式变式 1 1- -1 1】 （2020 春顺德区校级期末） 3 22 322 2 ( 2)( 4)( 2 ) ( 3)yyyy 【解答】解： 3 22 322 2 ( 2)( 4)( 2 ) ( 3)yyyy 6624 4644(9)yyyy 666 46436yyy 6 96y 【变式变式 1 1- -2 2】 （2018 春诸暨市期末）计算： （1） 220180 1 ( )( 1) 2 （2） 2 23bb 【解答】解： （1）原式4 1 14 ； （2）原式 3
8、6b 考点考点 2 2：单项式乘多项式单项式乘多项式 【例题例题 2 2】 （2018 春张家港市期末）计算： 1 2 () 2 x xy 【解答】解：原式 2 2xxy， 故答案为： 2 2xxy 【变式变式 2 2- -1 1】 （2017 秋银海区期末）计算： （1）()a abab； （2） 22 2(3)(21)aa 【解答】解：1) ()a abab 2 aabab 2 a； 22 2)2(3)(21)aa 22 2621aa 5 【变式变式 2 2- -2 2】 （2017 春来宾期末） （1）计算： 22 2 (33)6 (1)a aaa a （2）解方程组： 432 26 x
9、y xy 【解答】解： （1）原式 32322 626612610aaaaaaa ； （2） 432 26 xy xy ， 3得：1020 x ， 解得：2x ， 把2x 代入得：2y ， 则方程组的解为 2 2 x y 考点考点 3 3：多项式乘多项式多项式乘多项式 【例题例题 3 3】 （2018 春江干区期末）下列有四个结论，其中正确的是( ) 若 1 (1)1 x x ，则x只能是 2； 若 2 (1)(1)xxax的运算结果中不含 2 x项，则1a 若10ab，2ab ，则2ab 若4xa，8yb，则 23 2 xy 可表示为 a b A B C D 【解答】解：若 1 (1)1 x
10、 x ，则x可以为1，此时 0 ( 2)1，故错误，从而排除选项A和C； 由于选项B和D均含有，故只需考查 222 ()()4104 292ababab 92ab ，故错误 故选：D 【变式变式 3 3- -1 1】 （2019 秋临西县期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以 2 xy 错抄成乘以 2 x ，结果得到 2 (3)xxy，则正确的计算结果是 【解答】解：由题意得， 222 2 (3)(3)(3)()32 222 xxyxy xxyxxyxy xyxxyy x ， 故答案为： 22 32xxyy 【变式变式 3 3- -2 2】（2019 秋长春期末） 若计算(2)(
11、3)xxm的结果中不含关于字母x的一次项， 则m的值为 【解答】解：原式 2 3(6)2xmxm， 由结果不含x的一次项，得到60m ， 解得：6m ， 故答案为：6 【变式变式 3 3- -3 3】 （2018 秋伊通县期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2)(3)xaxb甲由于把第一 个多项式中的“a”看成了“a” ，得到的结果为 2 61110 xx；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系 数，得到的结果为 2 2910 xx （1）求正确的a、b的值 （2）计算这道乘法题的正确结果 【解答】解： （1）(2)(3)xaxb 2 623xbxaxab 2 6(23 )xba xab 2
12、61110 xx (2)()xa xb 2 22xbxaxab 2 2(2)xba xab 2 2910 xx 2311 29. ba ba ， 5 2. a b ； （2）(25)(32)xx 2 641510 xxx 2 61910 xx 【变式变式 3 3- -4 4】 （2018 春东海县期末）已知多项式 2 (2)(1)(2)3Axxx （1）化简多项式A； （2）若 22 (1)6xx，求A的值 【解答】解： （1） 2 (2)(1)(2)3Axxx 22 44223xxxxx 33x； （2） 22 (1)6xx，化简得216x ，解得 5 2 x ， 21 33 2 Ax 考点
13、考点 4 4：完全平方公式完全平方公式 【例题例题 4 4】 （2019 秋长白县期末）设a，b是实数， 定义*的一种运算如下： 2 *()a bab，则下列结论有： *0a b ，则0a 且0b *a bb a *()*abca ba c *()*()a bab 正确的有( )个 A1 B2 C3 D4 【解答】解：*0a b ， 2 *()a bab， 2 ()0ab，即：0ab， a、b互为相反数，因此不符合题意， 2 *()a bab， 2 *()b aba， 因此符合题意， 2 *()()abcabc， 22 *()()a ba cabac，故不符合题意， 2 *()a bab， 2
14、 ()*()()abab ， 22 ()()abab ， *()*()a bab 故符合题意， 因此正确的个数有 2 个， 故选：B 【变式变式 4 4- -1 1】 （2020 春南岸区期末）观察下列各式及其展开式： 222 ()2abaabb， 33223 ()33abaa babb， 4432234 ()464abaa ba babb， 554322345 ()510105abaa ba ba babb， 根据其中的规律，请你猜想 7 ()ab的展开式中第四项的系数是 【解答】解： 222 ()2abaabb 33223 ()33abaa babb 4432234 ()464abaa b
15、a babb 554322345 ()510105abaa ba ba babb 依据规律可得到： 5 ()ab的系数为 1，5，10，10，5，1， 6 ()ab的系数为 1，6，15，20，15，6，1， 7 ()ab的系数为 1，7，21，35，35，21，7，1 所以 7 ()ab的展开式中第四项的系数是 35， 故答案为：55 【变式变式 4 4- -2 2】 （2020 春盐湖区期末）先化简，再求值： 2 4(1)(23)(23)xxx，其中1x 【解答】解：原式 22 4(21)(49)xxx 22 48449xxx 813x ， 当1x 时，原式81321 【变式变式 4 4-
16、 -3 3】 （2020 春吴江区期末）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若 22 22690mmnnn，求m和n的值 解： 22 22690mmnnn 222 2690mmnnnn 22 ()(3)0mnn 0mn，30n 3m ，3n 问题（1）若 22 22440 xyxyy，求 y x的值 （2）已知a，b，c是ABC的三边长，满足 22 10841abab，且c是ABC中最长的边，求c的取 值范围 【解答】解： （1） 22 2244xyxyy 222 244xxyyyy 22 ()(2)xyy 0， 0 xy ，20y ， 解得2x ，2y ， 2 1 ( 2) 4 y x ；
17、 （2） 22 10841abab， 22 10258160aabb， 即 22 (5)(4)0ab， 50a ，40b， 解得5a ，4b ， c是ABC中最长的边， 59c 考点考点 5 5：完全平方公式的几何背景完全平方公式的几何背景 【例题例题 5 5】 （2015 秋海南期末）如图，把边长为(2)a 的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩 余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙） ，若拼成的长方形一边长为 2，则长方形的面积是( ) A2(22)a B24a C48a D2(4)a 【解答】解：由图可得， 拼成的长方形一边长为 2，它的另一边长为：222aaa， 则拼成的长方形
18、的面积是：(22)22(22)aa， 故选：A 【变式变式 5 5- -1 1】 （2020 春文登区期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放 置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 2 和 20，则正方形A、B的面积之和 为 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图甲得 22 2()2abab b，即 22 22abab， 由图乙得 222 ()20abab，220ab ， 所以 22 22ab， 故答案为：22 【变式变式 5 5- -2 2】 （2020 春槐荫区期末）图 1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线
19、用剪刀平均分成 四块小长方形，然后按图 2 的形状拼成一个正方形 （1）图 2 中的阴影部分的面积为 ； （2）观察图 2，三个代数式 2 ()mn， 2 ()mn，mn之间的等量关系是 ； （3）若6xy ，2.75xy ，求xy； （4）观察图 3，你能得到怎样的代数恒等式呢？ 【解答】解： （1）图中的阴影部分的面积为 2 ()mn， 故答案为： 2 ()mn； （2） 22 ()4()mnmnmn， 故答案为： 22 ()4()mnmnmn； （3） 22 ()()425xyxyxy， 则5xy ； （4） 22 (2)()2 ()()23mn mnm mnn mnmmnn 【变式变式
20、 5 5- -3 3】 （2019 秋芜湖期末）如图 1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成 4 个小 长方形，然后按图 2 形状拼成一个正方形 （1）图 2 的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示） （2）若27ab，且3ab ，求图 2 中的空白正方形的面积 （3）观察图 2，用等式表示出 2 (2)ab，ab和 2 (2)ab的数量关系 【解答】解： （1）图 2 的空白部分的边长是2ab （2）由图212可知，小正方形的面积大正方形的面积4个小长方形的面积， 大正方形的边长27ab，大正方形的面积 2 (2)49ab， 又4个小长方形的面积之和大长方形的面积42
21、88 324abab ， 小正方形的面积 2 (2)492425ab （3）由图 2 可以看出，大正方形面积空白部分的正方形的面积四个小长方形的面积 即： 22 (2)(2)8ababab 考点考点 6 6：平方差公式平方差公式 【例题例题 6 6】 （2014 秋罗平县期末）若 2 |5| (3)0 xyxy，则 22 xy的结果是( ) A2 B8 C15 D无法确定 【解答】解：由 2 |5| (3)0 xyxy，得 50 xy，30 xy， 即5xy，3xy， 故 22 ()()5 3 15xyxy xy 故选：C 【变式变式 6 6- -1 1】 （2019 秋莫旗期末）计算： 24
22、814 11111 2(1)(1)(1)(1) 22222 【解答】解：原式 24814 111111 22(1)(1)(1)(1)(1) 222222 224814 11111 4(1)(1)(1)(1) 22222 44814 1111 4(1)(1)(1) 2222 8814 111 4(1)(1) 222 1614 11 4(1) 22 1414 11 4 22 4， 故答案为 4 【变式变式 6 6- -2 2】 （2018 秋恩施市期末）观察探索： 2 (1)(1)1xxx 23 (1)(1)1xxxx 324 (1)(1)1xxxxx 4325 (1)(1)1xxxxxx （1）
23、根据规律填空： 1 (1)(1) nn xxxx ； （2）试求 65432 222222 1 的值； （3）试确定 20172016 2221的个位数字 【解答】解： （1）根据规律填空： 11 (1)(1)1 nnn xxxxx ； 故答案为 1 1 n x （2） 65432654327 222222 1(2 1)(222222 1)21 （3） 20172016201720162018 222 1(2 1)(222 1)21 ， 12 22.24， 3 28， 4 216， 5 232， 2n的个位数 2，4，8，6 循环， 201850442， 2018 2的个位数为 4， 2017
24、2016 2221的个位数字为 3 考点考点 7 7：平方差公式的几何背景平方差公式的几何背景 【例题例题 7 7】 （2018 秋大同期末）如图 1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形()ab，把剩 下部分沿图 1 中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是( ) A 222 ()2abaabb B 222 ()2abaabb C 2 ()a abaab D 22 ()()ab abab 【解答】解：图 1 阴影部分的面积等于 22 ab， 图 2 梯形的面积是 1 (22 )()()() 2 ab abab ab 根据两者阴影部分面积相等
25、，可知 22 ()()ab abab 比较各选项，只有D符合题意 故选：D 【变式变式 7 7- -1 1】 （2020 春宣城期末）在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形()ab把余下的部分 再剪拼成一个长方形 （1）如图 1，阴影部分的面积是： ； （2）如图 2，是把图 1 重新剪拼成的一个长方形，阴影部分的面积是 ； （3）比较两阴影部分面积，可以得到一个公式是 ； （4）运用你所得到的公式，计算：99.8 100.2 【解答】解： （1） 22 ab； （2）()()ab ab； （3） 22 ()()ab abab； （4）原式(1000.2)(1000.2) 22 100
26、0.2 100000.04 9999.96 【变式变式 7 7- -2 2】 （2019 春涉县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1)，然后将剩余 部分拼成一个长方形（如图2) （1）上述操作能验证的等式是 ； （请选择正确的一个） A、 222 2()aabbab B、 22 ()()abab ab C、 2 ()aaba ab （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： 已知 22 412xy，24xy，求2xy的值 计算： 22222 11111 (1)(1)(1)(1)(1) 2344950 【解答】解： （1）根据图形得： 22 ()()abab ab， 上
27、述操作能验证的等式是B， 故答案为：B； （2） 22 4(2 )(2 )12xyxy xy，24xy， 23xy ； 原式 111111111324354850495115151 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 22334949505022334449495050250100 考点考点 8 8：提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用 【例题例题 8 8】 （2020 春沭阳县期末）因式分解： 22 242mmnn 【解答】解：原式 222 2(2)2()mmnnmn， 故答案为： 2 2()mn 【变式变式 8 8- -1 1】 （2020 春柯桥区期末）
28、分解因式 （1） 2 28x （2） 223 363x yxyy 【解答】解： （1） 22 282(4)xx 2(2)(2)xx； （2） 223 363x yxyy 22 3 (2)y xxyy 2 3 ()y xy 【变式变式 8 8- -2 2】 （2017 秋沾化区期末）分解因式： （1） 223 44xyx yy （2） 22 9()4()a xybyx （3） 22 16()9()abab 【解答】解： （1） 223 44xyx yy 22 ( 44)yxyxy 2 (2)yxy； （2） 22 9()4()a xybyx 22 ()(94)xyab ()(32 )(32 )x
29、yabab； （3） 22 16()9()abab 4()3()4()3()abababab (7)(7 )ab ab 考点考点 9 9：因式分解因式分解分组分解法分组分解法 【例题例题 9 9】 （2015 秋莒县期末）将1xyxy因式分解，其结果是 【解答】解：1xyxy (1)1x yy (1)(1)yx 故答案为：(1)(1)yx 【变式变式 9 9- -1 1】 （2020 春盐湖区期末）请看下面的问题：把 4 4x 分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19 世纪的法国数学家苏菲 热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和 2 22 ()2x的形式，
30、要使用公式就必 须添一项 2 4x，随即将此项 2 4x减去，即可得 442222222222 4444(2)4(2)(2 )(22)(22)xxxxxxxxxxxx 人们为了纪念苏菲 热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理” ，请你依照苏菲 热门的做法，将下列各式 因式分解 （1） 44 4xy； （2） 22 22xaxbab 【解答】解： （1）原式 44222222 2222222 444(2)4(22)(22)xyx yx yxyx yxyxyxyxy； （2）原式 222222 22()()()(2)xaxaababxaabxb xab 考点考点 1010：因式分解因式分解十字相乘
31、法等十字相乘法等 【例题例题 1010】 （2019 秋天心区校级月考）把多项式 2 ()2()8xyxy分解因式，正确的结果是( ) A(4)(2)xyxy B(4)(2)xyxy C(4)(2)xyxy D(4)(2)xyxy 【解答】解： 2 ()2()8xyxy， (4)(2)xyxy 故选：C 【变式变式 1010- -1 1】 （2018 春揭阳期末）多项式 2 4xxm分解因式的结果是(3)()xxn，则 m n 【解答】解：根据题意得： 22 4(3)()(3)3xxmxxnxn xn， 34n ，3mn ， 解得：21m ，7n ， 则原式3 ， 故答案为：3 【变式变式 1
32、010- -2 2】 （2019 秋平山县期末）对于多项式 32 510 xxx，我们把2x 代入此多项式，发现2x 能 使多项式 32 510 xxx的值为 0，由此可以断定多项式 32 510 xxx中有因式(2)x， （注：把xa 代入多项式，能使多项式的值为 0，则多项式一定含有因式()xa，于是我们可以把多项式写成： 322 510(2)()xxxxxmxn，分别求出m、n后再代入 322 510(2)()xxxxxmxn，就 可以把多项式 32 510 xxx因式分解 （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法” ，用“试根法”分解多项式 32 584xxx
33、 【解答】解： （1）在等式 322 510(2)()xxxxxmxn，中， 分别令0 x ，1x ， 即可求出：3m ，5n （2）把1x 代入 32 584xxx，得其值为 0， 则多项式可分解为 2 (1)()xxaxb的形式， （7 分） 用上述方法可求得：4a ，4b ， （8 分） 所以 322 584(1)(44)xxxxxx， （9 分） 2 (1)(2)xx （10 分） 考点考点 1111：因式分解的应用因式分解的应用 【例题例题1111】（2019秋海珠区期末）a、b、c是等腰ABC的三边长， 其中a、b满足 22 410290abab， 则ABC的周长为 【解答】解：
34、22 410290abab， 22 (44)(1025)0aabb， 22 (2)(5)0ab， 20a，50b ， 解得，2a ，5b ， a、b、c是等腰ABC的三边长， 当2ac时，225，此时不能构成三角形， 当5bc时，此时2a ，则ABC的周长为：55212， 故答案为：12 【变式变式 1111- -1 1】 （2020 春海勃湾区期末）若ABC的三边长分别为a，b，c满足条件 222 200121620abcabc，则判断ABC的形状 【解答】解： 222 200121620abcabc， 222 (6)(8)(10)0abc， (6)0a，(8)0b，(10)0c， 6a，8
35、b ，10c ， 222 6810， 222 abc， ABC是直角三角形 【变式变式 1111- -2 2】 （2019 秋莱山区期末）阅读材料：若 22 228160mmnnn，求m、n的值 解： 22 228160mmnnn， 222 (2)(816)0mmnnnn 22 ()(4)0mnn， 2 ()0mn， 2 (4)0n，4n，4m 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知 22 22210 xxyyy ，求2xy的值； （2）已知4ab， 2 6130abcc，求abc的值 【解答】解： （1） 22 22210 xxyyy ， 222 (2)(21)0 xxyyyy， 22 ()(1)0 xyy， 0 xy ，10y ， 解得，1x ，1y ， 22 1( 1)1xy ； （2）4ab， 4ab， 将4ab代入 2 6130abcc，得 22 46130bbcc， 22 (44)(69)0bbcc， 22 (2)(3)0bc， 20b ，30c ， 解得，2b ，3c ， 4242ab ， 2233abc