1、 1 知识精要 有理数运算是中学数学中一切运算的基础，在理解有理数的概念、法则的基础上，能够利用法则、公 式等正确地运算。但有些有理数计算题，数字大、项数多，结构貌似复杂，致使同学们望题生畏，不知所 措。比如式子 2222 1 22 33 4(1)n n 的计算与拓展，无论在期中、期末测试还是中考中，都是 常出现的题型。下面简介此题的解题方法，以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维 的敏捷性与灵活性。 要点突破 利 用 一 对 相 反 数 的 代 数 和 为 零 这 一 性 质 常 可 简 化 运 算 。 本 题 的 关 键 是 把 式 子 2222 1 22 33 4(1)n
2、 n 分别化成两个分数的差。即利用 111 (1)1n nnn 进行拆项，以此出 现互为相反数的项而相消。 典例精讲 例观察下列各式： （1）根据以上式子填空： = ； = （n 是正整数） （2）根据以上式子及你所发现的规律计算： 【答案】(1);(2) 2 课堂精练 1观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： （1）猜想并写出：_ （2）直接写出下列各式的计算结果： _； _ （3）探究并计算：. 【答案】 （1）； （2）； （3）；. 【解析】 （1）观察、分析所给等式可知：； （2）根据 （1）中所得规律进行计算即可； 3 （3）根据等式将原式变形，再进行计算即可. 解： （
3、1）观察、分析所给等式可得：； （2） 原式= = =； 原式= = =； 点睛： （1）根据题中所给等式，分析得到：“当 n 为正整数时，等式成立”是解答第 1、2 小题的关键； （2）知道：“当 n 为正整数时，等式成立”是解答第 3 小题的关键. 2观察下列等式： 4 11 1 1 22 ， 111 2 323 ， 111 3 434 ， 将以上三个等式两边分别相加得： 1111111113 11 1 22 33 42233444 。 （1）猜想并写出： 1 1n n （其中n为正整数） ； （2）直接写出下列各式的计算结果： 1111 1 22 33 42018 2019 = ； （3
4、）探究并计算： 3333 1 44 77 102007 2010 . 【答案】(1) 11 1nn ;(2) 2018 2019 ;(3) 2009 2010 . （3）原式= 1111111 1. 44771020072010 12009 1 20102010 ； 点睛：本题考查的是有理数的运算能力和学生的归纳总结能力解题关键是会从材料中找到数据之间 的关系，并利用数据之间的规律总结出一般结论，然后利用结论直接解题找出本题中的规律是裂项相消， 是解决此题的关键 3探索发现： 11 1 1 22 ； 111 2 323 ； 111 3 434 5 根据你发现的规律，回答下列问题： （1） 1
5、4 5 _， 1 1n n _； （2）利用你发现的规律计算： 1111 . 1 22 33 41nn ； （3） 111 ; 11220172018x xxxxx （4）灵活利用规律解方程： 1111 . 22498100100 xxxxxxx 【答案】 （1） 11 45 ， 11 1nn ； （2） 1 n n ； （3） 2018 ; 2018x x （4）x=50 （3） 111 ; 11220172018x xxxxx 111111 11220172018xxxxxx 11 2018xx 2018 2018x x （4） 1111 . 22498100100 xxxxxxx 6 1
6、 1111111 222498100100 xxxxxxx ， 1 111 2100100 xxx ， 解得：x=50， 经检验，x=50 是原方程的根. 4阅读下面的文字，完成后面的问题： 我们知道： 11 1 1 22 ， 111 2 323 ， 111 3 434 那么（1） 1 4 5 _； 1 21 22 _； （2）用含有n的等式表示你发现的规律_； （3）如果 2 120aab，求 1111 . 112220162017abababab 的值. 【答案】 （1） 11 45 ， 11 2122 ； （2） 111 11n nnn ； （3） 2017 2018 . （3） 2 1
7、20aab a-1=0；ab-2=0， a=1，b=2. 1111 . 112220162017abababab 7 = 1111 + 1 22 33 42017 2018 = 1111111 1 2233420172018 =1- 1 2018 = 2017 2018 . 5对任意非零实数 a，b 定义运算如下： ab a b ab 求2 1 3 24 32018 2017 的值。 【答案】 2017 2018 6已知 1 22 11 1 12 s 2 22 11 1 23 s 3 22 11 1 34 s 22 11 1 1 n s n n 设 123n sssss ，则s （用正整数 n
8、 表示） 为解决这个问题，我们进行下面的探索 （1）观察 1 22 11 1 12 s 22 111 112 11 221 2 2 22 11 1 23 s 22 11111 121 23232 3 3 22 11 1 34 s 22 11111 121 34343 4 8 22 11 1 1 n s n n 。 （2）由此可得 12 1 1 1 2 ss 3 s n s （3）我们知道 11111111 1 1 222 3233 434 1 1n n （4）由此可得 s 的值为 【答案】见解析 2 2 1 nn n 7、已知直线 2 11 n yx nn （n 为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为s， （1）当1n 时，求出 1 s的值。 （2）直接写出 2 s 3 s （3）猜想 n s 的值，并验证。 （4）求 123n ssss 9 【答案】见解析 8.抛物线 2 211 11 n yxx n nn n 与x 轴交于, nn A B ， 若 nn A B 表示两点间的距离， 则 nn A B （用 含 n 的代数式表示） ，求 1 1223320182018 A BA BA BAB 的值。 【答案】见解析 10