1、 1 知识精要知识精要 探索规律是根据已知的几个数据或几个图形中发现数据的变化规律，用代数式表示出来，它是数学中 常见的类型之一， 探索规律体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想 探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律， 并取特殊值代入验证 要点突破要点突破 1、探索规律的一般方法是： (1)观察：从具体问题出发，观察各个数量的特点及变化规律； (2)猜想：由此及彼，合理猜想； (3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点； (4)验证：总结规律，得出结论，并取特殊值验证结论的正确性 2、需要掌握几种常见的规律题的解题方法和技巧
2、： （1）等差 规律（2）循环规律（3）平方规律（4） 等比规律等。 典例精讲典例精讲 例如图所示，第 1 个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第 2 个，第 3 个图案可以看 作是第 1 个图案经过平移而得，那么(1)第 4 个图案中柯白色六边形地面砖_块，第 n 个图案中有白色地 面砖_块 【答案】 18 4n+2 2 故答案为：18，4n+2 课堂精练课堂精练 一、数与式型 1根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是( ) A 100，011 B 011，100 C 011，101 D 101，110 【答案】B 2填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此
3、规律，m 的值是（ ） A 38 B 52 C 66 D 74 【答案】D 【解析】根据前四个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且左上，左下，右上 三个数是相邻的偶数，据此解答. 观察每个正方形里的数字，发现前四个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且 左上，左下，右上三个数是相邻的偶数，所以第四个正方形中左下角是 8，右上角是 10，则 m 为 74. 故选 D 3按一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，a5，a6，第 n 个单项式是（ ） A an B an C （1）n+1an D （1）nan 【答案】C 【解析】观察字母 a 的系数、次数的规律
4、即可写出第 n 个单项式 解：观察可知次数序号是一样的，奇数位置时系数为 1，偶数位置时系数为-1，则有 3 a，a2，a3，a4，a5，a6， （1）n+1an 故选 C 4观察下列算式: , , , , , , , , 则的未位数字是( ) A 8 B 6 C 4 D 0 【答案】B 5计算下列各式： （x1） （x+1）= ； （x1） （x2+x+1）= ； （x1） （x3+x2+x+1）= ； （1）根据以上规律，直接写出下式的结果： （x1） （x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ； （2）你能否由此归纳出一般性的结论（x1） （xn 1+xn2+xn3+x+1）= （其中
5、 n 为正整数） ； （3）根据（2）的结论写出 1+2+22+23+24+235的结果 【答案】x21；x31；x41； （1）x71； （2）xn1； （3）2361 【解析】 （x1） （x+1）=x21； （x1） （x2+x+1）=x31； （x1） （x3+x2+x+1）=x41， （1） （x1） （x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x71； 4 （2） （x1） （xn 1+xn2+xn3+x+1）=xn1； （3）1+2+22+23+24+235 =（21） （2 35+234+233+2+1） =2361 6已知：2+ =22 ，3+ =32 ，4+=42，5+=52
6、，若 10+ =102 符合前面式子的规律， 则 a+b=_. 【答案】109 7阅读下列材料，并解答问题： ； ； ； ； (1)直接写出第个等式_； (2)用含 n(n 为正整数)的等式表示你探索的规律； (3)利用你探索的规律，求的值 【答案】 （1）； （2）=； （3）. 【解析】 （1）根据前 4 个式子的规律即可写第个等式； 5 （2）观察可知第 n 个等式左边是，右边是，据此即可得； （3）根据上面的规律进行计算即可得. 解： （1）观察前 4 个等式，可知第个等式是， 故答案为：； （2）观察可知等式左边是，右边是， 所以用含 n 的等式表示为： =； （3） =+ = =.
7、 二、循环型 1将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则 2018 应在（ ） A A 处 B B 处 C C 处 D D 处 【答案】A 6 2.若 x 是不等于 1 的实数， 我们把称为 x 的差倒数， 如 2 的差倒数是 ， -1 的差倒数为 = ，现已知 x1= ， x2是 x1的差倒数，x3是 x2的差倒数，x4是 x3的差倒数，依次类推，则 x2018= 【答案】= 3. 如图，圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份(每一份称为一段弧长)，把这五个点按顺时针方向依 次编号为 1，2，3，4，5若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长， 我们把这种
8、走法称为一次“移位” 7 如：小明在编号为 3 的点，那么他应走 3 段弧长，即从 3451 为第 1 次“移位”，这时他到达编号为 1 的点，那么他应走 1 段弧长，即从 12 为第 2 次“移位” （1）若小明从编号为 4 的点开始，第 1 次“移位”后，他到达编号为 的点？ （2）2018 次“移位”后，他到达编号为 的点？ 【答案】 （1）若小明从编号为 4 的点开始，第 1 次“移位”后，他到达编号为 3 号的的点。 （2）2018 次“移位”后，他到达编号为 1 号的点。 4已知，（即当 为大于 1 的奇数时， ；当 为大于 1 的偶数时，） ，按此规律，_. 【答案】 8 【解析
9、】根据 Sn数的变化找出 Sn的值每 6 个一循环，结合 2018=336 6+2，即可得出 S2018=S2，此题得 解 解： S1= ， S2=-S1-1=- -1=-， S3=， S4=-S3-1=-1=-， S5=， S6=-S5-1= （a+1）-1=a，S7=， Sn的值每 6 个一循环 2018=336 6+2， S2018=S2=- 故答案为：- 三、数阵型 1 如图， 是按一定规律排成的三角形数阵， 按图中数阵的排列规律， 第 9 行从左至右第 5 个数是 （ ） A 2 B C 5 D 【答案】B 2将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是
10、 12，则位于第 45 行、第 8 列的数是_ 9 【答案】2018 【解析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，可得第 45 行第一个数是 2025，推出第 45 行、第 8 列 的数是 20257=2018； 解：观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2， 第 45 行第一个数是 2025， 第 45 行、第 8 列的数是 20257=2018， 故答案为 2018 3下图是我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角” 这个三角形给出了 的展开式的系数规律 （按 的次数由大到小的顺序） ， 请依据 上述规律，写出展开式中含有项的系数是_ 【答案】 4我国古代数学
11、的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.杨辉法则：如图，两侧的数 都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（ 为正整数）的展开式（按 的次数由大 到小的顺序排列）的系数规律.例如，第三行的三个数 1、2、1，恰好对应展开式中 10 的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应展开式中的系数. （1）根据上面的规律，写出的展开式； （2）利用上面的规律计算：. 【答案】 （1）； （2）-32 【解析】 （1）根据规律可知原式的系数为第六行的六个数：1、5、10、10、5、1， a 和 b 的指数和相 加为 5，观察即可写出展开式; （2）将原式化成(a+b)5的形
12、式，即可求解. 解： （1） （2） . 点睛：本题考查的是探究规律，考查的是同学们的观察和归纳的能力，根据已知我们就不难发现塔形 杨辉三角的特点： 每行数字左右对称，且从左到右由 1 开始逐渐变大，然后变小，再回到 1； 第 n 行的数字个数为 n 个；每个数字等于上一行的左右两个数字之和； 本题即是根据以上规律得到(a+b)5展开式中各项系数分别为 1、5、10、10、5、1，从而使问题迎刃而 解. 四、等差数列型 3、如图，搭一个梯形，需要 5 根火柴棒，若按图 11 所示方式，搭 n 个梯形需要( )根火柴棒. A.3n+1 B.4n+1 C.3n+4 D.4n+4 11 【答案】B 3、 用完全一样的火柴棍按如图所示的方法拼成“金鱼”形状的图形， 则按照这样的方法拼成第 4 个图 形需要火柴棍_根，拼成第 n 个图形（n 为正整数）需要火柴棍_根（用含 n 的代数 式表示） 【答案】30 【解析】第一个图用 9 根火柴棒，每增加一图增加 7 根火柴棒。 所以第 n 个图用9+7（n-1） 根。 或第一个金鱼去掉两根尾巴，每个金鱼用 7 根火柴棒。 所以第 n 个图用（7n+2）根火柴棒。 第四个图即：当 n=4 时 7 4+2=30 根。 故答案为 30 7n+2