1、 1 知识精要知识精要 1.掌握一元二次方程的解法； 2.一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 要点突破要点突破 熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键. 典例精讲典例精讲 例已知关于 的方程 x2-(2k+1)x+4k-2=0 （1）求证：不论 k 取何值，这个方程总有实数根 （2）若等腰ABC 一边长 a=4，另两边长 b，c 恰好是这个方程的两根，求ABC 的周长. 【答案】 （1）证明见解析； （2）10. （2）解：当 a 为底边时，b=c， =（2k-3）2=0，解得：k= ，
2、 b+c=2k+1=4=a， 此种情况不合适； 当 a 为腰时，将 x=4 代入原方程得：16-4（2k+1）+4k-2=0， 解得：k= b+c=2k+1=6， 2 ABC 的周长=a+b+c=4+6=10 点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根，等腰三角形的计算，三角形三 条边的关系及分类讨论的数学思想，本题的易错点是有些同学未把 a 的值分两种情况讨论. 课堂精练课堂精练 一、单选题 1关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是 A 有一个实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 没有实数根 【答案】C 2关于 x 的一元二次方程有实数根，则 k
3、 的取值范围是 A B 且 C D 且 【答案】D 【解析】 关于 x 的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且 3 故选：D 3已知 a、b、c 是的三边长，且方程的两根相等，则为 A 等腰三角形 B 等边三角形 C 直角三角形 D 任意三角形 【答案】C 4 若关于 x 的一元二次方程 mx22x1=0 无实数根， 则一次函数 y= （m+1） xm 的图象不经过 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 【答案】C 【解析】根据判别式的意义得到 m0 且=（2）24m （1）0，解得 m1，然后根据一次函 数的性质求解 解：根据题意得：m0 且=（2）24m （1）
4、0，解得：m1，所以一次函数 y=（m+1）x m 的图象第一、二、四象限 故选 C 点睛：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不 相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一次函数的性质 5 已知 a， b， c 为常数， 且点 Q （b， a） 在第三象限， 则关于 x 的方程 bx2cxa=0 的根的情况是 （ ） A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定 4 【答案】A 【解析】由点 Q 在第三象限可得出 b0 以及 ab0，再根据方程的系数结合根的判别式，即
5、可得出 =c2+4ab0，由此可得出原方程有两个不相等的实数根 解：点 Q（b，a）在第三象限，a0，b0，ab0 =（c）24b（a）=c2+4ab0，关于 x 的方程 bx2cxa=0 有两个不相等的实数根 故选 A 6定义：如果一元二次方程 ax2+bx+c=o（a0）满足 ab+c=0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程已 知关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ） A b=c B a=b C a=c D a=b=c 【答案】C 7设 a、b、c 为三角形的三边长，则关于 x 的方程 a、b、c 为三角形的三边长 b2
6、x2+（b2+c2a2）x+c2=0 的根的情况是（ ） A 无实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 无法确定 【答案】A 【解析】因为, 2 2 22222 222222 22 22 4 4 22 bac bcab c bcabcbcabc bcabca bcabcabcabca 根据三角形三边关系可得: 0,0,bcabcabcabca 所以 2 40bac,所 5 以方程没有实数根,故选 A. 8对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0） ，下列说法： b=a+c 时，方程 ax2+bx+c=0 一定有实数根； 若 a、c 异号，则方程 ax2+bx+c=0
7、一定有实数根； b25ac0 时方程 ax2+bx+c=0 一定有两个不相等的实数根； 若方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则方程 cx2+bx+a=0 也一定有两个不相等实数根 其中正确的是（ ） A B 只有 C 只有 D 只有 【答案】B 二、填空题 9关于 x 的方程有两个相等的实根，则_ 【答案】 【解析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 m 的一元二次方程，解方程即可得 出结论 方程 x2+mx+16=0 有两个相等的实根， 6 =m2-4 1 16=m2-64=0， 解得：m= 8 故答案为： 8 10若关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数
8、根，则 a 的取值范围是_ 【答案】且 11若关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则非正整数 k 的值是_ 【答案】-1 【解析】根据判别式的意义及一元二次方程的定义得到，且，然后 解不等式即可求得 k 的范围，从而得出答案 解：根据题意知，且， 解得：且， 则非正整数 k 的值是， 故答案为： 12已知方程组有两组不相等的实数解，则 的取值范围_ 【答案】且 【解析】 把方程组解的问题转化为一元二次方程解的问题:消去y得到关于x的方程, 7 然后根据根的判别式的意义得到且,再求出两不等式的公共部分即可. 解：,把代入得, 整理得,当且时,方程有两个不相等的根,解得k1且 k0,所以
9、当 k1 且 k0 时,方程组有两组不相等的实数解. 故答案为：且. 13对于一元二次方程 ax2bxc0(a0)，有下列说法： 若 ac0，则方程 ax2bxc0 必有实数根； 若 b24ac3) （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，且 x1x2 求方程的两个实数根 x1，x2（用含 m 的代数式表示） ； 若 mx1y2时，求自变量 x 的取值范 围; (3) 将直线 AC 沿 y 轴上下平移， 当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式. 【答案】见解析 【解析】 16 24已知关于 x 的一元二次方程 2 (21)20 xmxm （1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根； （2） 若抛物线 2 (21)2yxmxm与x轴交于A、B两点 （点A与点B在y轴异侧） ， 且4AB , 求此抛物线的表达式； 17 （3）在（2）的条件下，若抛物线 2 (21)2yxmxm向上平移b个单位长度后,所得到的 图象与直线yx没有交点，请直接写出b的取值范围. 【答案】见解析