1、 1 知识精要知识精要 二次函数的综合应用，涉及待定系数法、一次函数的性质、二次函数的性质、全等三角形的判定和性 质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定、三角形的面积、方 程思想及分类讨论思想等知识。 要点突破要点突破 1.熟练掌握待定系数法求函数的解析式 2. 是认真分析，弄清解题的思路和方法. 3. 会运用分类讨论的思想解决数学问题. 典例精讲典例精讲 例 1如图，已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+=0 有两个不相等的实数根，k 为正整数。 （1）求 k 的值； （2）当此方程有一根为零时，直线 y=x+2 与关于 x 的二次函数 y=x2+2x
2、+的图象交于 A、B 两点， 若 M 是线段 AB 上的一个动点，过点 M 作 MNx 轴，交二次函数的图象于点 N，求线段 MN 的最大值 【答案】(1) k=1 或 2；(2) 当 t= 时，MN 有最大值，最大值为 2 解方程组得或，则 A（2，0） ，B（1，3） ， 设 M（t，t+2） （2t1） ，则 N（t，t2+2t） ， 所以 MN=t+2（t2+2t）=t2t+2=（t+ ）2+ ， 当 t= 时，MN 有最大值，最大值为 例 2如图，已知二次函数c 为常数 的图象经过点，点，顶点为点 M， 过点 A 作轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC 求该二
3、次函数的解析式及点 M 的坐标 过该二次函数图象上一点 P 作 y 轴的平行线， 交一边于点 Q， 是否存在点 P， 使得以点 P、 Q、 C、O 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由 点 N 是射线 CA 上的动点，若点 M、C、N 所构成的三角形与相似，请直接写出所有点 N 的 坐标 直接写出结果，不必写解答过程 【答案】二次函数解析式为， 点 M 的坐标为； 存在平行四边形，； ， 3 二次函数解析式为， 配方得， 点 M 的坐标为； 由知，当时， ， 解之，或 、 令 P 点横坐标为 m， 当 PQ 与 BC 边相交时， ， 此时不存在平行四边形 4
4、 当 PQ 与 AB 边相交时， 、 ， 令 ， 化简，得， 解得， 当时， 点坐标为， 此时，存在平行四边形，； 5 由此可知，若点 N 在 AC 上，则，则点 D 与点 C 必为相似三角形对应点 若有，则有， ， ， ， ， 若点 N 在 y 轴右侧，作轴， ， ， 把代入，解得， ； 6 同理可得，若点 N 在 y 轴左侧， 把代入，解得 ； 课堂精练课堂精练 一、抛物线与相似三角形一、抛物线与相似三角形 1如图，抛物线与坐标轴交点分别为，作直线 BC 求抛物线的解析式； 点 P 为抛物线上第一象限内一动点，过点 P 作轴于点 D，设点 P 的横坐标为，求 的面积 S 与 t 的函数关系
5、式； 条件同，若与相似，求点 P 的坐标 【 答 案 】 （ 1 ）； （ 2 ）； （ 3 ） 点 P 的 坐 标 为 或 7 设点 P 的坐标为， ， ， ； 当时，即， 整理得：， 解得：或舍去 ， ， 点 P 的坐标为； 当，则，即， 整理得， 解得：或舍去 ， ， 8 点 P 的坐标为， 综上所述点 P 的坐标为或 2抛物线过点和，点 P 为 x 轴正半轴上的一个动点，连接 AP，在 AP 右侧作，且，点 B 经过矩形 AOED 的边 DE 所在的直线，设点 P 横坐标为 t 求抛物线解析式； 当点 D 落在抛物线上时，求点 P 的坐标； 若以 A、B、D 为顶点的三角形与相似，请直
6、接写出此时 t 的值 【答案】 （1）抛物线的解析式为：； （2）； （3）当、时， 以 A、B、D 为顶点的三角形与相似 解：由题意得， 解得 故抛物线的解析式为：； 9 ， ， 易证， ， ， ， ， ， 假设在抛物线上，有， 解得 或， ， ， 即当时，点 D 落在抛物线上 10 化简得，此时 t 无解 若， ， ， ，即，化简得：， 解得： ， 当时，如图 2， 11 3 如图 1， 经过原点 O 的抛物线与 x 轴交于另一点， 在第一象限内与直线 交于点 求这条抛物线的表达式； 在第四象限内的抛物线上有一点 C，满足以 B，O，C 为顶点的三角形的面积为 2，求点 C 的坐标； 如图
7、2，若点 M 在这条抛物线上，且，在的条件下，是否存在点 P，使得 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）； （2）； （3）或 解：在直线上， ， ， 12 把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式可得，解得， 抛物线解析式为； 如图 1，过 C 作轴，交 x 轴于点 E，交 OB 于点 D，过 B 作于点 F， 点 C 是抛物线上第四象限的点， 可设，则， ， ， 的面积为 2， ，解得， ； 13 ， ， ， 可设直线 BN 解析式为， 把 B 点坐标代入可得，解得， 直线 BN 的解析式为， 联立直线 BN 和抛物线解析式可得，解得或， ， 14 ， ， ， ； 当点 P 在第三象限时，如图 4，过 M 作轴于点 G，过 P 作轴于点 H， 15 同理可求得， ； 综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为或